En matemáticas, el algoritmo de Neville es un algoritmo usado para la interpolación polinómica gracias el matemático Eric Harold Neville.

1. Método de Neville

2. AGENDA
• INTRODUCCIÓN
• OTROS DATOS
• DEFINICIÓN
• NODOS
• POLINOMIOS
• ITERACIONES
• EJEMPLO
• PRACTICA

3. INTRODUCCIÓN
En matemáticas, el algoritmo de Neville es un algoritmo usado para
la interpolación polinómica gracias el matemático Eric Harold
Neville.
Dada (n + 1) puntos, hay un único polinomio de grado ≤ n que pasa
por los puntos dados. El algoritmo de Neville evalúa este polinomio.
Algoritmo de Neville se basa en la forma de polinomio de
interpolación de Newton y la relación de recursión para las
diferencias divididas.
Es similar al algoritmo de Aitken.

4. OTROS DATOS
Una desventaja que presenta el método de Lagrange es que el
proceso mediante el cual se construye el polinomio interpolarte no es
recursivo.
Es decir, mediante los polinomios de Lagrange no hay forma de
determinar el polinomio interpolante de grado n teniendo de
antemano la ecuación del polinomio de grado (n-1).
Con el método de Neville, obtendremos estos polinomios
interpolantes a partir de información previa de polinomios de menor
grado.

5. DEFINICIÓN
Sean 𝑥0, 𝑦0 , 𝑥1, 𝑦1 , … . 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 , n + 1 nodos y sean
𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘 enteros, tales que 0 ≤ 𝑚𝑘 ≤ 𝑛 para k, entonces
denotamos al polinomio de Lagrange que interpola los k nodos
𝑥𝑚1
, 𝑦𝑚1
, 𝑥𝑚2
, 𝑦𝑚2
, … . 𝑥𝑚𝑘
, 𝑦𝑚𝑘
como 𝑃𝑚1, 𝑚2,… 𝑚𝑘
.

6. NODOS
De acuerdo con la definición si tenemos una colección de 4 nodos
𝑥0, 𝑦0 , 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 , 𝑥3, 𝑦3 , generamos primero los polinomios
de grado 1, luego los de grado 2 y al final los de grado 3.
Polinomio Nodos, que Interpola Grado del Polinomio
𝑃0,1 𝑥0, 𝑦0 , 𝑥1, 𝑦1 1
𝑃1,2 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 1
𝑃2,3 𝑥2, 𝑦2 , 𝑥3, 𝑦3 1
𝑃0,1,2 𝑥0, 𝑦0 , 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 2
𝑃1,2,3 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 , 𝑥3, 𝑦3 2
𝑃0,1,2,3 𝑥0, 𝑦0 , 𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2 , 𝑥3, 𝑦3 3

7. POLINOMIOS
A diferencia del método de Lagrange, los polinomios generados a partir
del método iterado de Neville son recurrentes. Por ejemplo,
• 𝑃0,1,2 se construye a partir de 𝑃0,1 y 𝑃1,2
• 𝑃1,2,3 se construye a partir de 𝑃1,2 y 𝑃2,3
• 𝑃𝑜,1,2,3 se construye a partir de𝑃0,1,2 y𝑃1,2,3
Algorítmicamente, se generan 1ro los polinomios de grado 1. Con estos,
se construyen los polinomios de grado 2 y con estos, los de grado 3 y así
sucesivamente.

8. ITERACIONES

9. EJEMPLO
x f(x) 𝑃0 𝑃𝟎,𝟏 𝑃𝟎,𝟏,𝟐 𝑃𝟎,𝟏,𝟐,𝟑 𝑃𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒
2 0,5103757 0,5103757 --- --- --- ---
2,2 0,5207843 0,5207843 0,5363972 ---- --- ---
2,4 0,5104147 0,5104147 0,5052299 0,4974380 --- ---
2,6 0,4813306 0,4813306 0,4958726 0,4982119 0,4980829 ---
2,8 0,4359160 0,4359160 0,5040379 0,4979139 0,4980629 0,4980704
Link a Excel

10. PRACTICA
x f(x) 𝑃0 𝑃𝟎,𝟏 𝑃𝟎,𝟏,𝟐 𝑃𝟎,𝟏,𝟐,𝟑
6 0,66666667 0,66666667 --- --- ---
9 0,33333333 0,33333333 0,7777778 --- ---
11,5 0,23529412 0,23529412 0,24313725 0,23712418 ---
11,7 0,229885057 0,229885057 0,24070318 0,24106378 0.24078732
𝒇 𝒙 =
𝟐
𝒙 − 𝟑
𝒇 𝟏𝟏, 𝟑 = ?

11. Final (consultas, comentarios)