Este documento presenta 28 teoremas sobre cálculo diferencial e integral. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones compuestas, potencias y funciones trigonométricas. También presenta 32 ejercicios para practicar el cálculo de derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, racionales y compuestas. Finalmente, incluye 8 ejercicios adicionales para practicar derivadas de funciones más complejas.

1. Universidad Nacional Autonoma de Honduras
Escuela de Matematicas
MM-201 Calculo I
Lic. Carlos Miguel Cruz Rodas
Teorema 0.1. Si la funcion g es diferenciable en x y la funcion f es diferenciable en g(x), entonces la funcion
compuesta (f ◦ g)(x) es diferenciable en x, y (f ◦ g) (x) = f (g(x))g (x) en la notacion de Leibniz’s si y = f (u) y
u = g(x), entonces
dy du
dy
=
dx
du dy
n
Teorema 0.2. Si H(x) = (f (x)) entonces H (x) = n (f (x))
Teorema 0.3.
n−1
f (x)
1. Dx (sin(u)) = cos(u)Dx u
2. Dx (cos(u)) = − sin(u)Dx u
3. Dx (tan(u)) = sec2 (u)Dx u
4. Dx (cot(u)) = − csc2 (u)Dx u
5. Dx (sec(u)) = sec(u) tan(u)Dx u
6. Dx (csc(u)) = − csc(u) cot(u)Dx u
En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la funcion
1. f (x) = (2x + 1)3
2. f (x) = (10 − 5x)4
3. F (x) = (x2 + 4x − 5)4
4. g(s) = (2s4 + 8s2 + 3)6
5. H(z) = (z 3 − 3z 2 + 1)−3
6. f (x) = (x2 + 4)−2
8. w(x) = (4x2 + 7)2 (2x3 + 1)4
9. f (t) =
10. f (x) = sin(x2 )
11. y = 4 cos(3x) − 3 sin(4x)
12. f (x) = cos(3x2 + 1)
13. f (x) = sec2 (x) tan2 (x)
14. f (x) = 2 sin3 (t)
15. f (x) = tan2 (x) − x2
7. f (x) =
x−7
x+2
1
16. f (x) = 5 sin(x + π) + 3 cos(x + 3) 17. f (x) = tan(x ) − cot( 2 )
x
2
1
19. f (x) = 2 sin(x) − (x2 − 2) cos( )
x
22. g(x) =
3
a + bx3 a,b ∈ R
2
20. f (x) =
2
3
√
sin( x) + cos(x)
√
18. f (x) =
sin( x) − cos(x)
3
ax + b
c
2
2t2 + 1
3t3 + 1
a,b y c ∈ R
2
23. f (x) = a 3 − x 3
1
3
2
a∈R
2
21. g(T ) = (2a + 3bT ) a,b ∈ R
5
24. f (x) = (3 − 2 sin(x))

2. 25. f (x) =
1 − x2
27. f (x) = tan(x) −
1
1
3
−
−
7
6
56(2x − 1)
24(2x − 1)
40(2x − 1)5
26. f (x) =
1
1
tan3 (x) + tan5 (x)
3
5
28. f (x) =
cot(x) −
31. f (x) =
3 sin(x) − 2 cos(x)
5
tan(x)
29. f (x) = 2x + 5 cos3 (x)
32. f (x) =
√
30. x(t) = csc2 (t) + sec2 (t)
1 + x hallar f (3) + (x − 3)f (3)
En los siguientes ejercicios encuentre el valor de (f ◦ g) (x) en el valor de x dado
√
1. f (u) = u5 + 1 , u = g(x) = x ; x = 1
1
1
, u = g(x) =
; x = −1
u
1−x
√
πu
3. f (u) = cot( ) , u = g(x) = 5 x ; x = 1
10
2. f (u) = 1 −
4. f (u) = u +
5. f (u) =
1
1
, u = g(x) = πx ; x =
2 (u)
cos
4
2u
, u = g(x) = 10x2 + x + 1 ; x = 0
u2 + 1
6. f (u) =
u−1
1
, u = g(x) = 2 − 1 x = −1
u+1
x
En los siguientes ejercicios y = f (u) y u = g(x) encontrar
1. y = 6u − 9 , u =
dy
= f (g(x))g (x)
dx
1 4
x
2
2. y = 2u3 , u = 3x + 1
3. y = cos(u) , u = sin(x)
4. y = tan(u) , u = 10x − 5
5. y = cos(u) , u =
x
3
6. y = sin(u) , u = x − cos(x)
dy
En los siguientes ejercicios escriba la funcion en la forma y = f (u) y u = g(x), luego encuentre
como una funcion
dx
de x
1. y = (2x + 1)5
4. y =
x
−1
2
2. y = 1 −
−10
5. y =
x
7
−7
x
1
−
5 5x
3. y =
5
x2
1
+x−
8
x
9
6. y = (4 − 3x)
2
4

3. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones
1. s(t) =
4
4
sin(3t) +
cos(5t)
3π
5π
2. s(t) = sin(
3πt
3πt
) + cos(
)
2
2
3. r(θ) = (csc(θ) + cot(θ))
−1
4. r(θ) = − (sec(θ) + tan(θ))
−1
5. y = x2 sin4 (x) + x cos2 (x)
6. y =
1
x
sin−5 (x) + cos3 (x)
x
3
7. y =
1
1
7
(3x − 2) + 4 − 2
21
2x
8. y = (5 − 2x)
−3
+
1
8
1+
2
x
−1
4
References
[1] L. Leithold, Calculus, Oxford University Press, 1998
[2] G. Thomas, Calculus, Pearson 2005.
[3] Demidovich, Problemas y ejercicios de analisis Matematico, MIR Moscu , 1967
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