Este documento trata sobre el cálculo del interés compuesto. Explica las definiciones de interés compuesto, monto, capital, tasa efectiva y períodos de capitalización. Luego presenta fórmulas y ejemplos para calcular el monto, capital inicial, tasa efectiva y tiempo en diferentes escenarios de interés compuesto. Finalmente, introduce conceptos como tasa nominal, tasa proporcional y tasa equivalente.

1. MATEMÁTICA FINANCIERA
PEDRO PRADA VEGA
INTERÉS COMPUESTO
01/05/2012 1

2. OBJETIV0S
 Diferenciar los factores que
intervienen en el cálculo del interés
compuesto.
 Uniformizar las unidades de tiempo de
la tasa efectiva y los períodos de
capitalización.
 Deducir correctamente las fórmulas
que se deriven del interés compuesto.

3. OBJETIV0S
 Representar gráficamente los
diagramas tiempo - valor, flujos de caja.
 Plantear y resolver las ecuaciones
equivalentes.
 Adquirir la destreza y habilidad para los
cálculos de los factores:
Monto, capital, tasa efectiva (tasa
nominal ), períodos de capitalización.

4. INTERÉS COMPUESTO
En los problemas de interés
simple, el capital que
genera los intereses
permanece constante todo
el tiempo de duración del
préstamo.

5. INTERÉS COMPUESTO
Si en cada intervalo de tiempo convenido
en una obligación se agregan los
intereses al capital, formando un monto
sobre el cual se calcularán los intereses
en el siguiente intervalo o período de
tiempo, y así sucesivamente, se dice que
los intereses se capitalizan y que la
operación financiera es a interés
compuesto.

6. INTERÉS COMPUESTO
En una operación financiera a
interés compuesto, el capital
aumenta cada final de
período, pues se le adicionan
los intereses vencidos a la
tasa convenida.

7. Definición:
El interés compuesto es una
sucesión de operaciones a interés
simple, en la que después del primer
período de capitalización su monto
constituye el capital inicial en el
siguiente período de capitalización y
así sucesivamente.

8. CÁLCULO DEL MONTO
S1 S2 S3 Sn-1 Sn
P
0 1 2 3 n-1 n

9. CÁLCULO DEL MONTO
S1 P Pi P 1 i
2
S 2 S1 S1 i S1 1 i P 1 i 1 i P1 i
2 3
S3 S2 S2 i S2 1 i P1 i 1 i P1 i
n 1 n
Sn Sn 1 Sn 1 i Sn 1 1 i P1 i 1 i P1 i

10. CÁLCULO DEL MONTO
n
S P1 i
n
j
S P 1
m
H
j f
S P 1
m

11. Donde:
P=Capital inicial, valor presente, valor actual.
S=Monto o valor futuro de un capital a interés compuesto. Es
el valor del capital final o acumulado, después de
sucesivas adiciones de los intereses.
i=Tasa efectiva fijada por períodos de capitalización.
j=Tasa nominal anual (TNA), mensual (TNM), semestral
(TNS).
m= Número de períodos de capitalización en el
año, mes, semestre.
j
i
m

12. Donde:
N=Períodos de capitalización en el
horizonte de tiempo.
H=Horizonte de tiempo. Es el número de
días de la operación financiera.
f=Número de días del período de
capitalización.
H
n
f

13. 1.- Calcular el monto de un capital inicial
de S/. 5 000 colocado durante 2 3/4 de
año a una tasa efectiva anual (TEA)
del 24 %.
S= ?
P= S/. 5 000
n= 2 3/4 año =2.75 años
i= 0.24 (tasa efectiva anual)
S 5000 (1 0.24 ) 2.75 S / . 9034

14. 2.- Halle el monto de un capital inicial
de S/. 3 000, colocado durante 10
meses a una tasa efectiva
mensual (TEM) de 2.75 %.
10
S 3000 (1 0 0275 ) S / . 3934 95

15. 3.- Cuál es el monto de un depósito de S/. 10
000, impuesta a una tasa efectiva
quincenal (TEQ) de 0.75% durante 3 1/2
meses.
=10000*(1+0.0075)^7
10536.9613

16. n
S P 1 i
1
S n
i 1
P
n S
P S1 i Log( )
P
n
Log(1 i )

17. 4.- Qué capital inicial debe colocarse en una
entidad financiera que paga una tasa
efectiva anual (TEA) del 25%, para que en
1 1/2 año pueda obtenerse un importe
capitalizado de S/. 8 500.
P=?
S=8 500
n = 1.5 años
i = 0.25
1.5
P 8500 1 0.25 S / .6082.11
8500
P 1.5
S / . 6082.11
(1 0.25)

18. 5.- A qué tasa efectiva anual (TEA) ha sido
colocado un capital de S/. 6800, si al
cabo de 1 ½ año se obtuvo una
capitalización de S/. 10 300.
P=6 800
S=10 300
n=1.5 años
1
10300 1. 5
i 1
6800
10300
i 1 .5 1 0.318921277
6800
i 31.8921277 %

19. 6.- Determine el tiempo en años de un
capital de S/. 5000, colocado al
30% de tasa efectiva anual
(TEA), el cual permitió un monto de
S/. 7913.54.
7913.54
P=5000 Log( )
n 5000 1.75 años
S=7913.54 Log(1 0.30)
i=0.30
Si se hubiese pedido en meses sería:
1.75 x 12 = 21 meses.

20. Factor simple de capitalización
FSC i,n = (1+i)n
El factor simple de capitalización a
una tasa “i” por período, durante “n”
períodos transforma una cantidad
presente “P” a un valor futuro “S”:
S P* FSCi ,n

21. Factor simple de actualización
FSA i,n= (1+i)-n
El factor simple de actualización a una
tasa “i” por período, durante “n”
períodos, tiene como función traer al
presente “P” cualquier cantidad futura
“S”.
P S * FSAi ,n

22. Gráfica de Monto simple vs Monto Compuesto
Monto
4500
4000
n
3500 S=P(1+i)
3000
2500
2000 S=P(1+in)
1500
1000
500
0
1 2 3 4 5 6
Años
Interés Simple Interés Compuesto

23. Tasa nominal y tasa proporcional
• Tasa nominal (j)
• Tasa proporcional (i)
j
i 100%
m
23

24. Tasa nominal.- Es susceptible de
proporcionalizarse (dividirse o
multiplicarse) j/m veces en un año, para
ser expresada en otra unidad de tiempo
equivalente; o como unidad de medida
para ser capitalizada “n“ veces en
operaciones a interés compuesto. Donde
“m” es el número de capitalizaciones en
el año de la tasa nominal anual.

25. “m” aplicable a una tasa “j” anual
Capitalización Operación m
Anual 360/360 1
Semestral 360/180 2
Cuatrimestral 360/120 3
Trimestral 360/90 4
Bimestral 360/60 6
Cada 45 días 360/45 8
Mensual 360/30 12
Quincenal 360/15 24
Diarío 360/1 360
m” aplicable a una tasa “j” mensual
Capitalización Operación m
Anual 30/360 0.08333333
Semestral 30/180 0.16666667
Cuatrimestral 30/120 0.25
Trimestral 30/90 0.33333333
Bimestral 30/60 0.5
Cada 45 días 30/45 0.66666667
Mensual 30/30 1
Quincenal 30/15 2
Diarío 30/1 30

26. Tasa nominal Multiplicar o dividir Tasa proporcional
o regla de tres simple (Tasa efectiva)
j TN
i TE
m m
TNA TNM
i TE ; i TE
360 30
f f
T NA T NM
tasa proporc.mensual T EM; tasa proporc. trimestral T ET
360 30
30 90
T NS T NC
tasa proporc.bimestral T EB; tasa proporc.trimestral T ET ;
180 120
60 90
T NQ T NT
tasa proporc.semestral T ES; tasa proporc.diaría T ED.
15 90
180 1

27. TASA EFECTIVA
n
j
i 1 1
m
Nota: Expresamos el tiempo en términos del período de
capitalización; es decir, se adapta el “período de n” al
“período de i” (i y n en la misma unidad de tiempo)
Si en una operación financiera la tasa
pactada es una tasa de interés
efectiva, los cálculos financieros pueden
realizarse directamente con esta tasa
considerándose su período de vigencia
como período de capitalización.

28. TASA EFECTIVA
La diferencia básica entre una tasa nominal y una tasa
efectiva es que la primera está asociada a un período
de capitalización, mientras que la segunda hace
referencia sólo a su período de vigencia en forma
explícita o implícita .
Por lo tanto, en el régimen de interés compuesto, una
tasa nominal debe hacer obligatoriamente referencia a un
período de capitalización, pues sin él no podríamos hallar
la tasa proporcional (TE) respectiva.
De este modo, si la tasa que se nos informa no hace
referencia a algún período de capitalización, debemos
sobrentender que dicha tasa es EFECTIVA.

29. EJEMPLO:
1.- Calcule la TET, si se tiene TNS=7.5% con
capitalización bimestral.
n
j
i 1 1
m
H=90
90
60
0.075
T ET 1 1
180
60
f = 60
T ET 0.03773 T ET 3.773%

30. 2.- Calcule la TEQ, si se tiene una TNT = 6% con capitalización
cada 30 días.
15
30
6%
TEQ 1 0.00995049
90
30
T EQ 0.995049%
3.- Calcule la TED, si se conoce la TNA = 20% con capitalización
cada 45 días.
1
45
20%
TED 1 1 0.00054888
360
45
T EQ 0.054888%

31. Valor futuro (S) y valor actual (P)
con tasa constante
Actualización
VF VA (1 i ) n
(1+i) (1+i) (1+i) (1+) (1+i)
1 2 3 4 ……… n-1 n
i
VF
VA
(1 i ) n
Capitalización
31

32. Tasa efectiva (ie)
VF VA (1 i ) n
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
1 2 3 ……… n
VA
ie
VF VA
i 100 %
VA
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
VA (1 i) n VA ie (1 i ) n 1 100 % por período
ie 100%
VA
32

33. Tasa equivalente (ieq)
p q
(1 ieq ) (1 ie )
q
p
ieq (1 ie ) 1 100 % por período
33

34. TASA EQUIVALENTE
Dos o más tasas efectivas correspondientes a
diferentes unidades de tiempo son equivalentes
cuando producen la misma tasa efectiva para un
mismo horizonte temporal.
Hequiv
n
iequivalent (1 iefectiva
) fefect 1
e
Donde:
iequiv.=Nueva tasa efectiva.
Iefect =Tasa efectiva que se quiere transformar.
n = Razón entre el período de vigencia de iequiv. y el período de
vigencia de iefect..

35. TASA EQUIVALENTE
1.- Dada la TEA = 50%. Hallar la tasa equivalente:
a.- TEM= 30
360
(1 0.50) 1 0.0344 3.44%
60
b.-TEB = (1 0.50 ) 360
1 0.0699 6.99 %
1
c.- TED = (1 0.50 ) 360
1 0.0011 0.11 %

36. 2.- Sí la TET =20%. Hallar la TE cada 54 días RPTA =11.56%
3.- Sí la TEM =5 %. Hallar la TE cada 17 días RPTA = 2.8%
4.- Sí la TEA =20%. Hallar la TE cada 4 días RPTA = 0.2028%
5.- Sí la TET =15%. Hallar la TEB. RPTA = 9.76%
6.- Sí la TES =10%. Hallar la TET. RPTA = 4.88%
7.- Sí la TEA = 30%. Hallar la TEM. RPTA = 2.21%
8.- Sí la TEC =10%. Hallar la TET. RPTA = 7.41 %.
9.-Sí la TE cada 39 días =4.75%. Hallar la TEM = 3.634%

37. Interés devengado entre períodos con
tasa constante
VFk 1 VA (1 i ) k 1
VFz VA (1 i ) z
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
0 k-1 k ………………… z n
VA
i por período
Iz k VFz VFk 1 Iz k VA (1 i ) z VA (1 i ) k 1
37

38. Valor futuro de un valor actual variable
con tasa constante
• En este caso el capital inicial varía
durante el plazo de la operación
financiera, es decir, se producen
ingresos o egresos en referencia al
capital inicial período a período, la
variación del capital corresponde a la
capitalización de intereses a la tasa
constante cuando se produce un
ingreso o un egreso.
38

39. Valor futuro de un valor actual variable
con tasa constante
• Para solucionar esta situación se
fracciona la operación financiera en
tramos, durante los cuales el valor actual y
la tasa permanezcan constantes, es decir
se hace un corte cuando se produzca un
ingreso o un egreso y se resuelve como
en los casos anteriores.
• También puede hallarse el valor futuro
calculando el valor futuro de los ingresos y
restándole el valor futuro de los egresos, a
la correspondiente tasa de interés. 39

40. Valor futuro y valor actual
con tasa variable
VF
(1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)
0
VA
…...
i1 i2 i3 ik
n1 n2 n3 nk
40

41. Valor futuro y valor actual
con tasa variable
• Valor futuro de un valor actual constante
con tasa variable
VF VA (1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk
• Valor actual de un valor futuro con tasa
variable
VF
VA
(1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk
41

42. Valor futuro y valor actual
con tasa variable
• Interés con valor actual constante y tasa
variable
VF VA I
I VF VA
I VA (1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk VA
I VA (1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk 1
• Interés con valor futuro y tasa variable
VF
I VF
(1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk
1
I VF 1
(1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 (1 i3 ) n3 ..... (1 ik ) nk
42

43. Valor futuro de un valor actual variable
con tasa variable
• En este caso el capital inicial varía durante el
plazo de la operación financiera, es decir, se
producen ingresos o egresos en referencia al
capital inicial período a período, la variación del
capital corresponde a la capitalización de
intereses a las tasas variables y cuando se
produce un ingreso o un egreso.
• Para solucionar esta situación se fracciona la
operación financiera en tramos, durante los
cuales el valor actual y la tasa permanezcan
constantes, es decir se hace un corte cuando se
produzca un ingreso, o un egreso o un cambio
en la tasa de interés y se resuelve como en los
casos anteriores.
43

44. Valor futuro de un valor actual variable
con tasa variable
• También puede hallarse el valor futuro
calculando el valor futuro de los ingresos
y restándole el valor futuro de los
egresos, a las correspondientes tasas de
interés.
Interés devengado entre períodos con tasa variable
• Para determinar el interés devengado
entre el período z-ésimo y el período k-
ésimo del horizonte temporal se debe
restar el VFz del VFk-1 calculados a sus
correspondientes tasa de interés.
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45. Ecuaciones de valor equivalente
a interés compuesto
• En el interés compuesto un flujo de
ingresos y un flujo de egresos ubicados en
diferentes períodos de un horizonte
temporal son equivalentes, si a una fecha
determinada o fecha focal, sus respectivos
valores actualizados, capitalizados, o uno
actualizado y otro capitalizado; aplicando
en todos los casos la misma tasa de
interés, son iguales.
• VA(Ingresos) = VA(Egresos)
• VF(Ingresos) = VF(Egresos)
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46. Ecuaciones de valor equivalente
a interés compuesto
• Propiedades
– Si un flujo de ingresos y un flujo de
egresos son equivalentes en una
determinada fecha focal o de
evaluación, también lo serán en
cualquier otra fecha focal.
– Si un flujo de ingresos y un flujo de
egresos no son equivalentes en una
determinada fecha focal o de
evaluación, tampoco lo serán en
cualquier otra fecha focal.
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