La teoría de colas estudia las líneas de espera que enfrentan las personas y los sistemas, buscando equilibrar la demanda de servicio y la capacidad de atención para minimizar los tiempos de espera y los costos asociados. Incluye conceptos de probabilidad y variables estocásticas para modelar el comportamiento en situaciones de espera y servicio. Existen diferentes tipos de modelos que analizan la llegada de clientes y el tiempo de servicio, como el modelo M/M/1, que representa un sistema con llegadas de Poisson y servicio exponencial.

1. Modelo de líneas de espera
(Teoría de colas)

2. Teoría de Colas
Las colas son parte de la vida diaria. Todos
esperamos en colas para comprar un boleto para ir
al cine, pagar en el supermercado, enviar un
paquete por correo.
La teoría de la formación de colas busca una
solución al problema de la espera prediciendo
primero el comportamiento del sistema.

3. Las colas o líneas de espera, son
realidades cotidianas
 Personas esperando para realizar sus transacciones ante una
caja en un banco.
 Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora.
 Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o
continuar su camino, ante un semáforo en rojo.
 Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda
del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

4. Teoría de colas
Un sistema de colas tiene dos componentes básicos:
 La cola
 Mecanismo de servicio

5. Las Colas
 En general, a nadie le gusta esperar
 Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se
va a otro lugar.
 Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un
costo muy elevado.
 Es necesario encontrar un balance adecuado

6. Teoría de colas (Económico)
Pero una solución al problema de la espera
consiste en no solo en minimizar el tiempo
que los clientes pasan en el sistema, sino
también en minimizar los costos totales de
aquellos que solicitan el servicio y de quienes
lo prestan.

7. Teoría de colas (Económico)
Incluye el estudio matemático(Costos) por ejemplo:
Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo
asociado a la espera por ese servicio.
La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información
para la toma de decisiones.
Generalmente el
administrador se
encuentra entre 2
dilemas
Asumir los costos
derivados de prestar
un BUEN SERVICIO
Asumir los costos
derivados de tener
LARGAS FILAS

8. Vamos a la practica…
Teoría de Colas

9. Supuestos
 Es importante conocer los siguientes datos para poder hacer los cálculos
respectivos.
 Son por lo general variables estocásticas(aleatorias)
Tiempo
entre
llegadas
Tiempo de
servicio
Número de
servidores

10. Parámetros
LAMDA
Cantidad de tiempo que
dura una persona en ser
atendida
Cantidad de tiempo por
persona en el que está
en la cola
Tiempo de Llegada
MI
Tiempo de servicio
λ

11. Para ilustrar los conceptos
relacionados con el tema de Teoría de
colas, se presenta el siguiente ejemplo
sobre un restaurante que vende
hamburguesas (fast-food)

12. Tiempo entre llegadas
 Los estudiosos del tema han descubierto que la distribución de probabilidad
de POISSON suele proporcionar una buena descripción del problema.
 La probabilidad de que lleguen ‘x’ clientes al sistema en un periodo de
tiempo ‘t’ es:
 X: Número de llegadas en el intervalo de tiempo.
 λ: Número promedio de llegadas por unidad de tiempo (intensidad del
proceso de llegadas).
 e: 2.71828

13. Tiempo entre llegadas(2)
 Suponga que el restaurante de fast-food ha analizado datos de llegada de sus
clientes y concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes / hora.
λ: 𝟒𝟓
𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒉𝒐𝒓𝒂
= 𝟎. 𝟕𝟓
𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
 La posibilidad de que ‘X’ clientes lleguen en 1 minuto sería ?
Personas Probalidad
1 0.3543
2 0.1329
3 0.0332
4 0.0062
5 0.0009
6 0.0001
7 0.0000
8 0.0000
9 0.0000
10 0.0000

14. Tiempo de servicio
 Se refiere al tiempo que pasa el cliente en el servicio, mientras es
atendido.
 Si el tiempo de duración del servicio ofrecido por un servidor sigue
una distribución exponencial, entonces, la probabilidad de que el
tiempo de servicio sea menor que ‘t’ es:
 μ: Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo
Se supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de
servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente, ni de
la posible cola que pueda estar formándose.

15. Tiempo de servicio(2)
 Suponga que el proceso de tomar la orden, cobrar y entregar lo realiza el
cajero a una tasa promedio de 60 clientes / hora.
μ: 60
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
= 1
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
 Determine la probabilidad de atender a un cliente en: (A) menos de 0.5
minutos, (b) 1 minuto, (c ) 2 minutos o menos ?
Tiempo Probalidad
0.5 0.60653066
1 0.367879441
1.5 0.22313016
2 0.135335283
2.5 0.082084999
3 0.049787068
3.5 0.030197383
4 0.018315639
4.5 0.011108997
5 0.006737947

16. Medidas de Desempeño
 Expresan la manera en la que funciona un
sistema o línea de espera. Las más comunes
se relacionan con:
Utilización
Desempeño
Tiempo de espera
Probabilidad
Los modelos se deben utilizar cuando el
sistema es estable(MUY IMPORTANTE).

17. Utilización
RO
Que tan ocupados van a
estar los servidores en el
sistema.
Parámetros de
eficiencia
ρ ρ =
λ
µ
Factor de Utilización
Sí ρ > 1, el sistema tiende
a crecer con el tiempo.
EFICIENCIA:
Se trata de la capacidad de alcanzar un objetivo fijado con
anterioridad en el menor tiempo posible y con el mínimo uso
posible de los recursos, lo que supone una optimización.
Sí ρ <= 1, el sistema es
estable.

18. Longitudes
 L: Número esperado de clientes en el sistema.
 Lq: Número esperado de clientes en la cola.

19. Tiempo de espera
 W: Tiempo estimado de espera en el sistema(incluyendo el servicio) para
cada cliente.
 Wq: Tiempo estimado de espera en el sistema(excluyendo el tiempo de
servicio para cada cliente.

20. Probabilidad
 P0: Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema.
 Pn: Probabilidad de que hayan n clientes en el sistema.
 Pw: Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar en el sistema.

21. MODELOS DE FILAS DE ESPERA
A / B / K
 A ->Indica la distribución de probabilidad de las llegadas
 B ->Indica la distribución de probabilidad para el tiempo de servicio
 K -> Indica el número de servidores
Así entonces, la sig. Notación se empleará:
 M ->Indica distribución de llegadas Poisson o tasa de servicio exponencial
 D -> Indica que las llegadas o el tiempo de servicio son determinísticas o
constantes.
 G -> Indica que las llegadas y el tiempo de servicio tienen una distribución
normal con media y varianza conocidas.

22. MODELO M/M/1
Sistema de espera con:
 Llegadas poissonianas.
 Tiempo de servicio exponencial.
 Un solo servidor.
 Disciplina fifo.

23. FIN …