Ejemplo de resolución del método de Gauss para resolver un problema de sistema de ecuaciones lineales.

1. ACTIVIDAD 5
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA POR EL
MÉTODO DE GAUSS

2. Método de Gauss
Este método sirve para resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
Debemos conseguir que el sistema se convierta
en triangular. Después empezando por la
última ecuación podremos ir obteniendo la
solución del sistema.

3. Problema
Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer
día tomaron 1 café, 1 cortado y tres cafés con
leche y pagaron 7,90 €. El día siguiente
tomaran dos cafés, un cortado y un café con
leche, por lo que pagaron 5,30 €. El tercer día
solo se reunieron cuatro amigos y tomaron un
café, dos cortados y un café con leche, la
cuenta ascendió a 5,80 €. Calcular, utilizando
el método de Gauss, el precio del café, del
cortado y del café con leche
.

4. Incógnitas del problema
X= precio del café
Y= precio del cortado
Z= precio del café con leche

5. Primera ecuación
El primer día tomaron 1 café, 1 cortado y tres
cafés con leche y pagaron 7,90 €.
X + Y + 3Z = 7'90

6. Segunda ecuación
El día siguiente tomaran dos cafés, un cortado y
un café con leche, por lo que pagaron 5,30 €.
2X + Y + Z = 5'30

7. Tercera ecuación
El tercer día solo se reunieron cuatro amigos y
tomaron un café, dos cortados y un café con
leche, la cuenta ascendió a 5,80 €.
X + 2Y + Z = 5'80

8. Sistema
X + Y + 3Z = 7'90
2X + Y + Z = 5'30
X + 2Y + Z = 5'80

9. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
2X + Y + Z = 5'30
X + 2Y + Z = 5'80
a la segunda ecuación le sumamos (-2)veces la primera ecuación:
2X +Y + Z = 5'30
- 2X – 2Y – 6Z = - 15'80
0X – Y – 5Z = - 10'50 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z= 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
X + 2Y + Z = 5'80

10. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
X + 2Y + Z = 5'80
a la tercera ecuación le sumamos (-1)veces la primera ecuación:
X + 2Y + Z = 5'80
–X – Y – 3Z = – 7'90
0X + Y – 2Z = – 2'10 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + Y – 2Z = 5'80

11. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + Y – 2Z = - 2'10
a la tercera ecuación le sumamos (1)veces la segunda ecuación:
0X + Y – 2Z = –2'10
0X – Y – 5Z = – 10'50
0X + 0Y – 7Z= – 12'60 el nuevo sistema será:
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60

12. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la tercera ecuación podemos obtener el valor de la variable Z:
−12 ' 60
- 7Z = - 12'60 Z= Z = 1'80
−7

13. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la segunda ecuación podemos obtener el valor de la variable Y:
- Y – 5· 1'80 = - 10'50 - Y – 9 = - 10'50
- Y = -10'50 + 9 - Y = - 1'50 Y = 1'50

14. Resolución del sistema
X + Y + 3Z = 7'90
0X – Y – 5Z = - 10'50
0X + 0Y – 7Z = -12'60
De la primera ecuación podemos obtener el valor de la variable X:
X + 1'50 + 3· 1'80 = 7'90 X + 1'50 + 5'40 = 7'90
X = 7'90 – 1'50 – 5'40 X=1

15. Solución del sistema
X=1
Y = 1'50
Z = 1'80