El resumen es el siguiente: 1) Se determina la ecuación diferencial del circuito RLC en serie. 2) Se resuelve la ecuación característica obteniendo los valores propios. 3) Se aplican las condiciones iniciales para hallar las constantes de la solución general. 4) Se calcula la carga del capacitor a t=0.01s, obteniendo un valor de 4,1078C.

1. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Ingeniería en Mantenimiento Mecánico
Sede Barcelona
Asignatura:
Matemática Aplicada
Autor: Hender Sivira
C.l.25060456
Fecha: 26/04/2017
APLICACIONES EDO ORDEN SUPERIOR

2. Datos:
W: 4 lb
k:16lb/pie
T:?
Una masa que pesa 4 lb se une a un resorte cuya constante es
16lb/pie.
¿Cuál es el periodo de movimiento armónico simple?
Formulas:
W= m x g m=
𝐖
𝐠
m=
𝟒 𝐥𝐛
𝟑𝟐
𝒑𝒊𝒆
𝒔𝒆𝒈 𝟐
=
𝟏
𝟖
𝒔𝒍𝒖𝒈
Formulas:
m=
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 =- kx
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 = -16x
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 = -16x
𝟏
𝟖
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 +16x =0
𝒅 𝟐 𝒙
𝐝𝒕 𝟐 + 𝟏𝟐𝟖 x =0
𝒎 𝟐 + 𝟏𝟐𝟖 = 𝟎
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏
𝒎 𝟐 = 𝟏𝟐𝟖 m= 𝟏𝟐𝟖𝒊 = 8 𝟐𝒊

3. 𝒙 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟖 𝟐𝒕 + c2 sen 8 𝟐𝒕
Formula:
T=
2𝜋
𝜔
𝝎 =8 2
𝒕 =
𝟐𝝅
𝟖 𝟐
𝟐
𝟐
𝒕 =
𝟐𝜋
𝟖

4. Un resorte de 4 ft alcanza 8 ft al colgarle una pesa de 8 lb .
El medio a traves del cual se mueve ofrece una resistencia
numericamente igual a 𝟐 veces su velocidad instantanea.
Deduzca la ecuacion del movimiento si la pesa se suelta de
la posicion de equilibrio con una velocidad de 5 ft/seg hacia
abajo.
Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento
extremo respecto a la posición de equilibrio ¿Cuál es su
posicion en ese instante ?
DATOS:
X0= 4 Pies
X1= 8 pies
W= 8 libras
β= 𝟐
X(t)=?
X(0)=0
X’(0)= 5 pies/s
t (X extremo)=? X(extremo)=?

5. 2
8 1
.
32 / 4
W lb
W m g m m slug
g pie s
   
F = kX 8lb=k(8-4)pie k = 2 lb/pie
2
2
d x dx
m kx
dt dt
  
,
Ecuación del movimiento libre amortiguado.
2
2
1
2 2
4
d x dx
x
dt dt
  
2
2
1
2 2 0
4
d x dx
x
dt dt
  
2
2
4 2 8 0
d x dx
x
dt dt
  
Ecuación homogénea de segundo orden
2 4 2 32 32
4 2 8 0 2 2
2
m m m m
  
     

6. 2 2 2 2
1 2( ) t t
X t C e C te 
 
X(0)= 0 0=C1e0 +C2.0.e0 C1 =0
2 2
2
2 2 2 2
2 2
( )
'( ) 2 2
t
t t
X t C te
X t C te C e

 

  
0 0
2 25 2 2 0C e C e   C2 = 5X’(t)=5
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 5
'( ) 10 2 5 5 (1 2 2 )
t
t t t
X t te
X t te e e t

  

    
X’(t)=0
1 2
0 1 2 2
42 2
t t segundos   
2
2 2
4
2
( 2 / 4) 5 5 2 / 4 0,65
4
X e e pies

  

7. una masa de 1 kg esta unida a un resorte cuya constante es
16 N/m y todo el sistema se sumerge en un liquido que
imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual
a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones
de movimiento, si
A) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m debajo
de la posicion de equilibrio
B) El contrapeso se suelta partiendo de la posición de
equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba.
DATOS:
m= 1 kg k = 16 N/m β= 10
X(t)=? X(0)=1 m
X(t)=? X(0)= 1 v=X’(0)=-12m/s

8. 2
2
d x dx
m kx
dt dt
  
2
2
1 16 10
d x dx
x
dt dt
  
2
2
10 16 0
d x dx
x
dt dt
   m2 + 10m + 16= 0
(m+8)(m+2)=0, m1= -8 m2=-2, el movimiento es sobre amortiguado
1 2
8 2( ) t tX t Ce C e  
1 2
8 2'( ) 8 2t tX t C e C e   
1 2 1 2
0 01 C e C e C C    1 2 1 2
0 00 8 2 8 2C e C e C C     
a) X(0)=1 X’(0)=0
.

9. 1 2 1 2
1 2 2 2
2 2 1
1 1
8 2 0 8(1 ) 2 0
6 8 8 / 6 4 / 3 1 4 / 3 1/ 3
C C C C
C C C C
C C C
    

       
      
1 48 2( )
3 3
t tX t e e   
b) X(0)=1 X’(0)= -12m/s
1 2 1 2
0 01 C e C e C C    1 2 1 2
0 012 8 2 8 2C e C e C C      
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2 1
1 8 8 8
8 2 12 8 2 12
6 4
2 / 3 5/ 3
C C C C
C C C C
C
C C
   

       
 
  
5 28 2( )
3 3
t tX t e e  

10. Determine la carga del capacitor en un circuito en serie lrc
cuando t=0.01 s, L=0.05 h, R= 2 Ω, C=0.01 f, E(t)=0 v , q(0)=5C
e i(0)=0 a. encuentre el primer momento en el que la carga en
el capacitor es cero.
Datos:
q(t)=?
t=0,01 s
L= 0,05h
R=2Ω
C=0,01f
E(t)=0V
q(0)=5C
i(0)=0
t=?
q(t)=0
𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
0,05
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0,01
𝑞 = 0
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2
+ 40
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 2000𝑞 = 0
q’’+40q’+2000q=0

11. q= emx q’ =memx q’’= m2 emx
m2 emx +40memx +2000emx =0
emx (m2 +40m + 2000)=0 m2 +40m + 2000= 0 a =1 b=40 c= 2000
𝑚 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚 =
−40 ± 402 − 4.1.2000
2.1
= −20 ± 40𝑖
𝑞 𝑡 = 𝑒−20𝑡
(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40𝑡 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40𝑡)
i=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
q(0)=5 i(0)=0
5 = 𝑒−20.0(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40.0 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40.0) → C1 = 5

12. dq
dt
= i(t)
i(t)= -20e-20t 𝑪 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕 + 𝒆−𝟐𝟎𝒕
−𝟒𝟎𝑪 𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕 + 𝟒𝟎𝑪 𝟐 𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕
i(0)=0 0=-20e0(5Cos0+C2Sen0)+e0(-200Sen0+40C2Cos0)
0=-20(5)+40C2 C2= 2,5
𝒒 𝒕 = 𝒆−𝟐𝟎𝒕
(𝟓𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎𝒕 + 𝟐, 𝟓𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎𝒕)
q(0,01) = 𝒆−𝟐𝟎∗𝟎,𝟎𝟏 𝟓𝑪𝒐𝒔𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏 + 𝟐, 𝟓𝑺𝒆𝒏𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏
q(0,01)= 4,1078C