1) El documento presenta un examen de vectores y matrices que incluye cinco problemas resueltos. 2) Los problemas involucran operaciones matriciales como determinantes, adjuntas, sistemas de ecuaciones matriciales. 3) Los problemas se resuelven mostrando los pasos de cálculo para llegar a la solución requerida.

1. Universidad Nacional Autonoma de Honduras
Escuela de Matematicas
Solucion Examen 1
MM-211 Vectores y Matrices
Propuesta por C.M.C.

2
3
1. Sea la matriz A = 
2
1
0
2
1
0

1
0
. La matriz Mij representa la ij-esima menor de A, entonces determine la
1
0
3
1
4
2
matriz D = (M44 )2 − MT .
12
Solucion:

2
D = 3
2

10
= 14
15

7
= 14
14
2. Dada la ecuacion matricial
2
3
1
1
B
1
2
B
1
2
0
3
B
1
2
0
3
B
1
2
0
2
1
3
5
6
1
1
5
2 
3 1
3
1 − 2 4
1 2
4
 
3 2
18
15 − 0 4
1 1
23

17
13
23
T
0
3
=
3
1
=
3
1
1
2
=
2
3
1
1
T
0
1
0

1
2
0
2
1
2
determine la matriz B
Solucion:
2
3
1
1
T
T
0
3
2
−1
=
2
3
1
1
B=
2
3
1
1
B=
1
15
1
−1
−1
3
1
−2
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
−16 5
23 −7
−2
T
−2
T
1
2
0
3
−1

2. 
 i−j
j
3. Determine el tercer renglon de la adjunta de la matriz C = (cij ), de orden 3, si cij =

i+j
Solucion: Es claro que


0 3 4
C = 1 0 5
1 2 0
si i = j
si i > j
si i < j
ahora recordamos que la adjunta de una matriz es la transpuesta de la matriz de cofactores esto es
adj(C) = [cof(C)]T para obtener la tercera renglon de la adjunta es equivalente a calcular la tercera columna de
la matriz cof(C)
1 0
=2
cof 13 (C) =
1 2
0 3
=3
cof 23 (C) = −
1 2
0 3
= −3.
cof 33 (C) =
1 0
Por lo tanto el tercer renglon de adj(C) es 2 3 −3


0 0 0 3
−1 2 −1 2

4. Sea la matriz M = 
 3 1 1 2 calcular det(adj(adj(M )))
2 1 −1 2
Solucion:
adj(adj(M )) = adj(M ) (adj(M ))−1
= |M|M−1 (|M|M−1 )
1
n
= M M−1
M
M
= M
Ahora det(adj(adj(M))) = det( M
n−2
M) = M
n(n−2)+1
n−2
M
el orden de la matriz es 4 y el |M| = −33 entonces
det(adj(adj(M))) = (−33)9

0
5. Sean A y B matrices de orden 3 tales que A + B = 1
2
2 5
matriz X =
, la matriz B tiene como menor M31 a
4 1
simetrica y b33 = 1, construya las matrices A y B
Solucion:

3
4. La matriz A tiene como menor M23 a la
0
5 −2
la matriz Y =
. Si ademas. la matriz B es
7 −6
10
2
−5

2
Siendo X y Y matrices menores de A y B respectivamente, entonces A = a21
4
5
a22
1


a13
b11
a23  y B = b21
a33
b31
5
7
b32

−2
−6
b33
usando el hecho que B es simetrica tenemos que b21 = 5,b31 = −2,b32 = −6 y nuestra hipotesis que b33 = 1
2

3. 
b11
entonces B =  5
−2

2 + b11
A + B = a21 + 5
2
5
7
−6

−2
−6,
1
10
a22 + 7
−5
 
a13 − 2
0
a23 − 6 = 1
a33 + 1
2
10
2
−5

3
4
0
resolviendo las ecuaciones tenemos que b11 = −2,a13 = 5,a21 = −4,a22 = −5,a33 = −1.




2
5
5
−2 5 −2
7 −6
∴ A = −4 −5 10  y B =  5
4
1 −1
−2 −6 1

2x + 5y = 10



 2x − 3y − 4z = −12

x≥0
6. Resuelva graficamente el siguiente sistema


y≥0



z≥0

 y = 2 − 2x


5







 z = 4x + 3
5
2
Solucion: Haciendo eliminacion en x tenemos un sistema equivalente



 0≤x≤5



 0≤y≤2


 3
11
2 ≤z ≤ 2
Por lo tanto el el conjunto solucion es el segmento P Q donde P (5, 0,
3
11
) y Q(0, 2, )
2
2
7. Tres atletas, Alex, Mario y Juan, compitieron en un torneo que incluia atletismo, natacion y ciclismo. Las
velocidades alcanzadas por los atletas, en km/h, en las tres diferentes disciplinas, fueron las siguientes:
Alex, 16,6 y 40, Mario 12,9 y 32, Juan 20,5 y 24, respectivamente. Alex llego en primer lugar, con un tiempo
total de 2 horas y 12 minutos. Matio obtuvo el segundo lugar, con un total de 2 horas y 30 minutos. Juan quedo
3

4. en tercer lugar, con un tiempo total de 3 horas. Encuentre las distancias recorridas en cada disciplina por los
atletas.
Solucion:
Sea x la cantidad de km recorridos en atletismo
y la cantidad de km recorridos en natacion
z la cantidad de km recorridos en ciclismo
La estrategia a resolver sera plantear ecuaciones para el ”tiempo”(con el proposito de encontrar la distancia
d
recorrida de cada disciplina), sustituir en cada tiempo su respectiva formula t = , tomaremos de ejemplo a
v
Alex el tiempo total de su carrera fue 2.2h, esto significa que t1 + t2 + t3 = 2.2h, ahora si en cada tiempo
x
y
z
sustituimos la distancia que recorrio y la velocidad que tenia entonces t1 =
, t2 = , t3 =
nuestra ecuacion
16
6
40
x
y
z
quedaria
+ +
= 2.2h, haciendo lo mismo para Mario y Juan el sistema de ecuaciones quedaria
16 6 40
 x
y
z


 16 + 6 + 40 = 2.2




 x
y
z
+ +
= 2.5
 12 9 32



 x

y
z


+ +
=3
20 5 24
4