1) El documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables de decisión. 2) Explica cómo trazar líneas rectas para representar restricciones y la función objetivo, y cómo identificar la solución óptima donde la línea de máxima utilidad intersecta la región factible. 3) Discuten conceptos como variables de holgura y restricciones redundantes.

1. Región factible del problema
Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a la utilidad de 2400
dólares? Estas soluciones se dan por los valores de X1 y X2 de la región factible
que cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviar
cálculos, así:
Ésta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas las
soluciones factibles (X1, X2), con una contribución a la utilidad de 24 dólares deben
estar en esta línea. Ya se aprendió como trazar una línea de restricción; el
procedimiento para trazar la línea de la función objetivo o de utilidad es el mismo.
Haciendo X1=0, se tiene que X2 debe ser 8; entonces, el punto de solución (X1=0,
X2=8) está en la recta. Similarmente, haciendo X2 = 0, se tiene que el punto de
solución (X1=6, X2 = 0), también está en la recta. Dibujando la línea recta por estos
puntos, se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a la utilidad
de 24; una gráfica de esta línea de utilidad se presenta en la siguiente grafica que
muestra un número infinito de combinaciones factibles de producción que darán
una contribución de 24 a la utilidad.
Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y de
restricción, se trazan la línea de utilidad de 72 y 120 que se presentan en la misma
grafica. Por supuesto, sólo los puntos de las rectas de valor 24, 72 y 120 que
están dentro de la región factible, deben considerarse como soluciones factibles
para tal contribución de utilidad.
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2. Diferentes líneas de utilidad para el problema
Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se
alejan del origen, se pueden obtener valores mayores para la función objetivo,
continuando el movimiento hacia fuera del conjunto factible pero manteniéndose
adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir.
Dado que los puntos fuera de la región factible no son aceptables, el (los) punto(s)
vértice en la región factible que coincide(n) con la recta de utilidad mayor es una
solución óptima al programa lineal.
El estudiante debe identificar ahora, el punto de solución óptimo para el problema .
Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta de utilidad tan lejos del
origen como pueda, pero conservando el contacto en la zona factible. ¿Cuál es el
último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde a la
solución óptima, vea el gráfico siguiente. Los valores óptimos para las variables de
decisión son ( X1, X2) = ( 25, 20 ).
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3. Solución óptima para el problema
Dependiendo del tamaño y claridad de su gráfica, se determinan los valores
óptimos exactos de X1 y X2 leyendo directamente de la gráfica.La solución óptima
del ejemplo está en la intersección de las rectas de restricción 1 y 3 que se
pueden resolver para precisar los valores coordenados.
Por lo que los valores de las variables de decisión X1 y X2 deberán satisfacer las
ecuaciones de manera simultánea. Resolviendo en función de X1 en (1)
Sustituyendo esta expresión (4) de X1 en la ecuación (3) y resolviendo en función
de X2 se obtiene
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4. Sustituyendo X2 =20 en la ecuación (4) y resolviendo en función de X1, resulta
A pesar de que la solución óptima para el problema está formada de valores
enteros de las variables de decisión, esto no será siempre el caso. La localización
exacta del punto de solución óptima es X1 =25 y X2 =20. Este punto identifica las
cantidades óptimas de producción para la empresa en 25 toneladas de cera
automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con una contribución a la utilidad de:
Así, en un problema de programación lineal con dos variables de decisión, se
puede determinar el valor exacto de las variables de la solución óptima, utilizando
primero el método gráfico para identificar el punto que optimiza y después
resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones que generan el mismo.
Trazo de líneas rectas
Un aspecto importante del método gráfico es la posibilidad de trazar líneas rectas
representando las restricciones y la función objetivo del programa lineal. El
procedimiento más sencillo para trazar la recta de una ecuación, es encontrando
dos puntos cualesquiera que la satisfagan y a continuación trazando la recta a
través de dichos puntos. En el caso de la línea recta de restricción de la materia
prima 1 del problema
se identifican los dos puntos (X1 = 0, X2 = 40) y (X1 = 50, X2 = 0). Después se traza
la línea recta de restricción de la materia prima 1 a través de estos dos puntos.
Cuando en la ecuación de restricción sólo aparece una variable, como es el caso
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5. de la materia prima 2 del problema (1/5 X2 <= 5), se resuelve en función de la
única variable que aparece en la ecuación (para esta restricción, X2 =25); es claro
que en tal ecuación X1 = 0 pues no está presente, así (X1 =0, X2 =25) representa
el punto en el eje X2 por donde debe pasar una recta paralela al eje X1.
Todas las rectas de restricción y de funciones objetivo en los programas lineales
de dos variables, se pueden trazar si se pueden identificar los puntos de la línea.
Sin embargo, determinar dichos puntos no siempre es tan fácil como resultó en el
problema. Por ejemplo, considere la restricción:
Usando la forma de igualdad y haciendo X1 = 0, se tiene que el punto (X1 = 0, X2 =
-100) pertenece a la recta de restricción. Si X2=0, se tiene el segundo punto (X1 =
50, X2 = 0) sobre la misma recta de restricción. Si se ha dibujado sólo la porción
no negativa (X1 >= 0, X2 >= 0) correspondiente al primer cuadrante de la gráfica,
entonces no se puede fijar el primer punto (X1 = 0, X2 = -100), porque no hay
escala para valores negativos en la gráfica tal como es X2 = -100. Siempre que se
tengan dos puntos de la recta, con uno o ambos valores negativos, el
procedimiento gráfico obligado es incluir la escala negativa a los dos ejes
coordenados horizontal y vertical, incluyendo los cuadrantes necesarios. En este
ejemplo, se puede localizar el punto (X1 = 0, X2 = -100) extendiendo hacia abajo el
eje vertical para incluir los valores negativos de X2. Una vez localizados los dos
puntos que satisfacen la ecuación y el conjunto de soluciones factibles para la
nueva restricción de ejemplo 2X2 - 1X2 <= 100, entonces se procede a su trazo,
según se ve en la siguiente figura: .
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6. Soluciones factibles de la restricción 2X1-1X2 <= 100
Considere ahora la restricción: 1X1 - 1X2 >= 0 mostrada en la siguiente grafica. El
lado derecho con valor cero en esta desigualdad, identifica una línea recta que
contiene o pasa por el punto vértice conocido como origen. Para determinar las
soluciones que satisfacen la restricción como igualdad, primero se hace X1 = 0 y
se resuelve en función de X2. El resultado muestra que el origen (X1= 0, X2 = 0)
está en la recta de restricción. Al hacer X2 = 0 y al resolver para X1, resulta en el
mismo punto. Pero se puede obtener otro punto de la recta, al dar a X2 un valor
cualquiera distinto de cero y entonces resolver en función de X1. Por ejemplo,
haciendo que X2 = 100 y resolviendo en función de X1, se encuentra que el punto
(X1 = 100, X2 = 100) también pertenece a la recta. En ambos puntos (X1=0, X2= 0)
y (X1 = 100, X2 = 100) se puede trazar la línea de restricción 1X1-1X2 = 0 y pueden
determinarse las soluciones factibles para 1X1 - 1X2 >= 0.
Soluciones factibles de la restricción 1X1 - 1X2 >= 0
Resumen del método de solución gráfica en dos variables.
1. Dibuje en un sistema de dos ejes cartesianos (por ejemplo X1 para la
coordenada horizontal y X2 para la coordenada vertical) las líneas rectas
correspondientes a cada una de las expresiones lineales del modelo de
programación lineal, identificando las mismas, calcule y anote las
coordenadas (valores de X1 y X2) para cada punto vértice.
2. Observe la dirección de las desigualdades para definir, individualmente, el
conjunto de puntos de solución factible de cada una de las restricciones y
posteriormente, combinando todas ellas, por intersección o traslape, definir
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7. y señalar el conjunto de puntos de solución factible para todo el sistema de
restricciones del problema.
3. Con un valor arbitrario para la función Z, calcule las coordenadas de un
punto perteneciente a cada uno de los dos ejes cartesianos, dando
alternativamente el valor de cero a X1 y X2 de la función objetivo Z, ahora se
traza una recta que pase por dichos puntos en los ejes, la cual muestra
todos los valores posibles de X1 y X2 de la misma.
4. Mueva la recta de la función objetivo Z paralelamente hacia valores
mayores de la función, si el problema es de máximo, o bien, hacia valores
menores, si el problema es de mínimo, hasta que coincida con un punto
vértice, antes de salir de la región factible. La recta de la función objetivo se
cuantifica con los valores ( X1, X2 ) al coincidir con el vértice; su valor
crecerá o bien decrecerá conforme a su traslado paralelo, según sean los
signos de sus términos.
5. Cualquier punto vértice que sea solución factible para el sistema de
restricciones que coincida con la recta de la función objetivo que resulte con
el valor mayor para un máximo o bien con el menor para un mínimo, según
el caso, es una solución óptima.
Variables de Holgura
Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidad asociada, la
administración de la empresa química desea tener información de uso de las tres
materias primas. Se puede obtener esta información reemplazando los valores
óptimos de las variables (X1=25, X2=20) en las restricciones del programa lineal.
Material consumido: solución óptima cera y pasta
La solución completa le indica a la administración que la producción de 25
toneladas de cera automotriz y de 20 toneladas de pasta pulidora requiere toda la
materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las cinco toneladas de la
materia prima 2. La tonelada de la materia prima 2 no utilizada se conoce como
holgura. En terminología de programación lineal, cualquier capacidad sin
utilizar y ociosa para una restricción igual o menor (≤) se llama holgura
asociada con la restricción, por lo que la restricción del recurso 2 tiene una
holgura de una tonelada.
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8. A menudo se agregan variables, conocidas como variables de holgura Hi, o bien
Xi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programación
lineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no hace
ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que se
incluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general,
las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derecho e
izquierdo de una restricción de tipo ≤.
Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemática
correspondiente al problema de la empresa química el modelo matemático se
convierte en:
Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresan en forma de
igualdades, se dice que el modelo matemático está en forma estándar. En el
problema se observa que en la solución óptima (X1=25, X2 =20), el valor de las
variables de holgura es:
Concepto físico de la holgura H2
También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de las
holguras. Observe que al determinar la solución óptima , el punto vértice que es
intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan la región factible
hasta ese punto vértice, por lo que la solución óptima requiere usar la totalidad de
estos dos recursos. Cuando en un gráfico se tienen rectas de restricción que sólo
tocan un vértice del conjunto factible o bien ningún punto del mismo, se identifican
como restricciones redundantes (sobrantes). En problemas con más de dos
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9. variables de decisión, se tienen métodos analíticos para detectar la redundancia.
En tal caso, la región factible se conserva igual, independientemente de que se
incluya o no una restricción redundante del problema, por lo tanto se pueden
eliminar sin que tengan ningún efecto sobre la solución óptima. Sin embargo, en la
mayor parte de los problemas de programación lineal, las restricciones
redundantes no se descartan porque no son reconocibles de inmediato como
tales. El problema no tiene restricciones redundantes pues todas las
restricciones forman la frontera de la región factible.
Observaciones y comentarios
1. En la forma estándar de un I.O, los coeficientes para las variables de
holgura son cero en la función objetivo, por lo tanto, las variables de holgura
que representan recursos sin utilizar, no afectan el valor de la función y se
pueden omitir. Pero en algunas aplicaciones, algunos o todos los recursos
no utilizados pueden venderse para recuperar valores y contribuir a la
utilidad. En estos casos las variables de holgura correspondientes se
convierten en variables de decisión que representan el total de recursos a
vender. Para cada una de estas variables, un coeficiente distinto de cero en
la función objetivo reflejará la utilidad asociada con la venta de una unidad
del recurso correspondiente.
2. Las restricciones redundantes no afectan la región factible; como
consecuencia, pueden eliminarse de un modelo de programación lineal sin
afectar la solución óptima. Sin embargo, si posteriormente se debe resolver
el modelo de programación lineal con algunos cambios en los datos, una
restricción previamente redundante se podría convertir en un recurso
limitante, por lo que se sugiere conservar todas las restricciones del modelo
de programación lineal, aun cuando se espere que una o más de ellas sean
redundantes.
Puntos extremos y solución óptima
Suponga que la contribución a la utilidad de una tonelada de pasta pulidora se
incrementa de 300 a 600 dólares, en tanto que la contribución a la utilidad de una
tonelada de cera automotriz y todas las demás restricciones se mantienen sin
modificación. La función objetivo se convierte en:
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10. Cambia óptimo: objetivo máximo Z = 400X1 + 600 X2
Si existe la solución óptima de un problema de programación lineal, se
puede encontrar en un punto extremo de la región factible del problema.
Esta propiedad significa que, si busca la solución óptima de un problema de I.O,
debe limitarse a evaluar y comparar los puntos de solución correspondientes a los
vértices de la región factible.”1
“METODO ALGEBRAICO
El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer un
método de solucionar un problema con dos variables.
En un problema de I.O con dos variables, si existe una solución única que optimice
la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región
factible acotada, nunca en el interior de dicha región.
Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma
idéntico valor en los puntos del segmento que determinan.
1
Tomado de http://www.buenastareas.com/ensayos/Problema-De-Programaci%C3%B3n-
Lineal/724197.html
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11. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no
alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se
encuentra en uno de los vértices de la región
La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a
permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
EJEMPLO
Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y
sujeto a: 4x + 5y 40
2x + 5y 30
x 0,y 0
1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones:
Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:
{ 4x + 5y = 40 , 2x + 5y = 30}. Solución { 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución:B
A(5,4) (0,8)
{ 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución:
{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0)
D(0,6)
{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. Solución : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)
2) Determinar los vértices de la región factible:
Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las
restricciones.
Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:
 B no cumple la segunda restricción 2x + 5y 30 , ya que 2·0 + 5·8 = 40 .
Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.
 E no cumple la primera restricción 4x + 5y 40 , ya que 4·15 + 5·0 = 60 .
Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.
Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la
región factible.
3) Calcular los valores de la función objetivo en los vértices:
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12. f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30
f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0
La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el
valor máximo. En este caso es el vértice D(0,6).
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc..
se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas
funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos
restricciones.
La solución de un problema , en el supuesto de que exista, debe estar en la región
determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región
factible, y puede estar o no acotada.
Región factible acotada Región factible no acotada
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las
desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono
convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.”2
2
http://www.investigacion-operaciones.com/Aspectos_Generales_PL.htm
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