Es un analisis breve no tan profundo en FM, adjunto unos 3 problemas basicos para poder entender como usar las formulas que nos ayudan a poder analizar y entender la modulacion de FM. Espero que les sea de gran utilidad :)

1. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
2. Modulación de Frecuencia (FM)
2.1 Ecuación de la señal:
La siguiente función que se muestra es la función de la señal FM básica.
Así como en AM, hay el índice de modulación también en FM, pero en este caso, el índice de
modulación 𝑚 𝑓 produce varios armónicos, los cuales en un analizador de espectro nos mostraría la
siguiente imagen:
Lo cual para analizar y cuantificar la señal FM es necesario contar con la señal de Bessel.
𝑣 𝐹𝑀 = 𝑉𝑝 sin[2𝜋𝑓𝑝 𝑡 + 𝑚 𝑓 sin(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)]

2. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
Quedando la señal de la siguiente forma, la cual es la señal original que será emitida a través de la
antena emisora:
𝑣 𝐹𝑀 = 𝑉𝑝{𝐽0 sen[𝜔 𝑝 𝑡] + 𝐽1[sen(𝜔 𝑝 + 𝜔 𝑚)𝑡 − sen(𝜔 𝑝 − 𝜔 𝑚)𝑡] + 𝐽2 sen[(𝜔 𝑝 + 2𝜔 𝑚)𝑡 + sen(𝜔 𝑝 − 2𝜔 𝑚)𝑡]
+ 𝐽3 sen[(𝜔 𝑝 + 3𝜔 𝑚)𝑡 − sen(𝜔 𝑝 − 3𝜔 𝑚)𝑡]
+ 𝐽4 sen[(𝜔 𝑝 + 4𝜔 𝑚)𝑡 + sen(𝜔 𝑝 − 4𝜔 𝑚)𝑡] + ⋯}
2.2 Índice de Modulación:
Dónde:
𝑓𝑑 : Desviación de Frecuencia (𝛿)
𝑓𝑚 : Frecuencia Moduladora
2.3 Ancho de Banda:
Dónde:
N: Número de bandas laterales significativas en la señal
𝐵𝑊 = 2𝑓𝑚 𝑁
𝑚 𝑓 =
𝑓𝑑
𝑓𝑚

3. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
Según la regla de Carson, la fórmula del ancho de Banda seria de la siguiente forma.
2.4 Porcentaje de Modulación:
Primero debemos saber lo siguiente;
 En la radio FM tenemos las características máxima permitidas.
𝑓𝑑(𝑚á𝑥) = 75𝐾𝐻𝑧 : Desviación de Frecuencia máxima
𝑓 𝑚(𝑚á𝑥) = 15𝐾𝐻𝑧 : Frecuencia Moduladora máxima
 En audio TV FM tenemos las características máxima permitidas.
𝑓𝑑(𝑚á𝑥) = 25𝐾𝐻𝑧
𝑓 𝑚(𝑚á𝑥) = 15𝐾𝐻𝑧
Por lo tanto conociendo esto la fórmula del porcentaje de modulación sería de la siguiente forma:
Dónde:
𝛿 𝑎 : Desviación Actual de la Portadora
𝛿 𝑚 : Desviación Máxima de la Portadora
𝐵𝑊 = 2[𝑓𝑑(𝑚á𝑥) + 𝑓 𝑚(𝑚á𝑥)]
𝐹𝑀% 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
𝛿 𝑎
𝛿 𝑚
100

4. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
2.5 Ruido y Corrimiento de fase:
En FM, la señal ruido es muy frecuente, las siguiente formulas nos ayudará a poder solucionar ese
fenómeno no deseado.
También lo siguiente:
Dónde:
𝛿 : Desviación de la frecuencia que produce el ruido
𝜑 : Corrimiento de fase en radianes
𝑓𝑚 : Frecuencia de la señal moduladora
2.6 Potencia Promedio en FM:
Así como se trabajó en valores RMS en la modulación AM, también debemos hallar primero los
valores RMS en FM de la señal.
 Voltaje RMS dela señal modulada
Dónde:
𝑉𝑐 : Voltaje de la portadora sin modulación
 Ahora la potencia efectiva o promedio espectral es la siguiente:
2.7 Problemas propuestos
1. Una señal FM tiene una desviación de frecuencia de 3 kHz y una frecuencia moduladora de 1
kHz. Su potencia total 𝑃𝑇 es 5W, desarrollada a través de una carga resistiva de 50Ω. La
frecuencia portadora es de 160 MHz.
a) Calcule el voltaje de señal RMS VT.
b) Calcule el voltaje RMS a la frecuencia de la portadora y cada uno de los tres primeros pares de bandas laterales.
c) Para los primeros tres pares de bandas laterales, calcule la frecuencia de cada banda lateral.
d) Calcule la potencia a la frecuencia de la portadora y a cada una de las frecuencias de bandas laterales determinadas en
el inciso (c).
e) Determine qué porcentaje de la potencia de señal total representan los componentes descritos antes.
f) Trace la señal en el dominio de la frecuencia, como se vería en el analizador de espectro. La escala vertical debe ser la
potencia en dBm y la escala horizontal la frecuencia.
𝜑 = 𝑠𝑒𝑛−1
(
𝑁
𝑆
)
𝑉𝑚 = 𝐽 𝑛(𝛽)𝑉𝑐
𝑃𝑛 =
𝑉𝑛
2
𝑅
𝛿 = 𝜑(𝑓𝑚)

5. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
Solución:
a) La potencia de la señal no cambia con la modulación ni el voltaje, lo cual se ve fácilmente el
cálculo de la ecuación de potencia.
Calcule el voltaje de señal RMS VT.
𝑉𝑇 = √𝑃𝑇 𝑅 𝐿
= √5𝑊 × 50Ω => 15.8 𝑉 (𝑅𝑀𝑆)
b) El índice de modulación debe calcularse a fin de usar las funciones de Bessel, para calcular los
voltajes de la portadora y las bandas laterales.
Calcule el voltaje RMS a la frecuencia de la portadora y cada uno de los tres primeros pares de bandas laterales.
=
3 𝑘𝐻𝑧
1 𝑘𝐻𝑧
=> 3
A partir de la tabla de Bessel, los coeficientes para la portadora y los primeros tres pares de
bandas laterales son:
𝐽0 = −0.26 𝐽1 = 0.34 𝐽2 = 0.49 𝐽3 = 0.31
Éstos son voltajes normalizados, así que tendrán que multiplicarse por el voltaje de señal total
RMS, para obtener los voltajes RMS de las bandas laterales y de la portadora.
Para la portadora se tiene lo siguiente:
𝑉𝑐 = 𝐽0 𝑉𝑇
Como se puede ver en la tabla, 𝐽0 tiene signo negativo. Esto indica una relación de desfase entre
los componentes de la señal. Para el propósito actual, simplemente se ignorará el signo, y se
utilizará:
𝑉𝑐 = 𝐽0 𝑉𝑇
= 0.26 × 15.8𝑉 => 4.11𝑉
De manera similar, se determina el voltaje para cada uno de los tres pares de bandas laterales.
Como se puede observar, son voltajes, los cuales darán origen a las bandas laterales en el
espectro.
𝑚 𝑓 =
𝑓𝑑
𝑓𝑚
𝑃𝑇 =
𝑉𝑇
2
𝑅 𝐿

6. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
𝑉1 = 𝐽1 𝑉𝑇
= 0.34 × 15.8𝑉 => 5.37𝑉
𝑉2 = 𝐽2 𝑉𝑇
= 0.49 × 15.8𝑉 => 7.74𝑉
𝑉3 = 𝐽3 𝑉𝑇
= 0.31 × 15.8𝑉 = 4.9𝑉
c) Las bandas laterales se separan de la frecuencia de la portadora por múltiplos de la frecuencia
moduladora. Aquí, 𝑓𝑃=160 MHz (Portadora) y 𝑓𝑚=1 kHz (Moduladora), así que hay bandas
laterales en cada una las frecuencias siguientes:
Para los primeros tres pares de bandas laterales, calcule la frecuencia de cada banda lateral.
𝑓𝐵𝐿𝑆1
= 160 𝑀𝐻𝑧 + 1𝑘𝐻𝑧 => 160.001 𝑀𝐻𝑧
𝑓𝐵𝐿𝑆2
= 160 𝑀𝐻𝑧 + 2𝑘𝐻𝑧 => 160.002 𝑀𝐻𝑧
𝑓𝐵𝐿𝑆3
= 160 𝑀𝐻𝑧 + 3𝑘𝐻𝑧 => 160.003 𝑀𝐻𝑧
𝑓𝐵𝐿𝐼1
= 160 𝑀𝐻𝑧 − 1𝑘𝐻𝑧 => 159.999 𝑀𝐻𝑧
𝑓𝐵𝐿𝐼2
= 160 𝑀𝐻𝑧 − 2𝑘𝐻𝑧 => 159.998 𝑀𝐻𝑧
𝑓𝐵𝐿𝐼3
= 160 𝑀𝐻𝑧 − 3𝑘𝐻𝑧 => 159.997 𝑀𝐻𝑧
d) Puesto que cada uno de los componentes de la señal es una sinusoide, para calcular la potencia
puede usarse la ecuación común. Los componentes aparecen a través de la misma carga de 50Ω.
Calcule la potencia a la frecuencia de la portadora y a cada una de las frecuencias de bandas laterales determinadas en el
inciso (c).
𝑃𝑐 =
𝑉𝑐
2
𝑅 𝐿
=
4.112
50
=> 0.338𝑊
𝑃1 =
𝑉𝑐
2
𝑅 𝐿
=
5.372
50
=> 0.576𝑊
𝑃2 =
𝑉𝑐
2
𝑅 𝐿
=
7.742
50
=> 1.2𝑊
𝑃3 =
𝑉𝑐
2
𝑅 𝐿
=
4.92
50
=> 0.48𝑊
Para calcular la potencia total 𝑃𝑇 en la portadora y los primeros tres pares de bandas laterales, se
sumar las potencias calculadas antes, contando cada una de la potencias de bandas laterales dos
veces, porque cada una de las potencias calculadas representa un componente de un par de
bandas laterales. Y la portadora solo es una vez ya que es la principal banda.

7. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
𝑃𝑇 = 𝑃𝑐 + 2(𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3) = 0.338 + 2(0.576 + 1.2 + 0.48)𝑊 => 4.85𝑊
Esta potencia de señal total obtenida no es la total que se dio como 5 W. El resto está en las
bandas laterales adicionales.
e) Para hallar cuánto corresponde a la portadora y los primeros tres pares de bandas laterales,
puede restarse. Llámese P, a la diferencia.
Determine qué porcentaje de la potencia de señal total representan los componentes descritos antes.
𝑃𝑥 = 5 − 4.85
= 0.15𝑊
Como porcentaje de la potencia total de los componentes laterales es.
𝑃𝑥(%) = (
0.15
5
) 100
= 3%
Por lo tanto, la potencia total de la portadora y los 3 primeros pares de banda lateral es 97%
f) Tenemos toda la información para construir la gráfica, excepto que se tienen que convertir los
valores de potencia a dBm por medio de la ecuación:
Trace la señal en el dominio de la frecuencia, como se vería en el analizador de espectro. La escala vertical debe ser la
potencia en dBm y la escala horizontal la frecuencia.
Se obtiene que
𝑃𝑐(𝑑𝐵𝑚) = 10𝑙𝑜𝑔338 => 25.3 𝑑𝐵𝑚
𝑃1(𝑑𝐵𝑚) = 10𝑙𝑜𝑔576 => 27.6 𝑑𝐵𝑚
𝑃2(𝑑𝐵𝑚) = 10𝑙𝑜𝑔1200 => 30.8 𝑑𝐵𝑚
𝑃3(𝑑𝐵𝑚) = 10𝑙𝑜𝑔480 => 26.8 𝑑𝐵𝑚
La gráfica se muestra en la figura:
𝑃(𝑑𝐵𝑚) = 10𝑙𝑜𝑔
𝑃
1𝑚𝑊

8. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
2. Estimar el ancho de banda requerido por un sistema de radiodifusión sonora de FM, que
transmite señales de audio en la banda de 20 Hz a 15 KHz, con una desviación máxima de
frecuencia de 75 KHz, de modo que se transmita aproximadamente el 99% de la potencia de la
señal modulada cuando la frecuencia de la señal moduladora es de 15 KHz.
Solución:
Para poder hallar el ancho de banda necesario primero debemos saber el índice de modulación 𝑚 𝑓
=
75𝐾𝐻𝑧
15𝐾𝐻𝑧
=> 5
Ahora, de la tabla de Bessel, juntamente con el índice de modulación podemos saber cuántas
bandas laterales se tendrá. A partir de la fórmula siguiente:
= 2(15𝐾𝐻𝑧)(8) => 240𝐾𝐻𝑧
Esto sería para una transmisión del 100% pero es un hipotético caso. En este caso se requiere un
99% a lo mucho. Según lo investigado, solo las 6 primeras bandas son las que aportan mayor
porcentaje de potencia transmitida que es el 98.78%, por lo tanto la ecuación seria de la siguiente
forma:
= 2(15𝐾𝐻𝑧)(6) => 180𝐾𝐻𝑧
Podemos comprobar que el 98.78% de la señal transmitida, está en las 6 primeras bandas
laterales, con los siguientes análisis se verá esto:
De la tabla de Bessel tenemos los voltajes normalizados de las armónicos que genera la señal.
𝐽0 = −0.18 𝐽1 = −0.33 𝐽2 = 0.05 𝐽3 = 0.36 𝐽4 = 0.39 𝐽5 = 0.26 𝐽6 = 0.13
También aquí presenta una contrafase en el signo negativo pero en este caso se emitirá.
𝑉𝑐 = 𝐽0 𝑉𝑇 = 0.18 ×?
Ya que el enunciado no nos da detalle de 𝑉𝑇 𝑜 𝑃𝑇 tendremos que basarnos en la fórmula de la
propiedad de Bessel:
𝑚 𝑓 =
𝑓𝑑
𝑓𝑚
𝐵𝑊 = 2𝑓𝑚 𝑁
𝑃𝐹𝑀 = [𝐽0(𝛽)]2
+ 2 ∑[𝐽 𝑛(𝛽)]2
∞
𝑛=1

9. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
Ahora de lo ya calculado de las 6 bandas laterales tenemos lo siguiente:
𝑃𝐹𝑀 = [0.18)]2
+ 2 ∑[𝐽 𝑛(5)]2
6
𝑛=1
= [0.18)]2
+ 2[0.4777] => 0.9878 => 98.78%
3. Si la entrada a un receptor de FM tiene una S/N de 2.8, la señal moduladora es de 1.5KHz y la
desviación máxima permitida es de 4KHz, ¿Cuáles son a) la desviación de frecuencia causada por
el ruido y b) la relación mejorada de señal a ruido en la salida S/N?
Solución:
a) la desviación de frecuencia causada por el ruido
= 𝑠𝑒𝑛−1 (
1
2.8
) = 20.92 𝑜
=> 0.3652𝑟𝑎𝑑
Recordando que 𝛿 Desviación de la frecuencia que produce el ruido es:
= 0.3652(1.5𝐾𝐻𝑧) => 547.8 𝐻𝑧
b) la relación mejorada de señal a ruido en la salida S/N
𝑁
𝑆
=
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑢𝑖𝑑𝑜
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎
=
547.8𝐻𝑧
4𝐾𝐻𝑧
=> 0.13685
Por lo tanto:
𝑆
𝑁
=
1
𝑁
𝑆⁄
=> 7.3
𝜑 = 𝑠𝑒𝑛−1
(
𝑁
𝑆
)
𝛿 = 𝜑(𝑓𝑚)

10. Alumno: Zevallos Carlos, Gustavo
2.8 Observaciones:
El análisis que se realizó a la modulación en frecuencia FM, se tuvo que ver varias características,
ya que este tipo de modulación presenta una característica de innumerabilidad al ruido, esto
debido a los estudios muy minuciosos de la señal ruido (S/N) lo cual es producido por las
frecuencias infiltradas en la señal debido al ruido ya sea blanco, ambiental, circuital, etc., y los
armónicos es este presenta.
2.9 Conclusiones
 La tabla de Bessel fue y es de gran utilidad a la hora de evaluar la potencia de las bandas
laterales.
 La señal FM, siempre presentará un ancho de banda mayor a la AM, ya que en su forma
de ecuación que se estudió, presenta armónicos los cuales son las bandas laterales.
 FM es muy eficiente ante el ruido, pero esto referido al ancho de banda BW es muy
perjudicial que se presenta interferencias
Bibliografia:
1. https://es.slideshare.net/ralch1978/fm-frecuencia-modulada-frecuencia-de-fase-38039971
2. http://lmi.bwh.harvard.edu/papers/pdfs/2003/martin-fernandezCOURSE03g.pdf
3. Sistemas Electrónicos de Comunicaciones – Frenzel cap5.
4. http://www.profesores.frc.utn.edu.ar/electronica/ElectronicaAplicadaIII/Aplicada/Cap06FM1-2.pdf
5. http://personales.unican.es/perezvr/pdf/CH6ST_Web.pdf