El documento describe el problema de transporte (PT) en la programación lineal, abordando la determinación de un esquema óptimo de transporte entre fuentes y destinos, considerando costos asociados. Se presentan métodos para encontrar soluciones factibles, como el método de la esquina noroeste y el método de Russell, además de ejemplos prácticos que ilustran el proceso de minimización de costos en una situación de asistencia sanitaria. Finalmente, se muestra la generación de nuevas soluciones y el uso del método MODI para alcanzar una solución óptima.

1. PROBLEMA DEL TRANSPORTE

2. El PT es un caso particular de la PL Se debe determinar un esquema óptimo de transporte que se origina en los lugares de oferta donde la existencia de cierta mercancía es conocida, y llega a los lugares de donde se conoce la cantidad requerida. El costo de cada envió es proporcional a la cantidad transportada y, el costo total es la suma de los costos individuales.

3. Esquema tabular del PT

4. Una solución al PT queda definido por un conjunto de mxn número X ij , donde: X ij : Número de unidades a enviar desde el origen i al destino j Siendo Xij ≥ 0

5. El programa lineal del Problema del transporte queda expresado de la siguiente manera: Sujeto a: i=1,....,m j=1,....,n

6. METODOS PARA HALLAR SOLUCION FACTIBLE BASICA INICIAL METODO DE LA ESQUINA NOR OESTE Se empieza en la casilla (1,1) calculando X 11 = min(a 1 ,b 1 ). Si a 1 < b 1 , se hace b 1 = b 1 – a 1 y se pasa a la casilla (2,1) calculando X 21 = min(a 2 ,b 1 ). Si a 1 > b 1 entonces se hace a 1 = a 1 – b 1 y se pasa a la casilla (1,2) para calcular X 12 = min (a 1 , b 2 ), y así se continua hasta obtener la sfbi.

7. EJEMPLO: Una compañía tiene 3 fábricas ubicadas en A, B y C, las cuales proveen a los almacenes que están ubicados en D, E, F y G. La capacidad de producción de las fábricas son de 70, 90 y 115 unidades mensuales respectivamente, mientras que las capacidades de los almacenes es de 50, 60 , 70 y 95 unidades respectivamente. El costo de envió de una unidad desde cada una de las fábricas a cada una de los almacenes se presenta en el siguiente cuadro (en $). Determinar la solución factible básica inicial utilizando el método de la esquina NO

8. D 1 D 2 D 3 D 4 a i 17 20 13 12 15 21 26 25 15 14 15 17 b j 50 60 70 95 O 1 O 2 O 3 70 90 115 Se colocan los datos en forma tabular . X 11 = min (a 1 ,b 1 )=min (70,50) = 50 a 1 = a 1 - b 1 = 70 – 50 = 20 X 12 = min (a 1 ,b 2 )=min (20,60) = 20 b 2 = b 2 - a 1 = 60 – 20 = 40 X 22 = min (a 2 ,b2 1 )=min (90,40) = 40 a 2 = a 2 – b 2 = 90 – 40 = 50 X 23 = min (a 2 ,b 3 )=min (50,70) = 50 b 3 = b 3 – b 2 = 70 – 50 = 20 X 33 = min (a 3 ,b 3 )=min (115,200) = 50 a 3 = a 3 – b 3 = 115 – 20 = 95 X 34 = min (a 3 ,b4 1 )=min (95,95) = 95 Por consiguiente la solución es:

9. Z = 17*50+20*20+21*40+26*50+15*20+17*95 Z = $ 5305 D 1 D 2 D 3 D 4 a i 17 20 13 12 15 21 26 25 15 14 15 17 b j 50 60 70 95 O 1 O 2 O 3 70 90 115 50 20 40 50 20 95

10. Caso 1: Minimización de costos de desplazamiento El hospital Saludmuch pertenece a la Compañía de Seguros Todosalud SA. Esta sociedad tiene un Centro de Asistencia Primaria (CAP) en 5 ciudades de una región (un CAP en cada ciudad). Para obtener un buen funcionamiento global del servicio y poder planificar el número de visitas en función del personal previsto en cada CAP y de su dimensión, Todosalud S.A. ha decidido organizar el servicio de tal forma que todos sus asegurados tengan un CAP de referencia asignado, pero que sea éste el más cercano posible a su lugar de residencia. En la región hay 5 ciudades y la compañía sabe cuantos asegurados tiene en cada uno de ellos. Los CAP tienen una capacidad máxima de pacientes que pueden soportar. El objetivo es asignar a los asegurados a los CAPs minimizando el coste de desplazamiento o la distancia total.

12. Si no existiera el problema de capacidad de los CAPs, el modelo sería trivial, ya que bastaría asignar cada ciudad al CAP más cercano, obteniéndose el coste de transporte más barato. Al tener límites en la capacidad, puede ser que no todas las ciudades tengan asignado el centro más cercano, ya que esto implicaría una sobre utilización. Entonces, puede ser que alguna ciudad, o parte de ella tenga asignada un CAP que no es el más cercano, en función de la disponibilidad o holgura del sistema.

13. El PT en sus forma tabular quedaría de la siguiente manera: El PT es un problema balanceado: El número de variables básicas esta dado por (m + n – 1)

14. METODO DE RUSSELL Proporciona una solución inicia cercana a la óptima. El procedimiento es el siguiente: Calcular u i = max c ij v j = max c ij Encuentre la variable X ij = max (i,j) [(u i + v j –c ij ) > 0] Introducir a la base X ij = min (a i , b j ) Si a i < b j hágase b j = b j – a i y elimine la fila i Si a i > b j hágase a i = a i – b j y elimine la columna j Si a i = b j elimínese fila i o columna j 4. El método termina cuando loa a i y los b j son ceros.

16. Introducimos a la base la variable: X 14 = min (70, 95) = 70 b 4 = 95 – 70 = 25 y elimine la fila 1. Repetimos el proceso:

17. Introducimos a la base X 33 = min (115, 70) = 70 a 3 = 115 – 70 = 45 y elimine la columna 3

18. Introducimos a la base X 21 = min (90 , 50) = 50 a 2 = 90 - 50= 40 y elimine la columna 1

19. Introducimos a la base X 34 = min (45, 25) = 25 a 3 = 45 - 25= 20 y elimine la columna 4 Introducimos a la base X 22 = min (40 , 60) = 40 a 2 = 60 - 40= 20 y elimine la columna 2 Introducimos a la base X 32 = min (20 , 20) = 20

20. La solución por lo tanto es : El costo de la solución es Z = $ 4,185

21. Generación de nuevas soluciones Consideremos la solución inicial hallada por el método de la esquina N.O. El costo de la solución era Z = $ 5,305 Si se ingresa a la base la variable X 14 , el nuevo valor de Z 1 = Z + X 14 * D 14 = 5305 + 20 (-15) = $5,005 Donde D 14 = c 14 – c 34 + c 33 – c 23 + c 22 – c 12 = 12-17+15-26+21-20= -15

22. Solución Optima Método MODI o UV Consideremos la solución inicial hallada por el método de la Esquina N.O.

23. Paso 2 : Se dibuja la matriz Z ij que contiene los costos de la variable solución

24. Paso 3 : Se construye un conjunto de números v j y u i tal que la suma iguale a los valores de la matriz Z ij del paso 2 y se completa las celdas vacías con la suma de los u i y v j la matriz Z ij que contiene los costos de la variable solución. Se tiene las siguientes ecuaciones de las celdas básicas: U 1 + v 1 = 17 u 2 + v 3 = 26 U1 + v 2 = 20 u 3 + v 3 = 15 U 2 + v 2 = 21 u 3 + v 4 = 17 Haciendo v 1 = 0 se encuentra que: u 1 = 17 ; v 2 = 3 ; u 2 = 18 V 3 = 8 ; u 3 = 7 ; v 4 = 10

25. Paso 4 : Se calcula C ij - Z ij - =

26. Se selecciona la casilla (1,4) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 14 El costo de la nueva solución es: Z1 = 5305 + (20)(-15) = 3005 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

27. Se calcula C ij - Z ij - =

28. Se selecciona la casilla (2,1) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 21 El costo de la nueva solución es: Z 2 = 5005 + (30)(-18) = 4465 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

29. Se calcula C ij - Z ij - =

30. Se selecciona la casilla (3,2) que tiene el costo de entrada mas pequeño, por consiguiente debe entrar a la base la variable X 32 El costo de la nueva solución es: Z 2 = 4465+ (20)(-14) = 4185 A continuación probamos si esta solución es o no la óptima

31. Se calcula C ij - Z ij - = Esta es la solución óptima