Método de Bisección
Encontrar las raíces de una ecuación es hallar un conjunto de valores para los cuales se cumple que esa ecuación sea igual a cero.
Cuando una función no permite un simple despeje algebraico una posible solución para hallar sus raíces es la aplicación de un método numérico.
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
Este documento describe el método de extrapolación de Richardson para la diferenciación numérica. Explica cómo utilizar la fórmula centrada de derivación para obtener una expresión de la derivada en términos de N(h), y luego extrapolar para eliminar los errores de orden superior mediante la suma y resta de ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico para calcular N1(h), N2(h) y N3(h) y comparar el resultado con la solución analítica.
El documento contiene instrucciones para resolver varios tipos de problemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones por separación de variables, ecuaciones exactas, ecuaciones con condiciones iniciales, y ecuaciones homogéneas. También recomienda revisar métodos de integración antes de continuar con los ejercicios.
El documento describe el método de iteración de punto fijo para resolver ecuaciones. Un punto fijo de una función g es un número p tal que g(p)=p. El método inicia con una aproximación x0 e itera xi+1=g(xi) hasta converger a la solución. La función g debe cumplir que su derivada sea menor a 1 en el punto fijo para garantizar convergencia. El documento provee ejemplos numéricos para ilustrar el método.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe varias propiedades mecánicas de los materiales como la elasticidad, plasticidad, resistencia, dureza y ductilidad. Explica conceptos como la ley de Hooke, relación de Poisson y esfuerzo cortante. El documento analiza cómo estas propiedades afectan el comportamiento de los materiales cuando se someten a fuerzas y cómo miden su capacidad para deformarse y resistir esfuerzos.
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
Este documento describe el método de extrapolación de Richardson para la diferenciación numérica. Explica cómo utilizar la fórmula centrada de derivación para obtener una expresión de la derivada en términos de N(h), y luego extrapolar para eliminar los errores de orden superior mediante la suma y resta de ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico para calcular N1(h), N2(h) y N3(h) y comparar el resultado con la solución analítica.
El documento contiene instrucciones para resolver varios tipos de problemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones por separación de variables, ecuaciones exactas, ecuaciones con condiciones iniciales, y ecuaciones homogéneas. También recomienda revisar métodos de integración antes de continuar con los ejercicios.
El documento describe el método de iteración de punto fijo para resolver ecuaciones. Un punto fijo de una función g es un número p tal que g(p)=p. El método inicia con una aproximación x0 e itera xi+1=g(xi) hasta converger a la solución. La función g debe cumplir que su derivada sea menor a 1 en el punto fijo para garantizar convergencia. El documento provee ejemplos numéricos para ilustrar el método.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe varias propiedades mecánicas de los materiales como la elasticidad, plasticidad, resistencia, dureza y ductilidad. Explica conceptos como la ley de Hooke, relación de Poisson y esfuerzo cortante. El documento analiza cómo estas propiedades afectan el comportamiento de los materiales cuando se someten a fuerzas y cómo miden su capacidad para deformarse y resistir esfuerzos.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
El documento describe varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. El método del punto fijo genera una sucesión convergente a partir de una función iteradora. El método de Newton-Raphson encuentra raíces aproximadas de manera más eficiente usando la derivada de la función. El método de la secante evita calcular la derivada y aproxima las raíces usando dos puntos previos.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
El documento describe el método de iteración del punto fijo para resolver ecuaciones. Explica que se transforma la ecuación f(x)=0 en x=g(x) mediante una función iteradora g(x). Luego, se define un punto fijo como un número p tal que g(p)=p. El método genera una sucesión xn+1=g(xn) que converge a la solución cuando |g'(x)|<1. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para aproximar la solución de una ecuación usando Excel.
Este documento presenta un estudio sobre el método numérico de la regla de Simpson. Brevemente describe que el objetivo es investigar este método para integrar funciones definidas tabular o gráficamente y aplicarlo a problemas comunes en ingeniería. Explica que la regla de Simpson usa polinomios de grado superior para aproximar la función, resultando en una integración más precisa que otros métodos. Luego desarrolla las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, incluyendo sus fórmulas y errores asociados. Finalmente presenta ej
Este documento presenta varios métodos de integración numérica como la regla del trapecio, la regla de Simpson y sus extensiones. Explica las fórmulas matemáticas detrás de cada método y provee ejemplos para ilustrar cómo aplicarlos al cálculo aproximado de integrales definidas.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
Este documento describe el método de mínimos cuadrados para calcular la línea recta de mejor ajuste a partir de datos experimentales. Explica cómo calcular la pendiente (m), la ordenada al origen (b) y el coeficiente de correlación (r) a partir de la suma y el producto de las variables independientes (x) y dependientes (y). Además, ilustra gráficamente la línea de ajuste obtenida a partir de los valores de una tabla de datos.
Los documentos presentan 7 ejercicios de cálculo de fuerzas y momentos. En cada ejercicio se dan las fuerzas actuantes sobre un sistema y se pide calcular otras fuerzas o momentos. Se resuelven sistemáticamente aplicando las leyes de la estática y el cálculo vectorial.
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como sistemas homogéneos y no homogéneos, la forma matricial de los sistemas lineales, y métodos para resolver sistemas como el método de los operadores y el uso de la transformada de Laplace. Finalmente, aplica estos conceptos al análisis de circuitos eléctricos con múltiples ramas que pueden modelarse como sistemas de ecuaciones diferenciales.
El resumen compara el valor exacto de la integral de la función f(x)=1/(3x+1) entre 0 y 2, que es 0.6485, con la aproximación obtenida usando la regla del trapecio con diferentes valores de n. Para n=4, la aproximación de la regla del trapecio es 0.7016, con un error relativo de 0.07/0.7016=0.1% respecto al valor exacto.
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS_SEIDEL USANDO FORTRAN 90, MATLAB Y SCILABMarco Antonio
Este documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel para hallar la reacción normal y la tensión de una cuerda que sostiene una esfera sobre un plano inclinado. Se describe el problema físico, la formulación matemática del sistema y su implementación en Fortran, MATLAB y Scilab aplicando el método de Gauss-Seidel.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Dos bloques A y B, de 4 y 5 kg de masa, respectivamente, están conectados por una cuerda que pasa sobre las poleas en la forma que se muestra en la figura. Un collarín C de 3kg se coloca sobre el bloque A y el sistema se suelta desde el reposo. Después de que los bloques se mueven 0,9m, se retira el collarín C y los bloquea A y B continúan moviéndose.
Determine la rapidez del bloque justo antes que golpee el suelo.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
1) El documento presenta métodos de interpolación numérica como interpolación lineal, cuadrática, cúbica y polinómica de grado 5 para determinar valores intermedios a partir de tablas de datos. También incluye ejemplos de interpolación de Lagrange y Newton.
2) Se proporcionan ejercicios resueltos de interpolación simple, Lagrange e interpolación de Newton utilizando tablas de valores de variables como temperatura, presión y concentración en función del tiempo.
3) Los ejercicios incluyen el cálculo de polinom
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con curvas en coordenadas polares. Explica cómo definir una curva mediante su ecuación polar, calcular la pendiente de la tangente, y analizar simetrías. También incluye ejemplos como la cardioide y la lemniscata para ilustrar estas ideas.
El método de Romberg es un método numérico para calcular integrales definidas de forma más precisa que la regla del trapecio. Se basa en la regla del trapecio pero mejora la precisión mediante la generación de tablas donde cada fila proporciona una mejor aproximación que la anterior. En el ejemplo, se aplica el método de Romberg para calcular la integral de 0 a 3 de e^x sen(x)/(1+x^2) dx, obteniendo valores sucesivos hasta R7,7 que proporciona la mejor aproximación.
El documento presenta la solución a un problema de ingeniería civil sobre el diseño de un canal trapezoidal. Se calcula el ancho de la plantilla y el tirante normal requeridos para transportar un gasto de 200 m3/s dado los parámetros del canal como la pendiente, el coeficiente de Manning y las dimensiones. Adicionalmente, se resuelve el mismo problema usando un software de cálculo de canales.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
El documento describe varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. El método del punto fijo genera una sucesión convergente a partir de una función iteradora. El método de Newton-Raphson encuentra raíces aproximadas de manera más eficiente usando la derivada de la función. El método de la secante evita calcular la derivada y aproxima las raíces usando dos puntos previos.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
El documento describe el método de iteración del punto fijo para resolver ecuaciones. Explica que se transforma la ecuación f(x)=0 en x=g(x) mediante una función iteradora g(x). Luego, se define un punto fijo como un número p tal que g(p)=p. El método genera una sucesión xn+1=g(xn) que converge a la solución cuando |g'(x)|<1. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para aproximar la solución de una ecuación usando Excel.
Este documento presenta un estudio sobre el método numérico de la regla de Simpson. Brevemente describe que el objetivo es investigar este método para integrar funciones definidas tabular o gráficamente y aplicarlo a problemas comunes en ingeniería. Explica que la regla de Simpson usa polinomios de grado superior para aproximar la función, resultando en una integración más precisa que otros métodos. Luego desarrolla las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, incluyendo sus fórmulas y errores asociados. Finalmente presenta ej
Este documento presenta varios métodos de integración numérica como la regla del trapecio, la regla de Simpson y sus extensiones. Explica las fórmulas matemáticas detrás de cada método y provee ejemplos para ilustrar cómo aplicarlos al cálculo aproximado de integrales definidas.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
Este documento describe el método de mínimos cuadrados para calcular la línea recta de mejor ajuste a partir de datos experimentales. Explica cómo calcular la pendiente (m), la ordenada al origen (b) y el coeficiente de correlación (r) a partir de la suma y el producto de las variables independientes (x) y dependientes (y). Además, ilustra gráficamente la línea de ajuste obtenida a partir de los valores de una tabla de datos.
Los documentos presentan 7 ejercicios de cálculo de fuerzas y momentos. En cada ejercicio se dan las fuerzas actuantes sobre un sistema y se pide calcular otras fuerzas o momentos. Se resuelven sistemáticamente aplicando las leyes de la estática y el cálculo vectorial.
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como sistemas homogéneos y no homogéneos, la forma matricial de los sistemas lineales, y métodos para resolver sistemas como el método de los operadores y el uso de la transformada de Laplace. Finalmente, aplica estos conceptos al análisis de circuitos eléctricos con múltiples ramas que pueden modelarse como sistemas de ecuaciones diferenciales.
El resumen compara el valor exacto de la integral de la función f(x)=1/(3x+1) entre 0 y 2, que es 0.6485, con la aproximación obtenida usando la regla del trapecio con diferentes valores de n. Para n=4, la aproximación de la regla del trapecio es 0.7016, con un error relativo de 0.07/0.7016=0.1% respecto al valor exacto.
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS_SEIDEL USANDO FORTRAN 90, MATLAB Y SCILABMarco Antonio
Este documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel para hallar la reacción normal y la tensión de una cuerda que sostiene una esfera sobre un plano inclinado. Se describe el problema físico, la formulación matemática del sistema y su implementación en Fortran, MATLAB y Scilab aplicando el método de Gauss-Seidel.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Dos bloques A y B, de 4 y 5 kg de masa, respectivamente, están conectados por una cuerda que pasa sobre las poleas en la forma que se muestra en la figura. Un collarín C de 3kg se coloca sobre el bloque A y el sistema se suelta desde el reposo. Después de que los bloques se mueven 0,9m, se retira el collarín C y los bloquea A y B continúan moviéndose.
Determine la rapidez del bloque justo antes que golpee el suelo.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
1) El documento presenta métodos de interpolación numérica como interpolación lineal, cuadrática, cúbica y polinómica de grado 5 para determinar valores intermedios a partir de tablas de datos. También incluye ejemplos de interpolación de Lagrange y Newton.
2) Se proporcionan ejercicios resueltos de interpolación simple, Lagrange e interpolación de Newton utilizando tablas de valores de variables como temperatura, presión y concentración en función del tiempo.
3) Los ejercicios incluyen el cálculo de polinom
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con curvas en coordenadas polares. Explica cómo definir una curva mediante su ecuación polar, calcular la pendiente de la tangente, y analizar simetrías. También incluye ejemplos como la cardioide y la lemniscata para ilustrar estas ideas.
El método de Romberg es un método numérico para calcular integrales definidas de forma más precisa que la regla del trapecio. Se basa en la regla del trapecio pero mejora la precisión mediante la generación de tablas donde cada fila proporciona una mejor aproximación que la anterior. En el ejemplo, se aplica el método de Romberg para calcular la integral de 0 a 3 de e^x sen(x)/(1+x^2) dx, obteniendo valores sucesivos hasta R7,7 que proporciona la mejor aproximación.
El documento presenta la solución a un problema de ingeniería civil sobre el diseño de un canal trapezoidal. Se calcula el ancho de la plantilla y el tirante normal requeridos para transportar un gasto de 200 m3/s dado los parámetros del canal como la pendiente, el coeficiente de Manning y las dimensiones. Adicionalmente, se resuelve el mismo problema usando un software de cálculo de canales.
1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
Presentacion Integrales de Linea (Hector Santana) .pdfHectorSantana37
Este documento presenta una introducción a las integrales de línea. Explica la definición de integrales de línea, cómo evaluarlas usando parámetros y teoremas clave. Luego, resuelve tres ejercicios de integrales de línea como ejemplos y concluye que las integrales de línea son útiles para calcular longitudes de curvas y tienen muchas aplicaciones.
Presentacion Integrales de Linea (Hector Santana) .pdfHectorSantana37
Este documento presenta una introducción a las integrales de línea. Explica la definición de integrales de línea, cómo evaluarlas usando parámetros y teoremas clave. Luego, resuelve tres ejercicios de integrales de línea como ejemplos y concluye que las integrales de línea son útiles para calcular longitudes de curvas y tienen muchas aplicaciones.
El documento describe diferentes métodos de integración numérica como la regla del trapecio y la regla de Simpson. La regla del trapecio aproxima la función entre dos puntos por una línea recta, mientras que la regla de Simpson usa una parábola. Ambos métodos dividen el intervalo en subintervalos para mejorar la precisión al disminuir el error.
Métodos numéricos método de la secanteHELIMARIANO1
Este documento presenta el método numérico de la secante para resolver ecuaciones no lineales. Se aplica el método para calcular la altura necesaria para llenar un 85% de la capacidad de un camión cisterna cilíndrico elíptico. El método converge a una altura de 1.4269 metros. Se concluye que el método de la secante es eficiente para resolver problemas matemáticos y de ingeniería.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON Y EL MÉTODO DE LA SECANTEEdgar Flores
El documento presenta dos ejemplos numéricos resueltos utilizando los métodos de Newton y la secante para aproximar raíces de ecuaciones no lineales. En el primer ejemplo, se encuentra la raíz cuadrada de 10 usando el método de Newton con una precisión de cuatro cifras decimales. En el segundo ejemplo, se aproxima la raíz de la función f(x)=arctan(x)-2x+1 usando el método de la secante hasta alcanzar un error menor al 1%.
El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales: el método de Newton, el método de Broyden y el método del descenso más rápido. Se aplican estos métodos a tres experimentos numéricos para determinar cuál es el más eficiente.
Este documento trata sobre programación cuadrática y describe varios conceptos matemáticos como ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Explica cómo reconocer cada curva a partir de su ecuación y presenta ejemplos resueltos de minimización y maximización de funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. Finalmente, incluye seis ejercicios resueltos que ilustran cómo aplicar estos conceptos para encontrar los valores óptimos de variables.
Este documento trata sobre programación cuadrática y describe varios conceptos matemáticos como ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Explica cómo reconocer cada curva a partir de su ecuación y resuelve seis ejercicios de minimización o maximización de funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales, encontrando en cada caso los valores óptimos de las variables.
Este documento trata sobre programación cuadrática y describe varios conceptos matemáticos como ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Explica cómo reconocer cada curva a partir de su ecuación y resuelve seis ejercicios de minimización o maximización de funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales, encontrando en cada caso los valores óptimos de las variables.
El documento trata temas de aproximación numérica como interpolación polinómica, aproximación lineal y métodos de integración numérica. Explica el método de aproximación lineal y estimación de errores usando la tangente, así como la aproximación lineal en términos de la diferencial. También describe el ajuste lineal, el método de LaGrange y el método de diferencias divididas para la interpolación polinómica.
El documento presenta los métodos de Newton-Raphson y de la secante para determinar raíces de polinomios. Explica que el método de Newton-Raphson utiliza rectas tangentes evaluadas analíticamente para encontrar una raíz cercana a una estimación inicial, mientras que el método de la secante aproxima la derivada usando dos valores iterativos consecutivos para ser más eficiente. Finalmente, da ejemplos numéricos de la aplicación de ambos métodos.
Este documento explica conceptos relacionados con la derivada y su aplicación para encontrar rectas tangentes, normales, puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y concavidad. Incluye un ejemplo para graficar la recta tangente y normal de una función dada en un punto, y otro ejemplo que analiza los puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y puntos de inflexión de una función.
Este documento presenta los temas y ejercicios de cálculo que serán cubiertos en el curso de matemáticas para el primer año de la carrera de Ingeniería Ambiental. Los temas incluyen límites, derivadas, derivadas especiales y de orden superior. El documento contiene tres ejercicios resueltos sobre límites aplicando la definición formal.
Este documento describe un estudio para monitorear la concentración de nitratos en un lago que recibe aguas residuales. Se usó inicialmente un método manual y luego se propuso un método automático. Los datos recolectados muestran las mediciones de ambos métodos. Se comprueba la idoneidad de un modelo de regresión lineal y, de ser apropiado, se usa para predecir la lectura automática con una muestra manual de 100.
Este documento describe diferentes estrategias de pivoteo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. Explica que el pivoteo tiene como objetivo evitar divisiones entre cero y reducir errores de redondeo. Luego detalla tres tipos de pivoteo: pivoteo máximo por columna, pivoteo total y pivoteo escalado de fila. Finalmente, presenta ejemplos numéricos ilustrando la aplicación de estas técnicas.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
1. El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización, raíz cuadrada, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
2. Se explican los procedimientos para cada método y se proporcionan ejemplos resueltos.
3. El documento concluye con ejercicios propuestos para que el lector aplique cada uno de los métodos.
1. Método de La Bisección
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
Dr. Carlos Alberto Morales Rergis
2. Contenidos de la Clase
Solución numérica de ecuaciones
Generalidades del método de la bisección
Interpretación geométrica del método
Ejemplo numérico
Breves conclusiones
Appendices
2
3. Bibliografía de Interés
• Chapra, Steven C., and Raymond P. Canale. Numerical methods for engineers. Boston: McGraw-Hill
Higher Education, 2010. Print.
• Burden, R. & Faires, J. (2011). Numerical analysis. Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning.
3
4. Solución numérica de ecuaciónes
Encontrar las raíces de una ecuación es hallar un
conjunto de valores para los cuales se cumple que
esa ecuación sea igual a cero.
Cuando una función no permite un simple despeje
algebraico una posible solución para hallar sus raíces
es la aplicación de un método numérico.
4
𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2
3𝑥 − 2 = 0
3𝑥 = 2
𝑥 =
2
3
𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 −
2𝜋
3
𝑒3𝑥
− 𝑙𝑛 12𝑥2
+ 3
𝑓 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 0
𝑥 =?
5. Generalidades del método de la bisección
El método de la bisección es un método numérico que sirve para encontrar las raíces de una ecuación
basado en el concepto de la media.
5
𝑥 𝑛 + 1 =
𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛 − 1
2
𝑥 𝑛
𝑥 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 + 1
6. Generalidades del método de la bisección II
Se basa en el Teorema de Bolsano: Sea una función continua en un intervalo
cerrado y que toma valores de signo contrario en los extremos, entonces
existe al menos un valor tal que .
Es un método cerrado, o de intervalo, estos métodos aprovechan el hecho de que
una función cambia de signo en la vecindad de una raíz.
Consiste en reducir el intervalo dentro del cual se encuentra la raíz, sustituyendo los
límites inferior o superior dependiendo los resultados obtenidos al evaluar el valor
de la media.
6
17. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
17
𝑣 =
𝑔𝑚
𝑐
1 − 𝑒
−
𝑐
𝑚 𝑡
𝑓 𝑐 =
𝑔𝑚
𝑐
1 − 𝑒
−
𝑐
𝑚
𝑡
− 𝑣
𝑓 𝑐 =
667.38
𝑐
1 − 𝑒−0.146843𝑐 − 40
667.38
𝑐
1 − 𝑒−0.146843𝑐 − 40 = 0
18. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
18
c f(c)
12 6.06694996
12.5 4.87315055
13 3.72701387
13.5 2.62625495
14 1.56870973
14.5 0.55232821
15 -0.42483189
15.5 -1.36461116
16 -2.26875421
16.5 -3.13891498
17 -3.97666178
17.5 -4.78348204
18 -5.56078676 -6
-4
-2
0
2
4
6
12 13 14 15 16 17 18
Grafico de la Función
𝑓(𝑐)=667.38/𝑐〖(1−𝑒^(−0.146843𝑐) )−40〗
x=14.7802
19. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
19
-6
-4
-2
0
2
4
6
12 13 14 15 16 17 18
Grafico de la Función
𝑓(𝑐)=667.38/𝑐〖(1−𝑒^(−0.146843𝑐) )−40〗
c f(c)
12 6.06694996
12.5 4.87315055
13 3.72701387
13.5 2.62625495
14 1.56870973
14.5 0.55232821
15 -0.42483189
15.5 -1.36461116
16 -2.26875421
16.5 -3.13891498
17 -3.97666178
17.5 -4.78348204
18 -5.56078676
Intervalo
de búsqueda
𝑎, 𝑏 = 14,16
𝑓 14 𝑓 16 < 0
20. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
20
𝑥0 =
𝑥0,𝑎 + 𝑥0,𝑏
2
=
14 + 16
2
= 15
Rastrear el cambio de signo de la función
𝑓 𝑥0,𝑎 𝑓 𝑥0 < 0
𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0,𝑏 > 0
Arranque
𝑎, 𝑥0 = 14,15
𝑓 𝑥0,𝑎 = 𝑓 14 = 1.56870973
𝑓 𝑥0,𝑏 = 𝑓 16 =-2.26875421
𝑓 𝑥0 = 𝑓 15 =-0.42483189
21. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
21
Primera iteración cambio de signo
𝑓 𝑥0,𝑎 𝑓 𝑥1 > 0
𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥1 < 0 𝑥1, 𝑥0 = 14.5,15
𝑥1 =
𝑥0,𝑎 + 𝑥0
2
=
14 + 15
2
= 14.5
𝑓 𝑥1 = 𝑓 14.5 = 0.55232821
𝑓 𝑥0 = 𝑓 15 =-0.42483189
𝑓 𝑥0,𝑎 = 𝑓 14 = 1.56870973
𝜀𝑎 =
𝑥1 − 𝑥0
𝑥1
% = 3.4482% 𝜀𝑎 < 𝜀
22. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
22
Segunda iteración cambio de signo
𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥2 < 0
𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥1 > 0
𝑥2, 𝑥0 = 14.75,15
𝑥2 =
𝑥0 + 𝑥1
2
=
14.5 + 15
2
= 14.75
𝑓 𝑥1 = 𝑓 14.5 = 0.55232821
𝑓 𝑥0 = 𝑓 15 =-0.42483189
𝑓 𝑥2 = 𝑓 14.75 = 0.05896283
𝜀𝑎 =
𝑥2 − 𝑥1
𝑥2
% = 1.6949% 𝜀𝑎 < 𝜀
23. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
23
Tercera iteración cambio de signo
𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥3 > 0
𝑓 𝑥3 𝑓 𝑥2 < 0 𝑥2, 𝑥3 = 14.75,14.875
𝑥3 =
𝑥2 + 𝑥0
2
=
14.75 + 15
2
= 14.875
𝑓 𝑥3 = 𝑓 14.875 = -0.18411653
𝑓 𝑥0 = 𝑓 15 =-0.42483189
𝑓 𝑥2 = 𝑓 14.75 = 0.05896283 𝜀𝑎 =
𝑥3 − 𝑥2
𝑥3
% = 0.84033% 𝜀𝑎 < 𝜀
24. Ejemplo numérico
Utilice el método de la bisección con un error εr = 0.5 %, para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de
una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2.
24
Cuarta iteración cambio de signo
𝑓 𝑥4 𝑓 𝑥3 > 0
𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥4 < 0 𝑥2, 𝑥4 = 14.75,14.8125
𝑥4 =
𝑥2 + 𝑥3
2
=
14.75 + 14.875
2
= 14.8125
𝑓 𝑥3 = 𝑓 14.875 = -0.18411653
𝑓 𝑥2 = 𝑓 14.75 = 0.05896283
𝜀𝑎 =
𝑥4 − 𝑥3
𝑥4
% = 0.4219% 𝜀𝑎 < 𝜀
𝑓 𝑥4 = 𝑓 14.8125 = -0.06287413
𝑥𝑟 = 𝑥4 = 14.8125 Con un 0.4219% de error
25. Breves Conclusiones
Es un método de convergencia lenta.
Sus fundamentos matemáticos garantizan hallar la solución siempre y cuando se asegure que el
intervalo de arranque contenga a la solución.
25
26. Apendice I: Pseudocódigo del método de bisección
26
Método_de_bisección(a,b,n)
Begin
i:=0
While err ≤ ε do
ai:=a
bi:=b
xi:= (ai+ bi)/2
If f(xi) ≠ 0
then
If f(xi)f(bi) < 0 then
a:= xi EndIf
If f(xi)f(ai) < 0 then
b:= xi EndIf
err :=100(xi - xi-1)/ xi
Else err=0;
xi-1:=xi
EndWhile
x:=xi
End
27. Apendice II: Ejercicio Propuesto
27
• En cualquier lenguaje de
programación programar el
método de bisección para
cualquier tolerancia, el
ejercicio visto en clase.
clc
clear all
close all
a=14;
b=16;
err=100;
eps=0.5;
n=1;
while err >= eps
ai=a;
bi=b;
xi= (ai+bi)/2;
fxi=paracaidas(xi);
fai=paracaidas(ai);
fbi=paracaidas(bi);
if fxi~= 0
if fxi*fai<0
if n==1
a=ai;b=xi;xi_1=a;
else
a=ai;b=xi;
end
elseif fxi*fbi<0
if n==1
b=bi;a=xi;xi_1=b;
else
b=bi; a=xi;
end
end
err= abs(100*(xi-xi_1)/xi);
else
err=0;
end
n=n+1;
xi_1=xi;
end
x=xi;
fprintf('El resultado es')
x
fprintf('para un error de')
err
Ejemplo 1: Código en MATLAB/OCTAVE
function [ y ] = paracaidas( x )
y=(667.38/x)*((1-(exp(-0.146843*x))))-40;
end
28. Apendice II: Ejercicio Propuesto
28
• En cualquier lenguaje de
programación programar el
método de bisección para
cualquier tolerancia, el
ejercicio visto en clase.
Fin de la presentación
from math import exp
def paracaidas(x):
return (667.38/x)*((1-( exp(-0.146843*x) )))-40;
a=14;
b=16;
err=100;
eps=0.5;
n=1;
while (err >= eps):
ai=a;
bi=b;
xi= (ai+bi)/2;
fxi=paracaidas(xi);
fai=paracaidas(ai);
fbi=paracaidas(bi);
if (fxi != 0):
if (fxi*fai<0):
if (n==1):
a=ai;
b=xi;
xi_1=a;
else:
a=ai;
b=xi;
elif (fxi*fbi<0):
if (n==1):
b=bi;
a=xi;
xi_1=b;
else:
b=bi;
a=xi;
err= abs(100*(xi-xi_1)/xi);
else:
err=0;
n=n+1;
xi_1=xi;
x=xi;
print('La solución con una tolerancia de', eps , 'es ' ,x)
Ejemplo II: Código en Python