Este documento resume tres distribuciones de probabilidad: binomial, Poisson y normal. La distribución binomial describe eventos de "éxito/fracaso" que ocurren en una serie de ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito. La distribución de Poisson modela eventos aleatorios que ocurren continuamente en el tiempo o espacio. La distribución normal es ampliamente utilizada y aproxima la distribución binomial para grandes valores de n. El documento también presenta fórmulas clave como funciones de probabilidad y generadoras de momentos para cada distribución.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSIRTARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
BARINAS-ESTADO-BARINAS
Distribucion normal binominal y
Poisson
ESTUDIANTE
Rosmary María Pacheco Marquina V-23916201
Kelvis Joan Pineda Gallardo V-24.807.126
Astrid Karina Moreno Duran V-25399079
Ana María Benavente V-18289829
ESTADISTICA II
BARINAS, FEBRERO DEL 2017

2. INTRODUCCION
En este trabajo estudiaremos dos de las principales distribuciones de variables aleatorias
discretas y la distribución Normal que se puede aplicar tanto para variables aleatorias
discretas como para variables aleatorias continuas.
Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado
mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable
aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado.
El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos
los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada
uno de los resultados.

3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Para hablar de la distribución Binomial primero tenemos que decir que esta dada por la
sumatoria de eventos bernoulli, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica),
nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de
probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la
probabilidad de fracaso (q = 1 − p).
Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único
experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria
X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.
X˜Be(p)
La fórmula será:
f(x) = px(1 − p)1 − x con x = {0,1}
Su función de probabilidad viene definida por:

4. La distribución binomial es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse
cinco condiciones:
 Existe una serie de N ensayos,
 En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados,
 En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes,
 Los resultados de cada ensayo son independientes entre si, y
 La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de un
ensayo a otro.
Su función de probabilidad es
donde
siendo las combinaciones de n en x (n elementos tomados de x en
x)
La esperanza y la varianza son
La Función de Distribución de la v.a. Binomial

5. Las siguientes características son las que describen a una distribución Binomial
 Función generadora de momentos (mgf)
 Función característica
DISTRIBUCIÓN POISSON
La distribución Poisson fue nombrada así en honor a Denise Poisson en su libro
Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad
publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía. La distribución de
Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o
intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre
es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual
ocurre algunas veces.
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta. asi tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media
conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.
La función de masa de la distribución de Poisson es:

6. donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno
modelado por la distribución.
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de
Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ
cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor
esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-
ésimo momento iguala al número de particiones de tamañon.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual
a la parte entera de lamda, el mayor de los enteros menores que λ . Cuando λ es un entero
positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a
otra de parámetro λ es

7. Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de λ, una
variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente
Converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.
Función de distribución(cdf)
Función característica
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un
artículo del año 1733,2 que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of
Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para
grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libroTeoría analítica de
las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.
Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en
1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado
a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos3 y

8. algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.4 Esta
atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es
un claro ejemplo de la Ley de Stigler.
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio
nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la
que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica
tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se
aproximan a una curva en "forma de campana".
Función de densidad
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).

9. Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los
valores μ = 0 y σ = 1. Para esta la función de densidad tiene la siguiente expresión:
La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
La función generadora de momentos se define como la esperanza de e(tX). Para una
distribución normal, la función generadora de momentos es:
como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.
La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad
imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la
función generadora de momentos.

10. Para una distribución normal, la función característica es:
APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL (TEOREMA DE DE
MOIVRE) :
Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén
próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una
distribución normal

11. EJERCICIOS

12. CONCLUSIONES
Las distribuciones que en este trabajo se trataron brevemente están relacionadas entre sí
cubriendo más aplicaciones a la vida real, en general podemos decir que cada una de estas
aporta a campos trascendentales desde hospitales hasta política, ya que la exactitud en los
resultados que estas nos ofrecen facilitan la toma de decisiones para grandes instituciones.