-Definiciones Básicas utilizadas en las demostraciones matemáticas. -Reglas inferencia lógica matemática. -Elementos del principio de inducción. Link del video: https://www.youtube.com/watch?v=b6UnydbkCp8&fbclid=IwAR3py2GostsVb9ZXVcp5llJrPIggzoyUXutKhzDAFc__UqFgP_A-oT_4jEA

1. MÉTODOS DE
DEMOSTRACIÓN
MATEMÁTICA

2. DEFINICIONES BÁSICAS UTILIZADAS EN LAS DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
 Axioma : es una proposición asumida dentro de un cuerpo teórico sobre la cual descansan otros razonamientos y
proposiciones deducidas de esas premisas.
 Lema: es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma
parte de un teorema más general.
 Corolario: es un concepto referido a una proposición tanto en matemática como en lógica que se utiliza para
designar la consistencia de un teorema ya demostrado, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su
demostración.
 Hipótesis: es una fórmula de la que se parte para alcanzar finalmente otra fórmula mediante deducciones válidas.
 Tesis: es el inicio de un texto argumentativo, una afirmación cuya veracidad ha sido argumentada, demostrada o
justificada de alguna manera.
 Teorema: es una proposición teórica, enunciado o fórmula que incorpora una verdad, axioma o postulado que es
comprobada por otros conjuntos de teorías o fórmulas.

3. APLICAR LAS REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA MATEMÁTICA EN LAS CONCLUSIONES A
PARTIR DE LAS PREMISAS DADAS
Modus Ponendo Ponens –MPP: Esta regla establece que si la implicación de premisas y su antecedente son
verdaderos, su consecuente es necesariamente verdadero.
Modus Tollendo Tollens –MTT: Esta regla señala que si la implicación de premisas es verdadera y su consecuente es
falso, entonces su antecedente es necesariamente falso.
Modus Tollendo Ponens –MTP :Esta regla indica que si una disyunción de premisas es cierta y una de sus premisas es
falsa, entonces la otra premisa es necesariamente verdadera. Simbólicamente…
Regla de simplificación –RS :Esta regla establece que de la conjunción de premisas se puede inferir una de ellas.

4. Regla de adición –RA: De esta regla se puede determinar que de una premisa se puede deducir como
conclusión la disyunción de la premisa con otra cualquiera.
Regla de silogismo hipotético –RSH: Esta regla indica que si se tienen dos condicionales tales que el
antecedente del segundo es el consecuente del primero, entonces se puede inferir como conclusión un
condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo.
Regla del dilema constructivo –RDC: Esta regla señala que si se tienen dos condicionales y la disyunción
de los antecedentes entonces se puede concluir la disyunción de sus consecuentes.
Regla de simplificación disyuntiva –RSD: Esta regla indica que si se tiene una disyunción de una premisa
consigo misma, se puede inferir la premisa dada.
Regla de unión o adjunción –RU: Esta regla establece que dada una premisa verdadera como
antecedente de dos condicionales verdaderos, entonces se puede concluir la conjunción de los
consecuentes.

5. Ejemplos
Concluya “no relampaguea” del enunciado: “si no llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a cine. Si tengo
dinero entonces voy a misa o a cine. No llueve de día. Si relampaguea entonces tengo dinero”
Las premisas son:
1. Si no llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a cine.
2. Si tengo dinero entonces voy a misa o a cine.
3. No llueve de día.
4. Si relampaguea entonces tengo dinero.
Simbolicemos premisas:
p: “llover de día”
q: ”ir a misa”
r: “ir a cine”
s: “tener dinero”
t: “relampaguear”

6. La regla de inferencia aplicada a en el ejemplo precedente es modus ponendo ponens.
Premisa 1. Si él está en el partido de fútbol , entonces él está en el estadio.
Premisa 2 . Él está en el partido de fútbol.
Conclusión. Él está en el estadio.
Otro ejemplo del uso del modus ponendo ponens es el siguiente:
P=«É1 está en el partido de fútbol » Q=«É1 está en el estadio» ,
Premisa 1 . P —> Q Premisa 2 . p
Conclusión Q »
La regla de inferencia llamada modus ponendo ponens permite demostrar Q a partir de P —>
Q y P.

7. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN : Si el primer elemento de un conjunto X, finito o simplemente infinito, tiene una propiedad
y si de la hipótesis de que un elemento cualquiera la admite se deduce que también la admite el siguiente, entonces tiene
dicha propiedad todos los elementos de X. La aplicación de este principio requiere realizar los pasos siguientes.
1ro: (Proposición) Comprobamos que la propiedad es cierta para el primer elemento del conjunto.
2do: (Hipótesis inductiva)Tenemos que hacer la hipótesis de que, la propiedad sea cierta para un elemento cualquiera.
3ro: (Tesis inductiva)Tratamos de inferir de aquí que la propiedad también es cierta para el elemento siguiente..
EJEMPLO
Demuestre que para todo número natural n≥1, se cumple que: 7+13+19+…+(6n+1)n (3n+4)
1er paso: (inicio de inducción) Probemos que se cumple la propiedad para el primer elemento de este conjunto,
es decir para n=1. En efecto, la propiedad es cierta para el primer elemento pues, sustituyendo este valor en la
expresión se tiene que: (3(1) + 4) = 7
2do y 3er paso: suponemos la hipótesis cierta de que la propiedad se cumple para un elemento cualquiera n = k,
es decir, que se cumple: 7+13+19 +…+(6k +1)k(3k+4).
LOS ELEMENTOS DEL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

8. Hipótesis de inducción: Debemos demostrar que entonces la propiedad es cierta para su sucesor.
n= k+1, es decir: 7+13+19+…+(6(k+1)+1)(k+1)(3(k+1)+4).
Efectuando los productos indicados resulta:
Tesis de inducción: 7+13+19+…+6k+7)(k+1)(3k+7)
Demostración de la tesis de inducción.
Utilizaremos la vía directa de demostración, o sea, partir de la hipótesis y llegar a la tesis.
Hipótesis:
7+13+19+…+(6k+1)k(3k + 4).
Vemos que para obtener la tesis basta sumar en ambos miembros de la igualdad el término que le sigue 6k+7 (sucesor de 6k+1).
Obtendríamos entonces:
7+13 +19+…+(6k +1)+(6k+7)k(3k+4)+(6k+7)
Como ya tenemos los miembros izquierdos iguales, entonces trabajaremos con el miembro derecho, efectuando los productos indicados:
7+13+19+…+(6k+1)+(6k+7)3k2+4k+6k+7=3k2+10k+7 (reduciendo términos semejantes)
=(k+1)(3k+7) descomponiendo en factores.
Luego, 7+13+19+…+(6k+1)+(6k+7)=(k+1)(3k+7) como se quería demostrar.
Es decir, la propiedad se cumple también para el elemento k+1. Por tanto, podemos concluir que la propiedad se cumple para cualquier número n, natural, n≥1.
CONTINUANDO CON EL EJEMPLO…

10. Integrantes:
 Fajardo Jeniffer
 Erazo Génesis
 Vicente Karen