es un pequeño resumen de estas funciones

1. Método de igualación
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de
sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que
despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de
ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases
del proceso son las siguientes:
i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de
una incógnita que resulta.
iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de
las ecuaciones despejadas de primer paso.
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la
elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del
sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas),
son igualmente válidas en este método.
A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior
mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así
como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que
Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las
condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto
nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que
Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente
sistema:
x + y = 600
y = 2x
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª
ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita
en la otra ecuación, con lo que tendremos:

2. y = 2x
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x
Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada
la y, con lo que tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio
tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos
obtenido con el método de sustitución.

3. Método de reducción
Método de reducción
En líneas generales, lo que buscamos al poner en marcha este método, es que mediante la
multiplicación de cada ecuación, por un factor elegido convenientemente, los coeficientes
de una misma incógnita sean números opuestos, es decir que al sumarlos, se anulen entre sí.
De este modo obtendremos una ecuación en una sola incógnita que resolveremos como lo
hacemos habitualmente. Cuando tengamos ese valor, lo sustituimos en cualquiera de las
ecuaciones para hallar la otra incógnita. Posteriormente verificamos los resultados
obtenidos y ambas ecuaciones deberán probar que son igualdades.
Como habitualmente hacemos, te propongo resolver el sistema de ecuaciones simultánea
que hemos tomado como modelo, esta vez aplicando el método de reducción. Paso a paso,
como siempre.

4. El sistema de ecuaciones simultáneas elegido es:
1) Observamos los coeficientes de una de las incógnitas con suma atención y elegiremos la
pareja que nos parezca más sencilla para el propósito que perseguimos., supongamos la “x”.
La manera más sencilla de lograr que tengan el mismo coeficiente es cruzarlos entre ellos,
pero cuidando de que uno de los dos productos finales quede negativo. En este caso, nos
conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por -3; el coeficiente en ambos
casos tendrá un valor absoluto de 12, pero como elegimos -3 en vez de 3, la segunda
ecuación quedará con coeficiente negativo en el término en x. Observa:
2) El siguiente paso, en realidad, ya lo
has observado en la imagen anterior: una vez que logras que los coeficientes de una misma
incógnita sean dos números opuestos (en este caso +12 y -12), debes sumar ambas
ecuaciones miembro a miembro. De este modo, los términos en “x” se reducen (por eso el
método se llama método de reducción) y sólo nos queda una ecuación en “y”. La
resolvemos y se llega a hallar su valor, en este caso, 1.
3) Sustituye el valor hallado de “y” (es decir el 1 en este caso), en cualquiera de las
ecuaciones del sistema; quedará una ecuación sólo en “x”. Resuelve esa ecuación y hallarás
la otra incógnita. Por ejemplo yo elijo hacer este procedimiento en la primera de ellas y
quedará así:
3x + 2 (1) = 8
3x + 2 = 8
3 x = 6
x = 6 / 3

5. x = 2
4) Por último hemos de proceder a la verificación de las dos ecuaciones simultáneas. Si
todo está correcto, deben verificarse las dos igualdades. Vamos paso a paso como en el
ítem anterior.
Primera verificación:
a) 3 x + 2 (1) = 8
3 (2) + 2 (1) = 8
6 + 2 = 8
8 = 8
Segunda verificación:
b) 4 x – 3 (1) = 5
4 (2) – 3 (1) = 5
8 – 3 = 5
5 = 5
Cabe señalar, por último, que es posible realizar este mismo método también dividiendo
coeficientes; lo que sucede es que no siempre es tan probable que todos los coeficientes de
la ecuación sean múltiplos de un mismo número, o sea que puedas elegir un divisor común
a todos ellos de modo que los coeficientes (preferentemente) queden enteros.
Ejemplos:

6. Método Sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

7. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un
ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplos
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la
incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

8. 5. Solución
Método de determinación
Siempre empezamos enumerando las ecuaciones, el método cramer nos pide
encontrar tres determinantes:
 determinante del sistema ∆S
 determinante de la x ∆X
 determinante de la y ∆Y

9. La forma de encontrar las determinantes es muy sencilla, de hecho este método es de
mayor preferencia por los estudiantes, ya que solo se debe multiplicar para encontrar el
valor de las incógnitas, pero para poder hacer este método siempre la ecuación debe
tener Termino de x termino de Y, termino independiente
Aquí una breve explicación de este método:
Para encontrar el determinante del sistema, ósea de las dos ecuaciones, debemos colocar
los coeficientes de las letras X & Y, y multiplicarlos de la siguiente manera:
Después de reacomodar los coeficientes de las variables. El paso a seguir es
multiplicar los coeficientes en diagonal, restando después los productos de cada
uno de ellos
como resultado tenemos que el determinante del sistema es 29
Para hallar el determinante de X hacemos un procedimiento similar, con la única
diferencia que en lugar de colocar los coeficientes de X ponemos los términos
independientes de cada ecuación

10. El ultimo determinante por hallar es
el Y, Como el ultimo procedimiento lo único que cambia es que donde debería ir los
coeficientes de Y, colocamos los términos independientes de cada ecuación
Después de hallar los determinantes, lo ultimo por hacer es encontrar los valores
de las incógnitas X y Y.
Todo lo que hicimos fue tomar el determinante de X y
dividirlo por el determinante del Sistema
Para hallar la incógnita de Y, tomamos el determinante de Y, dividiéndolo por el
determinante del sistema.
R/= (-2, -4)
1.

11. 2.
Formula cuadrática
Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver
exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el
cuadrado:
 Empezar con una ecuación de la forma .
 Reescribir la ecuación de forma que quede despejada.
 Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

12.  Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.
¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ?
Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la
ecuación general , existe una complicación que consiste en que el
coeficiente de no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se
compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al
final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática!
Ejemplo
Problem
a
Completar el cuadrado
de para obtener la
fórmula cuadrática.
Dividir ambos lados de la ecuación
entre a, para que el coeficiente
de sea 1
Reescribir de tal forma que el lado
izquierdo tenga la
forma (aunque en este
caso bx es ).
Sumar a ambos lados para
completar el cuadrado
Escribir el lado izquierdo como un
binomio cuadrado
Evaluar como .
Escribir las fracciones del lado
derecho usando un común
denominador
Sumar las fracciones de la derecha
Sacar la raíz cuadrada de ambos
lados. ¡Recuerda que debes
conservar ambas raíces la positiva y
la negativa!

13. Restar de ambos lados para
despejarx.
El denominador bajo el radical es un
cuadrado perfecto, entonces
.
Sumar las fracciones ya que tienen un
común denominador
Solución
Y ahí la tenemos, la fórmula cuadrática.
Ejercicios
A. El 3 por mil (3%) de una cantidadZ de dinero, es igual a
$9.810 ¿Cuál es el valorde Z?
3xZ=9180

14. Z=
9180
3
Z=3270
B. las tres quintaspartes del ingreso total semanal de
una empresa, equivalena $2.380.000 ¿Cuál es el
ingreso de dichaempresa?
3𝑆
5
=2.380.000
3s=2.380.000x5
3s=11.900.000
s=
11.900.000
3
s=3.966.667
C. si M supera al doble de n en 300 unidades,y la suma
de M con N es igual a 14.000 unidades,¿Cuál es valor
de N?
M=300
N=?
M x N=14000
N=
14000
300
N=4666
D.una persona destina $10.000.000 Para realizar dos
inversiones. Si se sabe que el doble de una de las

15. inversiones sobre pasa $2000000 a la otra inversión
¿Qué porcentaje respecto del total corresponde a
cada una?
10000000=X+Y 2000000=
𝑋
2
2000000x2=X X=40%
4000000=X Y=60%
Y+4000000=10000000
Y=100000000-4000000
Y=6000000
E. una persona devenga un salarioX. de esa cantidadla
décima parte so descuentos de ley, los cuatro decimos
son para gastos generales una cuarta parte es para
educacióny recreación y ahorra %860000 mensuales
¿Cuál es su salario?
𝑋
4
= 860000
X=860000x4
X=3440000
F. tres cuentas de ahorro están en la siguiente situación:
la primera tiene un saldo inferioren $500000 al saldo
de la tercera y el doble del saldo de la segunda cuenta,
es superior en $200000 al saldo de la primera. Si
suman $4500000 ¿Cuántodinero hay en cada cuenta?

16. 4500000=Ax3
4500000
3
=A
1500000=A A=1500000
500000+200000+B=1500000 B=800000
700000+B=1500000 C=2300000
B=1500000-700000
B=800000
1500000=C-800000
1500000+800000=C
2300000=C
G.
6000000𝑥25
100
=1500000
6000000+1500000=7500000
7500000
3
= 𝐵 + 200000
2500000-200000=B
2300000=B
2300000=A+500000
2300000-500000=A

17. 1800000=A
A+B=C+700000
2300000+1800000=C+700000
4100000=C+700000
4100000-700000=C
3400000=C