El documento aborda el análisis de ecuaciones de bisectrices y circunferencias inscritas y circunscritas en triángulos definidos por rectas. Se presentan pasos matemáticos detallados para calcular distancias, coordenadas de incentros y circuncentros, así como las respectivas ecuaciones de las circunferencias. También se resuelven sistemas de ecuaciones para determinar vértices y se realiza la transformación de ecuaciones a su forma general.

1. CUANDOEL DENOMINADOR VA NEGATIVOEN LA ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ
𝑨𝒉+𝑩𝒌+𝑪
±√ 𝑨 𝟐+𝑩 𝟐
Debes tomar en cuenta los siguientes argumentos:
Cuando 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 𝑦 𝐶 ≠ 0, el signo del denominador va contrario al de C. Ejemplo:
3𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
En este caso C es positivo (C>0) el denominador va negativo y en caso de que C sea
negativo (C<0) el donominador es positivo
𝑑( 𝑃, 𝐿1) =
𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
=
3𝑥 − 2𝑦 + 8
−√32 + (−2)2
Es por eso que en la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 la ecuación de la bisectriz el
denominador va −√13 ya que “C” es positiva.
HALLA LA ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIAINSCRITA EN EL TRIANGULOCUYOSLADOS SON
LAS RECTAS:
𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0
𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0
𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0
𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝑑(𝑃, 𝐿2)
𝑑( 𝑃, 𝐿1) =
𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
=
2𝑥 − 3𝑦 + 21
−√22 + (−3)2
= −
2𝑥 − 3𝑦 + 21
√13
𝑑( 𝑃, 𝐿2) =
𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
=
3𝑥 − 2𝑦 − 6
√32 + (−2)2
=
3𝑥 − 2𝑦 − 6
√13
−
2𝑥 − 3𝑦 + 21
√13
=
3𝑥 − 2𝑦 − 6
√13
−2𝑥 + 3𝑦 − 21 = 3𝑥 − 2𝑦 − 6
3𝑥 + 2𝑥 − 2𝑦 − 3𝑦 − 6 + 21 = 0
5𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 (÷ 5)
𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝑑(𝑃, 𝐿3)
𝑑( 𝑃, 𝐿1) =
𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
=
2𝑥 − 3𝑦 + 21
−√22 + (−3)2
= −
2𝑥 − 3𝑦 + 21
√13
𝑑( 𝑃, 𝐿3) =
𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
=
2𝑥 + 3𝑦 + 9
−√22 + (3)2
= −
2𝑥 + 3𝑦 + 9
√13
−
2𝑥 − 3𝑦 + 21
√13
= −
2𝑥 + 3𝑦 + 9
√13
2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 2𝑥 + 3𝑦 + 9

2. 2𝑥 − 2𝑥 − 3𝑦 − 3𝑦 + 21 − 9 = 0
−𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
Realizo el sistema de ecuaciones,en la segunda ecuación solo debo despejar “y”
𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟕 = 𝟎
−𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
−6𝑦 + 12 = 0
−6𝑦 = −12
𝒚 =
−12
−6
= 𝟐
Reemplazo el valor de “y” en la otra ecuación para hallar “x”
𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝑥 − (2) + 3 = 0
𝑥 + 1 = 0
𝒙 = −𝟏
CoordenadasIncentro (-1,2)
ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIA
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐
Hallamos el radio primero con cualquiera de las ecuaciones de bisectriz
𝑑( 𝑃, 𝐿3) = 𝑟 =
| 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
=
|2𝑥 + 3𝑦 + 9|
√13
𝑟 =
|2(−1) + 3(2) + 9|
√13
=
|−2 + 6 + 9|
√13
=
13
√13
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐
ℎ = 𝑥 𝑘 = 𝑦
( 𝑥 − (−1))2 + ( 𝑦 − (2))2 = (
13
√13
)
2
( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 2)2 =
169
13
( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏𝟑 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 13
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 13 = 0
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 8 = 0
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂

3. HALLAR LA MEDIATRIZ Y LA ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIACIRCUNSCRITA
𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0
𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0
𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0
Hallamos el Vértice ente L1 y L2
𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 (× −3)
𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 (× 2)
−6𝑥 + 9𝑦 − 63 = 0
6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0
0𝑥 + 5𝑦 − 75 = 0
5𝑦 − 75 = 0
5𝑦 = 75
𝒚 =
75
5
= 𝟏𝟓
Reemplazo en la ecuación L1 o L2
2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0
2𝑥 − 3(15) + 21 = 0
2𝑥 − 45 + 21 = 0
2𝑥 = 24
𝒙 =
24
2
= 𝟏𝟐
VL1L2(15,12)
Hallamos el Vértice ente L1 y L3
𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 (× −1)
𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0
−2𝑥 + 3𝑦 − 21 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0
0𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0
6𝑦 − 12 = 0
6𝑦 = 12
𝒚 =
12
6
= 𝟐
Reemplazo en la ecuación L1 o L3
2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0
2𝑥 − 3(2) + 21 = 0
2𝑥 − 6 + 21 = 0
2𝑥 = −15
𝒙 =
−15
2
= −
𝟏𝟓
𝟐
= −𝟕. 𝟓
VL1L3(-15/2, 2)

4. Hallamos el Vértice ente L2 y L3
𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 (× −2)
𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 (× 3)
−6𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0
6𝑥 + 9𝑦 + 27 = 0
0𝑥 + 13𝑦 + 39 = 0
13𝑦 + 39 = 0
13𝑦 = −39
𝒚 =
−39
13
= −𝟑
Reemplazo en la ecuación L2 o L3
3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0
3𝑥 − 2(−3) − 6 = 0
3𝑥 + 6 − 6 = 0
3𝑥 = 0
𝒙 =
0
3
= 𝟎
VL2L3(0,-3)
Ahora hallamos la distancia entre los vérticesy el Circuncentro P(h,k)
𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟏 𝑳 𝟐
= √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐
𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿2
= √(𝑦 − (15))2 + (𝑥 − (12))2
𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿2
= √(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2
𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟏 𝑳 𝟑
= √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐
𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿3
= √(𝑦 − (2))2 + (𝑥 − (−15/2))2
𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿3
= √(𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2
𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟐 𝑳 𝟑
= √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐
𝑑 𝑃𝑉 𝐿2 𝐿3
= √(𝑦 − (−3))2 + (𝑥 − (0))2
𝑑 𝑃𝑉 𝐿2 𝐿3
= √(𝑦 + 3)2 + (𝑥)2

5. Igualamos las distancias ya que estánsonel radio
√(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = √(𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2
(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = (𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2
𝑦2 − 30𝑦 + 225 + 𝑥2 − 24𝑥 + 144 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4 + 𝑥2 + 15𝑥 + 225/4
−24𝑥 − 30𝑦 − 15𝑥 + 4𝑦 + 225 + 144 − 4 −
225
4
= 0
−𝟑𝟗𝒙 − 𝟐𝟔𝒚 +
𝟏𝟐𝟑𝟓
𝟒
= 𝟎
√(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = √(𝑦 + 3)2 + (𝑥)2
(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = (𝑦 + 3)2 + (𝑥)2
𝑦2 − 30𝑦 + 225 + 𝑥2 − 24𝑥 + 144 = 𝑦2 + 6𝑦 + 9 + 𝑥2
−24𝑥 − 30𝑦 − 6𝑦 + 225 + 144 − 9 = 0
−24𝑥 − 36𝑦 + 360 = 0 (÷ 12)
−𝟐𝒙 − 𝟑𝒚+ 𝟑𝟎 = 𝟎
−39𝑥 − 26𝑦 +
1235
4
= 0 (× 2)
−2𝑥 − 3𝑦 + 30 = 0 (× −39)
−78𝑥 − 52𝑦 +
1235
2
= 0
78𝑥 + 117𝑦 − 1170 = 0
0𝑥 + 65𝑦 −
1105
2
= 0
65𝑦 =
1105
2
𝒚 =
1105
2(65)
=
1105
130
=
𝟏𝟕
𝟐
= 𝟖. 𝟓
Reemplazoel valor de “y” en la siguiente ecuación:
−𝟐𝒙 − 𝟑𝒚+ 𝟑𝟎 = 𝟎
−2𝑥 − 3(
17
2
) + 30 = 0
−2𝑥 −
51
2
+ 30 = 0
−2𝑥 +
9
2
= 0
−2𝑥 = −
9
2
𝑥 =
9
2(2)
=
𝟗
𝟒
= 𝟐. 𝟐𝟓
Coordenadasdel circuncentro(9/4, 17/2)

6. ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIA
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐
Hallamos el radio primero con la fórmula de distancia entre 2 puntos entre un vértice y en circuncentro tomaremos los
siguientes puntos:
V(0,-3) y C(9/4, 17/2)
𝑑 = 𝑟 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2
𝑑 = √(
17
2
− (−3))
2
+ (
9
4
− 0)
2
𝑑 = √(
17
2
+ 3)
2
+ (
9
4
)
2
= √(
17 + 6
2
)
2
+ (
9
4
)
2
= √(
23
2
)
2
+ (
9
4
)
2
𝑑 = √
529
4
+
81
16
= √
2197
16
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐
ℎ = 𝑥 𝑘 = 𝑦
( 𝑥 − (
9
4
))
2
+ ( 𝑦 − (
17
2
))
2
= (√
2197
16
)
2
( 𝑥 −
9
4
)
2
+ ( 𝑦 −
17
2
)
2
= (√
2197
16
)
2
( 𝒙 −
𝟗
𝟒
)
𝟐
+ ( 𝒚 −
𝟏𝟕
𝟐
)
𝟐
=
𝟐𝟏𝟗𝟕
𝟏𝟔
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
𝑥2 −
9
2
𝑥 +
81
16
+ 𝑦2 − 17𝑦 +
289
4
=
2197
16
𝑥2 + 𝑦2 −
9
2
𝑥 − 17𝑦 +
81
16
+
289
4
−
2197
16
= 0
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 −
𝟗
𝟐
𝒙 − 𝟏𝟕𝒚 − 𝟔𝟎 = 𝟎 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂