Modelado matemático de sistemas físicos.

Maestría en Matemática, Modelación y Docencia
Asignatura: Modelación Matemática
ING. NAKIRA VALENCIA ORTIZ, M.SC
UNIVERSIDAD TÉCNICA “LUIS VARGAS TORRES” DE ESMERALDAS
VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN, INNOVACIÓN Y POSTGRADO
DIRECCIÓN DE POSTGRADO

CAPÍTULO III
Modelado matemático
de sistemas físicos

Competencia
Determinar el modelo matemático del sistema utilizando, las leyes físicas de los
diferentes sistemas
Logros
 Utiliza leyes físicas, ecuaciones para representar el fenómeno que se desea
modelar.
 Conoce cuáles son los elementos principales que contiene un modelo
matemático.
 Establece la relación de entrada-salida para componentes y subsistemas
regulada mediante funciones de transferencia

Contenido
 El modelado y la naturaleza de los sistemas
 Conceptos fundamentales
 Etapas para el modelado de los sistemas físicos dinámicos
 Métodos de modelado. Enfoque hacia el modelado de sistemas físicos
Sistemas Mecánicos
 Sistema Eléctricos
 Sistemas Fluidos
 Sistemas Térmicos
 Diagrama de enlaces. Técnica de Bond Graph

El modelado y la naturaleza de los
sistemas
El objetivo del modelado de un sistema físico de control es obtener en
forma matemática una descripción del comportamiento dinámico del
sistema en términos de algunas variables físicamente significativas.
(Wellstead, 2000).
En el contexto de nuestro curso, el modelado es el proceso de escribir una
ecuación diferencial para describir una situación física.

Modelado y Naturaleza de los sistemas: ideas clave
•La base para el modelo matemático es proporcionada por las leyes físicas fundamentales
que rigen el comportamiento del sistema.
Ejemplos: Leyes de Newton, Leyes de Kirchhoff, etc.
• Generalmente, lo que trataremos de hacer es analizar y diseñar sistemas de control.
Para ello se usarán modelos matemáticos cuantitativos que describan el
comportamiento dinámico del sistema mediante ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Los sistemas físicos se consideran manipuladores o transmisores de energía para lo que
necesitan interactuar con entradas y salidas.
•La función de transferencia del sistema establece la relación entre la salida y la entrada
del sistema. También puede estar referida a un componente concreto del sistema.

El proceso de modelado
El proceso de modelado se puede resumir en los siguientes pasos:
-Formulación del modelo matemático. Consiste en encontrar las
ecuaciones matemáticas que rigen el problema a resolver.
-Verificación del modelo. Consiste en comprobar que el modelo satisface
los requisitos de diseño para los que se elaboró.
- Validación del modelo. En esta etapa se valoran las diferencias entre el
funcionamiento del modelo y el sistema real que se está tratando de
simular. Las predicciones del modelo se comparan con datos del mundo
real que no se hayan utilizado para construir el modelo.

Condicionantes del modelado
► Existen diversos factores que condicionan el modelado de un sistema:
- Su estructura física: puede ser un sistema distribuido (ej: una red de ordenadores) o
agrupado (ej: un ordenador).
- Los valores de los parámetros o variables pueden ser continuos o discretos.
- Las ecuaciones que rigen su funcionamiento pueden ser lineales o no lineales.
- Los coeficientes de las ecuaciones pueden ser constantes o depender de ciertas variables.
► El sistema puede contener incertidumbre (sistema estocástico) o no (sistema determinista).

Conceptos fundamentales
En un sistema físico se identifican las variables directas o generales que se
conocen de forma genérica como variable de esfuerzo y variable de flujo.
También se pueden identificar las variables dinámicas o energéticas como
son el almacenamiento de esfuerzo o momento y el almacenamiento de
flujo o desplazamiento.
La potencia y la energía de un sistema son variables
directas.
Definimos la potencia como la transferencia de energía
por unidad de tiempo.

Conceptos fundamentales: potencia instantánea
► En muchos sistemas la potencia instantánea puede expresarse a través del producto
de una variable de flujo f(t) y una variable de esfuerzo e(t).
Potencia instantánea= e(t)·f(t)
► La variable de esfuerzo e(t) es una variable extensiva: su magnitud depende del tamaño
del sistema.
► La variable de flujo f(t) es una variable intensiva: su magnitud permanece constante y no
depende del tamaño del sistema.
► El significado de cada una de estas variables depende del sistema concreto que se esté
modelando.

Conceptos fundamentales
► Podemos decir que:
• La variable de esfuerzo se considera una variable de punto a punto o variable
across porque mide la diferencia de estado entre dos puntos de un sistema.
• La variable flujo se considera una variable a través de o through porque mide la
transmisión de una cantidad a través de un elemento.
• La energía transmitida en un intervalo de tiempo (0,t) , desde un punto a otro se
calcula mediante la integral de la potencia en el tiempo.
𝐸(𝑡) =
0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Conceptos fundamentales: Variables flujo y
esfuerzo

Conceptos fundamentales: energía
En el modelado de un sistema también es importante tener en cuenta el almacenamiento de
información, que interpretaremos como un almacenamiento de energía.
 Para tener en cuenta el almacenamiento de información definiremos dos variables:
 Variable energética ea(t) ó p: Representa el almacenamiento en función del esfuerzo
acumulado:
𝑒𝑎(𝑡) = 0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 o bien, 𝑒(𝑡) =
𝑑𝑒𝑎
𝑑𝑡
 Variable dinámica fa(t) ó q: Representa el almacenamiento en función del flujo acumulado:
𝑓𝑎(𝑡) = 0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 o bien, 𝑓(𝑡) =
𝑑𝑓𝑎
𝑑𝑡

Conceptos fundamentales: elementos del sistema
Los elementos básicos de un sistema se pueden clasificar en tres
categorías:
 Fuentes de energía. Proporcionan energía al sistema. Pueden ser fuentes de
variables de esfuerzo (variables across) y fuentes de flujo (variables through).
 Almacenadores de energía. Son los elementos capaces de almacenar y ceder
energía. Definen el comportamiento dinámico del sistema. Pueden ser
almacenadores de esfuerzo o de flujo.
 Disipadores de energía. Transforman la energía, generan pérdidas o transfieren
la energía hacia otros sistemas. Si provocan pérdidas, resistencias. Si
transforman la energía cambiándola de tipo o modificando su magnitud,
transformadores.

Conceptos fundamentales: conexiones
Los elementos anteriores pueden estar conectados en serie o en paralelo.
El esfuerzo a través de dos o más elementos en serie es la suma de lo esfuerzos
a través de cada uno de dichos elementos. Si los elementos están en paralelo,
el esfuerzo total a través de ellos es el mismo que a través de cada uno de
ellos.
Si dos o más elementos se conectan en paralelo, el flujo total en ellos es la
suma de los flujos individuales. Si se conectan en serie, los flujos individuales
son iguales que el total.
Estas normas sobre las variables esfuerzo y flujo se conocen como restricciones de
compatibilidad y continuidad.

Conceptos fundamentales: conexiones

Conceptos fundamentales: compatibilidad vs
continuidad
La compatibilidad impone restricciones sobre las variables de esfuerzo: si un
conjunto de puertos de energía están conectados en serie formando un ciclo
cerrado, la suma de todos los esfuerzos del bucle debe ser cero por
compatibilidad de esfuerzos.
La continuidad impone restricciones sobre las variables de flujo: si un conjunto
de puertos de energía tiene un punto terminal común la suma de sus flujos de
entrada debe ser igual a los flujos de salida por continuidad de flujos (la suma
de los flujos en el punto común debe ser cero).
Estas normas sobre las variables esfuerzo y flujo se conocen como restricciones
de compatibilidad y continuidad.

Conceptos fundamentales: ejemplo
 Ejemplo de ley de continuidad: Ley de Kirchhoff en los nodos
 Ejemplo de ley de compatibilidad: Ley de Kirchhoff en los lazos

Conceptos fundamentales: linealidad
Recordar que este principio establece que la respuesta que produce la aplicación
simultánea de dos entradas es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto,
en todo sistema lineal se pueden tratar las respuestas a distintas entradas de forma
independiente y después sumar las respuestas.
 Para comprobar si las ecuaciones del modelo son lineales se debe comprobar si
cumplen las dos propiedades que caracterizan la linealidad:
 Aditividad: 𝑓(𝛼 + 𝛽) = 𝑓(𝛼) + 𝑓(𝛽).
 Homogeneidad o proporcionalidad: 𝑓(𝑘𝛼) = 𝑘𝑓(𝛼).

Conceptos fundamentales: No linealidad
Si el sistema es no lineal, puede seleccionarse un punto de operación del sistema y desarrollar
en serie de Taylor a primer orden las ecuaciones del sistema alrededor del punto seleccionado.
Una vez hecho esto, pueden resolverse las ecuaciones y obtener una solución aproximada.

Para recordar…
 Ecuaciones diferenciales: El comportamiento de un sistema físico
dinámico suele representarse a través de una o varias ecuaciones
diferenciales. Dichas ecuaciones suelen obtenerse analizando las
leyes físicas que rigen el sistema.
 La complejidad de las ecuaciones del sistema determinaran la
dificultad de resolución para el modelo, ya sea analítica o
computacionalmente.

Etapas para el modelado de los sistemas
físicos dinámicos
» Formular el modelo matemático y la lista de los supuestos necesarios.
Determinación de las características relevantes en cuanto a su naturaleza estructural,
los valores de sus variables
◦ Identificación de variables establecimiento de una notación matemática que los
represente.
◦ Identificación de las leyes empíricas aplicables al sistema.
◦ Planteamiento de las ecuaciones que describen el modelo.
» Verificación del modelo, mediante la comprobación de que se encuentran
representadas todas las características y suposiciones.
» Validación de los modelos, mediante la resolución de las ecuaciones con un conjunto
de ejemplos de prueba para comprobar si se obtiene los resultados deseados.
» Análisis de las soluciones y las suposiciones.
» Si es necesario, rediseño del modelo.

Etapas para el modelado de los sistemas
físicos dinámicos

Métodos de modelado: Enfoque hacia el
modelado de sistemas físicos
Existen técnicas gráficas que es posible utilizar en el modelado de sistemas y que facilitan la
obtención de la función de transferencia.
Para obtener el MM de un sistema físico se deberían realizar los siguientes pasos:
1. Identificación de los elementos que conforman el sistema.
2. Obtención del conjunto de ecuaciones diferenciales, generalmente a partir de los
almacenadores de energía del sistema.
3. Obtención de una forma de representación del modelo:
a) Funciones de transferencia
b) Diagramas de bloques
c) Grafos mediante la técnica de Bond-Graph o
d) Diagramas de flujo.

Métodos de modelado: Función de
transferencia
 Función de transferencia: Se define como la relación entre la transformada de
Laplace de la variable de salida y la trasformada de Laplace de la variable de entrada.
 La forma general de una función de transferencia es un cociente de polinomios,
donde las raíces del polinomio del numerador son los ceros del sistema (valores de
frecuencia donde la ganancia del sistema es cero) y las raíces del denominador, son
los polos del sistema (frecuencias de resonancia donde la ganancia del sistema se
hace infinito).
 El grado del polinomio del denominador determina el orden del sistema.

Métodos de modelado: Función de
transferencia
Etapas a seguir para obtener la función de transferencia del sistema:
► Identificación de las variables y elementos del sistema y las leyes físicas aplicables.
► Obtención de las ecuaciones correspondientes a la entrada y la salida o de la salida en
función de la entrada.
► Obtención de la transformada de Laplace para la ecuación/ecuaciones.
► Obtención de la función de transferencia mediante el cociente de la transformada de la
ecuación correspondiente a la variable de salida y la transformada de la de entrada.

Métodos de modelado: Diagramas de
bloques
 Para la representación de la transferencia de energía en el sistema pueden utilizarse
diagramas de bloques o gráficos de flujo.
 La función de transferencia total del sistema está determinada por la relación entre la
entrada del sistema y la salida: podría representarse por un único bloque.
 Si el sistema está representado mediante diversos bloques interconectados entre sí, sería
posible utilizar la técnica de reducción de diagramas de bloques para combinarlos y
obtener un único bloque final a través del cual podría obtenerse la función de
transferencia.
 Para cada bloque sería posible obtener una función de transferencia.

Métodos de modelado: Diagramas de
bloques

Métodos de modelado: Técnica del Bond-Graph
En esta técnica los flujos se representan mediante enlaces. Los componentes del sistema se
representan mediante un conjunto de elementos básicos idealizados como pueden ser
resistencias, condensadores y otros.
Con esta técnica sólo se necesita una pequeña cantidad de elementos para poder
representar los modelos y permite una visualización fácil del comportamiento del sistema.
(Félez, Suárez y Romero, 2015).
 Las diferencias fundamentales con los diagramas de bloques es que los enlaces pueden
representar flujos bidireccionales y pueden corresponder a múltiples dominios del sistema
(eléctrico, mecánico, etc).

Grafos de enlaces: permiten la representación de las interacciones energéticas entre sistemas
o entre los elementos de
un sistema con una única línea o con un enlace (bond) de energía.
 En esta forma de modelado cada enlace representa dos señales esfuerzo y flujo, cuyo
producto es la potencia. Estas señales fluyen en dirección opuesta.
 Los disipadores y almacenadores de energía se identifican por las letras R, C, I, TF y GY para
las resistencias, capacitores o condensadores, inercias, transformadores de energía y
giradores.
 Los elementos fuente se representan por una S con un subíndice que puede ser e ó f, según
si se trata de una fuente de esfuerzo o de flujo.

Sistemas Mecánicos
Los sistemas mecánicos actúan sobre los cuerpos de forma que les imprimen
movimiento. El movimiento puede ser de traslación o de rotación.
Para el modelado de estos sistemas será necesario determinar las leyes físicas que
los rigen y extraer las ecuaciones del sistema.

Sistemas mecánicos: 2da Ley de Newton
 Segunda ley de Newton en un movimiento de traslación. La segunda ley de
Newton en este caso implica que la fuerza que actúa sobre la masa debe pasar
por el centro de la masa para que no imprima a su vez un movimiento rotacional y
la aceleración resultante se imprime en la misma dirección de la fuerza. La ley se
enuncia como
𝐹 = 𝑚. 𝑎
 Segunda ley de Newton en el movimiento de rotación. En este caso, el par o
fuerza de torsión para un cuerpo en rotación alrededor de un eje es igual al
producto del momento de inercia alrededor del eje por la aceleración angular. Se
denota según la siguiente ecuación
𝜏 = 𝐽. 𝛼

Sistemas mecánicos: Principio de D’Alembert
La suma de las fuerzas externas
que actúan sobre un cuerpo y las
denominadas fuerzas de inercia,
forman un sistema de fuerzas en
equilibrio.
A este equilibrio se le denomina
equilibrio dinámico.

Sistemas mecánicos: Variables de estado
Una vez identificadas las leyes que rigen el sistema, debemos encontrar las variables
de estado. Dichas variables nos permiten conocer la energía almacenada por el
sistema.
 En los sistemas de traslación, las variables de estado son la velocidad y la
fuerza, a partir de las que se podrá obtener la energía cinética y potencial
almacenadas. A veces, el desplazamiento también se considera como una
variable de estado porque está relacionado con la fuerza (a través de la
aceleración) y con la velocidad.
 En los sistemas de rotación, las variables de estado son la velocidad angular y
el torque (par) o esfuerzo de torsión y de forma equivalente a los anteriores, el
desplazamiento angular debido a su relación con el esfuerzo de torsión (a
través de la aceleración angular) y con la velocidad.

Sistemas mecánicos: Elementos (traslación)
Elementos de un sistema mecánico de traslación:
Fuentes de energía: establecen la manera en la que el sistema interactúa con el
medio externo. Existen dos tipos: las que aplican una fuerza sobre el sistema y las
que imprimen velocidad sobre el sistema.
La energía puede almacenarse de dos formas distintas:
Energía potencial, para lo que se utilizan un resortes lineales. La deformación que
se produce sobre ellos por efecto de una fuerza externa es directamente
proporcional a dicha deformación. La constante de deformación se
representa por k. Los resortes se clasifican como capacitores.

Energía potencial, para lo que se utilizan un resortes lineales. La
deformación que se produce sobre ellos por efecto de una fuerza externa
es directamente proporcional a dicha deformación. La constante de
deformación se representa por k. Los resortes se clasifican como
capacitores.

Energía cinética. En este caso consideraremos una masa en movimiento.
Por lo tanto, este elemento representa a un elemento pasivo de inercia.

En los sistemas de traslación las pérdidas se producen a través de:
Resistencias. Ocasionan pérdidas de energía debido a la fricción. La fuerza
de rozamiento suele depender de la velocidad relativa entre los cuerpos en
contacto.

En los sistemas de traslación las pérdidas se producen a través de:
Amortiguadores. La fuerza que actúa sobre el amortiguador es
proporcional a la velocidad a la que se mueve. El factor de
amortiguación se representa mediante la letra b y es el parámetro
característico del amortiguador.

Los transformadores de energía son elementos que transforman o
convierten la energía entre dos puntos de un sistema. En principio, estos
elementos ni almacenan ni disipan energía. Dos ejemplos son:

Modelos de elementos mecánicos de traslación (se hace la suposición
que son lineales)

Sistemas mecánicos: Elementos (rotación)
Elementos de un sistema mecánico de rotación:
 Fuentes de energía: establecen la manera en la que el sistema
interactúa con el medio externo. Existen dos tipos: las que
proporciona un par o torque y las que imprimen una velocidad
angular al sistema

La energía puede almacenarse de dos formas distintas:
La energía potencial para este tipo de sistemas puede ser almacenada por un
resorte torsional, donde el desplazamiento relativo entre los extremos es
representado por el ángulo (φ) y la constante de elasticidad es (kT ).
Los resortes se clasifican como capacitores o condensadores.

Energía cinética. Puede ser almacenada mediante una masa que se
encuentra rotando. Habrá que considerar que existe un torque (τ) aplicado
sobre la masa, una velocidad angular a la que gira la masa (ω) y el momento
de inercia de dicha masa (j) .

En los sistemas de rotación las pérdidas se producen a través de:
Resistencias: Ocasionas pérdidas de energía debido a la fricción.
La fuerza de rozamiento suele depender de la velocidad angular.
Amortiguadores rotacionales. El par que actúa sobre el amortiguador es
proporcional a la velocidad angular a la que se mueve. El factor de
amortiguación (b) es el parámetro característico del amortiguador.
𝜏 = 𝑏𝜔

Un ejemplo de transformadores de energía rotacionales son las ruedas
dentadas o engranajes.

Ejemplo N1: Sistema masa-resorte
El sistema de la figura 3 puede representarse por el
siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
F=m.a
fresorte=k.x
F-fresorte=m.a
F-kx=m.a
F=m.a+kx
F=m.x+kx
La resolución de la última ecuación representa el modelo
matemático del sistema.
Figura 11: Sistema mecánico masa resorte.

Ejemplo 2: Sistema masa-resorte con
fricción
Solución:
𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝑓𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑏. 𝑣𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
Para equilibrar el sistema, la sumatoria de fuerzas del sistema es:
𝐹 − 𝑓𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 − 𝑓𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑚. 𝑎
𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑏. 𝑣𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑚. 𝑎
𝐹 = 𝑚. 𝑎 + 𝑘𝑥 + 𝑏. 𝑣𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝐹 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑘𝑥
La resolución de la ecuación anterior representa el modelo matemático del sistema.

Modelo de un sistema masa-resorte con
amortiguador
𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝑘 𝑦 𝑡 − 𝑥 𝑡 + 𝑏
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡
−
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
𝑘𝑦 𝑡 − 𝑘𝑥 𝑡 + 𝑏
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡
− 𝑏
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
𝑘𝑦 𝑡 + 𝑏
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2 + 𝑏
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 𝑡
Aplicando transformadas
𝑘 + 𝑏𝑠 𝑌(𝑠) = (𝑀𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑋 𝑠
𝑋 𝑠
𝑌 𝑠
=
𝑘 + 𝑏𝑠
𝑀𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘

Ejemplo: Sistema rotacional con fricción
Solución:
La sumatoria de torques del sistema es:
𝜏𝑒𝑚 − 𝜏𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐽. 𝛼
𝜏𝑒𝑚 − 𝑏. 𝜔 = 𝐽. 𝛼
𝜏𝑒𝑚 = 𝐽. 𝛼 + 𝑏. 𝜔
𝜏𝑒𝑚 = 𝐽. 𝛼 + 𝑏. 𝜔
𝜏𝑒𝑚 = 𝐽. 𝜃 + 𝑏. 𝜃
En este caso la resolución de la última ecuación
representa al modelo matemático del sistema.

Sistemas Eléctricos
En los sistemas eléctricos encontramos como variables descriptivas principales a las
tensiones y corrientes. La teoría de circuitos caracteriza los fenómenos asociándolos a
dipolos que vinculan estática o dinámicamente tensiones y corrientes.

Leyes de Electricidad
Basado en la ley de Ohm, la teoría de circuitos representa el fenómeno de disipación de energía
mediante un dipolo (resistencia) que establece una relación entre la tensión y corriente.
Las variables de estado de los sistemas eléctricos son la corriente (I) y la caída de potencial o
voltaje mayormente representado por V.
» Fuentes de energía: En este tipo de sistemas las fuentes de energía son de
dos tipos: las que dan lugar a un flujo de corriente y las que producen una
diferencia de voltaje.
» Almacenadores de energía: Al igual que en los sistemas anteriores, en estos
sistemas se identificarán almacenadores de inercia y capacitores.

Inductor
Un inductor es un elemento de inercia que almacena la energía, la ecuación que representa
la dinámica del elemento se expresa en función de la variable de estado I que representa la
corriente que circula por el elemento y V es la caída de potencial entre sus extremos. L es el
parámetro fijo conocido como inductancia

Capacitor
Cuenta con un parámetro
característico C conocido como
capacitancia, y tendrá como
ecuación representativa de su
dinámica la que se muestra a
continuación, en la que I y VC,
representa la corriente y la caída
potencial entre extremos,
respectivamente.

Disipadores
Las resistencias en los sistemas
eléctricos son los causantes de
las caídas de voltajes. La
ecuación siguiente representa el
comportamiento del elemento:

Ejemplo 1: Sistema RC
𝑉 = 0
𝑉 𝑡 = 𝑖. 𝑅 +
1
𝐶
𝑖 𝑑𝑡
𝑉 𝑡 = 𝑞. 𝑅 +
1
𝐶
𝑞
Figura 13: Sistema RC
serie

Ejemplo 2: Sistema RLC
Solución:
𝑉 = 0
𝑉 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑖𝑅 +
1
𝐶
𝑖 𝑑𝑡
𝑉 𝑡 = 𝐿𝑞 + 𝑞. 𝑅 +
1
𝐶
𝑞

Procedimiento sistemático para derivar un
modelo con diagramas de enlaces
La técnica de los diagramas de enlaces (bond-graph) consiste
en realizar la descripción de un modelo basándose en la
conservación de la energía del sistema. Bond-graph define un
conjunto mínimo de elementos generalizados que pueden ser
usados para modelar el comportamiento de un sistema a través
de diferentes dominios de energía (eléctrico, mecánico, etc.)
[Kamopp y Rosenberg (1968)]. Las conexiones entre elementos
se hacen a través de grafos (flechas) que representan el flujo de
potencia en el sistema.

Diagrama de enlaces: enlaces
En cada grafo aparecerán dos variables: un flujo y un esfuerzo.
 El producto de estas variables es la potencia que fluye a través del sistema.
 Un modelo de simulación realizado mediante Bond Graph permite observar el
tráfico de la potencia entre los distintos elementos, denominando a dicho
proceso 'asignación de causalidad'.
 La dirección del flujo de potencia se ilustra gráficamente mediante un trazo
perpendicular al grafo, denominado trazo causal, el cual se colocará en el
extremo que origina el flujo (o lo que es lo mismo, el extremo que recibe el
esfuerzo)

Diagrama de enlaces: elementos
Los componentes del sistema se representan mediante algunos elementos
idealizados básicos interconectados.
Hablaremos, por tanto, de elementos, puertos de conexión y grafos de interconexión
(bonds).

Diagrama de enlaces: elementos
Los elementos básicos que consideraremos son:
 C: Capacitor. Elemento de almacenamiento (el condensador eléctrico almacena carga, el
resorte mecánico almacena desplazamiento).
 I: Inercia o inductor. Elemento de almacenamiento (la bobina eléctrica almacena flujo,
una masa inerte almacena momento lineal).
 R: Resistencia. Elemento de disipación energética (la resistencia eléctrica disipa calor, la
fricción mecánica disipa calor).
 Se, Sf. Fuentes. En electricidad, de voltaje o corriente. En mecánica, de velocidad o de
fuerza, etc..
 TF. Transformador. Ej: transformador eléctrico, barra, ruedas dentadas, etc
 GY. Girador. Ej: motor eléctrico, bomba centrífuga.
 0, 1. Uniones de conexión entre elementos.

Diagrama de enlaces: Capacitores (C)

Diagrama de enlaces: Inductores (I)

Diagrama de enlaces: Resistores (R)

Diagrama de enlaces: Fuentes (F)

Diagrama de enlaces: Transformadores (TF)

Diagrama de enlaces: Giradores (GY)

Diagrama de enlaces: Uniones (0 y 1)

Diagrama de enlaces: Sistemática
 Paso1: Determinar los dominios físicos que existen en el sistema y
todos los elementos básicos. Asignar a cada elemento un nombre
único para distinguirlos de los demás.
 Paso 2: Indicar una variable esfuerzo de referencia en cada dominio
(en los sistemas mecánicos, indicar una velocidad de referencia con
dirección positiva).
 Paso 3: Identificar el resto de esfuerzos (en sistemas mecánicos
velocidades) y asignarles un nombre único.
 Paso 4: Dibujar los esfuerzos mediante uniones 0. En los sistemas
mecánicos, dibujar velocidades mediante uniones 1.
 Paso 5: Identificar todas las diferencias de esfuerzo (en mecánica
diferencias de velocidad) que se necesitan para conectar los puertos
de todos los elementos enumerados en el paso 1.

Diagrama de enlaces: Sistemática
Paso 6: Construir las diferencias de esfuerzo usando un nudo de unión 1 (en los sistemas
mecánicos, nudos de unión 0).
► Paso 7: Conectar los puertos de todos los elementos con las
uniones 0 (uniones 1 para sistemas mecánicos).
► Paso 8: Simplificar el grafo resultante.

Diagrama de enlaces: Reglas de simplificación

Sistemas mecánicos: ejemplo de modelado

Determine las ecuaciones diferenciales de
sistema

Causalidad
Por todo grafo se transmite potencia, la cual se intercambia o transforma a lo largo del sistema.
► Las variables de estado del sistema, que determinan la potencia, son las variables flujo y las
variables esfuerzo.
► En un modelo matemático de un sistema las variables de "salida" de un elemento dependen
de sus variables de “entrada”.
► Por tanto, un esfuerzo impuesto en un grafo ocasionará como respuesta del sistema un flujo,
mientras que un flujo impuesto en un elemento del sistema originará como reacción un
esfuerzo.
► Hallar la causalidad de los grafos, es determinar, de las dos variables que llevan asociadas
todos los grafos (flujo y esfuerzo), cual de ellas es función de la otra. Nunca ambas
serán independientes y siempre una dependerá de la otra.

Causalidad: Esfuerzo vs flujo
► Vemos que en mecánica, cuando la causa es la fuerza, el efecto es la velocidad
y cuando la causa es la velocidad el efecto es la fuerza. En el resto de dominios
de la física el planteamiento es similar, sin más que sustituir el esfuerzo y el flujo
por su significado en cada caso particular. Por ejemplo, en sistemas eléctricos, si
la causa es el voltaje, el efecto es la intensidad. S la causa es la intensidad, el
efecto es el voltaje.
► Las relaciones constitutivas de cada elemento deben ser transformadas
finalmente en ecuaciones a través de la asignación de causalidad, por medio de la
cual se interpreta la dependencia de las distintas variables.
La Causalidad puede ser integral o diferencial. Se
prefiere la integral por ser la integración un
procedimiento computacionalmente más eficiente.

Elementos de Causalidad
Fuentes de flujo (causalidad flujo) y fuentes de esfuerzo (causalidad esfuerzo)
Las puertas inerciales (masa) su causalidad preferida es dar un flujo.
Los acumuladores (Resistencias, Inductores) su causalidad preferida es dar un esfuerzo.

Causalidad en Transformadores o Giradores

Ejercicio Propuesto
Para el siguiente sistema mecánico, escribir el bond
graph, asignar causalidad y establezca las ecuaciones del
sistema

Ejercicio Propuesto
Para los siguientes sistemas eléctricos, escribir el bond graph, asignar causalidad

Ejercicio Propuesto: Determine la
causalidad y ecuaciones del sistema

Modelado matemático de sistemas físicos.

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