Este documento presenta una introducción a los métodos estadísticos para la investigación. Está organizado en tres unidades que cubren conceptos como estimación de parámetros, pruebas de hipótesis paramétricas, diseños experimentales, análisis de varianza y pruebas no paramétricas. La primera unidad incluye estimación puntual e interválica de parámetros como la media, varianza y proporción, así como selección del tamaño de muestra. La segunda unidad cubre diseños experimentales y análisis de varianza. La ter
Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no parametricasAlez Escandón
UNIDAD 4.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS
4.1 Bondad de ajuste.
4.1.1 Análisis Ji-Cuadrada.
4.1.2 Prueba de independencia.
4.1.3 Prueba de la bondad del ajuste.
4.1.4 Tablas de contingencia.
4.2 Pruebas no paramétricas.
4.2.1 Escala de medición.
4.2.2 Métodos estadísticos contra no paramétricos.
4.2.3 Prueba de Kolmogorov – Smirnov.
4.2.4 Prueba de Anderson – Darling.
4.2.5 Prueba de Ryan – Joiner.
4.2.6 Prueba de Shappiro – Wilk.
Este documento presenta una unidad sobre integración en cálculo vectorial. La unidad cubre varios temas clave como integrales de línea, integrales dobles y triples, y aplicaciones de estas integrales al cálculo de áreas y volúmenes. Incluye ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos fundamentales relacionados con la integración en varias dimensiones.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Por Variacion De Parametrosgraciela88
Este documento describe un método para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. 1) Se propone una solución particular de la forma yp=uy1+vy2. 2) Se deriva esta solución y se sustituye en la ecuación original. 3) Esto resulta en dos ecuaciones que permiten calcular u y v y obtener la solución particular.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
Calculo de aproximaciones usando la diferencialagascras
Este documento presenta un tema sobre el cálculo de aproximaciones usando la diferencial. El objetivo es que los estudiantes realicen operaciones para calcular aproximaciones usando diferenciales. Se incluyen dos ejemplos resueltos paso a paso sobre cómo calcular el error aproximado del volumen y área de un cubo, y la cantidad de material necesaria para el revestimiento de un tanque cilíndrico usando diferenciales.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento resume las distribuciones de gamma y Weibull. La distribución de gamma depende de dos parámetros positivos (α y p) y generaliza la distribución exponencial. La distribución de Weibull también depende de dos parámetros (α y β) y se usa para modelar variables de tiempo de vida. Ambas distribuciones tienen propiedades como su esperanza y varianza.
Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no parametricasAlez Escandón
UNIDAD 4.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS
4.1 Bondad de ajuste.
4.1.1 Análisis Ji-Cuadrada.
4.1.2 Prueba de independencia.
4.1.3 Prueba de la bondad del ajuste.
4.1.4 Tablas de contingencia.
4.2 Pruebas no paramétricas.
4.2.1 Escala de medición.
4.2.2 Métodos estadísticos contra no paramétricos.
4.2.3 Prueba de Kolmogorov – Smirnov.
4.2.4 Prueba de Anderson – Darling.
4.2.5 Prueba de Ryan – Joiner.
4.2.6 Prueba de Shappiro – Wilk.
Este documento presenta una unidad sobre integración en cálculo vectorial. La unidad cubre varios temas clave como integrales de línea, integrales dobles y triples, y aplicaciones de estas integrales al cálculo de áreas y volúmenes. Incluye ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos fundamentales relacionados con la integración en varias dimensiones.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Por Variacion De Parametrosgraciela88
Este documento describe un método para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. 1) Se propone una solución particular de la forma yp=uy1+vy2. 2) Se deriva esta solución y se sustituye en la ecuación original. 3) Esto resulta en dos ecuaciones que permiten calcular u y v y obtener la solución particular.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
Calculo de aproximaciones usando la diferencialagascras
Este documento presenta un tema sobre el cálculo de aproximaciones usando la diferencial. El objetivo es que los estudiantes realicen operaciones para calcular aproximaciones usando diferenciales. Se incluyen dos ejemplos resueltos paso a paso sobre cómo calcular el error aproximado del volumen y área de un cubo, y la cantidad de material necesaria para el revestimiento de un tanque cilíndrico usando diferenciales.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento resume las distribuciones de gamma y Weibull. La distribución de gamma depende de dos parámetros positivos (α y p) y generaliza la distribución exponencial. La distribución de Weibull también depende de dos parámetros (α y β) y se usa para modelar variables de tiempo de vida. Ambas distribuciones tienen propiedades como su esperanza y varianza.
Cálculo diferencial e integral Vol. 1 y 2 9na Edición Ron Larson y Bruce H. E...SANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento presenta la novena edición del libro de texto Cálculo 1 de una variable de Ron Larson y Bruce H. Edwards. El libro cubre los fundamentos del cálculo de una variable, incluyendo límites, derivadas, integración y aplicaciones. Consta de 15 capítulos y dos apéndices que contienen demostraciones de teoremas y tablas de integración.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
Las derivadas parciales son las derivadas de una función de varias variables con respecto a cada una de las variables, manteniendo las demás como constantes. Se definen las derivadas parciales de una función z = f(x, y) como la derivada de z con respecto a x considerando y como constante, y la derivada de z con respecto a y considerando x como constante. El documento explica el cálculo de las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables.
Las derivadas parciales de orden superior son derivadas de funciones de varias variables que se obtienen derivando tantas veces como se indique, manteniendo las demás variables constantes. Se utilizan para graficar funciones tridimensionales y encontrar puntos críticos. El teorema de Schwarz establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.
Este documento describe los pasos básicos para realizar una prueba de bondad de ajuste. Estos incluyen definir la variable a analizar, obtener la media y varianza de los datos, elaborar un histograma de frecuencias, elegir una posible distribución de probabilidad, calcular los parámetros, realizar la prueba (como chi-cuadrada o Kolmogorov-Smirnov), y verificar si los datos cumplen con los criterios de la prueba. También presenta ejemplos de cómo aplicar estas pruebas para analizar datos de tiempos
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
El documento presenta tres situaciones que pueden modelizarse como cadenas de Markov: 1) la compra de automóviles por parte de clientes entre tres marcas principales, 2) el movimiento de un ratón entre cuatro habitaciones de una casa, y 3) la transición de estudiantes entre el primer y segundo año de una escuela secundaria, graduándose o transfiriéndose.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
Este documento explica cómo derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación. Explica que para derivar estas funciones se deriva cada término de la ecuación miembro a miembro y que la derivada de y puede calcularse usando una fórmula. También presenta la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando las variables no coincidan. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para derivar una función implícita concreta.
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Explica conceptos básicos de estadística descriptiva como variables, tabulación de datos cualitativos y cuantitativos, medidas de tendencia central y dispersión. También cubre temas de probabilidad como elementos de probabilidad, axiomas de probabilidad, eventos independientes, variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas y continuas. El documento proporciona una introducción general a estos temas estadísticos y de probabilidad.
Este documento presenta tres oraciones o menos sobre el contenido del documento:
[1] El documento introduce el tema de los modelos matemáticos y cómo estos pueden usarse para representar problemas del mundo real de manera abstracta mediante ecuaciones, funciones u otros constructos matemáticos. [2] Incluye varios ejemplos de cómo problemas de diversas áreas pueden formalizarse como modelos matemáticos, como el crecimiento poblacional, problemas de optimización y sistemas de ecuaciones. [3] También explica el pro
Construccion de graficas y ecuaciones empiricasJhonás A. Vega
El documento resume tres experimentos realizados en la Universidad Nacional del Santa sobre la construcción de gráficas y ecuaciones empíricas. El primer experimento estudia la ley de Hooke y muestra una relación lineal entre la deformación de un resorte y el peso aplicado. El segundo analiza la caída libre de los cuerpos y encuentra una relación potencial entre el tiempo y la distancia recorrida. El tercer experimento examina la descarga de un condensador y determina una relación exponencial entre el tiempo de descarga y la diferencia de potencial.
El documento presenta el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que este método se puede usar cuando la ecuación tiene la forma dy/dx = f(x)g(y). A continuación, resuelve dos ejemplos utilizando este método: xy' = x^2 y y' = 2/x, encontrando las soluciones y = cxy^2/2 y y = c/x^2 respectivamente. Finalmente, propone dos problemas de aplicación sobre ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.
Este documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, contrasta funciones explícitas con funciones implícitas definidas por una ecuación. Luego, describe el método de derivación implícita mediante el despeje de la variable y. Finalmente, introduce la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando no se puede despejar, y explica cómo usar derivadas parciales para derivar funciones implícitas.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones paramétricas y su aplicación para representar curvas y superficies. Explica las generalidades del álgebra vectorial y cómo se pueden usar las ecuaciones paramétricas para graficar curvas y calcular la longitud de un arco. También muestra ejemplos de cómo representar curvas paramétricas y transformarlas a coordenadas cartesianas.
El factor integrante es una función que, al multiplicar una ecuación diferencial de primer orden no exacta, la convierte en una ecuación exacta. Un factor integrante depende solo de la variable independiente x o solo de la variable dependiente y, y se puede encontrar integrando funciones separadas de x e y. El factor integrante preserva las soluciones de la ecuación original.
Este documento describe las distribuciones muestrales y cómo se pueden usar para generalizar el comportamiento de una población. Explica que las muestras pueden ser tomadas con o sin reemplazo y que la distribución muestral está relacionada con el comportamiento de un estadístico de la muestra. También define una muestra aleatoria simple como una donde cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y presenta un ejemplo numérico de cómo calcular la probabilidad de que la media de una muestra esté dentro de un intervalo dado
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
El documento describe las etapas del método estadístico aplicadas a un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y la mortalidad por cáncer pulmonar en médicos. Se recolectaron datos sobre hábitos de fumar de miles de médicos a través de un cuestionario (1). Los datos fueron procesados numéricamente (2) y resumidos para identificar patrones (4). Los resultados se analizaron estadísticamente (5) para comprobar la hipótesis de que fumar aumenta el riesgo de cáncer pulmonar
Ejemplo de Ficha de trabajo y bibliograficajannetcastillo
EL PRESENTE TRABAJO DE POWERPOINT SE REALIZO CON EL PUNTO DE VISTA DE SU SERVIDORA CON LA AYUDA Y USO DE TÉCNICAS DE INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL Y DE CAMPO.
ESPERO QUE LES SEA ÚTIL A SUS TAREAS/TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN.
FICHA DE TRABAJO
La ficha de trabajo es una forma para organizar la información documental usada en los trabajos de investigación de cualquier tipo. Se utiliza para recopilar, resumir o anotar los contenidos de las fuentes o datos utilizados en la investigación.
DATOS DE LA FICHA DE TRABAJO
Se escribe en ángulo superior izquierdo de la ficha y son las siguientes:
APELLIDO y nombre del autor
Titulo de la fuente de información (libro, enciclopedia, periódico, revista, etc.)
Paginas de donde se tomo el o los datos
TEMA, se escribe en la parte superior y central de la ficha, especificando el nombre del titulo de cual se esta haciendo la investigación requerida.
CONTENIDO, ocupa el cuerpo de la ficha. Aquí se registran en forma sistemática y sintética los aspectos más importantes que el investigador-lector desea destacar sobre el tema.
NUMERACION PROGRESIVA, se escribe en el ángulo superior derecho, cuando las fichas se hacen en serie y su contenido procede del mismo tema, es decir, si el investigador-lector requiere más de una de ellas para organizar los contenidos que desea conservar, entonces las enumera.
FICHA DE CITA TEXTUAL, la cita se escribe entre comillas para distinguirla de los comentarios o ideas de investigador o estudiante.
FICHA DE RESUMEN, es la suma total de las ideas principales, sin alterar el sentido y con palabras del autor, hay que tomar en cuenta:
1.- Formular preguntas para extraer las ideas principales.
2.- Subrayar las palabras claves.
3.- Incluir en lo subrayado las ideas secundarias, para que los conceptos contenidos en la ficha sea precisos y claros.
FICHA DE COMENTARIO, esta ficha contiene el desarrollo, explicación, interpretación, con tus propias palabras, de una conferencia que escuchaste o de un texto que leíste.
Para redactarla, emplearas como referencias solo las notas o apuntes que hayas tomado.
FICHA DE SINTESIS, después de haber subrayado las ideas principales de un texto, como en la ficha de resumen, las escribiremos en nuestras propias palabras con coherencia y sentido.
FICHA BIBLIOGRÁFICA
Las fichas bibliográficas son un tipo de documento que se utiliza para guardar la información que se requiere para identificar un libro, o cualquier documento escrito. Comúnmente se escribe en una tarjeta de cartulina de aproximadamente 12 cm x 20 cm y uno de los usos que se le da es para identificar los libros de las bibliotecas.
DATOS DE LA FICHA BIBLIOGRÁFICA
Los datos que contienen las fichas bibliográficas son:
Título del libro
Nombre del Autor
Editorial
Año de edición
Número de edición
ISBN (Número de identificación única del libro)
Tema principal.
Número de página para las fichas de inves
Cálculo diferencial e integral Vol. 1 y 2 9na Edición Ron Larson y Bruce H. E...SANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento presenta la novena edición del libro de texto Cálculo 1 de una variable de Ron Larson y Bruce H. Edwards. El libro cubre los fundamentos del cálculo de una variable, incluyendo límites, derivadas, integración y aplicaciones. Consta de 15 capítulos y dos apéndices que contienen demostraciones de teoremas y tablas de integración.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio de probabilidad de tal forma que para cada valor real x, el suceso {ω: X(ω) ≤ x} pertenece a la σ-álgebra. Explica que la función de distribución de una variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual que x. Proporciona ejemplos de variables aleatorias como el número de caras en el lanzamiento de una moneda o la suma de los puntos en
Las derivadas parciales son las derivadas de una función de varias variables con respecto a cada una de las variables, manteniendo las demás como constantes. Se definen las derivadas parciales de una función z = f(x, y) como la derivada de z con respecto a x considerando y como constante, y la derivada de z con respecto a y considerando x como constante. El documento explica el cálculo de las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables.
Las derivadas parciales de orden superior son derivadas de funciones de varias variables que se obtienen derivando tantas veces como se indique, manteniendo las demás variables constantes. Se utilizan para graficar funciones tridimensionales y encontrar puntos críticos. El teorema de Schwarz establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales.
Este documento describe los pasos básicos para realizar una prueba de bondad de ajuste. Estos incluyen definir la variable a analizar, obtener la media y varianza de los datos, elaborar un histograma de frecuencias, elegir una posible distribución de probabilidad, calcular los parámetros, realizar la prueba (como chi-cuadrada o Kolmogorov-Smirnov), y verificar si los datos cumplen con los criterios de la prueba. También presenta ejemplos de cómo aplicar estas pruebas para analizar datos de tiempos
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
El documento presenta tres situaciones que pueden modelizarse como cadenas de Markov: 1) la compra de automóviles por parte de clientes entre tres marcas principales, 2) el movimiento de un ratón entre cuatro habitaciones de una casa, y 3) la transición de estudiantes entre el primer y segundo año de una escuela secundaria, graduándose o transfiriéndose.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
Este documento explica cómo derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación. Explica que para derivar estas funciones se deriva cada término de la ecuación miembro a miembro y que la derivada de y puede calcularse usando una fórmula. También presenta la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando las variables no coincidan. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para derivar una función implícita concreta.
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Explica conceptos básicos de estadística descriptiva como variables, tabulación de datos cualitativos y cuantitativos, medidas de tendencia central y dispersión. También cubre temas de probabilidad como elementos de probabilidad, axiomas de probabilidad, eventos independientes, variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas y continuas. El documento proporciona una introducción general a estos temas estadísticos y de probabilidad.
Este documento presenta tres oraciones o menos sobre el contenido del documento:
[1] El documento introduce el tema de los modelos matemáticos y cómo estos pueden usarse para representar problemas del mundo real de manera abstracta mediante ecuaciones, funciones u otros constructos matemáticos. [2] Incluye varios ejemplos de cómo problemas de diversas áreas pueden formalizarse como modelos matemáticos, como el crecimiento poblacional, problemas de optimización y sistemas de ecuaciones. [3] También explica el pro
Construccion de graficas y ecuaciones empiricasJhonás A. Vega
El documento resume tres experimentos realizados en la Universidad Nacional del Santa sobre la construcción de gráficas y ecuaciones empíricas. El primer experimento estudia la ley de Hooke y muestra una relación lineal entre la deformación de un resorte y el peso aplicado. El segundo analiza la caída libre de los cuerpos y encuentra una relación potencial entre el tiempo y la distancia recorrida. El tercer experimento examina la descarga de un condensador y determina una relación exponencial entre el tiempo de descarga y la diferencia de potencial.
El documento presenta el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que este método se puede usar cuando la ecuación tiene la forma dy/dx = f(x)g(y). A continuación, resuelve dos ejemplos utilizando este método: xy' = x^2 y y' = 2/x, encontrando las soluciones y = cxy^2/2 y y = c/x^2 respectivamente. Finalmente, propone dos problemas de aplicación sobre ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.
Este documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, contrasta funciones explícitas con funciones implícitas definidas por una ecuación. Luego, describe el método de derivación implícita mediante el despeje de la variable y. Finalmente, introduce la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando no se puede despejar, y explica cómo usar derivadas parciales para derivar funciones implícitas.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones paramétricas y su aplicación para representar curvas y superficies. Explica las generalidades del álgebra vectorial y cómo se pueden usar las ecuaciones paramétricas para graficar curvas y calcular la longitud de un arco. También muestra ejemplos de cómo representar curvas paramétricas y transformarlas a coordenadas cartesianas.
El factor integrante es una función que, al multiplicar una ecuación diferencial de primer orden no exacta, la convierte en una ecuación exacta. Un factor integrante depende solo de la variable independiente x o solo de la variable dependiente y, y se puede encontrar integrando funciones separadas de x e y. El factor integrante preserva las soluciones de la ecuación original.
Este documento describe las distribuciones muestrales y cómo se pueden usar para generalizar el comportamiento de una población. Explica que las muestras pueden ser tomadas con o sin reemplazo y que la distribución muestral está relacionada con el comportamiento de un estadístico de la muestra. También define una muestra aleatoria simple como una donde cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y presenta un ejemplo numérico de cómo calcular la probabilidad de que la media de una muestra esté dentro de un intervalo dado
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
El documento describe las etapas del método estadístico aplicadas a un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y la mortalidad por cáncer pulmonar en médicos. Se recolectaron datos sobre hábitos de fumar de miles de médicos a través de un cuestionario (1). Los datos fueron procesados numéricamente (2) y resumidos para identificar patrones (4). Los resultados se analizaron estadísticamente (5) para comprobar la hipótesis de que fumar aumenta el riesgo de cáncer pulmonar
Ejemplo de Ficha de trabajo y bibliograficajannetcastillo
EL PRESENTE TRABAJO DE POWERPOINT SE REALIZO CON EL PUNTO DE VISTA DE SU SERVIDORA CON LA AYUDA Y USO DE TÉCNICAS DE INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL Y DE CAMPO.
ESPERO QUE LES SEA ÚTIL A SUS TAREAS/TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN.
FICHA DE TRABAJO
La ficha de trabajo es una forma para organizar la información documental usada en los trabajos de investigación de cualquier tipo. Se utiliza para recopilar, resumir o anotar los contenidos de las fuentes o datos utilizados en la investigación.
DATOS DE LA FICHA DE TRABAJO
Se escribe en ángulo superior izquierdo de la ficha y son las siguientes:
APELLIDO y nombre del autor
Titulo de la fuente de información (libro, enciclopedia, periódico, revista, etc.)
Paginas de donde se tomo el o los datos
TEMA, se escribe en la parte superior y central de la ficha, especificando el nombre del titulo de cual se esta haciendo la investigación requerida.
CONTENIDO, ocupa el cuerpo de la ficha. Aquí se registran en forma sistemática y sintética los aspectos más importantes que el investigador-lector desea destacar sobre el tema.
NUMERACION PROGRESIVA, se escribe en el ángulo superior derecho, cuando las fichas se hacen en serie y su contenido procede del mismo tema, es decir, si el investigador-lector requiere más de una de ellas para organizar los contenidos que desea conservar, entonces las enumera.
FICHA DE CITA TEXTUAL, la cita se escribe entre comillas para distinguirla de los comentarios o ideas de investigador o estudiante.
FICHA DE RESUMEN, es la suma total de las ideas principales, sin alterar el sentido y con palabras del autor, hay que tomar en cuenta:
1.- Formular preguntas para extraer las ideas principales.
2.- Subrayar las palabras claves.
3.- Incluir en lo subrayado las ideas secundarias, para que los conceptos contenidos en la ficha sea precisos y claros.
FICHA DE COMENTARIO, esta ficha contiene el desarrollo, explicación, interpretación, con tus propias palabras, de una conferencia que escuchaste o de un texto que leíste.
Para redactarla, emplearas como referencias solo las notas o apuntes que hayas tomado.
FICHA DE SINTESIS, después de haber subrayado las ideas principales de un texto, como en la ficha de resumen, las escribiremos en nuestras propias palabras con coherencia y sentido.
FICHA BIBLIOGRÁFICA
Las fichas bibliográficas son un tipo de documento que se utiliza para guardar la información que se requiere para identificar un libro, o cualquier documento escrito. Comúnmente se escribe en una tarjeta de cartulina de aproximadamente 12 cm x 20 cm y uno de los usos que se le da es para identificar los libros de las bibliotecas.
DATOS DE LA FICHA BIBLIOGRÁFICA
Los datos que contienen las fichas bibliográficas son:
Título del libro
Nombre del Autor
Editorial
Año de edición
Número de edición
ISBN (Número de identificación única del libro)
Tema principal.
Número de página para las fichas de inves
El documento presenta una serie de ejercicios estadísticos relacionados con cálculos de medidas de tendencia central, dispersión y probabilidad. Los ejercicios involucran el cálculo de media, moda, mediana, varianza, desviación estándar y probabilidades para diferentes conjuntos de datos.
El modelo de investigación cualitativa y cuantitativaJaaz06
Este documento discute los modelos de investigación cualitativa y cuantitativa. Explica que existen diferentes paradigmas como el positivismo, la fenomenología y el constructivismo. También describe las características del enfoque cuantitativo, como el uso de mediciones numéricas y análisis estadístico, y del enfoque cualitativo, como la inducción y perspectiva holística. Además, detalla algunos métodos cualitativos como el estudio de casos y la observación y entrevistas.
El documento analiza conceptos básicos de estadística, incluyendo las ramas de estadística descriptiva e inferencial, la diferencia entre población y muestra, y técnicas como tablas de frecuencia, medidas de tendencia central y dispersión, y gráficos. Explica cómo se recolectan y organizan datos estadísticos para resumir características de una población a partir de una muestra representativa.
El documento presenta el Modelo Delphi de Creación de Valor, el cual propone que el proceso de creación de valor de una empresa se da en forma de espiral a través de cuatro áreas clave: recursos, personas, sistemas y mercado. Si estas áreas se gestionan adecuadamente, la empresa entra en una espiral ascendente de creación de valor; de lo contrario, puede quedar atascada o iniciar un proceso de destrucción de valor. El modelo también describe ejemplos de cómo una deficiencia en cada área puede generar un atasco.
El documento describe una unidad de estimación de parámetros que incluye estimación puntual y por intervalos. La estimación puntual calcula valores estadísticos para estimar parámetros de poblaciones, mientras que la estimación por intervalos provee rangos de valores dentro de los cuales es probable que se encuentren los parámetros. El documento también presenta ejemplos numéricos de cómo aplicar estos métodos.
El documento trata sobre los conceptos y métodos de muestreo. Explica que el muestreo se utiliza para inferir parámetros poblacionales como la media y la proporción a partir de una muestra. Detalla los pasos para calcular el tamaño de la muestra requerida para estimar una proporción o media poblacional, incluyendo el uso de software como EPIDAT. Además, cubre temas como la estimación de parámetros, los tipos de población, y los factores a considerar en el cálculo del tamaño muestral.
El documento describe los conceptos de estimación puntual y por intervalos en estadística. Explica que la estimación puntual calcula un solo valor para estimar un parámetro poblacional, mientras que la estimación por intervalos provee un rango de valores dentro del cual el parámetro tiene una probabilidad especificada de encontrarse. Luego, detalla diversos métodos de estimación puntual como para la media, varianza y proporciones poblacionales, así como intervalos de confianza para estos parámetros y la diferencia entre ellos. Finalmente, presenta ejemplos il
Este documento describe los elementos generales de la estadística inferencial. Explica que la estadística inferencial utiliza muestras aleatorias de una población para sacar conclusiones sobre la población completa y calcular el porcentaje de confianza de los resultados. También permite estimar la frecuencia de un fenómeno en la población y predecir resultados futuros basados en cambios en las muestras. Finalmente, resume los conceptos y métodos clave de la estadística inferencial como estimadores, parámetros, estadístic
Este documento define estadística y describe sus usos y métodos. Explica que la estadística estudia la recolección y análisis de datos numéricos. Se divide en estadística descriptiva, analítica e inferencial. También describe el método estadístico y sus etapas, así como los conceptos de universo, muestra, y cómo obtener muestras representativas para realizar estudios estadísticos.
Libro_estadistica-aplicada a la ingenieria civil y otras ramas.pdfVeritoIlma
Este documento presenta una introducción a conceptos básicos de estadística. Explica que la estadística se divide en descriptiva e inferencial. Define términos clave como población, muestra, variable, datos cualitativos y cuantitativos. Describe las diferentes escalas de medición y tipos de variables, incluyendo nominales, ordinales, discretas y continuas. El objetivo es proveer una base conceptual para comprender los temas que se desarrollarán en las siguientes unidades.
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1. Universidad Peruana Unión
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
EAP Ingeniería de Ambiental
MEINV
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
PARA LA INVESTIGACIÓN
Docente
Mg. María Vallejos Atalaya
I Semestre 2009
2. Métodos Estadísticos para la investigación 2
Presentación
El presente módulo ha sido preparado con el propósito de servir al estudiante de la
Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Alimentos - Facultad de Ingeniería -
Universidad Peruana Unión, en la formación inicial del amplio campo que constituye la
teoría de los métodos estadísticos aplicados a la investigación.
El propósito del módulo, es presentar una introducción en el marco de estudio de la
estadística de manera que el estudiante de nuestra escuela conozca las múltiples
aplicaciones, no solamente en los campos de ciencias naturales, ingeniería, sino también
en ciencias sociales y, especialmente, en ingeniería de alimentos. Como se demostrará
mas adelante el conocimiento del comportamiento de los parámetros es vital para extraer
conclusiones respecto a la población.
El presente módulo está organizado en tres unidades, en las cuales se enfoca el
aprendizaje de los métodos estadísticos para la aplicación en actividades de
especialización profesional como de investigación y en la vida misma.
La primera unidad consta de conceptos fundamentales, estimación de parámetros y
pruebas de hipótesis paramétricas.
La segunda unidad estudia la construcción de diseños experimentales, el análisis de
varianza y pruebas de comparaciones múltiples.
La tercera unidad centra su atención en el análisis de regresión, covarianza, superficie de
respuesta y pruebas no paramétricas.
Es el anhelo de la tutora que este módulo contribuya al logro de los objetivos de la
asignatura.
3. Métodos Estadísticos para la investigación 3
INDICE GENERAL
PRIMERA UNIDAD ........................................................................................................................................ 4
ESTIMACIONES Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS............................................................................................ 4
1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ........................................................................................................ 4
1.1. ESTIMACIÓN PUNTUAL............................................................................................................ 4
1.1.1. Estimación Puntual para la media poblacional. ......................................................................... 5
1.1.2. Estimación Puntual para la varianza poblacional. ..................................................................... 5
1.1.3. Estimación de parámetros de dos poblaciones........................................................................... 5
1.1.4. Estimación puntual de una población de variable cualitativa .................................................... 6
1.1.5. Estimación puntual de dos poblaciones de variables cualitativas.............................................. 6
1.2. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA.................................................................................................... 6
1.2.1. Intervalo confidencial para la media poblacional ...................................................................... 6
1.2.2. Intervalo confidencial para la diferencia de medias poblacionales............................................ 7
1.2.3. Intervalo confidencial para la proporción poblacional .............................................................. 8
1.2.4. Intervalo confidencial para la diferencia de proporciones poblacionales .................................. 8
2. SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA en m.a.s........................................................................ 15
3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS.................................................................................................................... 20
3.1. PRUEBA DE NORMALIDAD DE DATOS ............................................................................... 23
3.2. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA MEDIA POBLACIONAL ................................. 29
3.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA VARIANZA POBLACIONAL......................... 32
3.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA PROPORCIÓN POBLACIONAL ..................... 35
3.5. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS VARIANCIAS POBLACIONALES............... 38
3.6. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS MEDIAS POBLACIONALES........................ 42
3.7. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS PROPORCIONES POBLACIONALES ......... 45
4. Métodos Estadísticos para la investigación 4
PRIMERA UNIDAD
ESTIMACIONES Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Los métodos estadísticos inferenciales constituyen una forma de extraer conclusiones
respecto a una población, de los datos obtenidos realmente de una muestra.
La inferencia estadística comprende dos tipos principales de técnicas: Estimación de
parámetros y contrastación de hipótesis. Independientemente de la técnica que se utilice,
la finalidad general es utilizar datos de una muestra para extraer conclusiones respecto a
una población.
1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Las técnicas de estimación son utilizadas cuando el investigador no tiene hipótesis previa
respecto al valor de una característica de la población y desea conocer cuál podría ser tal
valor.
La estimación puede asumir 2 formas:
- Estimación puntual
- Estimación por intervalos
1.1. ESTIMACIÓN PUNTUAL.
Contiene el cálculo de una sola cifra numérica, esto es un valor estadístico para evaluar
el parámetro desconocido de la población.
Una desventaja de esta forma de estimación es que no aporta la precisión de la
estimación del parámetro.
Las estimaciones puntuales más usuales son:
COMPETENCIAS:
1. Estima parámetros mediante la estimación puntual e interválica.
2. Determina el tamaño adecuado de una muestra aleatoria
3. Contrasta hipótesis pramétricas para la media, varianza, proporción en una y dos
poblaciones
5. Métodos Estadísticos para la investigación 5
1.1.1. Estimación Puntual para la media poblacional.
Se halla mediante las siguientes fórmulas.
- Para datos simples - Para datos agrupados
f
fx
=x=
n
x
=x=
i
iii
ˆˆ
1.1.2. Estimación Puntual para la varianza poblacional.
Se halla mediante las siguientes fórmulas.
- Para datos simples - Para datos agrupados
2 2 i
2
2 2 i
2
i
i
= s =
( x - x )
n - 1
= s =
( x - x ) f
f - 1
1.1.3. Estimación de parámetros de dos poblaciones
Sea X una variable aleatoria que se distribuye como una distribución normal con media x
y varianza ²x e Y otra variable aleatoria que se distribuye como una distribución normal
con media y y varianza ²y.
La estimación de parámetros de dos poblaciones se pueden realizar mediante:
a) La comparación de sus medias, luego:
212121
ˆˆ x-x=-=-
b) La comparación de sus varianzas, luego:
s
s
== 2
x
2
x
x
x
x
2
x
2
1
2
1
2
2
1
2
ˆ
ˆˆ
6. Métodos Estadísticos para la investigación 6
1.1.4. Estimación puntual de una población de variable cualitativa
Sea X una variable cualitativa con:
P-1=Qy
AXsi0,
AXsi1,
N
M
N
X
Pcon
X
i
Luego:
p-1=qy
Axsi0,
Axsi1,
n
m
N
x
pcon
x
i
Entonces: P p
1.1.5. Estimación puntual de dos poblaciones de variables cualitativas.
Sea X la variables aleatoria de una población cualitativa con Px proporción de aciertos en
X y sea Y la variables aleatoria de otra población cualitativa con Py proporción de aciertos
en Y, luego:
p-p=P-P=P-P xxxxxx 212121 ˆˆ
1.2. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA
La estimación por intervalos de un parámetro nos indica límites dentro de los cuales el
parámetro tiene la probabilidad especificada de estar. Los estimados por intervalos se
conoce como intervalos de confianza y los límites inferior y superior como los límites de
confianza.
En general el intervalo de confianza para el parámetro se expresa:
-1=)k+k-P( ˆˆ
ˆˆ
Los intervalos confidenciales más usuales son:
1.2.1. Intervalo confidencial para la media poblacional
Para determinar el intervalo confidencial para la media poblacional se debe tomar en
cuenta lo siguiente:
7. Métodos Estadísticos para la investigación 7
- Cuando se conoce la varianza de la población (n 30)
-1=)
n
Z+x
n
Z-xP(
22
)1()1(
- Cuando no se conoce la varianza de la población (n 30)
P( x - t
s
n
x + t
s
n
) = 1 -( n (
2
,n-1)1
2
1 1 , )
1.2.2. Intervalo confidencial para la diferencia de medias poblacionales
Cuando n1 + n2 - 2 30 se usa el valor de la abscisa de la distribución normal
estándar Z(1-α/2)
Si, n1 + n2 - 2 < 30 se usa el valor de la abscisa de la distribución t student ( t(n-1, 1-α/2)
Se presentan los siguientes casos:
- Si ²1 y ²2 son conocidos
-1=]
n
+
n
Z+)x-x(-
n
+
n
Z-)x-xP[(
22
2
2
2
2
1
2
1
)
2
1(2121
2
2
1
1
)1(21
- Si ²1 y ²2 no son conocidos
se presentan dos casos:
a. Si ²1 es aproximadamente igual a ²2 entonces; ²1 ²2 ²
2-n+n
1)s-n(+1)s-n(
=s:donde
-1=])
n
1
+
n
1
(st+)x-x(-)
n
1
+
n
1
(st-)x-xP[(
2
2
)-nn(
2
)-nn(
21
2
22
2
11
21
2,
2
12121
21
2,
2
121 2121
Cuando ²1 es diferente a ²2
-1=]
n
s
+
n
s
t+)x-x(_-_
n
s
+
n
s
t-)x-xP[(
22
)-nn
22
)-nn(
2
2
1
1
2,
2
1(2121
2
2
1
1
2,
2
121 2121
8. Métodos Estadísticos para la investigación 8
1.2.3. Intervalo confidencial para la proporción poblacional
Se presentan los siguientes casos:
- Cuando se conoce la proporción poblacional o n 30
-1=
n
pq
Z+pP
n
pq
Z-P(p
22
))1()1(
- Cuando no se conoce la proporción poblacional o n30
P(p - t
pq
n
P p + t
pq
n
) = 1 -(
2
,n-1) (
2
,n-1)1 1
1.2.4. Intervalo confidencial para la diferencia de proporciones
poblacionales
Se pueden presentan los siguientes casos:
- Si P1 y P2 son proporciones poblacionales conocidas o n1 y n2 son muestras grandes
(n30)
-1=]
n
qp
+
n
qp
Z+)p-p(p-P
n
qp
+
n
qp
Z-)p-pP[(
22
2
22
1
11
)1(2121
2
22
1
11
)1(21
- Si P1 y P2 son proporciones poblacionales desconocidas o n1 y n2 son muestras
pequeñas (n<30)
-1=]
n
qp
+
n
qp
t+)p-p(P-P
n
qp
+
n
qp
t-)p-pP[( )-nn()-nn(
2
22
1
11
2,
2
12121
2
22
1
11
2,
2
1(21 2121
Nota: Si los tamaños de muestra son muy diferentes por ejemplo n1 = 80 , n2 = 20 se
recomienda emplear:
n+n
pn+pn
=p:donde
)
n
1
+
n
1
)(p-(1p=s
2
21
2211
21
Esta proporción denota la proporción conjunta de las dos muestras.
9. Métodos Estadísticos para la investigación 9
EJEMPLOS
1. Se ensaya un test para determinar el coeficiente de inteligencia a 8 alumnos; los
resultados fueron:
98, 108, 92, 111, 102, 95, 89, 115.
Determine la estimación puntual e interválica (use el 90% de confianza) para el promedio
verdadero del cociente de inteligencia.
Solución
n = 8, x = 101.25, s = 9.377 -1 = 0.90 Luego 2
1 = 0.95
como n 30, entonces t(n – 1, 1 - /2) = t(7,095) = 1.895
a) Estimación puntual: 25.101
x
b) Estimación intervalica:
Por formula
-1=)
n
s
t+x
n
s
t-xP( )(( 95.0,7)95.0,7
Reemplazando
-1=)-P(
8
377.9
895.125.101
8
377.9
895.125.101
Se obtiene
%9053.10797.94 =]P[
2. Un biólogo desea hacer una estimación, con un intervalo de confianza del 95%, de
la cantidad promedio de agua que consume diariamente cierta especie animal en
condiciones experimentales. El investigador supone que la población de valores de
consumo diario de agua está normalmente distribuido y, con base en experiencias
pasadas, que la varianza de la población es de 4 gramos cuadrados. Una muestra
aleatoria de 25 animales arroja una media de 16,5 gramos.
10. Métodos Estadísticos para la investigación 10
De acuerdo con los datos suministrados, el biólogo puede construir un intervalo de
confianza del 95%.
Solución
n = 25, x = 16.5, s = 2 -1 = 0.95 Luego 2
1 = 0.975
como n 30, entonces t(n – 1, 1 - /2) = t(24,0.975) = 2.064
Estimación intervalica:
Por formula
-1=)
n
s
t+x
n
s
t-xP( )(( 95.07)95.07
Reemplazando
%95
24
2
064.25.16
24
2
064.25.16 =)-P(
Se obtiene
%9034.1766.15 =]P[
3. Como parte de un experimento, una gran empresa manufacturera encontró que el
tiempo promedio requerido para que 16 empleados escogidos al azar completaran una
tarea determinada era de 26 minutos. La desviación estándar era de 5 minutos. Construir
el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
Solución
n = 16 x = 26 s = 5 1- = 0.95 entonces 2
1 = 0.975
como n < 30, entonces t(n – 1, 1 - /2) = t(15, 0.975) = 2.131
Por formula
-1=)
n
s
t+x
n
s
t-xP( )(( 975.0,15)975.0,15
11. Métodos Estadísticos para la investigación 11
Reemplazando
%95)
16
5
131.226
16
5
131.226 =+-P(
Se obtiene
%9566.2834.23 =]P[
4. Se ha hecho un estudio de las diferencias entre estudiantes universitarios del
primer año que estuvieron en academias y estudiantes que no estuvieron. Para ello se
tomó una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios que habían asistido a
academias y una muestra aleatoria simple independiente de 60 estudiantes que no lo
habían hecho. Al final del primer semestre se administró a los estudiantes una prueba de
rendimiento en matemática. Los que habían asistido a academias, obtuvieron un puntaje
promedio de 14,5, con una varianza de 4,8; y el puntaje promedio para el grupo que no
había asistido a la academia, fue de 13,75 con una varianza de 6,4. Construya un
intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales (use 99% de
confianza).
Solución
ASISTIERON
ACADEMIA
NO ASISTIERON
ACADEMIA
nx1 = 50
1x =14.5
s
2
x1 = 4.8
nx2 = 60
2x =13.75
s
2
x2 = 6.4
1 - = 0.99 luego 1- 2
= 0.995
Como nx1 + nx2 - 2 > 30 entonces Z (1 - /2) = Z(0.995) = 2.58
Por formula
-1=]
n
s
+
n
s
z+)x-x(_-_
n
s
+
n
s
z-)x-xP[(
22
)(
22
)(
2
2
1
1
2
12121
2
2
1
1
2
121
12. Métodos Estadísticos para la investigación 12
Reemplazando
%99
60
4.6
50
8.4
58.275.135.14
60
4.6
50
8.4
58.275.135.14 21 =]++)-(-+-)-P[(
Se obtiene
%9991.141.0 21 =]-P[
5. Los estudiantes que se matricularon en un curso de Métodos Estadísticos fueron
distribuidas al azar en dos grupos. El grupo A utilizó numerosas técnicas y actividades
para enriquecer el curso. El grupo B estudió mediante el método tradicional de
conferencias. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento, hecha al terminar el
curso dieron los siguientes resultados:
Grupo n x s
A 10 80 8
B 12 72 10
Construir el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de los puntajes promedios
poblacionales.
Solución
La confianza, 1 - = 0.90 luego 1 - 2
= 0.95
Como nA + nB –2 < 30 entonces t (nA + nB –2,1– /2) = t(20, 0.95) = 1.725
Por formula
-1=]
n
s
+
n
s
t+)x-x(-
n
s
+
n
s
t-)x-xP[(
B
2
B
A
2
A
n(nBABA
B
2
B
A
2
A
n(nBA BABA )2/1,2)2/1,2
Reemplazando
%90
12
100
10
64
725.17280
12
100
10
64
725.17280 =]++)-(-+-)-P[( BA
Se obtiene
%9062.1438.1 =]-P[ BA
13. Métodos Estadísticos para la investigación 13
6. Una encuesta para verificar las actitudes de los trabajadores ante el boletín
mensual, se les pidió a 500 trabajadores de una gran empresa que indicaran con que
frecuencia leían el boletín de noticias. De los 500, 375 informaron que leían todas las
ediciones. Construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que
opinan afirmativamente.
Solución
n = 500 p =
500
375
= 0.75 q =0.25 1- = 0.95 luego 2
1 = 0.975
Como n > 30 entonces Z(1 - /2) = Z(0.975) = 1.96
Por formula
-1=]
n
pq
Z+pP
n
pq
Z-P[p )2/1()2/1(
Reemplazando
%95
500
)25.0(75.0
96.175.0
500
)25.0(75.0
96.175.0 =]+P-P[
Se obtiene:
%9579.071.0 =]PP[
7. En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron un cierto
programa de televisión, 100 adultos y 300 jóvenes reconocieron que les había gustado.
Determinar los límites de confianza del 99% para la diferencia de proporciones de todos
los adultos y jóvenes que vieron con agrado el programa.
Solución
ADULTOS JÓVENES
nA = 400
aA = 100
pA =0,25
qA = 0,75
nJ = 600
aJ = 300
pJ =0,50
qJ = 0,50
14. Métodos Estadísticos para la investigación 14
1 - = 0.99 luego 1- 2
= 0.995
Como nA+ nJ - 2 > 30 entonces Z (1 - /2) = Z(0.995) = 2.58
Puesto que los tamaños de muestras son muy diferentes, se emplea la varianza
mancomunada así:
n+n
pn+pn
=p
JA
JAJA
Reemplazando
4.0
1000
400
600400
50,0*60025,0*400
+
+
=p
)
n
1
+
n
1
)(p-(1p=s
JA
)
1
+
1
)((=s 032.0
600400
6.04.0
Por formula
-1=])
n
1
+
n
1
)(p-(1pZ+)p-p(P-P)
n
1
+
n
1
)(p-(1pZ-)p-pP[(
JA
JAJA
JA
JA 2//1(2//1(
Reemplazando
%99)032.0(58.25.025.0)032.0(58.25.025.0 =]+)(P-P-)P[( JA
Se obtiene
%9917.033.0 =]P-PP[ JA
15. Métodos Estadísticos para la investigación 15
2. SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA EN M.A.S
El procedimiento de muestreo, o diseño experimental, como se le llama comúnmente,
influye en la cantidad de información por observación o medición. Este diseño, junto con
el tamaño muestral n, determina la cantidad total de información relevante en la muestra.
Salvo en contadas ocasiones, trataremos la situación de muestreo más sencilla, un
muestreo de una población relativamente grande, y se enfocará la atención del tamaño
de muestra n.
Para ver cómo el tamaño muestral afecta al ancho de un intervalo de confianza,
considérese la desviación estándar de la distribución para cualquier estimador puntual.
Por ejemplo, la desviación estándar de la media muestral x , es:
n
x
Nota: si se desea que el ancho de un intervalo de confianza sea pequeño, debe
aumentarse el tamaño de muestra.
Procedimiento para seleccionar el tamaño muestra
Sea el parámetro que se quiere estimar, y sea la desviación estándar del estimador
puntual. Entonces se procede según los pasos siguientes.
Elegir d, la cota para el error de estimación, y un coeficiente de confianza (1 - ),
Resolver la siguiente ecuación para el tamaño de muestra n:
dZ
)2/1(
Nota: Para la mayoría de los estimadores
es una función del tamaño de muestra n.
Propósito: Estimar la media poblacional
Como se recordardará la media muestral x se distribuye normalmente con media y
varianza 2
/n, entonces dado un valor z(1-/2), enla distribución normal entre - z(1-/2) y
z(1-/2), se encuentra 1- de los posibles valores de x .
16. Métodos Estadísticos para la investigación 16
1-
/2 /2
-Z1- /2 Z1- /2
Entonces para tener una “confiabilidad” de 1- debe usarse el coeficiente de
“confiabilidad” de Z1- /2 (que llamaremos sólo z) obtenido en la tabla de distribución
normal estándar o en la función de estadísticas de Excel.
De otro lado si establecemos que el nivel de precisión de nuestra estimación de la media
es d unidades, estaríamos estableciendo el margen de error admisible para la media
muestral respecto a la media poblacional , entonces:
P( x - d) = 1 -
Implica que se tiene una confiabilidad de 1- de que el nivel de precisión se cumpla en la
estimación de la media poblacional a través de la media muestral x .
n
zd
2
Entonces,
El tamaño de muestra para poblaciones infinitas es:
2
22
d
z
n
Si de otro lado, el muestreo es sobre una población finita, entonces
1
N
nN
n
z
d
Entonces,
El tamaño de muestra para poblaciones finitas es:
222
22
)1(
zNd
zN
n
Ajuste de tamaño de muestra:
17. Métodos Estadísticos para la investigación 17
Si 10.0
N
n
entonces n0 =
N
n
n
1
Ejemplo 1.
De una población de 4000 individuos se desea estudiar la media de la presión arterial
sistólica, la cual se distribuye normalmente con = 10, para ello se ha fijado un nivel de
confiabilidad de 95% y el nivel de precisión en 2. ¿Cuál será el tamaño de muestra
adecuado?
Solución:
Como datos del problema tenemos:
Z1- /2= Z0.975 = 1.96
d = 2
= 10
Entonces:
94
10)96.1()14000(2
10)96.1(4000
)1( 222
22
222
22
zNd
zN
n
Como 10.0
N
n
, entonces no es necesario usar la corrección n0.
El tamaño de 94 individuos es suficiente.
Ejemplo 2.
Resuelva el mismo problema pero considerando una precisión de d=0.8
Solución:
Tenemos ahora,
523
10)96.1()14000(8,0
10)96.1(4000
)1( 222
22
222
22
zNd
zN
n
18. Métodos Estadísticos para la investigación 18
Como 10.0
N
n
, entonces el tamaño de muestra será:
463
4000
523
1
523
1
0
N
n
n
n
Deberá tomarse entonces una muestra de 463 individuos.
Propósito: Estimar la proporción poblacional
El procedimiento es análogo al propósito anterior, debiendo emplearse ahora:
Para poblaciones infinitas
2
2
d
pqz
n
Para poblaciones finitas
pqzNd
pqzN
n 22
2
)1(
Y si 10.0
N
n
entonces completar el cálculo con:
N
n
n
n
1
0
Ejemplo:
Se desea estudiar una población de 2000 alumnos referente a la prevalencia de
desnutrición. Se estima p estaría muy cercano a 0,25 y para ello se ha establecido como
nivel de confiabilidad el 95% y el nivel de precisión 0,05 ¡Cuál es el tamaño de muestra
necesario?
Solución:
N = 2000
Z1 - /2 = Z0,975 = 1.96
p = 0,25
19. Métodos Estadísticos para la investigación 19
q = 1 – p = 1 – 0,25 = 0,75
d = 0,05
Entonces,
252
)75,0)(25,0()96,1()12000()05,0(
)75,0)(25,0()96,1(2000
)1( 22
2
22
2
pqzNd
pqzN
n
Como 10.0
N
n
, entonces el tamaño de muestra será:
224
2000
252
1
252
1
0
N
n
n
n
El tamaño de muestra necesario es de 253 alumnos.
20. Métodos Estadísticos para la investigación 20
3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS
A continuación definiremos algunos conceptos básicos para la prueba de hipótesis.
Hipótesis
Es una afirmación que esta sujeta a verificación o comprobación; así un educador puede
hacerse la hipótesis de que cierto método de enseñanza mejora el rendimiento de los
alumnos. Hipótesis establecidas en esta forma proporcionan con frecuencia motivo para
realizar una investigación. Por esta razón se le denomina hipótesis de investigación.
Generalmente hay que volver a plantear las hipótesis de investigación convenientemente
de tal forma que se puedan comprobar mediante los métodos estadísticos, así planteadas
las hipótesis reciben el nombre de hipótesis estadística.
Hipótesis nula (Ho)
Son aquellas que están referidas a algún parámetro de la población o de las poblaciones
de estudio. Estas son llamadas hipótesis científicas.
Hipótesis alternativa (Ha)
Junto a la hipótesis nula se debe formular la denominada hipótesis alternativa que es la
que sirve para contrastarla.
Errores de prueba y nivel de significación
Tengamos presente que si bien Ho puede ser cierta, tendremos siempre la probabilidad
no nula de que por efecto del azar, nuestra decisión sea la de rechazar hipótesis; en tal
caso estaremos cometiendo el denominado ERROR DE TIPO I.
De otro lado podría Ho ser falsa y nuevamente el efecto aleatorio conducirnos a la
decisión equivocada de aceptar Ho, en tal caso estaremos cometiendo el ERROR DE
TIPO II. Obviamente, si Ho es cierta y no lo rechazamos o si es falsa y rechazamos,
estaremos decidiendo bien.
Al error de tipo I se le fija una probabilidad de ocurrencia previamente a la prueba, a dicha
probabilidad se le denomina , en ocasiones se le llama P valúe, pero en ambos casos
corresponde al NIVEL DE SIGNIFICACIÓN.
P(ERROR TIPO I) =
21. Métodos Estadísticos para la investigación 21
Podemos objetivizar la decisión de Ho respecto a la naturaleza de ésta de ser cierta o
falsa.
DECISIÓN NATURALEZA DE Ho
SOBRE Ho Cierta Falsa
No rechazar Decisión Error tipo II
correcta (probabilidad )
Rechazar Error tipo I Decisión
(Probabilidad ) correcta
Es deseable que ambas probabilidades fuesen lo menores posibles. Sin embargo, no es
posible minimizar ambas probabilidades a la vez ya que están íntimamente relacionadas
de tal modo que al disminuir una de ellas la otra aumenta. Así si queremos minimizar
inmediatamente aumenta la probabilidad de y viceversa. Generalmente el investigador
fija apriori el error que está dispuesto a tolerar, es decir la probabilidad máxima de
cometer el error de tipo I.
La decisión de una prueba estadística está asociada al nivel de significación:
a) Si P < 0.05 ( = 0.05)
se dice que existe significación en la prueba
b) Si P < 0.01 ( = 0.01)
se dice que existe alta significación en la prueba
Pruebas bilaterales y unilaterales
Cuando tenemos hipótesis alternativa de la forma:
Ho : = o Ho : P = Po
Ha : o Ha : P Po
Al rechazar Ho, optaremos por que el parámetro es diferente del supuesto pudiendo ser
mayor, significativamente o acaso menor, significativamente. En tales casos el nivel de
significación queda partido en /2 en cada lado de la distribución del estadístico o
función de prueba.
22. Métodos Estadísticos para la investigación 22
Tendremos entonces una prueba bilateral. (dos puntos críticos)
1 -
/2 /2
De otro lado, si la hipótesis se orienta a un solo lado, entonces el nivel de significación
también estará en aquel lado y consecuentemente estas pruebas se llaman unilaterales.
(un punto crítico)
Ho : = o
Ha : > o
1 -
Ho : = o
Ha : < o
1 -
A las regiones de valores de abscisas comprendidas en la parte sombreada se le llama
REGIÓN DE RECHAZO, y a las no sombreadas se le llama REGIÓN DE ACEPTACIÓN.
Una prueba de contrastación de hipótesis estadística se conduce básicamente según el
siguiente procedimiento.
1. Seleccionar el parámetro de interés
2. Plantear las hipótesis
- Hipótesis nula (Ho)
- Hipótesis alternativa (Ha)
3. Establecer el nivel de significación de prueba ()
4. Identificar o construir la función de prueba y la ley de probabilidad que sigue dicha
función de prueba.
5. Efectuar el reemplazo numérico en la función de prueba con la información
muestral.
6. Determinar las regiones de aceptación o rechazo en la distribución de la función
de prueba, según se trate de pruebas bilaterales o unilaterales.
7. Tomar una decisión sobre Ho, según la siguiente regla:
a.- Rechazar Ho si el valor de la función de prueba cae en la región de
rechazo.
En tal caso se concluirá que Ho se rechaza en favor de Ha con una
23. Métodos Estadísticos para la investigación 23
significación estadística.
b.- No rechazar Ho si el valor de la función de prueba cae en la región de
aceptación.
En tal caso se concluirá de que la información muestral no brinda
suficientes evidencias como para sospechar de que Ho no sea cierta.
8. Establecer la conclusión.
Antes de poder estimar parámetros o realizar la prueba de hipótesis para hacer
conclusiones sobre los parámetros de la población es necesario que la variable en
estudio se ajuste a una distribución normal para que los resultados de la investigación
sean confiables. Por lo tanto la primera prueba de hipótesis a estudiar corresponde a la
PRUEBA DE NORMALIDAD DE DATOS, que nos permite determinar si la variables en
estudio se distribuye normalmente o no.
3.1. PRUEBA DE NORMALIDAD DE DATOS
1. Reconocimiento de una ley de probabilidad con información real.
a. Reconocimiento teórico (distribución de probabilidad)
b. Ajuste empírico de una población real a una teórica.
c. Pruebas de bondad de ajuste
- Prueba Ji-cuadrada
- Prueba de Kolmogorov-Smirnov
d. Construcción de muestras aleatorias
e. Construcción de muestras artificiales con una ley de probabilidad arbitraria. (método
de Monte Carlo).
f. Prueba de aleatoriedad.
2. Transformaciones de variables aleatorias no normales a normales.
Transformación raíz cuadrada:
Se usa cuando se tiene una variable (X) que se aproxima a una
distribución de Poisson, así:
20Xdecires, Xdepequeñosvalorespara1+X=Z
XdegrandesvaloresparaX=Z
ii
ii
24. Métodos Estadísticos para la investigación 24
Transformación angular:
Se usa cuando se tiene una variable (X) que se aproxima a una
distribución Binomial, así:
Xdepequeñosvalorespara1+Xarcsen=Z
XdegrandesvaloresparaXarcsen=Z
ii
ii
Transformación logarítmica:
Se usa cuando se tiene una variable (X) tiende a crecer
20Xdecires, Xdepequeñosvalorespara1+X=Z
XdegrandesvaloresparaX=Z
ii
ii
Transformación de Fisher:
Se usa cuando se tiene una variable (X) que se aproxima a una distribución Ji-cuadrada
con n grados de libertad.
i i
2
Z = 2 X - 2n - 1 para cualesquier valor de X
3. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Procedimiento
(1) Formular la hipótesis:
Ho: La información dada se ajusta a una ley de distribución normal
Ha: La información dada no se ajusta a una ley de distribución normal
(2) Fijar el nivel de significancia ()
las más usadas son; = 0,05; 0,01; 0,10
1 - = 0,90; 0,99; 0,90 grados de confianza
(3) Elegir la función pivotal
)(prueba
e
)e-f(
=U
22
1)-(r
i
2
ii
o
25. Métodos Estadísticos para la investigación 25
donde: r = m - k,
m = Nº de clases en la inf. real
n = Nº de parámetros de la ley de prob.
fi = frecuencia absoluta simple observada
ei = frecuencia absoluta simple esperada
ei = n pi ; ei 5
Uo = máx Sn(x) - P(x) (Prueba de Kolmogorov)
donde: Sn(x) = Hi frec. rel. acum. observada
P(x) = Fi = P(Xx) frec. acum. Esperada
Tabla de la prueba de Kolmogoroy Smirnov ***
Tamaño
de la
Muestra (n)
Nivel de significación correspondiente a D = el valor
máximo de Fo (X) = SN (X)
0.20 0.15 0.10 0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
más de 35
0.900
0.684
0.565
0.494
0.446
0.410
0.381
0.358
0.339
0.322
0.307
0.295
0.284
0.274
0.266
0.258
0.250
0.244
0.237
0.231
0.21
0.19
0.18
n
07.1
0.925
0.726
0.597
0.525
0.474
0.436
0.405
0.381
0.360
0.342
0.326
0.313
0.302
0.292
0.283
0.274
0.266
0.259
0.262
0.246
0.22
0.20
0.19
n
14.1
0.950
0.776
0.642
0.564
0.510
0.470
0.438
0.411
0.388
0.368
0.352
0.338
0.325
0.314
0.304
0.295
0.286
0.278
0.272
0.264
0.24
0.22
0.21
n
22.1
0.975
0.842
0.708
0.624
0.565
0.521
0.486
0.457
0.432
0.410
0.391
0.375
0.361
0.349
0.338
0.328
0.318
0.309
0.301
0.294
0.27
0.24
0.23
n
36.1
0.995
0.929
0.828
0.733
0.669
0.618
0.577
0.543
0.514
0.490
0.468
0.450
0.433
0.418
0.404
0.392
0.381
0.371
0.363
0.358
0.32
0.29
0.27
n
63.1
De S. Siegel, Nonparametric Statistica, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1958. Se ha adaptado de
F. J. Massey, Jr., “the Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit”, J. Amer. Statist. Ass., vol. 46, pág. 70,
1951, con la amable autorización del autor y el editor.
26. Métodos Estadísticos para la investigación 26
Ej. n = 10. = 0.05 P(U c) = 0.95 c = 0.410
(4) Determinar la región de rechazo y la región de aceptación.
(5) Tomar la decisión.
Si Uo RA entonces aceptamos Ho es decir la información se ajusta a una distribución
normal, si Uo RR entonces rechazamos Ho es decir la información no se ajusta a una
distribución normal.
Antes de realizar cualquier análisis estadístico se deben tener presentes las condiciones
de aplicación del mismo. En casi todos los análisis estadísticos, la asunción de
normalidad es un común denominador. De ahí que comencemos este apartado con la
prueba estadística de Normalidad. Ésta se denomina prueba de Kolmogorov - Smirnov y
se halla en el SPSS en el menú de Análisis, dentro de la opción de Pruebas no
paramétricas y finalmente bajo el nombre abreviado de K-S de una muestra... . El cuadro
de diálogo nos permite seleccionar la variable a analizar y la ley de probabilidad que se
propone como de la población de la que ha sido extraída la muestra.
Es importante notar que a veces las asunciones se refieren a la Normalidad de las
poblaciones que se comparan, por lo que esta prueba de K-S debe repetirse para cada
una de las muestras a comparar.
RA
1 –
RA
f(u)
U
U0
27. Métodos Estadísticos para la investigación 27
Ejemplo:
La tabla siguiente presenta la información de notas de 162 estudiantes en el curso de
estadística durante un año dado. Probar que la siguiente muestra fue extraía de una
población de notas distribuidas en forma normal con = 0,01.
Notas 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
N de est. 5 10 28 52 31 26 10
Solución
Ho: Las notas se ajustan a una ley de distribución normal
Ha: Las notas no se ajustan a una ley de distribución normal
= 0.01
Notas
x
Estandarizando
z
Nº
Estudiantes
f
Probabilidad
P
Valores
Esperados
ei = npi
Ji-
Cuadrada
(fi-ei)2/ei
30 – 40 -2.70 – -1.99 5 0.0198 3.20
40 – 50 -1.99 – -1.28 10 0.0767 12.42 0.02
50 – 60 -1.28 – -0.57 28 0.1833 29.69 0.10
60 – 70 -0.57 – 0.14 52 0.2706 43.84 1.52
70 – 80 0.14 – 0.84 31 0.2468 39.99 2.02
80 – 90 0.84 – 1.55 26 0.1391 22.53 0.53
90 – 100 1.55 – 2.26 10 0.0484 7.84 0.60
TOTAL 162 U0 = 4.79
Notas
x
Estandarizand
o
Z
Nº
Estudiante
f
Frecuencia
Relativas
h
Probabilid
ad
p
Frecuencias
Relativas
Acumulada
Sn(x)= Hi
Probabilida
d
Acumulada
P(x)
Kolmogorov
MaxH-P
30 – 40 -2.70 – -1.99 5 0.0309 0.0198 0.0309 0.0198 0.0111
40 – 50 -1.99 – -1.28 10 0.0617 0.0767 0.0926 0.0964 0.0038
50 – 60 -1.28 – -0.57 28 0.1728 0.1833 0.2654 0.2797 0.0143
60 – 70 -0.57 – 0.14 52 0.3210 0.2706 0.5864 0.5504 0.0360
70 – 80 0.14 – 0.84 31 0.1914 0.2468 0.7778 0.7972 0.0194
80 – 90 0.84 – 1.55 26 0.1605 0.1391 0.9383 0.9363 0.0020
90 – 100 1.55 – 2.26 10 0.0617 0.0484 1.0000 0.9847 0.0153
TOTAL 162 1 U0 = 0.0360
x = 68.09 s = 14.11
70.2
11.14
09.6830
1
Z
0198.00035.00233.070.299.199.170.21 ]ZP[]ZP[=]Z[p
15 15.68
28. Métodos Estadísticos para la investigación 28
Prueba X²:
345.112
)0.99,3(
=
e
)e-f(
=U
2
1)-(r
i
2
ii
o
Como r = m – k = 6 – 2 = 4
Donde:
m: Nº de filas ajustadas
k: Nº parámetros de la distribución normal
Uo = 4.490
Ut = 11.345
Decisión:
Como Uo RA aceptamos Ho la información se ajusta a la distribución normal.
Prueba de Kolmogorov
Uo = máx Sn(x) - P(x) = 0.0342
= 0.01
n = 162
U = 0,0342
Ut = 128.0
162
63.163.1
n
, obtenido de la tabla de Kolmogorov
RA
1 – = 4,490
= 0,01
f(u)
U
Ut = 11,345
RR
U0 = 4,490
RA
1 – = 0,99
= 0,01
f(u)
U
Ut = 0,128
RR
U0 = 0,0342
29. Métodos Estadísticos para la investigación 29
Decisión:
Como Uo RA aceptamos Ho
Conclusión:
Se concluye que la información se ajusta a la distribución normal con el 1% de
significación de prueba.
3.2. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA MEDIA POBLACIONAL
Esta prueba se aplica aún a poblaciones que no se alejan demasiado de las
características de una población normal.
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: = o
Ha: o Prueba bilateral
Ho: = o
Ha: > o Prueba unilateral
Ho: = o
Ha: < o Prueba unilateral
Dicha prueba se efectúa mediante la siguiente función de prueba:
a) Si la desviación estándar poblacional no es conocida o n<30
)1,1(
n
o
o t
ns/
-x
=t
b) Si la desviación estándar poblacional es conocida o n30
n
n/
-x
=z (0,1)
o
o
30. Métodos Estadísticos para la investigación 30
Ejemplo 1:
El señor Martínez afirma que su programa de entrenamiento en ventas de seguro de vida
le permite a su compañía vender más pólizas que las compañías "promedio". El promedio
mensual de ventas de todos los agentes de la compañía es de $300. A una muestra de
agentes que han recibido el programa de entrenamiento se le encuentra las siguientes
ventas en dólares: 300, 270, 360, 390, 309, 405, 360, 420, 375, 330. Si usted fuera el
supervisor de estos agentes, adoptaría para los restantes el programa de entrenamiento
propuesto por el señor Martínez. Emplee 5% de nivel de significación.
Solución
= 300, n = 10, x = 351.9, s = 48.64 -1 = 0.95
como n 30, entonces t(n – 1, 1-) = t(9,0.95) = 1.895
Ho: 300
Ha: 300
= 0.05
f.p. 37.3
10
64.48
3009.3510
0
n
s
x
t
Decisión: Como t0 pertenece a la región de rechazo entonces rechazamos la hipótesis
nula a favor de la hipótesis alternativa
Conclusión: El programa de entrenamiento de ventas de seguro de vida le permite a su
compañía vender más pólizas de seguro que la compañía promedio, por lo cual se
adoptará para el resto de los agentes el programa propuesto por el señor Martinez.
Ejemplo 2:
Los sistemas de escape de emergencia para tripulantes de aeronaves son impulsados
por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la
RA
1 - = 0,95
RR
= 0,05
tt = 1,812
t0 = 3,37
31. Métodos Estadísticos para la investigación 31
rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de
combustión sea 50 cm/s. Se sabe que la desviación estándar de esta rapidéz es 2 cm/s.
El experimentador decide especificar una probabilidad para el error tipo I del 5%. Se
selecciona una muestra aleatoria de 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de
combustión de 51,3 cm/s. ¿A qué conclusión debe llegar?
Solución:
= 50, n = 25, x = 51.3, =2 = 0.05
como n > 30, entonces Z(1 - /2) = Z(0.975) = 1.96
Ho: = 50
Ha: 50
= 0.05
f.p. 25.3
25
2
503.51
n
-x
=Z
o
o
96.1)975,0( Z=Zt
Decisión: Como Zo RR Rechazamos la Ho , a favor de Ha
Conclusión: Por lo tanto no se cumple con las especificaciones la rapidez promedio de
combustión difiere de 50 cm/s. Usando 5% de significación de prueba.
RR
2 = 0,025
Zt = -1,96
RA
1 - = 0,95
RR
2 = 0,025
Zt =1,96
Z0 =3.25
32. Métodos Estadísticos para la investigación 32
3.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA VARIANZA POBLACIONAL
Algunas veces se necesitan pruebas sobre la varianza o la desviación estándar de una
población.
Procedimiento:
Supóngase que se desea probar la hipótesis de que la varianza de una población normal
2
es igual a un valor específico, por ejemplo, 2
o. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria
de n observaciones tomadas de esta población.
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: 2
= 2
o
Ha: 2
2
o Prueba bilateral
Ho: 2
= 2
o
Ha: 2
> 2
o Prueba unilateral
Ho: 2
= 2
o
Ha: 2
< 2
o Prueba unilateral
Se utiliza el estadístico de prueba
2
2
2 )1(
o
o
Sn
X
donde S2
es la varianza muestral. Ahora si Ho: 2
= 2
o es verdadera, entonces el
estadístico de prueba X2
o sigue una distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad.
Por consiguiente, se calcula el valor de la estadística de prueba X2
o, y la hipótesis Ho: 2
= 2
º , debe rechazarse si:
2
2/1,1
2
2
2/,1
2
no
no
sio
33. Métodos Estadísticos para la investigación 33
donde X2
n-1,/2 y X2
n-1,1-/2 son los puntos que corresponden a los porcentajes 100/2
inferior y superior de la distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad,
respectivamente.
El mismo estadístico se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales, Para hipótesis
unilateral: Ho: 2
= 2
o
Ha: 2
> 2
o
Se rechaza si: X2
o > X2
(n-1,1-)
Para la otra hipótesis unilateral: Ho: 2
= 2
o
Ha: 2
< 2
o
Se rechaza si: X2
o < X2
n-1,
RA
1 –
2
)2/,1( nX
RR
/2 RR
/2
2
)2/1,1( nX
RA
1 –
RR
2
)1,1( nX
RA
1 –
RR
2
),1( nX
34. Métodos Estadísticos para la investigación 34
PROCEDIMIENTO PARA MUESTAS GRANDES
Las hipótesis planteadas son idénticas a las mencionadas anteriormente lo que se
modifica es la función de prueba, que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30 se
utiliza la distribución normal.
El estadístico de prueba es:
n
s
Z
o
o
o
2
El gráfico utilizado sería acampanado.
Ejemplo:
Considérese una máquina de llenado de botellas. Al tomar una muestra aleatoria de 20
botellas se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado de 0,0153 (onzas
de fluido)2
. Si la varianza del volumen de llenado es mayor que 0,01 (onzas de fluido)2
,
entonces existe una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una
cantidad menor de líquido. ¿Existe evidencia en los datos muestrales que sugiera que el
fabricante tiene un problema con el llenado de botellas? Utilice 5% de significación de
prueba.
Solución:
2
= 0.01, n = 20, s2
= 0.0153 = 0.05
como n < 30, entonces 2
)1,1( nX = 1.302
)95.0,19( X
Ho: 2
= 0.01
Ha: 2
> 0.01
= 0.05
35. Métodos Estadísticos para la investigación 35
f.p. 07.29
01.0
)0153.0)(19()1(
2
2
2
o
o
Sn
X
1.302
)95.0,19( X
Decisión: Como 07.29
2
oX RA aceptamos Ho
Conclusión: El fabricante no tiene problemas con el llenado de botellas, pues la varianza
es igual a 0.01.
3.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA PROPORCIÓN
POBLACIONAL
La hipótesis se refiere al parámetro P, la proporción de individuos de la población con una
determinada característica.
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: P = Po
Ha: P Po Prueba bilateral
Ho: P = Po
Ha: P > Po Prueba unilateral
Ho: P = Po
Ha: P < Po Prueba unilateral
La función de prueba para valores de n 30 es:
n
)/np-(1p
p-P
=z (0,1)
oo
o
o
RA
1 – = 0.95
RR
= 0.05
1.30
2
tX
07.29
2
oX
36. Métodos Estadísticos para la investigación 36
La función de prueba para valores de n < 30 es:
t
)/np-(1p
p-P
=t 1)-(n
oo
o
o
Ejemplo 1:
El alcalde de una ciudad cree que más del 60% de los residentes de un suburbio
adyacente está a favor de anexarse a la ciudad. En una muestra aleatoria de 120 adultos,
75 dijeron que estaban a favor. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como
para apoyar la opinión del alcalde?
Solución
P = 0.60, n = 120, m = 75, 625.0
120
75
p , = 0.05
como n > 30, entonces 645.1)95,0()1( ZZ=Zt
Ho: 60.0P
Ha: 60.0P
= 0.05
f.p. 56.0
120
)4.0(6.0
6.0625.0
0
)/np-(1p
p-P
=Z
oo
o
Decisión: Como Zo RA aceptamos Ho
Conclusión: Los datos no proporcionan suficiente evidencia como para aceptar la opinión
del alcalde. Usando un 5% de significación de prueba.
RA
1 - = 0,95
RR
= 0,05
Zt = 1,645
Z0 = 0,56
645.1)95,0( Z=Zt
37. Métodos Estadísticos para la investigación 37
Ejemplo 2:
Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en
aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de
controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que
0,05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con
este nivel de calidad, utilizando = 0,05. El fabricante de semiconductores toma una
muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que 4 de ellos son defectuosos. ¿El
fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?
Solución
P = 0.05, n = 200, m = 4, 02.0
200
4
p , = 0.05
como n > 30, entonces 645.1)95,0()1( ZZ=Zt
Ho: 05.0P
Ha: 05.0P
= 0.05
f.p. 94.1
200
)95.0(05.0
05.002.0
0
)/nP-(1P
P-p
=Z
oo
o
Decisión: Como Zo RR rechazamos Ho , a favor de la Ha
Conclusión: El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso. Usando un
5% de significación de prueba.
RA
1 - = 0,95
RR
= 0,05
Zt = -1,645
Z0 = 3.03
645.1)95,0( Z=Zt
38. Métodos Estadísticos para la investigación 38
3.5. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS VARIANCIAS
POBLACIONALES
La prueba de comparación de muestras, requiere que las variancias de las dos
poblaciones muestreadas sean iguales. En esta sección describiremos una prueba para
la hipótesis nula 2
1 = 2
2 , que se aplica a muestras aleatorias independientes obtenidas
de dos poblaciones normales; debe utilizarse con mucho cuidado por ser muy sensible a
las desviaciones de tal suposición
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: 2
1 = 2
2
Ha: 2
1 2
2 Prueba bilateral
Ho: 2
1 = 2
2
Ha: 2
1 > 2
2 Prueba unilateral
Ho: 2
1 = 2
2
Ha: 2
1 < 2
2 Prueba unilateral
.Si las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, se extraen de poblaciones
normales que tiene la misma variancia, para la prueba de igualdad de variancias se utiliza
el siguiente estadístico.
2
2
2
1
s
s
F
que es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución F con n1 - 1 y n2 – 1
grados de libertad.
Obs. F1 - (v1,v2) =
),(F
1
12 vv
Regiones críticas para probar 2
2
2
1
39. Métodos Estadísticos para la investigación 39
Hipótesis alterna Estadístico de prueba Rechaza la hipótesis nula si:
2
1 < 2
2
2
2
2
1
s
s
F
F < F(n1 – 1, n2 – 1)
2
1 > 2
2
2
2
2
1
s
s
F
F > F1-(n1 – 1, n2 – 1)
2
1 2
2
2
2
m
M
s
s
F
F < F/2(nM – 1, nm – 1) ó
F > F1-/2(nM – 1, nm – 1)
Donde: s2
M : la mayor de las dos variancias muestrales,
s2
m : la más pequeña de las variancias.
Para hipótesis unilateral: Ho: 2
2
2
1
Ha: 2
2
2
1
El mismo estadístico se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales, Para hipótesis
unilateral:
Ho: 2
2
2
1
Ha: 2
2
2
1
Para la otra hipótesis unilateral:
Ho:
2
2
2
1
Ha:
2
2
2
1
RA
1 –
)1,1(2/ mnMnF
RR
/2 RR
/2
)1,1(2/1 mnMnF
RA
1 –
RR
)12,11(1 nnF
40. Métodos Estadísticos para la investigación 40
PROCEDIMIENTO PARA MUESTAS GRANDES
Las hipótesis planteadas son idénticas a las mencionadas anteriormente lo que se
modifica es la función de prueba, que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30, se
utiliza la distribución normal.
El estadístico de prueba es:
21
21
2
1
2
1
nn
s
ss
Z
p
o
2
)1()1(
:
21
2
22
2
112
nn
snsn
s
donde
p
Ejemplo 1:
Se requiere determinar si existe menos variabilidad en el plateado realizado por la
compañía 1 que el efectuado por la compañía 2. Si las muestras aleatorias
independientes de tamaño 12 del trabajo desempeñado por las compañías producen
s1=0,035 mil y s2=0,062 mil, pruébese la hipótesis nula de que 2
1 = 2
2 contra la hipótesis
alterna de que 2
1 < 2
2 con un nivel de significancia de 0,05.
Solución:
n1 = n2 = 12, s1 = 0.035, s2 = 0.062, = 0.05
como n1 + n2 < 30, entonces 355.0)11,11()1,1( 05,021 FnnF=Ft
RA
1 –
RR
)12,11(1 nnF
41. Métodos Estadísticos para la investigación 41
Ho: 2
2
2
1
Ha: 2
2
2
1
= 0.05
f.p. 319.0
)062.0(
)035.0(
2
2
2
2
2
1
s
s
F
Decisión: Como 0F RA se acepta Ho
Conclusión: La variabilidad de plateado de la compañía 1 es menor que de la compañía
2. Usando 5% de significación de prueba.
Ejemplo 2:
Las siguientes muestras aleatorias son mediciones de la capacidad de producción de
calor (en millones de calorías por tonelada (de especímenes de carbón de dos minas:
Mina 1: 8,260, 8,130, 8,350, 8,070, 8,340
Mina 2: 7,950, 7,890, 7,900, 8,140, 7,920, 7,840,
Utilícese un nivel de significancia de 0,02 para probar si es razonable suponer que las
variancias de las poblaciones muestreadas son iguales.
Solución:
n1 = 5, n2 = 6, s1 = 0.1275, s2 = 0.1045, = 0.02
como n1 + n2 < 30, entonces 39.11)5,4(06.0)5,4()1,1( 99.001.021 FFnnF=Ft
RA
1 – = 0.95
RR
= 0.05
355.0tF
319.00 F
42. Métodos Estadísticos para la investigación 42
Ho: 2
2
2
1
Ha: 2
2
2
1
= 0.05
f.p. 49.1
)1045.0(
)1275.0(
2
2
2
2
2
1
s
s
F
49.1oF
Decisión: Como 0F RA se acepta Ho
Conclusión: La variabilidad de ambas poblaciones es igual. Usando 2% de significación
de prueba.
3.6. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS MEDIAS POBLACIONALES
Cuando la comparación de dos poblaciones es con respecto a sus medias la hipótesis
natural es que ambas tienen igual promedio, o en otras palabras que la diferencia de
ambos promedios es nula o difieren en alguna cantidad específica.
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: 1 = 2
Ha: 1 2 Prueba bilateral
Ho: 1 = 2
Ha: 1 > 2 Prueba unilateral
Ho: 1 = 2
Ha: 1 < 3 Prueba unilateral
RA
1 –
06.02/ F
RR
/2 RR
/2
39.112/1 F
43. Métodos Estadísticos para la investigación 43
Pueden presentarse varias situaciones dependiendo de como son sus varianzas:
Con varianzas conocidas:
La función de prueba es:
n
n
+
n
)-(-)x-x(
=z (0,1)
22
o
2
2
1
1
2121
Con varianzas desconocidas y diferentes:
La función de prueba es:
t
n
s
+
n
s
)-(-)x-x(
=t 2)-n+n(
22
o 21
2
2
1
1
2121
como n1 + n2 - 2 30 entonces esta función de prueba sigue una distribución normal
estándar.
Con varianzas desconocidas y aproximadamente iguales, la función de prueba es:
2-n+n
s1)-(n+s1)-(n
=s
a.mancomunadvarianzalaessaquÍ
t
)
n
1
+
n
1
(s
)-(-)x-x(
=t
22
2
2
2)-n+n(
2
o
21
21
21
2121
21
Al igual que en el caso anterior, si n1 + n2 - 2 30 entonces la función de prueba sigue
una distribución normal estándar.
Ejemplo
Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su personal de
ventas femenino y masculino, según un nuevo plan de compensaciones venta-más-
comisión. Se pidió a n1 = 40 vendedoras y n2 = 40 vendedores, muestreados al azar,
44. Métodos Estadísticos para la investigación 44
predijeron sus ingresos anuales bajo el nuevo plan. Las medias y desviaciones
muestrales eran:
1x = $ 31 083 2x = $ 29 745
s1 = $ 2 312 s2 = $ 2 569
¿Proporcionan estos datos evidencia que indique una diferencia en el promedio del
ingreso anual esperado tanto entre los vendedores como las vendedoras? Haga la
prueba con =0,10.
Solución:
Ho: 21 5.5972552
2-n+n
s1)-(n+s1)-(n
=s
yx
2
y
2
x2
Ha: 21
= 0.10
f.p. 45.2
40
1
40
1
5.597255252
02974531083
11
21
2
+
n
+
n
s
)-(-)y-x(
=Z
xx
yx
o
645.1)95,0( Z=Zt
Decisión: Como Zo RR no existe suficiente evidencia como para aceptar la
hipótesis nula, por consiguiente aceptamos la Ha.
Conclusión: Los datos proporcionan suficiente evidencia como para indicar una diferencia
en el promedio del ingreso anual esperado tanto entre los vendedores usando un 10% de
significación de prueba.
RR
2 = 0,05
Zt = -1,645
RA
1 - = 0,90
RR
2 = 0,05
Zt =1,645
Z0 = 2,46
45. Métodos Estadísticos para la investigación 45
3.7. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS PROPORCIONES
POBLACIONALES
Cuando se desea comparar dos poblaciones cualitativas
Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:
Ho: P1 = P2
Ha: P1 P2 Prueba bilateral
Ho: P1 = P2
Ha: P1 > P2 Prueba unilateral
Ho: P1 = P2
Ha: P1 < P3 Prueba unilateral
La función de prueba es:
n+n
pn+pn
=p
:amancomunadproporciónlaespAquÍ
n
)
n
1
+
n
1
)(p-(1p
)P-(P-)p-(p
=z (0,1)
21
2211
21
2121
Ejemplo 1:
Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo
socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente lucha en TV. supera
mucho a un segundo grupo de hombres (grupo B) que también ven lucha. Muestras
aleatorias simples de los dos grupos arrojaron los siguientes resultados.
Tamaño de Número de hombres que ven
Grupo la muestra regularmente lucha en TV
A nA = 150 98
B nB = 200 80
¿proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo?
use = 0,05
46. Métodos Estadísticos para la investigación 46
Solución:
51.0
350
8098
p
Ho: BA PP
Ha: BA PP
= 0.05
f.p. 63.4
200
1
150
1
)49.0(51.0
0)4.065.0(
0
+
=Z
645.1)95.0( Z=Zt
Decisión: Como Zo RR rechazamos Ho en favor Ha
Conclusión: Los datos proporcionan suficiente evidencia como para apoyar la opinión del
sociólogo con un 5% de significación de prueba.
RA
1 - = 0,95
RR
2 = 0,05
Zt =1,645
Z0 = 4,63
47. Métodos Estadísticos para la investigación 47
REFERENCIAS
1. Downie, N, Heath, R. 1986. Métodos Estadísticos Aplicados. Quinta edición.
México: Editorial Harla.
2. Ferran, M. 2001. SPSS Análisis Estadístico. España: Editorial Mc Graw–Hill /
Interamericana.
3. Hernandez R, Fernandez C. Y Baptista P. 1996. Metodología de la Investigación.
Colombia: Editorial Mc Graw-Hill.
4. Martinez, Ciro. 1995. Estadística. Santa Fe de Bogotá: Editorial Presencia.
5. Mendenhall W, Sincich T. 1997. Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias. Cuarta edición. México: Editorial Prentice-Hall hispanoamericana, S.A.
6. Meza de Castillo E. 1994. Probabilidad. Lima: CONCYTEC.
7. Miller F, Johnson. 1992. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Cuarta
edición. México: Editorial Prince Hall.
8. Mitacc Meza M. 1994. Tópicos de Estadística y Probabilidad. Lima: Editorial San
Marcos.
9. Montgomery D, Runger G. 1996. Probabilidad y Estadística aplicadas a la
Ingeniería. México: Mc Graw-Hill.
10. Montgomery D. 2004. Diseño y Análisis de Experimentos. Segunda edición.
México: Editorial Limusa S.A.
11. Morris H. 1988. Probabilidad y Estadística. Estados Unidos: Editorial ADDISON-
WESLEY Iberoamericana.
12. Moya R, Saravia A. 1998. Probabilidad e Inferencia Estadística. Segunda edición.
Lima: Editorial San Marcos.
13. Sierra Bravo R. 1994. Análisis Estadístico Multivariado, teoría y ejercicios.
España: Editorial Paraninfo, S.A.
14. Wonnacott y Wonnacott. 1991. Estadística Básica Practica. México: Editorial
Limusa