El método simplex en dos fases resuelve un modelo de programación lineal en dos etapas. La Fase 1 encuentra una solución básica factible inicial para el modelo aumentado que elimina todas las variables artificiales. La Fase 2 usa esta solución como punto de partida para encontrar la solución óptima del modelo original usando el método simplex regular.

1. METODO SIMPLEX EN DOS FASES
El procedimiento consiste en resolver el modelo en dos etapas o fases. En la
primera, se busca obtener una SBF del modelo aumentado, que no
incluya variables artificiales. Cuando en esta solución básica factible del
MA, todas las variables artificiales valen cero, ella es una solución básica
factible inicial del Modelo original y a partir de ahí se inicia la segunda
fase del método simplex. Pero puede ocurrir que en la fase 1 no sea posible
extraer todas las variables artificiales de la solución básica, presentándose los
casos de: restricción redundante analíticamente, solución
infactible, inexistencia de solución; situaciones que discutiremos más
adelante.
Veamos cual es el procedimiento en cada fase del algoritmo.
Fase 1
Empieza con una solución básica factible inicial artificial y equivale al paso
inicial del método simplex que conocemos, ya que en ella se trata de hallar
una SBFI del modelo original.
Para propiciar que las variables artificiales tomen el valor de cero, se
construya una función objetivo que reemplaza provisionalmente a la del
modelo original. Esta nueva funciónse forma con la suma de las variables
artificiales y el objetivo es minimizar la suma de ellas. Es importante aclarar
que el objetivo de la fase 1, siempre es minimizar la suma de las variables
artificiales, aunque el objetivo del modelo original sea maximizar o minimizar.
Fase 2
Consiste en buscar la solución óptima del modelo original partiendo de la
SBFI hallada en la Fase 1. Equivale a los pasos 1 y 2 del método simplex.
Para iniciar la Fase 2 se toma el tablero final de la Fase 1 y se le escribe la
función objetivo original del problema, en lugar de la provisional que
habíamos escrito para iniciar la Fase 1. Enseguida se actualizan la fila Cj y la
columna CB, para luego recalcular los valores Zj y Ej, asi como el valor Z. A
partir de esta tablero se continúa el Método Simplex para la búsqueda de la
solución óptima, considerando el objetivo del problema original.
Ejemplo de aplicacion del modelo de las dos faces
Supóngase que deseamos hallar la solución óptima del modelo:
Maximizar:Z = 100X1 + 90X2

2. sujeta a: 6X1 + 4X2 24
20X1+ 8X2 160
3X1 + 2X2 15
1X2 5
Con X1, X2 0
Escribimos el modelo en formato estándar y le agregamos las variables
artificiales necesarias, para obtener el siguiente modelo ampliado:
Maximizar:
Z =
100X1+90X2+0E1+0H2+ 0E3+ 0H4
sujeta a: 6X1 + 4X2 – 1E1
+
1A1
= 24
20X1 + 8X2 + 1H2 = 160
3X1 + 2X2 - 1E3 +1A3 = 15
1X2
+
1H4
= 5
Con X1, X2 0 ; Hi 0 ; Ei 0 ; Ai 0
Fase 1 de la solucion
Vamos a determinar la solución óptima del Modelo Aumentado, la cual será la
SBFI del modelo original. Para ello planteamos la nueva función objetivo, así:
Z1= A1 + A2 ; que vamos a minimizar.
Por lo tanto el modelo por resolver queda:
Minimizar:Z1 = A1 + A2
sujeta a: 6X1 + 4X2 – 1E1 + 1A1 = 24
20X1 +8X2 + H2 = 160
3X1 + 5X2 - 1E3 +1A3 = 15
1X2 + 1H4 = 5

3. Con
X1, X2 0 ; Hi 0 ; Ei 0 ; Ai 0
La tabla inicial para resolver este modelo es:
Tabla 0 Fase I
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 A1 A3 Solucion XB
1 6 4 -1 0 0 0 1 0 24 A1
0 20 8 0 1 0 0 0 0 160 H2
1 3 5 0 0 -1 0 0 1 15 A3
0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 H4
Zj 9 9 -1 0 -1 0 0 0 0 Z1
Ej -9 -9 1 0 1 0 0 0
Ahora procedamos con el Simplex, para buscar la solución óptima del modelo
aumentado. Como el objetivo es minimizar, la variable de entrada puede
ser X1 ó X2 pues ambas tienen el efecto neto más negativo. Seleccionamos
arbitrariamente a X1 como variable de entrada. La variable de salida será A1
como se indica a la derecha de la tabla 0.
La nueva tabla es:
Tabla 1 Fase I
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 A1 A3 Solucion XB
0 1 2/3 -1/6 0 0 0 1/6 0 4 X1
0 0 -16/3 10/3 1 0 0 -10/3 0 80 H2
1 0 3 1/2 0 -1 0 -1/2 1 3 A3
0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 H4
Zj 0 3 1/2 0 -1 0 -1/2 1 3 Z1
Ej 0 -3 -1/2 0 1 0 3/2 0
Esta solución es mejorable entrando a X2 y sacando a A3, con lo cual se
obtiene la tabla siguiente:

4. Tabla 2 Fase I
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 A1 A3 Solucion XB
0 1 0 -5/18 0 2/9 0 5/18 -2/9 10/3 X1
0 0 0 38/9 1 -16/9 0 -38/9 16/9 256/3 H2
0 0 1 1/16 0 -1/3 0 -1/6 1/3 1 X2
0 0 0 -1/6 0 1/3 1 1/6 -1/3 4 H4
Zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z1
Ej 0 0 0 0 0 0 1 1
La tabla actual representa la solución óptima de la fase 1 del Modelo
Aumentado, ya que todos los evaluadores de la fila cero son no positivos
(además, el valor de Z1 es cero). Como todas las variables artificiales están
fuera de la base, esta solución es una SBFI para el modelo original y podemos
continuar con la fase siguiente.
Antes de proceder notemos que en las tablas de la fase 1, se observa la
misma característica llamada efecto espejo que mencionamos al estudiar el
método de las M’s
Obviamente la eliminación no debe efectuarse cuando la variable artificial,
corresponde a una restricción de igualdad, pues en ese caso no hay variable
de holgura.
Actualizando el renglón de Cj y la columna CB, para luego recalcular los
valores Zj y Ej; así como el valor de Z ; y eliminando las columnas de A1 y
A2 obtenemos la nueva tabla, así:
Fase 2 de la Solucion
Tabla 3 (Max )
Cj 100 90 0 0 0 0
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 Solucion XB
100 1 0 -5/18 0 2/9 0 10/3 A1
0 0 0 38/9 1 -16/9 0 256/3 H2
90 0 1 1/6 0 -1/3 0 1 X2
0 0 0 -1/6 0 1/3 1 4 H4
Zj 100 90 -115/9 0 -70/9 0 1270/3 Z2
Ej 0 0 115/9 0 70/9 0
y continuando con el procedimiento del Simplex, entra E1 y sale X2, con lo

5. cual queda:
[Ver figura]
Tabla 4
Cj 100 90 0 0 0 0
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 Solucion XB
100 1 5/3 0 0 -1/3 0 5 X1
0 0 -76/3 0 1 20/3 0 60 H2
0 0 6 1 0 -2 0 6 E1
0 0 1 0 0 0 1 5 H4
Zj 100 500/3 0 0 -100/3 0 500 Z
Ej 0 -230/3 0 0 100/3 0
Entra E3 sale H2
Tabla 5
Cj 100 90 0 0 0 0
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 Solucion XB
100 1 2/5 0 1/20 0 0 8 X1
0 0 -19/5 0 3/20 1 0 9 E3
0 0 -8/5 1 3/10 0 0 24 E1
0 0 1 0 0 0 1 5 H4
Zj 100 40 0 5 0 0 800 Z
Ej 0 50 0 -5 0 0
Entra X2 sale H4
Tabla 6
Cj 100 90 0 0 0 0
CB X1 X2 E1 H2 E3 H4 Solucion XB
100 1 0 0 1/20 0 -2/5 6 X1
0 0 0 0 3/20 1 19/5 28 E3
0 0 0 1 3/10 0 8/5 32 E1
90 0 1 0 0 0 1 5 X2
Zj 0 0 0 5 0 50 1050 Z
Ej 0 0 0 -5 0 -50