El documento describe el proceso de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel. Se presenta un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Se realizan 5 iteraciones para aproximar la solución, disminuyendo progresivamente el error en cada paso, hasta alcanzar un error del 0.7%.

1. Ejercicio resuelto 1
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el
método iterativo de Gauss – Seidel
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
Paso 1.
Ordenar los renglones para que pueda ser resuelto.
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
Paso 2.
Determinar si puede ser resuelta por este método, determinando si es
predominantemente dominante en su diagonal.
Paso 3.
Despejar las variables.
X1 = -2x2/9 – 3x3/9 + 56.5/9 = -0.2222x2 – 0.3333x3 + 6.2778
X2 = -4x1/10 – 8x3/10 +142/10 = - 0.4 – 0.8x3 + 14.2
X3 = - 2x1/7 – 6x2/7 + 89.5/7 = - 0.2857x1 – 0.8571x2 + 12.7857
Paso 4.
Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0]
Paso 5
Se substituye esta solución temporal en las ecuaciones para obtener
las nuevas x’s., pero solo cuando no se cuente con la anterior
Iteración 1
X1 = - 0.2222(0) – 0.3333(0) + 6.2778 = 6.2778
X2 = - 0.4(6.2778) – 0.8(0) + 14.2 = 11.6888
X3 = - 0.2857(6.2778) – 0.8571(11.6888) + 12.7857 = 0.9736
Se sustituye en alguna ecuación y se observa si el resultado ya es
adecuado:
4(6.2778) + 10(11.6888) + 8(0.9736) =
25.1112 + 116.888 + 7.7888 = 149.788 <> 142
error = abs(142 – 149.788) = 7.788
Pero si 1% = 1.42 entonces error = 7.78 = 5.48%
Aun el error es muy grande. Se repite el paso 5, pero tomado los
valores obtenidos en la ecuación anterior
Iteración 2
X1 = - 0.2222(11.6888) – 0.3333(0.9736) + 6.2778 = 3.356
X2 = - 0.4(3.356) – 0.8(0.9736) + 14.2 = 12.0787

2. X3 = - 0.2857(3.356) – 0.8571(12.0787) + 12.7857 = 1.4742
Se evalúa en una ecuación en este caso en la ecuación 1
4(3.356) + 120.787 + 8(1.4742)= 146.0046 <> 142
Si 1% = 1.42
error = abs(142 – 146.0046) = 4.0046
entonces error = 2.82%
Iteración 3.
X1 = - 0.2222(12.0787) – 0.3333(1.4742) + 6.2778 = 5.0407
X2 = - 0.4(5.0407) – 0.8(1.4742) + 14.2 = 11.0043
X3 = - 0.2857(5.0407) – 0.8571(11.0043) + 12.7857 = 1.9137
Se sustituye
4(5.0407) + 110.043 + 8(1.9137)= 145.51, diferencia 3.51609
error = 2.47%
Iteración 4.
X1 = - 0.2222(11.0043) – 0.3333(1.9137) + 6.2778 = 3.1948
X2 = - 0.4(3.1948) – 0.8(1.913) + 14.2 = 11.3916
X3 = - 0.2857(3.1948) – 0.8571(11.3916) + 12.7857 = 2.1092
Se sustituye
4(3.1948) + 113.916 + 8(2.1092)= 143.5688, diferencia 1.5688
error = 1.10%
Iteración 5.
X1 = - 0.2222(11.3916) – 0.3333(2.1092) + 6.2778 = 3.0435
X2 = - 0.4(3.0435) – 0.8(2.1092) + 14.2 = 11.2952
X3 = - 0.2857(3.0435) – 0.8571(11.2952) + 12.7857 = 2.2350
Se sustituye
4(3.0435) + 112.952 + 8(2.235)= 143.006, diferencia 1.006
error = 0.7%