Ejercicio resuelto sobre límites trigonométricos, explicado paso a paso.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo
Calcular el valor del límite
l´ım
x4
‰x − 4
Ž2
(tan x − 1)2
Solución:
Se puede aplicar las leyes de potencias para expresar el límite como una fracción al cuadrado y luego la
propiedad de límites que enuncia l´ım
xa
‰f(x)nŽ = ‰ l´ım
xa
f(x)Žn, entonces vamos a calcular el límite y su
resultado se eleva al cuadrado cuando se termine:
l´ım
x4
‰x − 4
Ž2
(tan x − 1)2 = l´ım
x4
’
”
‰x − 4
Ž
(tan x − 1)
2
=
“
•
’
”
l´ım
x4
‰x − 4
Ž
(tan x − 1)
2
“
•
Haciendo el cambio de variable u = x − 4
, de donde se obtiene que, si x 4
entonces u 0 y x = u + 4
.
Con esto el límite se reescribe como:
l´ım
u0
u
tan ‰u + 4
Ž − 1
Aplicando la identidad de la tangente de una suma tan(x + y) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
, sabiendo que tan 4
= 1
y resolviendo la suma del denominador se obtiene:
l´ım
u0
u
tan u+1
1−tan u1 − 1 = l´ım
u0
u
l´ım
tan u+1
− 1 = 1−tan u0
u u
tan u+1
1−tan u1 − 1−tan u
1−tan u
= l´ım
u0
u
tan u+1−1+tan u
1−tan u
Simplificando la expresión, realizando la división de fracciones y sacando la constante del límite:
l´ım
u0
u
tan u+1−1+tan u
1−tan u
= l´ım
u0
u
2 tan u
1−tan u
= l´ım
u0
u(1 − tan u)
2 tan u
=
12
l´ım
u0
u(1 − tan u)
tan u
Separando el límite en una multiplicación de límites se obtiene:
1
2 l´ım
u0
u(1 − tan u)
tan u
=
12l´ım
u0
u
tan u
(1 − tan u) =
1
2 l´ım
u0
u
tan u
l´ım
u0
(1 − tan u)
Al aplicar el límite especial l´ımx0 x
tan x = 1, nos queda:
12l´ım
u0
u
tan u
l´ım
u0
(1 − tan u) =
12
1 (1 − tan 0) =
12
1 1 =
12
Con esto, hemos hallado el valor del límite, no obstante, hace falta elevarlo al cuadrado según se acordó
al inicio, por eso obtenemos que:
l´ım
x4
‰x − 4
Ž2
(tan x − 1)2 =
’
”
l´ım
x4
‰x − 4
Ž
(tan x − 1)
2
= ‹
“
•
1
2
2
=
1
4