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Cuadriláteros
objetivos: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
1. Cuadriláteros 1.1 Definición Además, la suma de sus ángulos interiores es 360°.  : ángulos interiores. ,[object Object], ´  ´  ´  ´  : ángulos exteriores.  ´+  ´+  ´+  ´  = 360° A, B, C y D: Vértices del cuadrilátero. Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores.   AB, BC, CD y DA: Lados del cuadrilátero.
CUADRILÁTEROS PARALELÓGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trap. Isósceles Trap. Rectángulo Trap. Escaleno Trap. Simétrico o Deltoide Trap. Asimétrico
1.2 Clasificación De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en: 1. Paralelógramos:   tienen dos pares de lados paralelos. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
2. Trapecios:   tienen un par de lados paralelos. Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno 3. Trapezoides :  son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Trapezoide simétrico o deltoide  Trapezoide asimétrico
2. Paralelógramos 2.1 Características generales ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Ejemplo: 12 cm 12 cm 6 cm 6 cm AB = DC  y  AD = BC ABCD,  romboide. ,[object Object],A D C B AB // DC  y  AD // BC
[object Object],base  ∙  altura base = 12 cm h = 4 cm A D C B Ejemplo: Área = 12 ∙ 4 = 48 cm 2
2.2 Cuadrado ,[object Object],[object Object],[object Object],Área = a 2 ,[object Object],[object Object],d a a a a d = a  2 Área = d 2  2 ,[object Object],2
Propiedades de las diagonales: ,[object Object],[object Object],Ejercicios de aplicación: 1.  Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm. Solución: Como   ,[object Object],Área = (10) 2  2 Área = 50 cm 2 Área = (diagonal) 2  2 ,[object Object]
2.  Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide  3  cm. Solución: diagonal = lado   ∙  2 2  diagonal = 3  ∙  2 2 cm  diagonal = 3  ∙  2 cm  diagonal = 6 cm
2.3 Rectángulo ,[object Object],[object Object],(Por teorema de Pitágoras) ,[object Object],A = a ∙ b ,[object Object],P = 2(a + b) ,[object Object],d =  a 2  + b 2
Propiedades de las diagonales: ,[object Object],[object Object],Ejercicios de aplicación: 1.  Determinar diagonal de una rectángulo de lados 5 cm y 12 cm. Solución:     d = 13 cm d =  5 2  + 12 2 diagonal(d) =  (largo) 2  + (ancho) 2 d =  25 + 144 d =  169
2.  Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al perímetro del rectángulo. ABCD de la figura.  Solución: Luego, el perímetro de la zona achurada es: P = 2( 21 + 12) cm P = 2 · (33) cm P = 66 cm
2.4 Rombo ,[object Object],[object Object],[object Object],Área = a  ∙  h P = 4a  ,[object Object],[object Object],2 Área = d 1   ∙  d 2 2
Propiedades de las diagonales  ,[object Object],[object Object],Ejemplo: ,[object Object]
2.5 Romboide ,[object Object],[object Object],[object Object],P = 2a + 2b ,[object Object],Área = a  ∙  h
Propiedades de las diagonales  ,[object Object]
1. Trapecios 1.1 Características Generales M N A B C D ,[object Object],lados  NO  paralelos. ,[object Object],MN = AB + DC 2 AB // DC // MN
[object Object],Área = Mediana  ∙  altura ó E C D M N A B h Altura = DE = h ,[object Object],Área = (AB + DC)  ∙  h 2
[object Object], 
TIPOS DE TRAPECIOS Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno
1.2 Trapecio isósceles ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],AF = EB ,[object Object],AFD  =  BEC ~
Ejercicio de aplicación: 1.   Determinar el área del trapecio isósceles ABCD. Solución: Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman los triángulos rectángulos AED y BFC de ángulos:  30°, 60° y 90°. Además, como el trapecio es isósceles,  AE=FB.
Área = (11 + 5)  ∙  3  2 Área = 8  ∙  3  Área = 24  Área = (AB + DC)  ∙  h 2
1.3 Trapecio Rectángulo ,[object Object],[object Object],h E ,[object Object],[object Object]
[object Object],1.4 Trapecio Escaleno ,[object Object]
Ejercicios de aplicación: Solución: MN  =  11 11 MN  =  12  +  10 2 ,[object Object],[object Object],MN  =  AB + DC 2 Si MN es mediana, entonces:
Luego, la razón (división) entre las áreas de los trapecios es:  La mediana dimidia a la altura, entonces  h 1  = h 2 .  Área ABNM  = (AB  +  MN )  ∙  h 2 2 Área MNCD Área ABNM = (11 + 10)  ∙  h 1 2 = 21  ∙  h 1 2 = (12 + 11)  ∙  h 2 2 = 23  ∙  h 2 2 = 21 ∙ h 1 2 23 ∙ h 2 2 = 21 23 Área MNCD  = (MN  +  CD )  ∙  h 1 2
2. Trapezoides 2.1 Características Generales ,[object Object],Tipos de Trapezoides: Asimétrico Simétrico (Deltoide)
2.2 Trapezoide Simétrico (Deltoide) ,[object Object],[object Object],ADC  y  ABC, triángulos isósceles de base AC ,[object Object],[object Object],Área = (AC  ∙  DB) 2 ,[object Object],[object Object]
Ejercicio de aplicación: Solución: Luego, x= 35°. 1.   En el trapezoide simétrico ABCD de la figura, BD es base.  Determinar la medida del ángulo x. Los triángulos BAD y BCD son isósceles de base BD.  Además, las diagonales son perpendiculares y AC: bisectriz del ángulo DCB.
2.3 Trapezoide Asimétrico  ,[object Object],[object Object],A C D B

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  • 2.
  • 3.
  • 4. CUADRILÁTEROS PARALELÓGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trap. Isósceles Trap. Rectángulo Trap. Escaleno Trap. Simétrico o Deltoide Trap. Asimétrico
  • 5. 1.2 Clasificación De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en: 1. Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
  • 6. 2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos. Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno 3. Trapezoides : son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Trapezoide simétrico o deltoide Trapezoide asimétrico
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11. 2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm. Solución: diagonal = lado ∙ 2 2  diagonal = 3 ∙ 2 2 cm  diagonal = 3 ∙ 2 cm  diagonal = 6 cm
  • 12.
  • 13.
  • 14. 2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al perímetro del rectángulo. ABCD de la figura. Solución: Luego, el perímetro de la zona achurada es: P = 2( 21 + 12) cm P = 2 · (33) cm P = 66 cm
  • 15.
  • 16.
  • 17.
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  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 22. TIPOS DE TRAPECIOS Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno
  • 23.
  • 24. Ejercicio de aplicación: 1. Determinar el área del trapecio isósceles ABCD. Solución: Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman los triángulos rectángulos AED y BFC de ángulos: 30°, 60° y 90°. Además, como el trapecio es isósceles, AE=FB.
  • 25. Área = (11 + 5) ∙ 3 2 Área = 8 ∙ 3 Área = 24 Área = (AB + DC) ∙ h 2
  • 26.
  • 27.
  • 28.
  • 29. Luego, la razón (división) entre las áreas de los trapecios es: La mediana dimidia a la altura, entonces h 1 = h 2 . Área ABNM = (AB + MN ) ∙ h 2 2 Área MNCD Área ABNM = (11 + 10) ∙ h 1 2 = 21 ∙ h 1 2 = (12 + 11) ∙ h 2 2 = 23 ∙ h 2 2 = 21 ∙ h 1 2 23 ∙ h 2 2 = 21 23 Área MNCD = (MN + CD ) ∙ h 1 2
  • 30.
  • 31.
  • 32. Ejercicio de aplicación: Solución: Luego, x= 35°. 1. En el trapezoide simétrico ABCD de la figura, BD es base. Determinar la medida del ángulo x. Los triángulos BAD y BCD son isósceles de base BD. Además, las diagonales son perpendiculares y AC: bisectriz del ángulo DCB.
  • 33.