Este documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, contrasta funciones explícitas con funciones implícitas definidas por una ecuación. Luego, describe el método de derivación implícita mediante el despeje de la variable y. Finalmente, introduce la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando no se puede despejar, y explica cómo usar derivadas parciales para derivar funciones implícitas.

1. Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones
implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que
trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la
ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x.
Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas
en una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

2. Derivación Implícita
Si queremos hallar la derivada
para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 /
x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar
y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y,
es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la
ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y
como función explícita de x?

3. Derivación Implícita
El método de regla de la cadena para
funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x,
la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que
derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la
regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la
cadena.

4. Derivación Implícita
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
En el primer término las variables coinciden, se deriva
normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un
producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer
término.

5. Derivación Implícita
La regla de la cadena se aplica el término
Como puede observarse a continuación claramente
en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
pasando algunos términos al lado derecho,

6. Derivación Implícita
extrayendo el factor común
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

7. Derivación Implícita
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la
fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con
respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la
variable y.

8. Derivación Implícita
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
Segundo,

9. Derivación Implícita
ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el
numerador, obtenemos el resultado: