Este documento define conceptos matemáticos como axiomas, lemas, corolarios, hipótesis y teoremas. Explica reglas de inferencia lógica como modus ponens, modus tollens y modus tollendo ponens. También describe el silogismo hipotético y aplica el principio de inducción al teorema de Pitágoras.
2. DEFINICIONES BÁSICAS UTILIZADAS EN LAS
DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
En matemática :
Un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica
utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
Un lema, es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o
una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general.
Corolario es un concepto referido a una preposición tanto en matemática como en lógica
que se utiliza para designar la consistencia de un teorema ya demostrado, sin necesidad
de invertir esfuerzo adicional en su demostración.
En lógica matemática una hipótesis es una formula de la que se parte para alcanzar
finalmente otra fórmula mediante deducciones válidas.
Se trata de una conclusión o proposición que se mantiene con razonamientos, la tesis es
una afirmación de veracidad argumentada o justificada cuya legitimidad depende de
cada ámbito.
Un teorema es una preposición teórica, enunciado o fórmula que incorpora una verdad,
axioma o postulado que es comprobada por otros conjuntos de teorías o fórmulas.
3. REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA
MATEMÁTICA
Son un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones
sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada
conclusión.
La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y
declaraciones establecidas.
Clave: PONENS=PONER TOLLENS= SACAR=NEGAR
4. MODUS PONEN (MPP)
En lógica, modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado
modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la
siguiente forma:
[ ( p q ) ^ p ] q
Ejemplo:
( p q ) Si P, entonces Q Si esta soleado, entonces es de día.
p P Esta soleado
q Por lo tanto, Q Por lo tanto es de día
5. MODUSTOLLENDOTOLLENS (MTT)
Significa “negando niego”, y se refiere a una propiedad inversa de las condicionales.
Esta regla de inferencia dice que si una implicación es verdadera y su consecuente es
falso, entonces su antecedente será necesariamente falso; simbólicamente se expresa
así: [ ( p q ) ^ ˜ q ] ˜p
Ejemplos:
( p q ) Si P, entonces Q Si llueve, entonces las calles se mojan
˜q ˜Q Las calles no se mojan
˜p Por lo tanto, ˜P Por lo tanto, no llueve
6. MODUSTOLLENDO PONEN (MTP)
Significa “negando, afirmo”, si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro
miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección se ha
descartado simbólicamente se expresa así [ ( p v q ) ^ ˜p ] q o [ ( p v q )^˜ q ] p
Ejemplos:
( p q ) Si P, entonces Q He ido al cine o me ido de compras
˜p ˜P No he ido al cine
q Por lo tanto, Q Por lo tanto, he ido de compras
7. SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
Si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una
segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda
consecuencia [( p q ) ^ ( q r ) ] (p r )
Ejemplo
p q “ Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”
q r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”
p r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”
8. APLICA LOS
ELEMENTOS
DEL PRINCIPIO
DE INDUCCIÓN
En la figura de la izquierda, 𝑎2
+ 𝑏2
Escriba aquí la ecuación. es todo el cuadrado (el de lado a + b) menos los
dos rectángulos coloreados, cuya superficie es la de cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b (numerados
del 1 al 4). En el segundo, 𝑐2
es
todo el cuadrado grande menos la superficie de los cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b,
también numerados. Luego, es evidente que, 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
El teorema de Pitágoras es de ida y vuelta. Esto es: si
un triángulo es rectángulo, de catetos a y b y
de hipotenusa c, se cumple que 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
. Y al revés, si en un triángulo de lados a, b y c se
cumple que 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
, entonces, dicho triángulo es rectángulo y su hipotenusa es c.
