Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones, incluyendo definiciones, métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones (gráfico, sustitución, eliminación), y ejemplos. El autor también proporciona objetivos de aprendizaje relacionados con sistemas de ecuaciones y aplicaciones de estos conceptos.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y concluye que todos los métodos dan la misma solución y que el método de eliminación es el más eficiente.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones numéricas, literales y fraccionarias, así como los métodos de igualación, sustitución y reducción para resolver sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, ya sean numéricas, literales o fraccionarias. También describe los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo igualación, sustitución y reducción. Finalmente, incluye ejemplos para aplicar estos métodos en la resolución de problemas.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción. En el método de sustitución se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación. En el método de igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan. En el método de reducción se multiplica una ecuación para eliminar una incógnita al sumarlas. Todos los métodos conducen a la solución X=3, Y=4 para el
El documento describe dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método de igualación y el método de reducción. El método de igualación involucra despejar una incógnita en cada ecuación, igualar los resultados y resolver para encontrar los valores de las incógnitas. El método de reducción implica sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita y luego resolver para la otra incógnita y sustituir en la ecuación original. Se proveen ejemplos para ilustrar ambos métodos.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, proporciona ejercicios de práctica y resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables, como el método de sustitución y el método de eliminación.
Este documento presenta la resolución de dos sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordán. En la primera sección, se resuelve un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas mediante el método de Gauss, obteniendo la solución w=2, x=-2, y=3, z=-1. En la segunda sección, se aplica el método de Gauss-Jordán para resolver un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas, transformando la matriz aumentada en una matriz identidad.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y concluye que todos los métodos dan la misma solución y que el método de eliminación es el más eficiente.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones numéricas, literales y fraccionarias, así como los métodos de igualación, sustitución y reducción para resolver sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, ya sean numéricas, literales o fraccionarias. También describe los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo igualación, sustitución y reducción. Finalmente, incluye ejemplos para aplicar estos métodos en la resolución de problemas.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción. En el método de sustitución se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación. En el método de igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan. En el método de reducción se multiplica una ecuación para eliminar una incógnita al sumarlas. Todos los métodos conducen a la solución X=3, Y=4 para el
El documento describe dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método de igualación y el método de reducción. El método de igualación involucra despejar una incógnita en cada ecuación, igualar los resultados y resolver para encontrar los valores de las incógnitas. El método de reducción implica sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita y luego resolver para la otra incógnita y sustituir en la ecuación original. Se proveen ejemplos para ilustrar ambos métodos.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, proporciona ejercicios de práctica y resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables, como el método de sustitución y el método de eliminación.
Este documento presenta la resolución de dos sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordán. En la primera sección, se resuelve un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas mediante el método de Gauss, obteniendo la solución w=2, x=-2, y=3, z=-1. En la segunda sección, se aplica el método de Gauss-Jordán para resolver un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas, transformando la matriz aumentada en una matriz identidad.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas. Primero, se despeja una incógnita de la ecuación de primer grado y se sustituye en la ecuación de segundo grado. Luego, se resuelve la ecuación de segundo grado resultante para encontrar los valores de la incógnita despejada. Finalmente, esos valores se sustituyen en la ecuación original para encontrar los valores de la segunda incógnita.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas a través de los métodos de sustitución y factorización. Se muestran ejemplos como resolver sistemas donde se despeja una variable en una ecuación para sustituir en la otra, y también donde se factoriza una ecuación para resolver el sistema. En todos los casos se obtienen las posibles soluciones de las incógnitas planteadas.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones por diferentes métodos como reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Se resuelven ejemplos de sistemas compatibles determinados e indeterminados, así como sistemas incompatibles. Se comprueban las soluciones con una calculadora.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2, incluyendo el método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y los pasos para aplicarlos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2 incluyen sustitución, igualación, reducción y método gráfico. Cada método implica despejar incógnitas, igualar ecuaciones o restar ecuaciones para encontrar valores que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.
Este documento explica tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción, sustitución e igualación. Describe cada método a través de ejemplos numéricos resueltos paso a paso. Concluye que cualquiera de los tres métodos puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones y que el método elegido depende de cuál resulte más sencillo para el sistema en particular.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y graficarlo - GAMBOAenrique0975
El documento resuelve cuatro sistemas de ecuaciones algebraicas, despejando variables, igualando ecuaciones y encontrando los puntos de intersección. En cada caso grafica las curvas representadas por las ecuaciones.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones por el método de reducción. Explica cómo transformar las ecuaciones a una forma más sencilla y luego resolver el sistema obteniendo valores para las incógnitas. Para cada sistema, identifica si las soluciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes o que se cortan, y si el sistema es compatible indeterminado o determinado.
Este documento presenta ejemplos de diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como AX = B y que dos sistemas son equivalentes si sus matrices ampliadas son semejantes. También describe métodos como el de Gauss y Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: 1) sustitución, que consiste en despejar una incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación, reduciendo el problema a una ecuación de primer grado; y 2) igualación, que iguala las expresiones de una incógnita despejada en ambas ecuaciones, reduciendo también el problema a una ecuación de primer grado. Ambos métodos siguen pasos similares como despejar una incógnita, igualar expresiones, resolver la nueva ecuación
Este documento describe el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En particular, presenta un ejemplo paso a paso de cómo usar el método de Gauss para determinar cuánto dinero cada una de tres personas (A, B, C) pagará para un regalo común, dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
1) El documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando cálculo y el programa MATLAB.
2) Se resuelven ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, exactas y lineales como ejemplos utilizando métodos analíticos y comandos de MATLAB.
3) El documento provee una guía práctica para resolver ecuaciones diferenciales comúnmente encontradas en ingeniería.
Este documento presenta la resolución de cuatro sistemas de ecuaciones con dos incógnitas a través del método de sustitución. Cada sistema se resuelve despejando una variable en una ecuación y sustituyendo en la otra, encontrando una solución común que representa el punto de intersección de las rectas correspondientes.
El documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de primer grado: 1) Ensayo y error, 2) Suma y producto, y 3) Método general. El método de suma y producto involucra agregar o quitar términos iguales de ambos lados de la ecuación para despejar la incógnita. El método general extiende esto eliminando paréntesis y denominadores comunes. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
Este documento presenta el método de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo formar la matriz de coeficientes y calcular los determinantes para obtener los valores de las incógnitas. Además, muestra un ejemplo numérico completo del procedimiento para resolver un sistema particular.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción. Se proporcionan ejemplos detallados de cada método y cómo aplicarlos para encontrar las soluciones del sistema.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, gráfico y determinantes. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y provee una guía de ejercicios para practicar los diferentes métodos.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas y provee ejemplos. También define sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, y describe métodos como sustitución y eliminación para resolver sistemas de 2 ecuaciones.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas. Primero, se despeja una incógnita de la ecuación de primer grado y se sustituye en la ecuación de segundo grado. Luego, se resuelve la ecuación de segundo grado resultante para encontrar los valores de la incógnita despejada. Finalmente, esos valores se sustituyen en la ecuación original para encontrar los valores de la segunda incógnita.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas a través de los métodos de sustitución y factorización. Se muestran ejemplos como resolver sistemas donde se despeja una variable en una ecuación para sustituir en la otra, y también donde se factoriza una ecuación para resolver el sistema. En todos los casos se obtienen las posibles soluciones de las incógnitas planteadas.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones por diferentes métodos como reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Se resuelven ejemplos de sistemas compatibles determinados e indeterminados, así como sistemas incompatibles. Se comprueban las soluciones con una calculadora.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2, incluyendo el método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y los pasos para aplicarlos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2 incluyen sustitución, igualación, reducción y método gráfico. Cada método implica despejar incógnitas, igualar ecuaciones o restar ecuaciones para encontrar valores que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.
Este documento explica tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción, sustitución e igualación. Describe cada método a través de ejemplos numéricos resueltos paso a paso. Concluye que cualquiera de los tres métodos puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones y que el método elegido depende de cuál resulte más sencillo para el sistema en particular.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y graficarlo - GAMBOAenrique0975
El documento resuelve cuatro sistemas de ecuaciones algebraicas, despejando variables, igualando ecuaciones y encontrando los puntos de intersección. En cada caso grafica las curvas representadas por las ecuaciones.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones por el método de reducción. Explica cómo transformar las ecuaciones a una forma más sencilla y luego resolver el sistema obteniendo valores para las incógnitas. Para cada sistema, identifica si las soluciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes o que se cortan, y si el sistema es compatible indeterminado o determinado.
Este documento presenta ejemplos de diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como AX = B y que dos sistemas son equivalentes si sus matrices ampliadas son semejantes. También describe métodos como el de Gauss y Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: 1) sustitución, que consiste en despejar una incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación, reduciendo el problema a una ecuación de primer grado; y 2) igualación, que iguala las expresiones de una incógnita despejada en ambas ecuaciones, reduciendo también el problema a una ecuación de primer grado. Ambos métodos siguen pasos similares como despejar una incógnita, igualar expresiones, resolver la nueva ecuación
Este documento describe el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En particular, presenta un ejemplo paso a paso de cómo usar el método de Gauss para determinar cuánto dinero cada una de tres personas (A, B, C) pagará para un regalo común, dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
1) El documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando cálculo y el programa MATLAB.
2) Se resuelven ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, exactas y lineales como ejemplos utilizando métodos analíticos y comandos de MATLAB.
3) El documento provee una guía práctica para resolver ecuaciones diferenciales comúnmente encontradas en ingeniería.
Este documento presenta la resolución de cuatro sistemas de ecuaciones con dos incógnitas a través del método de sustitución. Cada sistema se resuelve despejando una variable en una ecuación y sustituyendo en la otra, encontrando una solución común que representa el punto de intersección de las rectas correspondientes.
El documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de primer grado: 1) Ensayo y error, 2) Suma y producto, y 3) Método general. El método de suma y producto involucra agregar o quitar términos iguales de ambos lados de la ecuación para despejar la incógnita. El método general extiende esto eliminando paréntesis y denominadores comunes. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
Este documento presenta el método de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo formar la matriz de coeficientes y calcular los determinantes para obtener los valores de las incógnitas. Además, muestra un ejemplo numérico completo del procedimiento para resolver un sistema particular.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción. Se proporcionan ejemplos detallados de cada método y cómo aplicarlos para encontrar las soluciones del sistema.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, gráfico y determinantes. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y provee una guía de ejercicios para practicar los diferentes métodos.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas y provee ejemplos. También define sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, y describe métodos como sustitución y eliminación para resolver sistemas de 2 ecuaciones.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo el método gráfico, eliminación, igualación, sustitución y determinantes. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y pasos lógicos. Los métodos permiten encontrar los valores de las variables que satisfacen simultáneamente las ecuaciones del sistema.
Este documento presenta conceptos sobre ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones. Explica cómo resolver ecuaciones numéricas, literales y fraccionarias, así como los métodos de igualación, sustitución y reducción para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación de los temas.
Sistema de ecuaciones lineales (suma o resta)racsosc
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones de primer grado utilizando el método de suma o resta. Se presentan cinco ejemplos resueltos paso a paso, mostrando cómo eliminar una variable mediante la suma o resta de las ecuaciones, y luego sustituir el valor obtenido en la otra ecuación para encontrar la solución al sistema.
1. El documento presenta los conceptos y métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
2. Se describen tres métodos para resolver estos sistemas: sustitución, igualación y reducción.
3. Se explican los pasos para aplicar cada método y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento explica cómo resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de tres métodos: sustitución, igualación y reducción. Se analizan ejemplos resueltos de cada método y se explican los posibles resultados de cada sistema: una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. El objetivo es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones.
Este documento describe el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano y que la solución es el punto de intersección. Clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo de si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de sistema.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones, métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación y reducción, y aplicaciones de sistemas para resolver problemas. También introduce sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones, métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación y reducción, y aplicaciones de sistemas de ecuaciones para resolver problemas. También introduce sistemas de inecuaciones con una incógnita.
El documento describe los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, soluciones, clasificación y métodos para resolver sistemas de primer grado con dos o más incógnitas como sustitución, igualación, reducción y eliminación. Incluye ejemplos ilustrativos de cada método.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Incluye problemas de resolver ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, representar gráficamente soluciones de ecuaciones, y encontrar el número de soluciones de diferentes ecuaciones. El documento proporciona los pasos para resolver cada problema y ofrece las soluciones completas.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y sus soluciones, así como los sistemas de ecuaciones y sus soluciones comunes. Además, describe los diferentes tipos de sistemas (sin solución, con infinitas soluciones y con solución única) y los métodos para resolver sistemas como la sustitución, igualación y reducción. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
10 repaso metodos de solucion de los sistemas lineales 2x2Miguel Loredo
Este documento presenta dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2: el método de suma y resta y el método por determinantes. Explica cada método a través de ejemplos numéricos, incluyendo los pasos para eliminar las incógnitas y obtener la solución. También incluye actividades para que el lector aplique los métodos.
Este documento explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas utilizando el método de igualación. Primero se despeja cada incógnita en las dos ecuaciones, luego se igualan los términos que contienen la misma incógnita, y finalmente se resuelve para encontrar el valor de una incógnita y sustituir en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, método de la matriz inversa, regla de Cramer y método de Gauss-Jordan. Explica cómo usar cada método para determinar si un sistema tiene una solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
2. Los sistemas de ecuaciones son una de las
herramientas más útiles dentro del estudio de las
matemáticas. Podemos resolver innumerables
situaciones usando los sistemas de ecuaciones
lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde
las ciencias naturales, la matemática, las ramas de
administración de empresas, la ingeniería, etc.
Espero que este módulo sirva de guía para que los
estudiantes se inicien en la comprensión de los
conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.
3. Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23
4. 6.Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el
resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11%
anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para
obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
3x + y =13
2x - 7y =-7
5. Objetivos:Objetivos:
1. Definir el concepto de sistema de ecuaciones.
2. Verificar si un par ordenado es solución de un
sistema 2 x 2.
3. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de
sustitución.
4. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de
gráfico.
5. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de
eliminación por adición
SISTEMAS DE ECUACIONES
6. 2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =
− =
1 3
10
2 4
3)
3
4
4
x y
x y
+ =
− =
3
0
4)
0
x y
x y
− =
− =
2
5
2)
2 4
x y
x y
− = −
+ =
Ejemplos:Ejemplos:
Sistemas de Ecuaciones
9. 2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =
− =
( )2,1:OrdenadoPar
:Verificación
( )2 1 2 6+ ≠
( )3 1 2 4− ≠
( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.
Sistemas de Ecuaciones
10. 2
5
2)
2 4
x y
x y
− = −
+ =
( )Par Ordenado: 1 , 6−
( ) 561
2
−=−−
( ) 4612 =+−
( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.−
:Verificación
Sistemas de Ecuaciones
11. Existen varios métodos para resolver sistemas deExisten varios métodos para resolver sistemas de
ecuaciones, entre ellos:ecuaciones, entre ellos:
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matríz aumentada
6. Método de matrices
11
En esta sección solo trataremos el método gráfico,
el método de sustitución y el método de eliminación
por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.
Sistemas de Ecuaciones
12. Tipos de sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en
tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones.
1. Sistema consistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una
única solución. Las gráficas de las líneas son
diferentes.
2. Sistema consistente dependiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen
infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son
iguales.
3. Sistema inconsistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen
solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas.
Sistemas de Ecuaciones
13. MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las
dos gráficas.
2. Construya la gráfica de cada ecuación.
Aclaración:
Este método es útil solo si podemos leer con
precisión los puntos de intersección entre las
gráficas. En la mayoría de los casos eso no es
posible.
Sistemas de Ecuaciones
14. Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuaciones por el método gráfico
5
1)
1
2x y
x y
+ =
− =
y
x
( )1,2:Solución
52x y+ =
1x y− =
Sistemas de Ecuaciones
15. 2
2)
0
x y
x y
+ =
− =
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
( ):Solución 1 , 1
2x y+ =
0x y− =
Sistemas de Ecuaciones
16. 2
3)
2 2 0
x y
x y
+ =
+ =
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Las dos líneas son
paralelas, no tienen
puntos de intersección.
El conjunto de soluciones
es vacío.
. .C S = ∅
Sistemas de Ecuaciones
17. 2
4)
2 2 4
x y
x y
+ =
− − = −
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
2x y+ =
2 2 4x y− − = −
El sistema es
dependiente y tiene
infinitas soluciones.
Las soluciones se
pueden encontrar
buscando puntos de
cualquiera de las
líneas.
( ){ }. . ,2 :C S x x x= − ∈ ℜ
Sistemas de Ecuaciones
18. 2
2
2
5)
4
y x
y x
= −
= −
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4 El conjunto solución
contiene dos pares
ordenados.
( ) ( ){ }. . 2,0 , 2,0C S = −
Sistemas de Ecuaciones
19. PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto
producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en
cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el
valor de la otra variable.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
Sistemas de Ecuaciones
20. Ejemplos:
Resuelve usando el método de sustitución.
2 6x y+ =
2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =
− =
xy 26 −=
( ) 4263 =−− xx
4263 =+− xx
2=x
( )226 −=y 2= ( ){ }2 , 2Conjunto Solución =
Escogiendo la ecuación, , tenemos
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sustituyendo el valor
obtenido en la primera
ecuación tenemos
Sistemas de Ecuaciones
21. Escogiendo la ecuación, , tenemos
2
5 xy −−=
2
5
2)
4
x y
2x y
+ = −
− =
2
5x y+ = −
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
( ) 452 2
=−−− xx
452 2
=++ xx
0122
=++ xx
( )( ) 011 =++ xx
01=+x 1−=x
Sistemas de Ecuaciones
22. ( )2
15 −−−=y 6−=
( ){ }1 , 6Conjunto Solución = − −
Sustituyendo el valor obtenido en la primera
ecuación tenemos,
2
5x y+ =−
2
5 xy −−=
Sistemas de Ecuaciones
23. 1 3
10
2 43)
3
4
4
x y
x y
+ =
− =
4
4
3
−= xy
104
4
3
4
3
2
1
=
−+ xx
Escogiendo la ecuación, , tenemos
3
4
4
x y− =
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sistemas de Ecuaciones
24. 103
16
9
2
1
=−+ xx
1604898 =−+ xx
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
4816017 +=x
17
208
=x
Sustituyendo en la ecuación tenemos,4
4
3
−= xy
4
17
208
4
3
−
=y
17
88
=y 208 88
. . ,
17 17
C S
= ÷
Sistemas de Ecuaciones
25. Método de Eliminación por AdiciónMétodo de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando
las ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede
reemplazar por una sustitución.
Sistemas de Ecuaciones
26. 2 3 3
1)
2 5
x y
x y
− =
+ =
2 3 3
2 4 10
x y
x y
− =
− − = −
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,
Restando las ecuaciones obtenemos,
2 3 3
2 4 10
0 7 7
x y
x y
x y
− =
− − = −
− = −
Sistemas de Ecuaciones
27. 77 −=− y 1=y
4 6 6
3 6 15
x y
x y
− =
+ =
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera
por 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4 6 6
3 6 15
7 0 21
x y
x y
x y
− =
+ =
+ =
( )
( )
2 2 3 3
3 2 5
x y
x y
− =
+ =
⇒
Sistemas de Ecuaciones
28. Sustituyendo y = 1 en la ecuación,
( ) 512 =+x
3=x
( ){ }. . 3, 1C S =
El sistema es consistente independiente.
7 21x =
Observación:
Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el método de sustitución.
3=x
2 5x y+ =
Sistemas de Ecuaciones
29. 2 3 3
2)
4 6 6
x y
x y
− =
− + =
⇒
664
664
=+−
=−
yx
yx
C.S.=∅
El sistema es inconsistente.
No tiene soluciones.
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
( )2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
− =
− + =
4 6 6
4 6 6
0 0 12
x y
x y
x y
− =
− + =
+ =
Sumando las ecuaciones obtenemos,
0 12= Falso
Sistemas de Ecuaciones
30. 2 3 3
3)
4 6 6
x y
x y
− =
− + = −
⇒
4 6 6
4 6 6
x y
x y
− =
− + = −
00 =
El sistema es dependiente.
Tiene infinitas soluciones.
( )2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
− =
− + = −
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4 6 6
4 6 6
0 0 0
x y
x y
x y
− =
− + = −
+ =
Cierto
3 2
. . , :
2
x
C S x x R
−
= ∈ ÷
Sistemas de Ecuaciones
31. Aplicaciones:Aplicaciones:
1. El precio de un boleto para cierto evento es de
$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden
450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
:Solución
Sea el número de boletos vendidos de adultos.x
Sea el número de boletos vendidos de niños.y
:sistemaelObtenemos
450
2.25 1.50 777.75
x y
x y
+ =
+ =
Sistemas de Ecuaciones
33. 2.2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corriente
constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con
la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguas
tranquilas en millas por hora.
:Solución
Sea la velocidad de la corriente.
Sea la velocidad de la lancha.
x
y
corriente.ladecontraenlanchaladevelocidad=− xy
corriente.ladefavoralanchaladevelocidad=+ xy
Sistemas de Ecuaciones
34. Usando la fórmula para distancia y
cambiando el tiempo a horas tenemos que:
d vt=
hora
60
15
minutos15 = hora
4
1
=
hora
60
10
minutos10 = hora
6
1
=
( ) 4
4
1
=− xy
( ) 4
6
1
=+ xy
⇒
1 1
4
4 4
1 1
4
6 6
y x
y x
− =
+ =
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
35. hora
millasx 4=
La velocidad de la corriente es, 4 .x mph=
hora
millasy 20=
La velocidad de la lancha es, 20 .y mph=
Sistemas de Ecuaciones
36. Ejercicios de Repaso: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23
Sistemas de Ecuaciones
37. 6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?
Sistemas de Ecuaciones
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de
eliminación.
3x + y =13
2x - 7y =-7
38. Respuestas
1) x = 1, y = -4
2) x = 3, y = 8
3) x = 1, y = -3
4) x = -1, y = 1
5) x = 5, y = -2
6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%
Sistemas de Ecuaciones