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               DE JILOTEPEC



              METODOS NUMERICOS


             METODO DE LA SECANTE


                  PRESENTA:
         JORGE IVAN SANTIAGO DE JESUS



                 DOCENTE :
         RODOLFO ALCANTARA ROSALES


ING. CIVIL                          GRUPO: 541
ME T O D O D E L A S E C A N T E
 Un problema potencial en la implementación del método d e
 N e w t o n -R a p h s o n       es la evaluación d e         l a
 d e r i v a d a . Au n q u e        e s t o    n o    e s     u n
 i n c o n v e n i e n t e para los polinomios ni para muchas
 otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en
 ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la
 derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida
 hacia atrás, c o m o e n l a f i g u r a :
Representación g r a f i c a d e l método de la secante. Esta
técnica es similar a la del método d e          Ne wt o n -
R a p h s o n e n el sentido de que una aproximación de la raíz
s e p r e d i c e e x t r a p o l a n d o una tangente de la
función h a s t a e l e j e x. Sin embargo, el método d e
l a     s e c a n t e    u s a  u n a    d i f e r e n c i a
d i v i d i d a e n l u g a r d e u n a d e r i v a d a
p a r a e s t i ma r l a p e n d i e n t e .
Esta aproximación s e s u s t i t u y e e n l a       ecuación
p a r a       o b t e n e r    l a      siguiente     ecuación
i t e r a t i v a :




La    ecuación e s la fórmula p a r a e l     método d e l a
s e   c a n t e .     Ob s e r v e    q u e      e l    método
r e   q u i e r e d e d o s v a l o r e s i n i c i a l e s
d e     x . S i n e mb a r g o , d e b i d o a q u e n o
s e     n e c e s i t a q u e f (x ) c a m b i e de signo entre
los    valores dados, este método n o s e c l a s i f i c a
c o   m o u n método c e r r a d o .
P R O B L E MA

Se desea diseñar un tanque esférico para almacenar agua . El volumen
del   líquido    q u e     p u e d e       c o n t e n e r      s e
c a l c u l a me d i a n t e :



donde V = volumen, h = profundidad del agua y R= r a d i o
d e l t a n q u e .
S i R = 3 m, ¿ a que profundidad debe llenarse el tanque de modo
que contenga 30 metros cúbicos ?
S OL UCI ON

•    Sustituyendo los valores en la ecuación e   i g u a l a r l a   a
    0.
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Segunda Iteración
Tercera Iteración




  Sustituyendo el valor obtenido de h el resultado quedaría:
CONCL US I ONE S


El método d e l a s e c a n t e        y e l d e Ne wt o n
– R a p h s o n s o n l o s ma s
f áciles para poder obtener la raíz de una función y d e
i g u a l f o r ma
p ara poder usarlo en una aplicación en la ingeniería.

L   a    v e nt a j a    que     t i e ne   e l   de     l a
s   e c a nt e   e s que no s e ut i l i z a             l a
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  • 2. ME T O D O D E L A S E C A N T E Un problema potencial en la implementación del método d e N e w t o n -R a p h s o n es la evaluación d e l a d e r i v a d a . Au n q u e e s t o n o e s u n i n c o n v e n i e n t e para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás, c o m o e n l a f i g u r a :
  • 3. Representación g r a f i c a d e l método de la secante. Esta técnica es similar a la del método d e Ne wt o n - R a p h s o n e n el sentido de que una aproximación de la raíz s e p r e d i c e e x t r a p o l a n d o una tangente de la función h a s t a e l e j e x. Sin embargo, el método d e l a s e c a n t e u s a u n a d i f e r e n c i a d i v i d i d a e n l u g a r d e u n a d e r i v a d a p a r a e s t i ma r l a p e n d i e n t e .
  • 4. Esta aproximación s e s u s t i t u y e e n l a ecuación p a r a o b t e n e r l a siguiente ecuación i t e r a t i v a : La ecuación e s la fórmula p a r a e l método d e l a s e c a n t e . Ob s e r v e q u e e l método r e q u i e r e d e d o s v a l o r e s i n i c i a l e s d e x . S i n e mb a r g o , d e b i d o a q u e n o s e n e c e s i t a q u e f (x ) c a m b i e de signo entre los valores dados, este método n o s e c l a s i f i c a c o m o u n método c e r r a d o .
  • 5. P R O B L E MA Se desea diseñar un tanque esférico para almacenar agua . El volumen del líquido q u e p u e d e c o n t e n e r s e c a l c u l a me d i a n t e : donde V = volumen, h = profundidad del agua y R= r a d i o d e l t a n q u e . S i R = 3 m, ¿ a que profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 metros cúbicos ?
  • 6. S OL UCI ON • Sustituyendo los valores en la ecuación e i g u a l a r l a a 0.
  • 8. Tercera Iteración Sustituyendo el valor obtenido de h el resultado quedaría:
  • 9.
  • 10. CONCL US I ONE S El método d e l a s e c a n t e y e l d e Ne wt o n – R a p h s o n s o n l o s ma s f áciles para poder obtener la raíz de una función y d e i g u a l f o r ma p ara poder usarlo en una aplicación en la ingeniería. L a v e nt a j a que t i e ne e l de l a s e c a nt e e s que no s e ut i l i z a l a d e r i v a d a d e la función, lo cual hace mas fácil s u p r o c e d i mi e n t o .