Este documento presenta un experimento para validar experimentalmente el teorema de Steiner sobre el momento de inercia. Se midió el período de oscilación de un disco colocado sobre ejes paralelos a distintas distancias de su centro de masa, validando que el momento de inercia y el período aumentan con la distancia al eje de rotación, como predice el teorema. También se calculó la constante de restauración del resorte usado, aunque hubo discrepancias atribuidas a errores de medición.

1. F´ısica I Lab. Mec´anica
Momento de Inercia
Jairo Zabala Contreras - Jesus Buitrago Mora
Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas,
Facultad de Ingenier´ıas Universidad C´ordoba,
C´ordoba-Colombia.
14 de junio de 2016
Resumen
En este informe se pretende mostrar la validez experimental del teorema de Steiner (tambi´en
llamado teorema de los ejes paralelos) a trav´es de un montaje sencillo donde solo se dispone un
disco, con una masa de 450gr y con una densidad uniforme, sobre un eje de rotaci´on fijo que dispone
de un resorte del cual sabemos su constante de restauraci´on.
Palabras Claves: Periodo, Rotaci´on, Momento de inercia
I. MARCO TE´ORICO
La resistencia que un objeto en rotaci´on opone al cam-
bio de su velocidad de giro se conoce como momento de
inercia; el momento de inercia es, pues, una medida de la
inercia rotacional de un cuerpo, o en otras palabras, es
una magnitud escalar que refleja la distribuci´on de masas
de un cuerpo o sistema de part´ıculas en rotaci´on respec-
to al eje de giro. Es importante resaltar que el momento
de inercia solo depende de la geometr´ıa del cuerpo y de
la posici´on del eje de giro, y esto es, no depende de las
fuerzas que intervienen en el movimiento.
Ecuaciones del momento de inercia
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento
de inercia viene dado por la siguiente expresi´on:
I ≡ mr2
(1)
donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje
de rotaci´on. En el caso de un sistemas de part´ıculas y un
eje arbitrario, se define como sigue:
I ≡ miri
2
(2)
Y para un cuerpo de masa continua, se puede generalizar
as´ı:
I ≡ V
r2
dm(3)
El sub´ındice V de la integral indica que se integra sobre
todo el volumen del cuerpo.
An´alogamente a la masa que se puede definir como
la resistencia que presenta un objeto a ser acelera-
do en traslaci´on, el momento de inercia es la resis-
tencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en ro-
taci´on; de esta forma, podemos definir la segunda ley
de Newton equivalente para la rotaci´on como sigue:
τ = Iα(4)
donde τ es el momento aplicado al cuerpo, I es el momen-
to de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotaci´on,
y α es la aceleraci´on angular.
Si seguimos, en este orden de ideas podemos extrapolar
las ecuaciones para la energ´ıa cin´etica de un cuerpo en
rotaci´on con velocidad angular ω y la expresi´on equiva-
lente para la conservaci´on del momento angular:
KR = 1
2 Iω2
; y
−→
L = I−→ω (5)
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner establece que el momento de iner-
cia con rspecto a cualquie eje paralelo a un eje que pasa
por el centro de masa, es igual al momento de inercia
con respecto al eje que pasa por el centro de masa m´as el
producto de la masa por el cuadrado de la distacia entre
los dos ejes:
I = ICM + mh2
(6)
Momento Inercia de un Disco delgado
El momento de inercia de un disco de masa M y radio R
respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que
pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje
de rotaci´on. El elemento es un anillo de radio x y de
anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos,

2. 2
podr´ıamos ver un rect´angulo de longitud 2πx y de un
ancho dx, cuya masa es:
dm = M
πR2 2πxdx(7)
El momento de inercia del disco para el eje de rotaci´on
en su centro de masa ser´a:
ICM =
R
0
2M
R2 x3
dx = 1
2 MR2
(8)
II. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO
Materiales usados
Eje de rotaci´on
Disco con agujeros diametrales
Balanza de resorte transparente 2N
Barrera de luz con contador
Fuente de alimentaci´on 5 V DC /2.4A
Base de tr´ıpode
Base del tambor
Regla de pl´astico de 20 cm
Montaje y procedimiento
El montaje experimental se dispone como se muestra
en la imagen. Para medir el factor de la restauraci´on
angular, el disco es fijo con el eje de rotaci´on en su
centro de gravedad; con la balanza de resorte, que act´ua
en un agujero en el disco, se mide la fuerza necesaria
para desviar el disco un ´angulo dado. A medida que
se efect´uan las repeticiones, el brazo de palanca forma
un ´angulo recto con el muelle a equilibrar. Resulta
conveniente seleccionar un ´angulo no mayor de 180o
, ya
que de esta forma la fila de agujeros se puede utilizar
como un ”transportador”.
Para medir el per´ıodo de vibraci´on del disco, una
pesta˜na (con un ancho de 3mm) se ha coloca adelante,
en la l´ınea de la fila de agujeros como referencia para
modificar la lectura del sensor. La barrera de luz es
empujada sobre esta pesta˜na con el disco en su posici´on
de descanso. El disco es desviado 90o
y el ciclo de
medio tiempo de la vibraci´on se mide con el contador,
en sentido anti-horario y dichas mediciones se promedian.
III. RESULTADOS Y AN ´ALISIS
Como se menciona en la secci´on anterior, el disco se
hace rotar a trav´es de ejes de rotaci´on diferetes, de esta
forma Io ser´a el momento de inercia del disco con el eje
de rotaci´on en su centro de masa y en adelante I1, I2 e
I3 vendr´an siendo los momentos de inercia para ejes de
rotaci´on distanciados 3cm cada uno. As´ı, pues, faltar´ıa
calcular cada uno de los momentos de inercia anteriores
aplicando el teorema de ejes paralelos.
Si Io = 1
2 MR2
, y si R = 0,15m y M = 0,45kg
I1 = Io + M0,062
= 0,00506 + 0,0016 = 0,0067Nm(9)
I2 = Io + M0,122
= 0,00506 + 0,0144 = 0,0115Nm(10)
I3 = Io + M0,152
= 0,00506 + 0,0225 = 0,0152Nm(11)
Dado lo anterior podemos presentar los resultados
obtenidos en la sesi´on de laboratorio y que se encuentran
en la tabla a continuaci´on:
La tabla anterior nos muestra el per´ıodo de oscilaci´on
para cada configuraci´on del disco, es decir, para cada eje
paralelo. A continuci´on se muestra la relaci´on entre el
per´odo y el momento de inercia en una sola tabla:
Inicialmente graficamos T Vs I:
Pero debemos tener en cuenta que para nuestro caso el
per´ıodo viene dado por la expresi´on:

3. 3
T = 2π I
K (12)
donde K es la constante de restauraci´on del resorte; y
por lo tanto, nos interesa ver el comportamieto de la
gr´afica de T Vs
√
I.
Como vemos, obtendremos una l´ınea recta y se podr´a
establecer la relaci´on de proporci´on entre Los periodos
de oscilaci´on y el momento de inercia. Adicional-
mente podemos calcular el valor experimental para
la constante de restituci´on del resorte ya que de
la gr´afica 2 podemos comparar dicha aproximaci´on
obtenida a partir del m´etodo de los m´ınimos cua-
drados con la ecuaci´on (12), de esta forma tenemos:
14,54 = 2π√
K
(13)
De donde obtenemos, K = 0,19, pe-
ro por otro lado tenemos que te´oricamente
K = 4π2
T 2 I (14)
si calculamos el valor de K con esta ecuaci´on, obtenemos:
K = 0,03
Dicho valor dista mucho del valor experimental, la
discrepancia se puede atribuir sobre todo a errores
de medici´on, falta de calibraci´on de medidas, falta de
precisi´on y exactitud en el desarrollo del laboratorio.
[1] HEWITT, Paul. Conceptos de F´ısica, Ed Limusa S.A. No-
vena Ed. M´exico, 1999
[2] WILSON, BUFFA, LOU, F´ısica, Ed. Pearson, Sexta Ed.
M´exico, 2007
[3] SERWAY, Raymond. F´ısica, Ed McGraw-Hill, Cuarta Ed,
M´exico, 1999