Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.

1. UNIDAD 2 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL DOMINIO Y GRAFICACIÓN

2. Curvas en el espacio y funciones vectoriales Una curva C en el plano se puede definir como un conjunto de pares ordenados ( f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t); donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. En forma similar se define u na curva C en el espacio es un conjunto de ternas ordenadas ( f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I . Veremos un nuevo tipo de funciones , las funciones vectoriales , éstas asignan a números reales vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.

3. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Se llama función vectorial a cualquier función de la forma Plano r (t) = (f(t) , g(t) , h(t)) Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Este concepto se puede generalizar a espacios n dimensionales r (t) = (f(t) , g(t))

4. Se debe distinguir entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h que son sus componentes y son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h . Por ejemplo el dominio de: es el intervalo (0, 1]

5. (Trazado de una curva en el plano) EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial Solución:

6. (Tazado de una curva en el espacio) EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial Solución: Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z . Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4 π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hélice

7. EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada por: x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - t Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la función vectorial r (t) = (2 + t) i + 3t j + (4 – t) k Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión, el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas