El documento describe la distribución binomial y normal. La distribución binomial modeliza el número de éxitos que pueden ocurrir en una serie de ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito. La distribución normal es muy importante y puede aproximar la distribución de muchas variables. Representa fenómenos causados por pequeños efectos aleatorios que tienden a sumarse.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS
EXTENSIÓN – CIUDAD OJEDA
Autor: AIDEL JEREZ
MODELOS DE PROBABILIDAD
CIUDAD OJEDA 2017

2. La distribución normal es la más importante de todas las
distribuciones de probabilidad. Es una distribución de variable
continua con campo de variación [-¥ ,¥ ], que queda especificada a
través de dos parámetros ( que acaban siendo la media y la
desviación típica de la distribución).
Una variable aleatoria continua, X, definida en [-¥ ,¥ ] seguirá una
distribución normal de parámetros m y s , ( X ~ N(m ; s ) ) , si su
función de densidad es :

3. cuya representación gráfica es:

4. a) Enorme número de fenómenos que puede modelizar: Casi todas las
características cuantitativas de las poblaciones muy grades tienden a
aproximar su distribución a una distribución normal.
b) Muchas de las demás distribuciones de uso frecuente, tienden a
distribuirse según una Normal, bajo ciertas condiciones.
c) (En virtud del teorema central del límite).Todas aquellas variables que
pueden considerarse causadas por un gran número de pequeños efectos
(como pueden ser los errores de medida) tienden a distribuirse según una
distribución normal.
La probabilidad de cualquier intervalo se calcularía integrando la función
de densidad a lo largo de ese de intervalo, pero no es necesario nunca
resolver la integral pues existen tablas que nos evitan este problema.
F.G.M.: puede probarse que la función generatriz de momentos de una
distribución N(m ; s ) es:
f (t) = E(etx) = e(m t + ½ s2t2)
A partir de ella es fácil comprobar como efectivamente la media de la
distribución es el parámetro m y, cómo su varianza es el parámetro s .
Igualmente puede comprobarse que la distribución es simétrica y que su
curtósis es nula.

5. "CUALQUIER TRANSFORMACIÓN LINEAL DE UNA
VARIABLE ALEATORIA NORMAL TIENE TAMBIÉN
UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL DONDE LA MEDIA DE
LA NUEVA VARIABLE ES LA MISMA
TRANSFORMACIÓN LINEAL DE LA MEDIA DE LA
ANTIGUA Y DONDE LA DESVIACIÓN TÍPICA ES LA
DESVIACIÓN TÍPICA ANTIGUA MULTIPLICADA POR
EL COEFICIENTE ANGULAR DE LA
TRANSFORMACIÓN":

6. Nos encontramos con un modelo derivado de un proceso experimental
puro, en el que se plantean las siguientes circunstancias.
· Se realiza un número n de pruebas (separadas o separables).
· Cada prueba puede dar dos únicos resultados A y Ã
· La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un
resultado à es q, con q= 1-p, en todas las pruebas. Esto implica que las
pruebas se realizan exactamente en las mismas condiciones y son , por
tanto ,independientes en sus resultados. Si se trata de extracciones,
(muestreo), las extracciones deberán ser con devolución
(reemplazamiento) , o bien población grande (M.A.S). A este respecto
hagamos una consideración:

7. si el proceso consiste en extraer individuos de una población y observar
si poseen cierta característica: el parámetro n será el número de
extracciones (tamaño muestral) y el parámetro p la proporción de
individuos de la población que poseen la característica en cuestión. Se
ha comentado que para que la probabilidad, de que en cada extracción
obtengamos un individuo poseedor de la característica sea constante en
todas la pruebas es necesario que las proporciones poblacionales no
cambien tras cada extracción es decir se reemplace cada individuo
extraído .Sin embargo si la población es muy grande, aunque no
reemplacemos los individuos extraídos las variaciones en las
proporciones de la población restante serán muy pequeñas y, aunque
de hecho las probabilidades de, obtener un éxito varíen tras cada
prueba, esta variación será muy pequeña y podremos considerar que
son constantes .

8. Ilustremos con un ejemplo
Supongamos que una ciudad hay 1000000 de habitantes de los
cuales 450000 son varones y 550000 son mujeres . Si extraemos
un individuo al azar la probabilidad. de que sea mujer será
Si repetimos esta prueba varias veces y no reponemos "en el saco"
al sujeto extraído la probabilidad de obtener una mujer en cada
siguiente extracción variará, al variar la composición por sexos de
la población restante. Sin embargo, al ser la población tan grande,
la variación de esta probabilidad con cada sucesiva prueba será
prácticamente despreciable y podremos considerar, en la práctica
que las probabilidades son constantes: en efecto:

9. Si por el contrario en la primera prueba se obtiene un varón la
probabilidad de obtener una mujer el siguiente será:

10. Por lo tanto bien podríamos considerar que la probabilidad de
extraer una mujer en sucesivas elecciones aleatorias es constante.
En consecuencia, si consideráramos el muestreo de 10 individuos
de esa ciudad, aunque no reemplazáramos las extracciones, la
variable aleatoria x = número de mujeres obtenidas en las diez
extracciones, seguiría una distribución binomial de parámetros n =
10 Y p= 0.55.

11. Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable
discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización
de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos
de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de
espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias
restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de
procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la
probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

12. Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que
tengamos las siguientes características
 Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o
a lo largo de un espacio de observación
 Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una
manera no determinística.
 La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de
amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)
 La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente
proporcional a la amplitud del intervalo.
 La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un
infinitésimo de orden superior a dos.
En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca
más de uno
 Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique
o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio",
la variable X se distribuye con una distribución de parámetro l . Así :