mate

1. Texto Académico (Semana 1)
LÓGICA MATEMÁTICA
ESPECIALIDAD ÁLGEBRA SUPERIOR
MÓDULO 13: Álgebra I
Bolivia
----- . -----

2. Índice
Unidad Temática 1................................................................................... 1
LÓGICA MATEMÁTICA............................................................................... 1
1. Introducción. .................................................................................. 1
2. Proposiciones o Enunciados............................................................... 2
3. Conectivos Lógicos y Enunciados Compuestos. ..................................... 2
4. Equivalencia Lógica.......................................................................... 6
5. Implicaciones Asociadas. .................................................................. 7
6. Tautología, Contradicción y Contingente.............................................. 8
7. Una Aplicación de la Teoría Lógica a los Circuitos Eléctricos. ..................11
7.1 Circuitos Lógicos. ..............................................................................11
8. Implicación Lógica, Reglas de Inferencia. ...........................................14
8.1 Razonamiento Válido o Argumento Válido..............................................14
9. CUANTIFICADORES.........................................................................21
10. Tarea 1 - Semana 1........................................................................28
11. Tarea 2 - Semana 1........................................................................30
Bibliografía ............................................................................................31

3. 1
Unidad Temática 1
LÓGICA MATEMÁTICA
1. Introducción.
La lógica es la disciplina
que estudia los métodos del
razonamiento, es una
disciplina que por medio de
reglas y técnicas determina si
un argumento es válido. La
lógica es ampliamente
aplicada en la filosofía,
matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es
válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo, la lógica
permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir
resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para
revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo
que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo; para ir de compras al mercado una
ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que le permita realizar dicha tarea.
Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes
no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si
es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el
caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que
nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de
algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya
existentes o simplemente utilización de los mismos.
Lectura motivadora
El eje integrador del Área de Matemáticas es desarrollar el razonamiento lógico, para
interpretar y resolver los problemas de la vida; es decir, cada año de Educación
General Básica, debe promover en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver
problemas con la variedad de estrategias metodológicas que constituye la base del
enfoque a trabajar.
A través de esta investigación, hemos pretendido analizar en forma pedagógica
aquellas estrategias que se están aplicando en la actualidad en la educación en
general, para el desarrollo del pensamiento lógico – matemático, para de esta
manera sugerir aquellas estrategias que sean consideradas como las más apropiadas
en beneficio del fin educativa de esta área.
GEOVANNA PALTAN - KARLA QUILLI

4. 2
2. Proposiciones o Enunciados.
Siempre que se habla de alguna rama de la matemática, se establecen los objetos de
estudio en esta primera sección los objetos que estudiaremos serán los enunciados o
proposiciones.
Un enunciado o proposición es una oración declarativa que es falso o verdadera, pero no
ambos a la vez.
Observe que el carácter fundamental de un enunciado o proposición es que o bien es
verdadero, o bien es falso, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de un enunciado se
llama valor de verdad. Algunos enunciados son compuestos. Es decir, están formados de
enunciados simples y de varias conectivas que estudiaremos en seguida.
Ejemplo 1. ¿Cuáles de los siguientes son enunciados?
a) 2+3=5
b) La Tierra es redonda
c) 3 5
x
 
d) ¿Habla usted inglés?
e) Tome dos píldoras
f) La temperatura en la superficie del planeta Venus es de 800°F.
g) El sol saldrá mañana.
Solución.
(a) y (b) son enunciados además son verdaderos.
(c) es una oración declarativa, pero no es un enunciado, ya que es falsa o verdadera
dependiendo del valor de x que se usa.
(d) es una pregunta, por lo cual no es un enunciado.
(e) no es un enunciado, es una orden.
(f) es una oración declarativa cuya verdad o falsedad no conocemos en este momento sin
embargo se puede determinar en principio si es verdadera o falsa por lo cual es un
enunciado.
(g) es un enunciado ya que es verdadero o falso, pero no ambos, sin embargo, se deberá
esperar hasta mañana para encontrar si es verdadero o falso.
3. Conectivos Lógicos y Enunciados Compuestos.
En la matemática, las literales x, y, z, … denotan a variables que pueden reemplazarse
por números reales y estas variables pueden combinarse mediante las operaciones
familiares +,  ,  y  . En lógica las literales p, q, r, … denotan variables proposicionales,
o sea variables que pueden remplazarse con enunciados. De este modo las proposiciones se
simbolizan con letras minúsculas tales como p, q, r, s, t,…

5. 3
Veamos algunos ejemplos:
p: El sol brilla todo el día.
q: Hace frío.
r: La tierra es plana.
t: Sucre es la capital de Bolivia.
Estos son ejemplos de proposiciones llamadas proposiciones primitivas o simples ya que
no hay forma de simplificarlos en algo más sencillo.
Los enunciados o variables proposicionales p, q, r, … se pueden combinar mediante
conectivos lógicos para obtener nuevos enunciados o proposiciones llamados compuestos y
denotados por ( , , ,...)
P p q r .
Por ejemplo, si se combinan los enunciados p, q anteriores mediante el conectivo y se
formara el enunciado compuesto.
( , ) y
P p q p q
 en español, “El sol brilla todo el día y hace frío”
El valor de verdad de un enunciado compuesto depende de los enunciados que se
combinen y de los tipos de conectivos que se usen. Se verán en seguida los conectivos más
importantes.
3.1 Negación .
Si p es una proposición, la negación de p es la proposición no p, Su función es negar la
proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador
no se obtendrá su negación (falso). Este operador se indica por medio del siguiente símbolo
p.
Por tanto p es el enunciado “no es el caso de p”. De esta definición se sigue que si p es
verdadera, entonces p es falso y si p es falso, entonces p es verdadero. El valor de
verdad de p , correspondiente al de p se da en la tabla 1. Esta tabla da los valores de
verdad de un enunciado compuesto en términos de los valores de verdad de sus partes
componentes y se le llama una tabla de verdad. Si se habla con rigor, no no es un conectivo
pues no une dos enunciados y p no es en realidad un enunciado compuesto.
Tabla 1
p p
V F
F V
Ejemplo 2. Determine las negaciones de los siguientes enunciados
a) p:  
2 3 1
b) q: Hace frío
Solución.
a) p : 
2 3 no es mayor que 1 o sea p :  
2 3 1

6. 4
Como p es verdadero en este caso, p es falso.
b) q : no es el caso de que hace frío, o más simple q : No hace frío
3.2 Conjunción  .
Si p y q son 2 proposiciones cualesquiera, la conjunción de p y q es la proposición
compuesta “p y q”, que se simboliza por 
p q y se lee “p y q”.
La proposición compuesta conjunción  
( , )
P p q p q es verdadera cuando ambos p y q
son verdaderos de otra manera, es falso. Los valores de verdad de 
p q en términos de los
valores de verdad de p y q se dan en la tabla de verdad que se ve en la tabla 2.
Ejemplo 3. Fórmese la conjunción de p y q:
(a) p: Está nevando; q: tengo frío.
(b) p: 2 3
 ; q: 5 8
   .
(c) p: Está nevando; q: 3 5

Solución.
(a) p q
 : Está nevando y tengo frío.
(b) p q
 : 2 3
 y 5 8
   .
(c) p q
 : Está nevando y 3 5
 .
La parte (c) del ejemplo 3 muestra que en lógica, a diferencia del español de cada día, es
posible unir mediante el conectivo  dos enunciados sin ninguna relación.
3.3 Disyunción  .
Si p y q son 2 proposiciones cualesquiera, la disyunción de p y q es la proposición
compuesta “p o q”, se simboliza por p q
 y se lee “p o q”.
La proposición compuesta disyunción ( , )
P p q p q
  , es verdadera si al menos una de
las proposiciones componentes p o q es verdadera y es falso cuando ambos, p y q son falsos.
Los valores de verdad de p q
 se dan en la tabla de verdad que se ve en la tabla 2.
Ejemplo 4. Fórmese la disyunción de p y q.
(a) p: 7 es un entero positivo; q: 5 es un número racional.
(b) p: 6 3 9
  ; q: Potosí es la capital de Bolivia.
Solución.
(a) p q
 : 7 es un número positivo o 5 es un número racional.
Puesto que p es verdadero, la disyunción p q
 es verdadera, aunque q sea falsa.
(b) p q
 : 6 3 9
  o Potosí es la capital de Bolivia.
Puesto que p y q son falsos, 
p q es falso.
El ejemplo 4(b) muestra que en lógica, a diferencia del español común, es posible unir
dos enunciados sin ninguna relación mediante el conectivo  .

7. 5
El conectivo  es más complicado que el conectivo  porque se usa en español de dos
maneras diferentes. Supóngase que se dice “fui en taxi al trabajo o tomé microbús para ir
al trabajo”. En esta proposición compuesta se tiene la disyunción de dos enunciados p: “fui
en taxi al trabajo” y q “tomé microbús para ir al trabajo”. Por supuesto, sólo una de las
dos posibilidades se pudo haber dado. Ambas nunca, por lo cual el conectivo  se una en
un sentido exclusivo. Por otra parte, examínese la disyunción “aprobé matemáticas o
reprobé historia”. En este caso, al menos una de las dos posibilidades sucedió. Sin embargo,
ambas podrían ocurrir, por lo cual el conectivo  se una en sentido inclusivo. En la
matemática siempre se usa el conectivo  de la manera inclusiva.
3.4 Implicación .
Si p y q son 2 proposiciones cualesquiera, entonces la implicación de p y q se denota por

p q y se lee “si p entonces q”. A esta nueva proposición también suele llamarse una
proposición condicional o una implicación. A la proposición p se le llama antecedente o
hipótesis y a la proposición q consecuente o conclusión.
La proposición compuesta implicación ( , )
P p q p q
  es verdadera excepto cuando p es
verdadero y q es falso. La tabla 2 describe los valores de verdad de 
p q en términos de
los valores de verdad de p y q. Se observará que 
p q se considera falso sólo si p es
verdadero y q es falsa. En particular, si p es falso, entonces 
p q es verdadero para
cualquier valor de verdad de q. Este hecho a veces se describe como el enunciado engañoso:
“Una hipótesis falsa implica cualquier conclusión”. De igual manera, si q es verdadera,
entonces 
p q será verdadero para cualquier valor de verdad de p.
Al principiante le sorprende el hecho de asignarle valor V a p q
 , cuando p es falsa,
como muestra la tabla 2. Por ejemplo, la proposición “si 4 es un número primo, entonces 6
es primo”, es una proposición verdadera a pesar de que “4 es un número primo” es una
proposición falsa. El que la proposición “6 es un primo” sea falsa, no tiene importancia.
Nada se afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso, solamente el valor de
verdad de p q
 y éste queda completamente determinado por las tablas fundamentales.
Ejemplo 5. Escríbase al condicional 
p q .
(a) p: Tengo hambre; q: Comeré.
(b) p: Está nevando; q:  
4 3 7
(c) p: El está en el partido de fútbol; q: El está en el estadio.
Solución.
(a) Si tengo hambre, entonces comeré.
(b) Si está nevando, entonces 4 3 7
  .
(c) Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio.
El ejemplo 5(b) muestra que en lógica se usan las proposiciones condicionales en un
sentido más general que el acostumbrado. Así en español, cuando se dice “si p entonces q”
suele suponerse que existe una relación de causa-efecto entre p y q; la proposición del
ejemplo 5(b) nunca se usaría en español común ya que no existe manera en que la

8. 6
proposición p tenga algún efecto sobre la proposición q.
3.5 Bicondicional .
La bicondicional de dos proposiciones p y q cualesquiera se denota como p q
 la cual
se lee como “p si, y sólo si, q” y se abrevia “p ssi q”.
La proposición compuesta bicondicional ( , )
P p q p q
  es verdadera cuando las dos
proposiciones p, q son verdaderas o ambas son falsas, en otro caso será falsa. En la
siguiente tabla se muestra los valores de verdad de la proposición compuesta p q
 .
Tabla 2
p q 
p q p q
 p q
 p q

V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Nota. Si p q
 es un condicional, entonces la inversa de p q
 es el condicional
p q
   , la recíproca de p q
 es el condicional q p
 y la contrarrecíproca de p q

es el condicional q p
   .
4. Equivalencia Lógica.
Dos proposiciones compuestas ( , , ,...)
P p q r y ( , , ,...)
Q p q r se dice que son equivalentes lo
cual se denota por ( , , ,...)
P p q r ( , , ,...)
Q p q r
 si ambas tienen tablas de verdad idénticas.
Ejemplo 6. Consideremos las proposiciones ( )
p q
  y p q
   cuyas tablas de verdad
son.
p q p q
 ( )
p q
  p q p
 q
 p q
  
V V V F V V F F F
V F F V V F F V V
F V F V F V V F V
F F F V F F V V V
De esto concluimos que las proposiciones ( )
p q
  y p q
   son lógicamente
equivalentes y este hecho se escribe como ( )
p q
   p q
   . Conocido como la ley de De
Morgan.
Ejemplo 7. Decida si las siguientes proposiciones son o no equivalentes.
p q
 y p q
  .
Solución.
Al construir las tablas de verdad de ambas proposiciones vemos que:

9. 7
p q p q
 p q p
 p q
 
V V V V V F V
V F F V F F F
F V V F V V V
F F V F F V V
Como estas proposiciones tienen tablas idénticas concluimos que,
p q
  p q
  .
Ejercicio. Demostrar que
(a) ( )
p p q p
  
(b) ( )
p p q p
   llamadas leyes de absorción.
5. Implicaciones Asociadas.
La implicación p q
 y ciertas proposiciones relacionadas con ella se analizan en el
siguiente.
Ejemplo 8.
p q p
 q
 p q
 q p
   q p
 p q
  
V V F F V V V V
V F F V F F V V
F V V F V V F F
F F V V V V V V
Observe que la columna 5ta. y 6ta. Muestran que p q
 q p
    .
La proposición q p
   como se menciono anteriormente se conoce como la
contrarrecíproca de la implicación p q
 . También las columnas 7ma. y 8va. Muestran
que.
q p
 p q
    ,
la implicación q p
 se denomina la reciproca de p q
 , en tanto que
p q
   Se conoce como la inversa de p q
 .
Note que p q
 q p
  y p q
   q p
    .
Sin embargo p q
 q p
    .
Esto dice que todo condicional es lógicamente equivalente con su contrarrecíproca.
Se usará esta propiedad en las demostraciones. Cuando se intente demostrar teoremas
de la forma “si p entonces q” se mostrará su contrarrecíproca “si q
 entonces p
 ” cuya
demostración a veces es más fácil.

10. 8
6. Tautología, Contradicción y Contingente.
Algunas proposiciones compuestas ( , , ,...)
P p q r poseen únicamente verdad V en la última
columna de su tabla de verdad, tales proposiciones se llaman tautologías, de manera
análoga, una proposición compuesta ( , , ,...)
P p q r se denomina contradicción si contiene
únicamente falso F en la última columna de su tabla de verdad y a una proposición
compuesta ( , , ,...)
P p q r cuya última columna de su tabla de verdad es verdadero V o falso
F dependiendo de los valores de verdad de sus variables proposicionales se la llama
contingente.
La importancia de las tautologías deriva del hecho de que son “verdaderas” en el sentido
de que el valor de verdad es independiente del valor de verdad de sus componentes.
Algunas de estas tautologías son muy comunes y útiles y por eso se les llama leyes.
Ejemplo 9. La proposición p p
  es una tautología, mientras que la proposición
p p
  es una contradicción en tanto que la proposición ( ) ( )
p q p q
   es
contingente.
Solución.
Esto podemos verificar construyendo sus tablas de verdad.
p p
 p p
  p p
 p p
  p q p q
 p q
 ( ) ( )
p q p q
  
V F V V F F V V V V V
F V V F V F V F F V F
F V V V V
F F V F F
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición
es siempre verdadera V. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya
que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A continuación, se presentan algunas tautologías importantes, conocidas como leyes del
álgebra de proposiciones, que involucran la equivalencia lógica, todas se pueden comprobar
usando tablas de verdad.
LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes
1a) p p p
  1b) p p p
 
Leyes Asociativas
2a) ( ) ( )
p q r p q r
     2b) ( ) ( )
p q r p q r
    

11. 9
Leyes Conmutativas
3a) p q q
   p 3b) p q q p
  
Leyes Distributivas
4a) ) ( ) ( )
p q r p q p r
      4b) ) ( ) ( )
p q r p q p r
     
Leyes de Identidad
5(a) p F p
  5(b) p F F
 
6(a) p V V
  6(b) p V p
 
Leyes de Complementación
7(a) p p V
   7(b) p  p F

8(a) p p
  8(b) ;
   
V F F V
Leyes de De Morgan
9(a) ( )
p q p q
     9(b) (p
  )
q p q
   
Leyes de Absorción
10(a) ( )
p p q p
   10(b) ( )
p p q p
  
Nota. V y F denotan variables que se restringen a los valores de: verdad y falso
respectivamente.
Estas leyes nos permitirán simplificar proposiciones compuestas en otras proposiciones
más simples.
1. Simplificar.
Significa encontrar una proposición equivalente a la proposición original, pero de una
forma más simple, esto se logra utilizando las leyes del álgebra de proposiciones.
A continuación, veremos algunos ejemplos de simplificación de proposiciones
compuestas, para su mejor comprensión enumeraremos las leyes de la lógica que se hayan
utilizado al lado derecho de la proposición a simplificar.
Ejemplo 10. Simplificar la proposición     
( ) ( )
p q p q , utilizando las leyes del
álgebra de proposiciones.
Solución.
    
( ) ( )
p q p q Razones
    
( ) ( )
p q p q      
( ) ( )
p q p q Ley de De Morgan
    
( ) ( )
p q p q Ley de compl.
   
( )
p q q Ley dist. de  sobre 
 
p F Ley de compl.

12. 10
 p Ley de identidad
En consecuencia, se tiene que     
( ) ( )
p q p q  p . De este modo podemos expresar
la proposición compuesta dada     
( ) ( )
p q p q mediante la proposición lógicamente
equivalente, más simple p.
Ejemplo 11. Simplificar la proposición ( )
p q
 p
 , utilizando las leyes del álgebra de
proposiciones.
Solución.
( )
p q
 p
 Razones
( )
p q
 p
    
( )
p p q Ley conmutativa
( ) ( )
p p p q
      Ley distrib. de  sobre 
( )
F p q
    Ley de complementación
( )
p q
   Ley de identidad
En consecuencia,
( )
p q
 p
 ( p q
   ).
Ejemplo 12. Simplificar  
( )
p p q .
Solución.
 
( )
p p q Razones
 
( )
p p q    
( ) (
p V p q) Ley de identidad
  
( )
p V q Ley dist. de  sobre 
 
p V Ley de identidad
 p Ley de identidad
Por tanto,  
( )
p p q  p .
Ejemplo 13. Simplificar     
( ) ( )
p q p q .
Solución.
    
( ) ( )
p q p q Razones
    
( ) ( )
p q p q       
( ) ( )
p q p q Ley de De Morgan
( )
p q q
     Ley dist. de  sobre 
  
p V Ley de compl.
 p Ley de identidad
En consecuencia     
( ) ( )
p q p q  p .
Ejemplo 14. Simplifique  ( )
p q r q
     .
Solución.
 ( )
p q r q
      Razones
 ( )
p q r q
      ( )
p q r q
       Ley de De Morgan

13. 11
( )
p q r q
      Ley de identidad
( ) )
p q r q
     Ley asociativa de 
( ) ( )
p q q r
    Ley conmutativa
( )
p q q r
      Ley asociativa de 
q r
  Ley de absorción.
En consecuencia, la proposición original ( )
p q r q
      es lógicamente
equivalente a la proposición mucho más sencilla q r
 .
7. Una Aplicación de la Teoría Lógica a los Circuitos Eléctricos.
7.1 Circuitos Lógicos.
La teoría de proposiciones compuestas estudiadas hasta ahora tiene muchas
aplicaciones, entre ellos a la teoría de circuitos eléctricos.
En esta aplicación, cada proposición representará un interruptor, es decir una
proposición estará asociada al paso o no de corriente en un circuito con un interruptor.
Así, la verdad de una proposición puede asociarse al paso de corriente en un circuito
eléctrico con un interruptor.
p
Para representar a p si es verdadero se tiene:
p
y para p falso se tiene:
Es decir, el interruptor se cierra si p es V y se abre si p es F.
Las proposiciones compuestas pueden representarse mediante circuitos eléctricos con
tantos interruptores como proposiciones se tenga, combinados en serie o en paralelo.
(1) La conjunción 
( )
p q se representa mediante un circuito en serie como sigue.
p q
Análogamente la conjunción p q r
  se representa mediante el circuito eléctrico en
serie. p q r
Observe que el primer circuito deja pasar fluido eléctrico solo cuando p y q son
verdaderos.
(2) La disyunción ( )
p q
 estará representado por el circuito en paralelo como sigue:
p

14. 12
Similarmente, la disyunción p q r
  estará representada por el siguiente circuito
también en paralelo.
p
q
r
Observe que el primer circuito en paralelo dejara pasar el fluido eléctrico cuando p o q o
ambos son verdaderos y no dejara pasar cuando ambos p, q son falsos.
En virtud de que    
p q p q entonces la implicación p q
 estará representado
por el siguiente circuito en paralelo.
p

q
Ejemplo 15. El circuito correspondiente a la proposición compuesta ( )
p q q
   es:
p q
q

Simplificando ( )
p q q
   podemos representar el circuito dado por un circuito más
simple como sigue.
( ) ( ) ( )
p q q p q q q
        
( )
p q V
   
p q
  
Cuyo circuito correspondiente es
p
q

Luego para que pase corriente por este circuito será suficiente que p o q
 o ambos sean
verdaderos.
Ejemplo 16. La proposición que caracteriza al siguiente circuito
q
p
r

15. 13
Es ( )
p q r
  .
Ejemplo 17. Construir el circuito correspondiente a la proposición
( ) ( ) ( )
p q p q p q
       además, simplificar esta para obtener un circuito más
simple.
Solución.
El circuito correspondiente a la proposición dada es.
p q

p
 q

Simplificando la proposición compuesta se obtiene.
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p q p q p q p q p q q
            
( ) ( )
p q p V
     
( )
p q p
    
( ) ( )
p p q p
      
( )
V q p
    
q p
   
Cuyo circuito es q
p
Ejemplo 18. Dado el siguiente circuito.
p q
p q p
q
(a) Determinar la proposición compuesta correspondiente.
(b) Simplificar esta y construya un circuito asociado a esta que es más simple.
Solución.
La proposición compuesta que representa al circuito dado es.
 
 
      
 
( ) ( ) .
p q p q q p
Simplificando ésta obtenemos.

16. 14
   
   
               
   
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p q p q q p p q p q q q p
 
 
      
 
( ) ( ) .
p q p q V p
 
     
( ) ( ) .
p q p q p
   
      
( ) ( ) .
p q p p q p
 
      
( ) ( ) ( ) .
p q p p q p
 
    
( ) ( ) .
p q F q p
   
( ) ( ).
p q p q
 
( ).
p q
p q
Cuyo circuito es:
Ejercicio. Construir el circuito correspondiente a la proposición compuesta.
 
 
         
( ) ( ) ( ) .
r t s s t r s t
Además, simplifique esta para obtener un circuito más simple.
8. Implicación Lógica, Reglas de Inferencia.
8.1 Razonamiento Válido o Argumento Válido.
En esta sección usaremos las ideas de tautología e implicación para describir lo que
entendemos por razonamiento válido o argumento válido.
En general un argumento comienza con una lista de proposiciones dados 1 2
, , , n
p p p
llamadas premisas o hipótesis del argumento y una proposición q que se conoce como la
conclusión del argumento.
Un tal argumento se representa como sigue:
1
2
n
p
p
p







Premisas o hipótesis del argumento.

q
 Conclusión del argumento.
Se dice que tal argumento o razonamiento es válido si, y sólo si, la proposición compuesta
   
1 2
( )
n
p p p q es una tautología.

17. 15
Es decir un argumento es válido si, y sólo si, cada vez que las premisas 1 2
, , , n
p p p son
verdaderas, entonces la conclusión q es también verdadera de otra manera el argumento
no es válido.
Ejemplo 19. Considere el siguiente argumento.
p: Luis se levanta a las siete
1
p p
 : Si Luis se levanta a las siete, entonces va a clase
1
p q
 : Si Luis va a clase, entonces se graduará
q
 : Luis se graduará.
Decida si este argumento es o no válido.
Solución.
El argumento dado será válido si, y sólo si, la proposición compuesta
1 1
( ) ( )
p p p p q q
       es una tautología, para lo cual es necesario construir su tabla
de verdad.
p 1
p q 1
p p
 1
p q
 1 1
( ) ( )
p p p p q
    1 1
( ) ( )
p p p p q q
      
V V V V V V V
V V F V F F V
V F V F V F V
V F F F V F V
F V V V V F V
F V F V F F V
F F V V V F V
F F F V V F V
Como la proposición compuesta 1 1
( ) ( )
p p p p q q
       es una tautología se
concluye que el razonamiento o argumento considerado es válido.
Recuerde que una implicación p q
 es falsa solamente cuando p es verdadera y q es
falsa. Entonces todo lo que se requiere para mostrar que p q
 es una tautología (o para
mostrar que un argumento es válido) es el caso en que p es verdadero, q necesariamente
debe ser verdadero.
Esto es precisamente lo que el razonamiento o argumento del ejemplo anterior
determina. Pues para establecer que 1 1
( ) ( )
p p p p q q
       es un argumento válido,
necesitamos considerar sólo aquellas filas de la tabla donde cada una de las tres premisas
p, 1
p p
 y 1
p q
 tenga valor de verdad V, note que si la hipótesis formada por la
conjunción de todas las premisas, es falso entonces la implicación es verdadera, sin
importar el valor de verdad de la conclusión.
Esto sucede únicamente en la primera fila por lo que no necesitamos gran parte de la
tabla, en consecuencia, lo que indica esta observación es que podemos prescindir de gran

18. 16
parte del esfuerzo de construcción de tablas de verdad y como no queremos hacer tablas
aún más grandes desarrollaremos una lista de técnicas llamadas reglas de inferencia que
nos ayudaran de la siguiente forma:
1) El uso de estas técnicas (reglas de inferencia) nos permitirá considerar únicamente
los casos en que todas las premisas sean verdaderas. Por lo tanto, analizaremos la
conclusión solo para aquellas filas de la tabla de verdad donde cada premisa tenga
valor verdadero V sin construir dicha tabla de verdad.
2) Las reglas de inferencia son fundamentales en el desarrollo de una justificación paso
a paso de cómo la conclusión q se sigue lógicamente de las premisas 1 2
, , , n
p p p en
una implicación de la forma 1 2
( , , , )
n
p p p q
 . Dicho desarrollo establecerá la
validez del argumento dado, pues mostrará la forma de deducir la verdad de la
conclusión a partir de las premisas.
3) Las reglas de inferencia nos ayudaran a determinar o demostrar si un argumento
dado es o no válido, sin necesidad de construir tablas de verdad. Es decir, las reglas
de inferencia sustituirán la construcción de tablas de verdad para demostrar que
ciertos argumentos son válidos.
4) Estas reglas también nos ayudarán más adelante cuando estudiemos los métodos de
demostración de teoremas.
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas
de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la
mayoría de los alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para
resolver un determinado problema. A continuación, se cita una lista de las principales
reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.
REGLAS DE INFERENCIA
Modus Ponendo Ponens (PP) Modus Tollendo Tollens (TT)
_____
p q
p
q


_____
p q
q
p



Modus Tollendo Ponens (TP) Doble Negación (DN)
______ ______
p q p q
p q
q p
 
 
 
_____ ____
p p
p p

 
Regla de Simplificación (S) Regla de Adjunción (A)
_____ _____
p q p q
p q
 
 
_____ _____
p p
q q
p q q p
   

19. 17
Ley del Silogismo Hipotético (HS) Ley de Adición (LA)
______
p q
q r
p r


 
_____ _____
p q
p q p q
   
Ley de la Simplificación Disyuntiva (DP) Ley del Silogismo Disyuntivo (DS)
_____
p p
p

 ______
p q
p r
q s
r s



 
o
______
p q
p r
q s
s r



 
Ley de las Proposiciones Bicondicionales (LB)
______ ______
_______ _______
( ) )
p q p q p q
q p p q
p q q p
p q p q q p
  
 
   
      
Nota. Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de un conjunto de proposiciones
a otra proposición se demuestra que la última proposición es consecuencia lógica de las
otras. Esto se puede expresar de muchas maneras. Se puede decir que se ha derivado la
conclusión de las premisas, que la conclusión se infiere de o es implicada por las premisas,
que la conclusión de deduce de las premisas, y otras.
Todas estas palabras o expresiones significan lo mismo: dadas ciertas proposiciones, si
una regla de inferencia nos permite pasar a otra proposición, entonces esta proposición es
una conclusión lógica de las proposiciones dadas.
Las reglas de inferencia que rigen el uso de los términos de enlace son muy simples. Se
pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprenden las reglas de un juego. El juego
se juega con proposiciones. Se empieza con un conjunto de proposiciones llamadas
premisas, el objetivo del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan
a otras proposiciones que se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la
conclusión es una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia
lógica de las premisas si cada paso, que se da para llegar a la conclusión está permitido
por una regla.
La idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas verdaderas
se obtienen sólo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas,
entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas.
Los siguientes ejemplos presentan argumentos válidos. Estos ejemplos nos muestran la
forma de aplicar las reglas de inferencia enumeradas anteriormente junto con otros
resultados como las leyes de la lógica.
Ejemplo 20. Demuestre la validez del siguiente argumento.

20. 18

premisas
______
conclusion
p q
q r
p
r
 

 



Solución.
(1) p q
 P
(2) q r
 P
(3) p P
(4) q PP 1, 3
(5) r PP 2,4
Observación. Observemos atentamente el esquema de la demostración. Cada línea está
numerada, tanto sí es una premisa como una línea deducida. Cada línea está justificada,
bien por ser premisa (indicada por P), bien deducida por una regla de inferencia (indicada
por la abreviatura PP). Además, después de las abreviaturas correspondientes a las reglas
empleadas para obtener las líneas deducidas, se ha indicado el número de las líneas a
partir de las cuales se ha deducido esta línea. Por ejemplo, en la línea (4) la sigla “PP 1, 3”
significa que q se ha deducido por el modus ponendo ponens de las líneas (1) y (3).
Análogamente, en la línea (5) se ha deducido la proposición r por medio de la regla PP de
las líneas (2) y (4). Obsérvese que se puede utilizar una línea que se ha deducido, junto con
otras líneas, para deducir una nueva línea. Cada línea que puede ser justificada ya sea
como una premisa o por el uso de una regla, se puede utilizar en otros pasos posteriores de
la demostración.
Ejemplo 21. Demuestre la validez del siguiente argumento.
_________
p q
q
p
  

Solución.
(1) p q
   P
(2) q P
(3) q
 DN 2
(4) p
 TT 1, 3
(5) p DN 4
Ejemplo 22. Demuestre la validez del siguiente argumento.
_______
p q
q r
p t
r

 



21. 19
Solución.
(1) p q
 P
(2) q r
  P
(3) p t
 P
(4) p S 3
(5) q PP 1, 4
(6) r
 PP 2, 5
Todas estas ideas podemos expresar de otra manera, pero equivalente.
Ejemplo 23. Demostrar A

Dado (1) A B

(2) B C

(3) C D

(4) D

Solución.
(5) C
 TT 4, 3
(6) B
 TT 5, 2
(7) A
 TT 6, 1
Ejemplo 24. Demostrar t
(1) p r
 
(2) r s
 
(3) p t

(4) s

Solución.
(5) s r
  contra recíproca de 2
(6) s r
  DN 5
(7) r PP 4, 6
(8) r p
  conmutatividad en 1
(9) r q
 definición de  en 8
(10) p PP 7, 9
(11) t PP 10, 3.
Ejemplo 25. Demostrar q s
 
(1) s r
 
(2) r t

(3) q t


22. 20
Solución.
(4) r
 S 1
(5) r t
   DN 2
(6) r t
   definición de  en 5
(7) t
 PP 4, 6
(8) t q
  contrarrecíproca de 3
(9) q
 PP 7, 8
(10) s Simplificación en 1
(11) q s
  ley de adición en 9, 10.
Ejemplo 26. Demostrar s
(1) p q

(2) q r
 
(3) r
(4)  
( )
p t s
Solución.
(5) q
 TP 3, 2
(6) p
 TT 5,1
(7) ( )
p t s
   definición  en 4
(8) t s
 PP 6, 7
(9) s simplificación en 8.
Ejemplo 27. Demostrar 6
x 
(1) x t
 6
x
 
(2) 4
x t x
  
(3) 4 ( 5 7)
x x x
    
(4) 6 ( 5 7)
x x x
    
(5) ( 7 5) ( )
x x z x t z
      
(6) ( ) ( )
x t t z z x
    
Solución.
(7) ( ) ( 5 7)
x t x x
     SH 2, 3
(8) ( ) ( )
x t z x t z
     SH 7, 5
(9) ( )
t z z x x t
     contrarrecíproca en 6
(10) x t x t
   SH 8,9
(11) x t x t
   definición de  en 10
(12) x t
 simplificación disyuntiva DP 11
(13) 6
x t x
   definición de  en 1
(14) 6
x  PP 12, 13.

23. 21
9. CUANTIFICADORES
Recordemos que una proposición es una oración afirmativa que puede ser verdadero o
falso, pero no ambas a la vez.
Frecuentemente, en matemáticas, escribimos afirmaciones tales como:
1)  
1 3
x
2)   
2
5 6 0
x x
3)    
2
4 ( 2)( 2)
x x x
4) 
2
4
x y  
1 6
x
5) El número  2
x es un entero par.
En estos casos no es posible decir si tales afirmaciones son verdaderas o falsas a menos
que conozcamos el valor que sustituye a x. Por tanto, estas afirmaciones no son
necesariamente proposiciones. Por ejemplo, la frase “El número  2
x es un entero par” no
necesariamente es verdadero o falso, a menos que conozcamos el valor que sustituirá a x.
sí restringimos nuestra elección a los enteros , entonces al reemplazar x por  
5, 1, o 3
, por ejemplo, la proposición resultante será falsa. De hecho, es falsa siempre que
sustituyamos x con un entero impar. No obstante, cuando un entero par sustituye a x la
proposición resultante es verdadera.
De hecho, todas las anteriores afirmaciones se denominan proposiciones abiertas cuya
definición formal es la siguiente.
Definición. Una afirmación es una proposición abierta si
1) Contiene una o más variables.
2) No es una proposición, pero
3) Se convierte en una proposición cuando las variables que aparecen en ella se
reemplazan por ciertas opciones permisibles.
De acuerdo a esta definición la frase “El número  2
x es un entero par” es una
proposición abierta que contiene una variable.
Respecto al tercer elemento de la definición, en nuestro análisis anterior restringimos
las “ciertas opciones permisibles” a los enteros. Estas opciones permisibles forman lo que
se llama el universo o universo de discurso para la proposición abierta. El universo
comprende las opciones que queremos considerar o permitir para la variable o variables
de la proposición abierta. (El universo es un ejemplo de un conjunto, concepto que
analizaremos con detalle en el siguiente capítulo).
Nota. Cuando nos encontramos ante el problema de asignar valores a x, debemos decidir
qué valores de x son posibles. Esto es, debemos tener ideas claras sobre un conjunto de
números, figuras geométricas, gentes, etc. Que serán objeto de análisis. A este conjunto se
llama como dijimos conjunto universal o también conjunto de sustitución U. El significado
es que el símbolo x en nuestra proposición abierta puede ser sustituido por un elemento de
U, si x aparece más de una vez en una proposición abierta dada, debe ser sustituido por el

24. 22
mismo elemento de U cada vez que aparece. Cuando hacemos tal sustitución decimos que
“hemos dado a x un valor”. Estas ideas nos permiten definir la variable.
Definición. Una variable es un símbolo en una afirmación o proposición abierta que
puede ser reemplazado por un elemento del conjunto U.
Las variables, comúnmente, pero no en exclusiva se representan por las últimas letras
del alfabeto x, y, z.
Lo opuesto a la noción de variable es la noción de constante.
Definición. Una constante es un elemento que se fija de antemano de un conjunto dado.
Frecuentemente, el conjunto dado es un conjunto de números y una constante se
representará por números tales como 2,1,½, , etc. En otros casos numéricos se representa
por una letra de la primera parte del alfabeto, tales como a, b, c, d. aquí hacemos resaltar
que a, b, c, d, … se fijan por un elemento arbitrario de un conjunto dado.
Cuando tenemos una proposición abierta con una variable x, podemos considerar el
conjunto de los elementos de U (esto es, valores de x), cuya sustitución por x convierte la
proposición abierta en una proposición verdadera. Llamaremos a esto el conjunto
verdadero de una proposición abierta.
Definición. El conjunto verdadero de una proposición abierta es el conjunto de
elementos del conjunto universal U cuya sustitución por x, convierte la proposición abierta
en una proposición verdadera.
Las proposiciones abiertas se denotan con ( )
p x , ( )
q x , ( )
r x , etc.
Por ejemplo ( )
p x : “El número 2
x  es un entero par”. Entonces ( )
p x
 se podría leer
como “El número 2
x  no es un entero par”.
Las proposiciones abiertas pueden tener dos o más variables, usaremos ( , )
q x y para
representar una proposición abierta con dos variables, por ejemplo, consideremos.
( , ) :
q x y Los números 2, , 2
y x y x y
   son enteros pares.
En el caso de ( , )
q x y , cada una de las variables x, y aparece más de una vez. Se
sobreentiende que cuando reemplazamos una de las letras x por un elemento de nuestro
conjunto de sustitución U reemplazamos la otra x con el mismo valor. De la misma forma,
cuando se sustituye y (con un valor de su universo), se hace la misma sustitución para
todas las apariciones de la variable y.
Con ( )
p x y ( , )
q x y como antes, y un universo en el que los enteros siguen siendo las
mismas opciones permisibles, obtenemos los siguientes resultados cuando hacemos
algunos reemplazos de las variables x, y.
(5) :
p El número 5 2 7
  es un entero par (Falso)

25. 23
( ) :
p x
 El número 7 2 9
  no es un entero par (Verdadera)
(4,2) :
q Los números 2 2 4, 4 2 2
    y 4 4 8
  son enteros pares (Verdadero)
También observamos, por ejemplo, que (5,2)
q y (4,7)
q son proposiciones falsas,
mientras que (5,2) y (4,7)
q q
  son verdaderas.
En consecuencia, vemos que para ambas expresiones ( )
p x y ( , )
q x y , según los valores
dados, algunas sustituciones producen proposiciones verdaderas y otras producen
proposiciones falsas. Por lo tanto, podemos construir las siguientes proposiciones
verdaderas.
1) Para algún x, ( )
p x .
2) Para algunos x, y, ( , )
q x y .
Observe que en este caso, las proposiciones “Para algún x, ( )
p x
 ” y “Para algunos x, y
( , )
q x y
 ” también son verdaderas. Puesto que las proposiciones “Para algún x, ( )
p x ” y
“Para algún x, ( )
p x
 ” también son verdaderas, vemos que la segunda proposición no es la
negación de la primera, aunque la proposición abierta ( )
p x
 es la negación de la
proposición abierta ( )
p x . Un resultado similar es verdadero para las proposiciones que
implican ( , )
q x y y ( , )
q x y
 .
Las frases “para algún x” y “Para algunos x, y” cualifican las proposiciones abiertas ( )
p x
y ( , )
q x y , respectivamente. Muchos postulados, definiciones y teoremas en matemáticas
implican proposiciones que son proposiciones abiertas cuantificadas. Esto surge de dos
tipos de cuantificadores, el cuantificador existencial y el cuantificador universal.
9.1 El Cuantificador Existencial , se utiliza para formar proposiciones compuestas
nuevas , ( )
x p x
 que se lee “existe x tal que ( )"
p x , o “hay una x, tal que ( )
p x ” o “para algún
x, ( )
p x ”. La proposición compuesta , ( )
x p x
 tiene los siguientes valores de verdad.
, ( )
x p x
 Es verdadero si ( )
p x es verdadero para al menos una x en U.
, ( )
x p x
 Es falsa si ( )
p x es falsa para todo x en U.
9.2 El Cuantificador Universal  , se utiliza para construir proposiciones compuestas
de la forma , ( )
x p x
 que se lee “para todo , ( )
x p x ” “para cada x, ( )
p x ” o “para cualquier x,
( )
p x ”. A la proposición compuesta , ( )
x p x
 se le asignan valores de verdad de la manera
siguiente:
, ( )
x p x
 Es verdadero si ( )
p x es verdadero para cada x en U.
En cualquier otro caso , ( )
x p x
 es falsa.
El ejemplo siguiente demuestra que el valor de verdad de una proposición cuantificada
puede depender del universo dado.

26. 24
Ejemplo 28. Consideremos la proposición abierta 2
( ) : 0.
p x x 
1) Si el universo consta de todos los números reales, entonces la proposición
cuantificada , ( )
x p x
 es verdadera.
2) Sin embargo, para el universo de todos los números complejos, la misma proposición
cuantificada , ( )
x p x
 es falsa. El número i ofrece uno de los muchos contraejemplos
posibles. De hecho, las desigualdades no se definen para todos los números
complejos.
No obstante, para cualquiera de estos universos, la proposición cuantificada , ( )
x p x
 es
verdadera.
Observación. Observe que si ( )
p x es cualquier proposición abierta en la variable x con
un universo predeterminado no vació. Entonces, si ( )
x p x
 es verdadera, también lo es
( )
x p x
 , o ( ) ( ).
x p x x p x
  
Cuando escribimos ( ) ( )
x p x x p x
   , estamos diciendo que la implicación ( )
x p x
 
( )
x p x
 es una implicación lógica; es decir ( )
x p x
 es verdadera siempre que ( )
x p x
 sea
verdadera. También observamos que la hipótesis de esta implicación es la proposición
cuantificada ( )
x p x
 y la conclusión es ( )
x p x
 , otra proposición cuantificada. Por otro
lado, si ( )
x p x
 es verdadera, no se sigue que ( )
x p x
 deba ser verdadera. Por lo tanto,
en general, ( )
x p x
 no implica lógicamente ( )
x p x
 .
Definición. Para las proposiciones abiertas ( ), ( )
p x q x definidas en un conjunto
universo dado, y la proposición cuantificada en forma universal  
( ) ( )
x p x q x
 
definimos:
1) La contrarrecíproca de  
( ) ( )
x p x q x
  como  
( ) ( )
x q x p x
   
2) La recíproca de  
( ) ( )
x p x q x
  como  
( ) ( )
x q x p x
 
3) La inversa de  
( ) ( )
x p x q x
  como  
( ) ( )
x p x q x
   
El siguiente ejemplo ilustra la definición anterior.
Ejemplo 29. Consideremos las siguientes proposiciones abiertas:
( ) : 3, ( ) : 3
p x x q x x
  y ( ) : 3
r x x  
y el universo consta de todos los números reales.
Las siguientes cuatro proposiciones son verdaderas.
Proposición:  
 
( ) ( ( ) ( )
x p x r x q x
  

27. 25
Contrarrecíproca  
 
( ) ( ) ( )
x r x q x p x
    
Recíproca:  
 
( ) ( ) ( )
x r x q x p x
  
Inversa:  
 
( ) ( ) ( )
x p x r x q x
    
En este caso (como la proposición y su reciproca son verdaderas), tenemos que la
proposición,
 
 
( ) ( ( ) ( )
x p x r x q x
  
es verdadera.
9.3 Equivalencia e Implicaciones Lógicas para Proposiciones Cuantificadas de
una variable.
Para un universo dado y cualesquiera proposiciones abiertas ( ), ( )
p x q x en la variable x,
se tiene:
   
( ) ( ) ( ) ( )
x p x q x x p x x q x
     
   
( ) ( ) ( ) ( )
x p x q x x p x x q x
     
   
( ) ( ) ( ) ( )
x p x q x x p x x q x
     
   
( ) ( ) ( ) ( )
x p x x q x x p x q x
     
Como , ( )
x p x
 y , ( )
x p x
 son admitidos como proposiciones, entonces debemos saber
negarlas para que sea consistente con el desarrollo realizado hasta aquí.
¿Cómo negamos las proposiciones que implican una sola variable?
Consideremos la proposición , ( )
x p x
 . Su negación,  
, ( )
x p x
  puede enunciarse como
“No ocurre que para todo x se cumpla ( )
p x ” esta proposición es verdadera si, y sólo si, la
proposición ( )
x p x
  es verdadera, similar situación ocurre que  
, ( )
x p x
  es falsa si, y
sólo si, ( )
x p x
  es falsa; esta observación conduce a la siguiente regla para negar la
proposición , ( )
x p x
 :
 
, ( )
x p x
  si, y sólo si, ( )
x p x
 
De manera similar se observa que la proposición , ( )
x p x
 es verdadera (falsa)
precisamente cuando la proposición ( )
x p x
  es falsa (verdadera). Esta observación da
lugar a una regla para negar la proposición , ( )
x p x
 :
 
, ( )
x p x
  si, y sólo si, ( )
x p x
 
Estas dos reglas de negación, junto con otras dos que se siguen de ellas, se presentan a
continuación.

28. 26
9.4. Reglas para Negar Proposiciones con un Cuantificador.
 
, ( ) ( )
x p x x p x
    
 
, ( ) ( )
x p x x p x
    
 
( ) ( ) ( )
x p x x p x x p x
       
 
( ) ( ) ( )
x p x x p x x p x
       
Ejemplo 30. Sea N el conjunto de todos los enteros el universo para las siguientes
proposiciones
( ) :
p x x es impar, 2
( ) : 1
q x x  es par
La proposición “Si x es impar, entonces 2
1
x  es par” puede simbolizarse como:
 
( ) ( )
x p x q x
  está es una proposición verdadera.
La negación de esta proposición se determina de la manera siguiente:
   
( ) ( ) ( ) ( )
x p x q x x p x q x
 
     
 
 
( ) ( )
x p x q x
 
    
 
 
( ) ( )
x p x q x
    
 
( ) ( )
x p x q x
   
En palabras, la negación dice “Existe un entero x tal que x es impar y 2
1
x  es impar (es
decir, no es par)” note que esta proposición es falsa, como se esperaba.
Ejemplo 31. Determinar el valor de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones
cuantificadas. Aquí el conjunto universo es el de los números reales R.
a) ,
x x x
  c) , 1
x x x
   e) , 0
x x
 
b) 2
,
x x x
  d) , 2
x x x
  
Solución.
a) Falso. Nótese que si 5
x   , entonces x x

b) Verdadero. Puesto que si 1
x  entonces 2
x x

c) Verdadero. Puesto que todo número real es solución de 1
x x
 
d) Falso. No existe solución para 2
x x
 
e) Verdadero. Porque si 0,
x  entonces 0.
x 
Ejemplo 32. Negar los enunciados del ejemplo anterior.
Solución.

29. 27
a) , , ( ) ,
x x x x x x x x x
        
b) 2 2 2
, , ( ) ,
x x x x x x x x x
        
c) , 1 , ( 1 ) , 1
x x x x x x x x x
           
d)            
, 2 , ( 2 ) , 2
x x x x x x x x x
e)  , 0 , ( 0) , 0
x x x x x x
        
Ejemplo 33. Dado  
1,2,3,4,5 ,
A  hallar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones y además, negar dichas proposiciones.
a) ( )( 3 10)
x A x
    c) ( )( 3 5)
x A x
   
b) ( )( 3 10)
x A x
    d) ( )( 3 7)
x A x
   
Solución.
a) Falso. Puesto que ningún número de A es solución de 3 10.
x  
b) Verdadero. Pues todo número de A satisface a 3 10
x   .
c) Verdadero. Pues si 0 1,
x  entonces 0 3 5,
x   es decir 1 es una solución.
d) Falso. Porque si 0 5,
x  entonces 0 3 7.
x   En otras palabras, 5 no es solución
de la condición dada.
Por otra parte, negando las proposiciones dadas se tiene:
a) ( )( 3 10) ( ) ( 3 10) ( )( 3 10)
x A x x A x x A x
               
b) ( )( 3 10) ( ) ( 3 10) ( )( 3 10)
x A x x A x x A x
               
c) ( )( 3 5) ( ) ( 3 5) ( )( 3 5)
x A x x A x x A x
               
d) ( )( 3 7) ( ) ( 3 7) ( )( 3 7)
x A x x A x x A x
               
Ejemplo 34. Negar los enunciados:
a) , ( ) , ( ),
x p x x q y
  
b) ( ) ( ).
x p x y q y
  
Solución.
a) Nótese que ( ) ;
p q p q
      entonces
 
, ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
x p x x q y x p x x q y x p x x q y
             
b) Nótese que ( ) ;
p q p q
      entonces
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
x p x y q y x p x y q y x p x y q y
             

30. 28
10. Tarea 1 - Semana 1.
1. Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el
siguiente texto:
“La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se transmiten a los maestros,
y las escuelas se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos,
cuyo horizonte está limitado por el pizarrón y el libro de texto”
2. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las proposiciones:
a)  
 
p q r
b)  
     
p q p q
3. Negar las proposiciones de ejercicio 2, y volverlas a escribir.
4. Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas:
a)  
p q q
b)      
 
    
 
p q q r p r
c)  
p p q
5. Simplificar las siguientes proposiciones:
a)  
   
p q
b)    
    
p q p q
c)    
   
p q p q
d)    
 
       
 
p q q p p q
e)    
 
      
 
p q p p q
6. Construir el circuito lógico que representa a cada una de las proposiciones
siguientes:
a) 
p q
b)    
 
       
 
p q q p p q
c) 
p q
d)    
 
    
 
p q q p p q
e)    
 
     
 
r p q q p
f)  
 
     
 
( )
p q r s p
g)    
 
        
  ( )
p r r p p r
h)    
    
p q p q
i)      
    
p q r s p r

31. 29
7. En cada uno de los siguientes ejercicios, demostrar la conclusión dada haciendo uso
de las reglas de inferencia:
a) Demostrar: 
r s
 
 

 
   

  
1.
2.
3.
4.
5.
p C
A B
p q r t
B D
A C D
b) Demostrar: 
s t
   
   



 
1.
2.
3.
4.
5.
p r A B
p q
B s
q r
A s
c) Demostrar:  4
x
  
  
  
  
  
  
1. 3
2. 4 1
3. 4
4. 1
5.
6. 3 1
x y y
x y
x y x
x y y
x y x y
y y

32. 30
11. Tarea 2 - Semana 1.
1. Negar las proposiciones,
a)   
/ ( ) ( )
x P x Q x
b)  
: ( ) ( )
x P x Q x
d)    
/ 0
x y x y
2. Verificar que para probar la equivalencia de las proposiciones p, q, r y s es suficiente
demostrar las siguientes implicaciones,
   
, , ,
p q q r r s s p
3. Dadas las proposiciones:
a) El cuadrado de todo número real es mayor que 2.
b) Existen enteros cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del siguiente.
c) Todo el que estudia triunfa.
Expresarlas simbólicamente, negar las expresiones obtenidas y traducirlas al
lenguaje ordinario.
4. Expresar simbólicamente el siguiente teorema:
“Si un número es impar, entonces su cuadrado es impar”.
Enunciar el contrarrecíproco, el contrario y el recíproco. Demostrar el primero.
5. Investigar la validez del razonamiento siguiente:
Si el interés no es egoísta, entonces es la fuerza vital de las personas y es
espontáneo.
El interés no es la fuerza vital de las personas y es espontáneo.
_____________________________________________________________
El interés es egoísta.
6. Demostrar la validez del siguiente razonamiento:
“Mi padre me alaba si yo estoy orgulloso de mi mismo. O me va bien en deportes o
no puedo estar orgullosos de mí mismo. Si estudio bastante, entonces no me va bien
en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante “.
7. Si la ballena es un mamífero entonces toma oxigeno del aire, entonces no necesita
branquias. La ballena es un mamífero y habita en el océano. Por tanto, habita en
el océano y no necesita branquias.
“La lógica te llevará desde A hasta B. La imaginación te llevará a todas partes”
(Albert Einstein)

33. 31
Bibliografía
Allendoerfer-Oakley 1990 Matemáticas Universitarias. McGraw-Hill. Colombia.
Ayres, Jr. Frank 1996 Álgebra Moderna. McGraw-Hill. México.
Carranza, Roberto 1986 MAT – 100. Edición Previa. La Paz.
Chumacero N., José Luís 2017 Álgebra Lineal. Kipus. Cochabamba.
Lazo Q., Sebastián 1999 Álgebra Moderna. SOIPA Ltad. La Paz.
Lipschutz, Seymour 1999. Teoría de Conjuntos y Temas Afines. McGraw-Hill. México.
Mamani, Humberto 2019. Álgebra I Edición Preliminar, Sucre.
Rojo, Armando O. 1980 Álgebra I. Librería “El Ateneo”. Argentina.
Suppes P. – Hill S. 1995 Introducción a la Lógica Matemática. Reverté, España.