El documento describe cómo se determinan los índices de Miller para planos cristalinos en una estructura cúbica. Explica que los índices de Miller son el inverso de las fracciones de intersección del plano con los ejes x, y y z, y que se utilizan para identificar planos cristalinos. Además, proporciona ejemplos de cómo calcular los índices de Miller para diferentes planos.

1. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ciencias de Materiales
Índices de Miller
DRA. IZBETH HERNÁNDEZ LÓPEZ
izbeth.hernandez@upaep.mx

2. Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Índices de MILLER
Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cúbica se
utiliza el sistema de notación de Miller.
Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el recíproco de las
fracciones de intersección (con fracciones simplificadas) que el plano presenta
con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda
unitaria cúbica.

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El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico
cúbico es como sigue:
1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).
2. Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes
cristalográficos x, y y z para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden ser
fraccionarias.
3. Se obtiene el recíproco de las intersecciones (en caso de ser infinito, este
inverso será CERO).
4. Se multiplican o dividen por un factor común para eliminar fracciones.
La notación (hkl) se utiliza para indicar los índices de Miller en un sentido general,
donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes
x, y y z, respectivamente.

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PASOS X Y Z
CORTES No corta,
paralelo ∞
-1 No corta,
paralelo ∞
INVERSOS 0 -1 0
QUITAR
FRACCIONES
0 -1 0
PLANO (0ത10)
+

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PASOS X Y Z
CORTES -1 1 -1/2
INVERSOS -1 1 -2
QUITAR
FRACCIONES
-1 1 -2
PLANO (ത11ത2)
x y
z

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PASOS X Y Z
CORTES
INVERSOS
QUITAR
FRACCIONES
PLANO (03ത1)

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Ejercicio:
Determina los índices de Miller del plano cristalográfico cúbico:

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(5120)

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Una relación importante en el sistema cúbico y solamente en el sistema cúbico,
es que los índices de dirección de una dirección perpendicular a un plano
cristalino tienen los mismos índices de Miller que el plano. Por ejemplo, la
dirección [100] es perpendicular al plano cristalino(100).
Tarea. Hacer dibujo para demostrar.

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En las estructuras cristalinas cúbicas, el espaciado interplanar entre dos planos
paralelos con los mismos índices de Miller se indica como dhkl, donde h, k y l son
los índices de Miller de los planos.
Este espaciado representa la distancia desde un origen elegido que contiene a un
plano a otro plano paralelo con los mismos índices que sea cercano al primero.

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Por simple geometría, se puede demostrar que para las estructuras cristalinas
cúbicas

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El cobre tiene una estructura cristalina FCC y una celda unitaria con una constante
de red de 0.361 nm. ¿Cuál es el espaciado interplanar d220?

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Índices para los planos cristalinos en celdas unitarias HCP
Los índices de los planos cristalinos HCP, llamados índices de Miller-Bravais, se
indican por las letras h, k, i y l y van encerrados en paréntesis como (hkil).
Hay tres ejes basales a1, a2, a3,
donde a1 y a2 forman ángulos de
120° entre sí.
El cuarto eje o eje c es el eje
vertical localizado en el centro de
la celda unitaria.
La unidad a de medida a lo largo
de los ejes a1, a2 y a3, es la
distancia entre dos átomos
localizados a lo largo de estos ejes

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Planos basales
Dado que el plano basal superior
en la celda unitaria HCP es
paralelo a los ejes a1, a2, a3, su
intersección con estos ejes será
en el infinito. Con el eje c
intersecta a una unidad. Por lo
que el plano basal HCP es (0001).

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Planos del prisma