Cuadrilateros

Cuadriláteros 1
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos.
ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes
RECTÁNGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.
CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.
TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos.
Los lados paralelos del trapecio se llaman bases.
TRAPECIO ISÓSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos
congruentes.
TEOREMA.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
TESIS: 360ºm DAB m ABC m BCD m CDA
1. Se traza la diagonal AC 1. definición de diagonal.
2. 180ºm m m CDA 2. En ADC la suma de los ángulos
interiores es 180º
3. 180ºm m m ABC 3. En ABC la suma de los ángulos
interiores es 180º
4. 360ºm m m CDA m m m ABC 4. Suma de 2 y 3
5. m( BCD)+m( DAB)+m( CDA)+m( ABC) = 360º 5. De 4. Adición de ángulos.
TEOREMA:
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: AB DC y AD BC
1. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis
2. ;AB DC AD BC 2. De 1. Definición de paralelogramo
3. Se traza la diagonal AC . 3. Definición de diagonal
4. 1 4 4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.
5. 3 2 5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas

Cuadriláteros 2
6. AC AC 6. Propiedad reflexiva
7. ADC ABC 7. De 4, 5, 6. A – L – A
8. AD BC 8. De 7. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
9. AB DC 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
AB DC y AD BC
TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. Se traza la diagonal AC . 1. Definición de diagonal
2. ;AD BC DC AB 2. De hipótesis
4. ADC ABC 4. De 2 y 3. L – L – L
5. 3 2 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
6. AD BC 6. De 5. Por formar ángulos alternos internos
congruentes
7. 4 1 7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
8. AB DC 8. De 7.Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
9. ABCD es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo
TEOREMA
En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: DAB BCD y ADC ABC
1. DC AB y AD BC 1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos
son congruentes
2. AC AC 2. Propiedad reflexiva.
3. ADC ABC 3. De 1 y 2. L – L – L
4. ADC ABC 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB .

Cuadriláteros 3
TEOREMA:
Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero
A C y D B
1. m( A) = m( C) 1. De hipótesis
2. m( B) = m( D) 2. De hipótesis
3. m( A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 3. De hip. La suma de los ángulos
interiores de un cuadrilátero es 360°
4. 2m( A)+2m( B) = 360º 4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. 2 m( A)+m( B) = 360º 5. De 4 factorizacion
6. m( A)+m( B) = 180º 6. De 5. Transposición de términos
7. AD BC 7. De 6. Si los ángulos consecutivos
interiores son suplementarios se
tienen rectas paralelas.
8. 2m( A)+2m( D) = 360º 8. De sustituir 1 y 2 en 3
9. 2 m( A)+m( D) = 360º 9. Factor común
10.m( A)+m( D) = 180º 10. Álgebra
11. AB DC 11. De 10. Si los ángulos
consecutivos interiores son
suplementarios se tienen rectas
paralelas.
12.ABCD es un paralelogramo 13.De 7 y 11. Definición de
paralelogramo.
TEOREMA
Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero
es un paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero
;DC AB DC AB
TESIS: ABCD es un paralelogramo.
1. DC AB 1. De hipótesis
2. DC AB 2. De hipótesis
3. DCA CAB 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas
5. ABC ADC 5. De 1, 3, 4. L – A – L
6. DAC ACB 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en

Cuadriláteros 4
triángulos congruentes.
7. AD BC 7. De 6. Por formar ángulos alternos internos
congruentes
8. ABCD es un paralelogramo. 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos.
En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes.
La demostración se deja como tarea.
TEOREMA
Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo.
AP PC y DP PB
1. yDP PB AP PC 1. De hipótesis.
2. DPC APB 2. Opuestos por el vértice
3. DPC APB 3. De 1 y 2. L – A – L
4. DCP PAB 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
5. DC AB 5. De 4. Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
6. DC AB 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
7. ABCD es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y
paralelos.
En un paralelogramo las diagonales se bisecan.
La demostración se deja como tarea.
COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES:
1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de
rectas paralelas son congruentes
3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud
4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes
5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los
vértices.
NOTA: El reciproco no se cumple

Cuadriláteros 5
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
CD BA
Hallar x, y.
2)
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
DM MC
2DC AD
TESIS: AM MB
1.
2
DC
AD
1. De hipótesis
2. M es punto medio de DC 2. De hipótesis. Definición de punto medio
3.
2
DC
DM MC
3. De hipótesis y de 2
4. DM MC AD 4. De 1 y 3. Ley transitiva
5. ADM es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. m( ) = m( ) 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes.
7. AD BC 7. De hipótesis. los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
8. MC BC 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva.
9. MCB es isósceles. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles.
10.m( ) = m( ) 10. De 9. La misma razón de 7.
11.m( D)+m( C) = 180º 11. Por ser ángulos consecutivos en un
paralelogramo
12.m( ) + m( ) + m( D) = 180º 12. En el ADM los ángulos interiores suman
180º
13.2m( )+m( D) = 180º 13. Sustitución de 6 en 12
14.m( ) + m( ) + m( C) = 180º 14. En el MCB la suma de los ángulos
interiores es 180°

Cuadriláteros 6
15.2m( )+m( C) = 180º 15. Sustitución de 10 en 14
16.2m( )+m( D)+2m( )+m( C) =
360º
16. Adición de 13 y 15
17.2m( )+2m( )+180º = 360º 17. Sustitución de 11 en 16
18.2 m( )+m( ) = 180º 18. De 17. Factor común y transposición de
términos
19. m( )+m( ) = 90º 19. De 18. Algebra
20.m( )+m( AMB)+m( ) = 180º 20. Por formar un par lineal
21.90º+m( AMB) = 180º 21. Sustitución de 19 en 20
22.m( AMB) = 90º 22. De 21. Transposición de términos
23. AM MB 23. De 22. Definición de perpendicularidad.
3)
yDM AC BN AC
TESIS: DMBN es un paralelogramo.
1. AD CB 1. De hipótesis. Definición de paralelogramo
2. DAC BCA 2. Por ser alternos internos entre paralelas
3. y CNBDMA son rectángulos 3. De Hipótesis. Definición de triangulo
rectángulo
4. AD BC 4. De hipótesis. Lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes.
5. CNBDMA 5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes la
hipotenusa y un ángulo agudo.
6. DM BN 6. De 5. Lados correspondientes en
7. yDM AC BN AC 7. De hipótesis.
8. DM BN 8. De 7. Por ser perpendiculares a la misma
recta.
9. DMBN es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos
paralelos y congruentes.
4)
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo.
DM y BN son bisectrices
TESIS: DMBN es un paralelogramo
1. m ( ADC) = m ( ABC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un
paralelogramo
2. m ( ADM) = m ( NBC) 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser
mitades de ángulos congruentes y de 1

Cuadriláteros 7
3. NCB MAD 3. Por ser alternos internos entre paralelas
( AD BC )
4. AD BC 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
5. AMD BNC 5. De 2, 3, 4. A – L – A
6. DM BN 6. De 5. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
7. AM NC 7. De 5. Por ser lados correspondientes en
8. yAB DC AB DC 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
9. MAB DCN 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas
10. AMB CND 10. De 8, 9,7. L – A – L
11. MB DN 11. De 10. Por ser lados correspondientes en
12.DMNB es un paralelogramo. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos
congruentes.
SECANTE
Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas.
TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P)
Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces
determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.
HIPÓTESIS:
m n s
AB BC
TESIS: DE EF
1. Por D se traza una paralela a r1, que corta
a n en G. O sea DG AB
1. Postulado de la paralela.
2. AD BG 2. De hipótesis.
3. ABGD es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo
4. AB DG 4. De 3. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
5. Por E se traza una paralela a r1, que corta
a s en H. O sea EH BC
5. Postulado de la paralela
6. BE CF 6. De hipótesis.
7 BCHE es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo

Cuadriláteros 8
8. BC EH 8. De 7. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
9. AB BC 9. De hipótesis
10. EH DG 10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva.
11. ABG DGE 11. De 3. AB DE . Por ser ángulos
correspondientes entre paralelas.
12. ABG BCH 12. De hipótesis. Por ser ángulos
correspondientes entre paralelas
13. BC EH 13. De 7. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
14. BCH EHF 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes
entre paralelas
15. EHF DGE 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva
16. 1DG r EH 16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del
paralelismo
17. GDE HEF 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes
entre paralelas.
18. DGE EHF 18. De 17, 15 y 10. A – L – A
19. DE EF 19. De 18. Por ser lados correspondientes de
CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.
TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer
lado y tiene por medida la mitad de ese lado.
HIPÓTESIS: M es punto medio de AC
N es punto medio de BC
TESIS:
1)
2)
2
MN AB
AB
MN
1. En MN existe un punto Q, tal
que MN NQ y unimos B con Q
1. Construcción
2. CN NB 2. De hipótesis. Definición de punto medio

Cuadriláteros 9
3. CNM QNB 3. Por ser opuestos por el vértice
4. CMN BQN 4. De 2, 1,3. L – A – L
5. C NBQ 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
6. BQ AC 6. Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
7. BQ AM 7. De 6 y de hipótesis. A – M – C
8. CM BQ 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos
congruentes
9. CM MA 9. De hipótesis. Definición de punto medio
10. BQ MA 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva
11.ABQM es un paralelogramo 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y
congruentes.
12. MQ AB 12. De 11. Definición de paralelogramo
13. MN AB 13. De hipótesis M – N – Q
14. MQ AB 14. De 11. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
15. MN NQ 15. De 4. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
16.
2
MQ
MN 16. De 15. N es punto medio de MQ .
17.
2
AB
MN
17. Sustitución de 14 en 16.
TEOREMA
Una recta paralela a un lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa
por el punto medio del otro lado.
HIPÓTESIS: MN AB
M es punto medio de AC
TESIS: N es punto medio de BC
1. Por N se traza una paralela a AM ,
corta a AB en D.
1. Construcción
2. MN AD 2. De hipótesis, de 1. A – D – B
3. ADNM es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo
4. CM MA ND 4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos de
un paralelogramo son s
5. B MNC 5. De hipótesis. Por ser ángulos
correspondientes formados por rectas
paralelas

Cuadriláteros 10
6. C DNB 6. De 1. Por ser ángulos correspondientes
formados por rectas paralelas
7. MNC DBN 7. De 4, 5, 6. L – A – A
8. CN NB 8. De 7. Por ser lados correspondientes en
9. N punto medio de BC . 9. De 8. Definición de punto medio.
DEFINICIÓN:
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama
base media.
TEOREMA DE LA BASE MEDIA
La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la
semisuma de las medidas de las bases del trapecio.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con
y F son puntos medios de los lados no paralelos
DC AB
E
TESIS:
1.
2.
2
EF AB DC
AB DC
EF
1. DF corta a AB en P 1. Construcción
2. DFC BFP 2. Por ser opuestos por el vértice
3. C FBP 3. De hipótesis. Por ser alternos internos entre paralelas
4. CF FB 4. De hipótesis. F es punto medio de CF
5. DCF PBF 5. De 2, 3 y 4. A – L – A
6. DF FP 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
7. F es punto medio de DP 7. De 6. Definición de punto medio
8. E es punto medio de AD 8. De hipótesis.
9. EF AP 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el triangulo
ADP.
10. EF AB 10. De 9 y 1. A – B – P
11. AB DC 11. De hipótesis
12. EF AB DC 12. De 10 y 11. Propiedad transitiva
13.
2
AP
EF
13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un
triangulo.
14.
2
AB BP
EF
14. De 13. Adicion de segmentos
15. BP DC 15. De 5. Lados correspondientes en triángulos
congruentes

Cuadriláteros 11
16.
2
AB DC
EF
TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media)
Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases,
esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB
M es punto medio de AD
MN AB DC
C – N – B
TESIS: N es punto medio de BC .
1. M es punto medio de AD 1. De hipótesis
2. AM MD 2. De 1. Definición de punto medio
3. MN AB DC 3. De hipótesis
4. BN NC 4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental del
paralelismo
5. N es punto medio de BC 5. De hipótesis y 1.
TEOREMA
En un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles con
AD BC
TESIS: A B
1. Se trazan yDH AB CE AB 1. Construcción auxiliar
2.DH CE 2.De1, por ser perpendiculares a la misma recta.
3. DC AB DC HE 3.De hipótesis, definición de trapecio
4. DHEC es un paralelogramo 4.De 3 y 2, definición de paralelogramo
5. DH CE 5.De 4, en un paralelogramo los lados opuestos son
congruentes
6. AD BC 6.De hipótesis
7. y CEBDHA son rectángulos 7.De 1, definición de triangulo rectángulo
8. CEBDHA 8.De 7, 6 y 5, cateto-hipotenusa
9. A B 9.De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.

Cuadriláteros 12
TEOREMA
El punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista de los vértices. O de
otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC es rectángulo
M es el punto medio de la hipotenusa CB
TESIS: 1)AM MB MC
2)
2
BC
AM
1. Por M se traza una paralela a AB , que
corta a AC en N
1. Construcción
2. N es punto medio de AC 2. De 1. Si por el punto medio de un lado
de un triangulo se traza una paralela a un
lado, cortara al otro lado en su punto
medio.
3. m( CNM) = m( CAB) = 90º 3. De hipótesis y de 1. Por ser
correspondientes entre paralelas
4. MN es altura 4. De 3. Definición de altura.
5. CMA es isósceles. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura.
6. AM MC 6. De 5. Definición de triangulo isósceles.
7. MC MB 7. De hipótesis. Definición de punto medio.
8.
2
BC
AM MC MB
8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es
punto medio.
TEOREMA
Las medianas de un triangulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G
está a 2/3 de cada vértice.
HIPÓTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G
TESIS:
2
3
2
3
AG AM
BG BN
1. M y N son puntos medios de yBC AC 1. De hipótesis. Definición de mediana
2. ;
2
AB
NM AB NM
2. De 1. Teorema de la paralela media en
ABC
3. Sean P y Q los puntos medios de
yAG BG respectivamente.
3. Todo segmento tiene un punto medio

Cuadriláteros 13
4. ;
2
AB
PQ AB NM
4. De 3. Teorema de la paralela media en
triangulo AGB
5.
NM PQ
NM PQ
5. De 2 y 4. Propiedad transitiva
5. NPQM es un paralelogramo 6. De 5. Por tener dos lados opuestos
paralelos y congruentes.
6. PG GM 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo
se cortan en su punto medio
7. PG AP 8. De 3. Definición de punto medio
8. AP PG GM 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
9.
1
3
AP PG GM AM
10. De 9. Definición de fracción
10.
2
3
AP PG AM
11. De 10. Aritmética.
11.
2
3
AG AM
12. De 11. Adición de segmentos.
De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN
RESUMEN DE CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
1. Lados opuestos congruentes
2. Ángulos opuestos congruentes
3. Ángulos consecutivos suplementarios
4. Las diagonales se bisecan
Cuadrado
1. Diagonales congruentes
2. Diagonales perpendiculares
3. Las diagonales son bisectrices
Rectángulo
2. Las diagonales son congruentes
Rombo
1. Diagonales se bisecan
2. Diagonales son perpendiculares
3. Diagonales son bisectrices

Cuadriláteros 14
Trapecio isósceles
1. Los lados no paralelos son congruentes
2. Los ángulos de las bases son congruentes
3. Al trazar las alturas se generan triángulos rectángulos congruentes.
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB
E, D, F son puntos medios.
TESIS: DECF es un rombo
1. A B 1. De hipótesis, en un triangulo isósceles los ángulos de la
base son congruentes
2. AD DB 2. De hipótesis, definición de punto medio
3. CA CB 3. De hipótesis.
4. AE BF 4. De 3 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos
congruentes
5. AED BDF 5. De 4, 2 y 1 L - A – L
6. DE DF 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
7. DE BC CF 7. Teorema de la paralela media en un triangulo.
8. DF AC CE 8. Teorema de la paralela media en un triangulo.
9. DECF es un
paralelogramo
9. De 7 y 8, por tener los lados opuestos paralelos
10. DE CF 10. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo
11. DF CE 11. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo
12. DF CE CF DE 12. De 6, 10 y 11, por la propiedad transitiva de la congruencia
13. DECF es un rombo 13. De 9 y 12, definición de rombo.
2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de
sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.
M es punto medio de DC
N es punto medio de AB
A – P – M; C – Q – N
TESIS: DP PQ QB

Cuadriláteros 15
1. DC AB 1. De hipótesis definición de paralelogramo
2. MC AN 2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B
3. DC AB 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un
paralelogramo
4.
2
DC
MC
4. De hipótesis, definición de punto medio.
5.
2
AB
AN
5. De hipótesis, definición de punto medio.
6.
2
DC
AN
7. MC AN 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva
8. ANCM es un paralelogramo 8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes
y paralelos.
9. MA CN 9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo
10. MP CQ 10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N
11.En CQD: P es punto medio
de DQ
11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un
lado de un triangulo se traza una paralela a un lado del
triangulo, pasa por el punto medio del otro lado.
12. DP PQ 12. De 11, definición de punto medio.
Continuar con la demostración, pero ya analizando el triangulo PBA.
3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo se cortan en un
punto llamado incentro.
HIPÓTESIS: BE y AD son bisectrices y se cortan
en I.
TESIS: I es un punto de la bisectriz de ACB

Cuadriláteros 16
1. IP IR 1. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados del ángulo
2. IR IQ 2. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados del ángulo
3. IP IQ 3. De 1 y 2, propiedad transitiva
4. I es un punto de la
bisectriz de ACB
4. De 3, por equidistar de los lados del ángulo.
4)
1. DM AB EH 1. De hipótesis, teorema de la paralela media
2. DEHM es un trapecio 2. De 1, definición de trapecio
3. CHB es un triangulo rectángulo 3. De hipótesis, definición de altura y de triangulo
rectángulo
4.
2
CB
HM
4. De 3, en un triangulo rectángulo la mediana a la
hipotenusa mide la mitad de esta
5.
2
CB
DE
5. De hipótesis, teorema de la paralela media
6. HM DE 6. De 4 y 5, propiedad transitiva
7. DEHM es un trapecio isósceles 7. De 6 y 2, definición de trapecio isósceles.

Cuadriláteros 17
PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO:
1. Un triangulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( )
2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triangulo isósceles es
paralela a la base. ( )
3. La mediana de un triangulo es perpendicular a la base. ( )
4. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios
5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( )
6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas
de ángulos alternos internos. ( )
7. En un triangulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la
medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de
30º ( )
8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos
interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( )
9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( )
10.Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( )
11.Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. ( )
12.Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( )
13.Un rectángulo es un paralelogramo. ( )
14.Un paralelogramo es un rectángulo ( )
15.Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un
cuadrado. ( )
16.Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las
bases. ( )
17.Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se
bisecan mutuamente. ( )
18.La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( )
19.Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo
forman un rombo. ( )
20.Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( )
21.Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son
perpendiculares.( )
EJERCICIOS
1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m ( B) = 120º, hallar m ( BAC).
2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A )
3. En el triangulo ABC. AD DB (A – D – B), m( C) = 90º, m ( B) = 30º. AC = 35 cm.
Hallar BD y la mediana CD
4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.

Cuadriláteros 18
5.
DE es bisectriz de ADC
BF es bisectriz de ABC
TESIS: DE FB
6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es
isósceles.
7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares,
entonces el paralelogramo es un rombo.
8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
9.
HIPÓTESIS: SRQT es un paralelogramo
QL es la bisectriz de TQR
SM es la bisectriz de TSR
TESIS: SLQM es un paralelogramo.
10.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales
se cortan en E.
TESIS: E es el punto medio de FG
11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene
un paralelogramo.
12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo
forman un rombo.
13.

Cuadriláteros 19
14.Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un
trapecio, biseca a la base media del trapecio.
15.
HIPÓTESIS: M y N son puntos medios de las bases del
trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no
paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.
TESIS:
1)
2)
3) es punto medio de PQ
EP QF
ES SF
S
16.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB
D, E, F son puntos medios
TESIS: CDEF es un rombo
17.
HIPÓTESIS; ELMN es un cuadrilátero
A, B, C, D son puntos medios de los lados del
Cuadrilátero.
TESIS: yCA DB se bisecan mutuamente.
18.
P es el punto medio de AD
Q es el punto medio de BC
TESIS: AR RS SC
19.Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero,
entonces el cuadrilátero es un rombo.
20.

Cuadriláteros 20
21
22.
HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto
medio de medio de BC . AH HR y BG GS
TESIS:
1)
2)
S C R
CR CS
AYUDA: Trazar BR y AS
23.En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que
el triangulo APB es isósceles.
24.En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD. AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un
paralelogramo.
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

Cuadriláteros 21
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILÁTEROS

DE es bisectriz de ADC
BF es bisectriz de ABC
A – E – B ; D – F – C
TESIS: DE FB
1.
( )
( 1)
2
m ADC
m
1. De hipótesis. Definición de bisectriz
2.
( )
( 2)
2
m ABC
m
3.m( ADC)=m( ABC) 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo
4.
( )
( 2)
2
m ADC
m
5. m( 1) = m( 2) 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva.
6. C A 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo
7. 3 4 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el
tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del
segundo.
8. DC AB 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son
paralelos
9. 4 5 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas
10. 3 5 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. DE FB 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes
 Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es
isósceles.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB
A B
TESIS: ABCD es un trapecio isósceles
1. Se trazan las alturas DH y
CE
1. Construcción auxiliar
2. DH CH 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB
3. DC HE 3. De hipótesis. DC AB
4. HECD es un paralelogramo 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.
5. DH CE 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
6. A B 6. De hipótesis.
7. DHA CEB 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un
cateto y un ángulo agudo congruentes.

Cuadriláteros 22
8. AD BC 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s
9. ABCD es un trapecio
isósceles
9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles.
 Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
AE es bisectriz de DAB
BE es bisectriz de ABC
TESIS: AE EB
1.
( )
( 1) 2 ( 1) ( )
2
m DAB
m m m DAB
2
( )
( 2) 2 ( 2) ( )
2
m ABC
m m m ABC
3. m( DAB) + m( ABC) = 180° 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en
un paralelogramo son suplementarios
4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180° 4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. m( 1) + m( 2) = 90° 5. De 2. Algebra
6. m( E) = 90° 6. De 5. Los ángulos interiores de un triangulo
suman 180°
7. AE EB 7. De 6. Definición de perpendicularidad
1. M es punto medio de AD y N es punto
medio de BC
1. De hipótesis
2. MN es la base media del trapecio 2. De hipótesis. Definición de base media
3. MN DC 3. De 2. La base media es paralela a las
bases
4. MP DC 4. De 3 y M – P – Q – N
5. En ADC : P es punto medio de AC 5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado
de un triangulo se traza una paralela a u n
lado, esa paralela pasa por el punto medio
del otro lado.
Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB.

Cuadriláteros 23

HIPÓTESIS: ELNM es un cuadrilátero
A, B, C, D son los puntos medios de los lados
del cuadrilátero.
TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.
1. Se traza la diagonal EN 1. Construcción auxiliar
2. D es punto medio EM y C es punto medio de
MN
2. De hipótesis
3. DC es paralela media en el EMN 3. De 2. Definición de la paralela
media en un triangulo.
4. ;
2
EN
DC DC EN
4. De 3. Teorema de la paralela media
5. A es punto medio de EL y B es punto medio de
LN
5. De hipótesis.
6. AB es paralela media en el ELN 6. De 5. Definición de la paralela media
en un triangulo.
7. ;
2
EN
AB AB EN
7. De 6. Teorema de la paralela media
8. yDC AB DC AB 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva
9. ABCD es un paralelogramo 9. De 8. Por tener un par de lados
congruentes y paralelos.
10. AC y DB se bisecan 10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo
se bisecan.

Cuadriláteros 24
HIPÓTESIS: BT es altura
A – P – B
PR AC y PS BC
TESIS: PR + PS = BT
1. Se traza PQ BT 1. Construcción auxiliar.
2. AC BT 2. De hipótesis. Definición de altura.
3. PQ AC 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma
recta
4. PR AC 4. De hipótesis
5. BT AC QT AC 5. De hipótesis. Definición de altura
6. PR QT 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma
recta
7. RPQT es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo
8. PR QT 8. De 7. Los lados opuestos de un son
congruentes
9. BT = BQ + QT 9. Suma de segmentos
10. BT = BQ + PR 10. Sustitución de 8 en 9.
11. PQB y PSB son rectángulos 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo
rectángulo.
12. A ABC 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un
triangulo isósceles son congruentes.
13. QPB A 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre
paralelas.
14. QPB ABC 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva
15. PB PB 15. Propiedad reflexiva
16. PQB PSB 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos
con un ángulo agudo y la hipotenusa
congruentes.
17. BQ = PS 17. De 16. Por ser lados correspondientes en
18. BT = PS + PR 18. Sustitución de 17 en 10.
Solución del ejercicio 23
En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se
cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles.
1. DAB CBA 1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles
son congruentes
2. AD BC 2. De hipótesis.
3. AB AB 3. Propiedad reflexiva
4. DAB CBA 4. De 1, 2, 3. L – A – L

Cuadriláteros 25
5. 1 2 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
6. APB es isósceles 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes
 En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD. AB CD . CH AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.
1. AHC es un triangulo
rectángulo
1. HM es la mediana sobre la hipotenusa
2. HM MA MC 2. De 1. En un triangulo rectángulo la mediana sobre la
hipotenusa mide la mitad de esta.
3. AMH es isósceles 3. De 2. Definición de triangulo isósceles.
4. MAH MHA 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles.
5. APB es isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior
6. MAH PBA 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
7. MHA PBA 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva.
8. HM BN 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes.
9. AC BD 9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son
congruentes.
10. BN AM 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos
congruentes.
11. BN AM HM BN 11. De 10 y 2. Propiedad transitiva
12. MHBN es un
paralelogramo.
12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y
paralelos.
 Se da un triangulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto
medio de CA. Demostrar 1) APNM es un paralelogramo. 2) PBNM es un paralelogramo
3) CMPN es un paralelogramo. AYUDA: Utilizar varias veces el teorema de la paralela
media en un triangulo y la definición de paralelogramo.
 Sea un triangulo ABC, rectángulo en A, K es el centro de la circunferencia inscrita en el
triangulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en la
circunferencia que pasa por los puntos B, C, K.

Cuadriláteros 26
Se trazan los diámetros yCE BD , como las diagonales
de un cuadrado se bisecan y son perpendiculares,
vamos a demostrar que estos diámetros son
perpendiculares.
K es el incentro, es decir el punto donde se cortan las
bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo,
por consiguiente yKC KD son bisectrices.
( ) ( ) 90ºm ACB m ABC Porque los ángulos agudos
de un triangulo rectángulo son complementarios,
entonces se tiene que ( ) ( ) 45ºm KCB m KBC ,
porque yKC KD son bisectrices.
Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 180º entonces en el triangulo CKB el
ángulo K mide 135º y por lo tanto el arco CDEB mide 270º y por resta de arcos el arco
CKB mide 90º y por lo tanto el ángulo COB mide 90º por ser un ángulo central. Entonces
tenemos que las diagonales yCE BD se bisecan y son perpendiculares, por lo tanto CB
es el lado de un cuadrado.
Profesor: José Manuel Montoya Misas

Cuadrilateros

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