Este documento trata sobre los números complejos. Introduce la unidad imaginaria i y define los números complejos como números de la forma a + bi, llamados forma binómica. Explica cómo representarlos gráficamente en un plano y realizar operaciones como suma, producto y cociente en esta forma. También presenta la forma polar de un número complejo mediante su módulo y argumento.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Este documento contiene 10 ejercicios de vectores y producto escalar resueltos. Los ejercicios involucran hallar simétricos, vértices de triángulos, normalizar vectores, calcular ángulos entre vectores, proyecciones, clasificar triángulos y expresar vectores en bases. Para cada ejercicio, se provee la solución resuelta de manera concisa.
The document contains 5 limit calculations:
1) The limit as x approaches 0 of sin(4x)/2x equals 2.
2) The limit as x approaches 0 of sin(2x)/1/2x equals 4.
3) The limit as x approaches 0 of tan(x)/2x is indeterminate.
4) The limit as x approaches 0 of sin(x)/cos(x)/2x equals 1/2.
5) The limit as x approaches 0 of 3x^2/6sin(2x) equals 18.
El documento presenta varias fórmulas de productos notables como: el cuadrado de la suma y diferencia de dos cantidades, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, el cubo de la suma y diferencia de dos cantidades, el producto de dos binomios con un término común y el cuadrado de un trinomio. También presenta las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes, incluyendo identidades para arcos simples, compuestos, dobles, mitad y triple. También cubre propiedades de triángulos rectángulos y fórmulas racionalizadas. El documento proporciona estas identidades y propiedades de manera concisa para que los estudiantes puedan aplicarlas en problemas de trigonometría.
Este método permite resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior mediante el uso de operadores diferenciales. Se define un operador diferencial L de orden n y otra ecuación diferencial M de orden m. Si una solución yp de L también satisface M, entonces yp es una solución de la ecuación homogénea combinada M(L(y)) = 0, la cual puede expresarse en términos de soluciones algebraicas.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
Este documento presenta varios ejercicios de física relacionados con la cinemática y la dinámica. El primer ejercicio describe tres bloques colocados en una superficie con cuerdas y analiza las fuerzas que actúan sobre ellos. Otro ejercicio calcula la tensión en los cables de un columpio gigante. Un tercer ejercicio determina la aceleración de dos bloques conectados por una cuerda.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Este documento contiene 10 ejercicios de vectores y producto escalar resueltos. Los ejercicios involucran hallar simétricos, vértices de triángulos, normalizar vectores, calcular ángulos entre vectores, proyecciones, clasificar triángulos y expresar vectores en bases. Para cada ejercicio, se provee la solución resuelta de manera concisa.
The document contains 5 limit calculations:
1) The limit as x approaches 0 of sin(4x)/2x equals 2.
2) The limit as x approaches 0 of sin(2x)/1/2x equals 4.
3) The limit as x approaches 0 of tan(x)/2x is indeterminate.
4) The limit as x approaches 0 of sin(x)/cos(x)/2x equals 1/2.
5) The limit as x approaches 0 of 3x^2/6sin(2x) equals 18.
El documento presenta varias fórmulas de productos notables como: el cuadrado de la suma y diferencia de dos cantidades, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, el cubo de la suma y diferencia de dos cantidades, el producto de dos binomios con un término común y el cuadrado de un trinomio. También presenta las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes, incluyendo identidades para arcos simples, compuestos, dobles, mitad y triple. También cubre propiedades de triángulos rectángulos y fórmulas racionalizadas. El documento proporciona estas identidades y propiedades de manera concisa para que los estudiantes puedan aplicarlas en problemas de trigonometría.
Este método permite resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior mediante el uso de operadores diferenciales. Se define un operador diferencial L de orden n y otra ecuación diferencial M de orden m. Si una solución yp de L también satisface M, entonces yp es una solución de la ecuación homogénea combinada M(L(y)) = 0, la cual puede expresarse en términos de soluciones algebraicas.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
Este documento presenta varios ejercicios de física relacionados con la cinemática y la dinámica. El primer ejercicio describe tres bloques colocados en una superficie con cuerdas y analiza las fuerzas que actúan sobre ellos. Otro ejercicio calcula la tensión en los cables de un columpio gigante. Un tercer ejercicio determina la aceleración de dos bloques conectados por una cuerda.
1. El documento trata sobre conceptos de velocidad, desplazamiento y velocidad vectorial en un movimiento unidimensional. Incluye 11 ejercicios resueltos sobre cálculos de velocidad media, desplazamiento y tiempo para diversos escenarios como la velocidad de autos de carrera, electrones y viajes en avión.
Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas de ángulos dobles y ángulos mitad. Incluye fórmulas y propiedades de ángulos dobles como 1 + Tan2x y de ángulos mitad como √. También contiene ejemplos de problemas y su resolución para practicar el uso de estas identidades.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento presenta diferentes identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, así como fórmulas para la suma y diferencia de ángulos. Incluye identidades pitagóricas, de cociente, reciprocas y adicionales. También cubre fórmulas para Sen(x ± y), Cos(x ± y), Tg(x ± y) y Ctg(x ± y), así como fórmulas auxiliares para la suma y diferencia de ángulos. Por último, ofrece consideraciones para resolver problemas con identidades trigonométricas.
1. El documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran cálculos con funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los problemas se enfocan en triángulos rectángulos y en determinar valores trigonométricos dados ciertos datos.
Este documento explica cómo resolver determinantes de N filas por 2 columnas. Se duplica la primera fila y luego se suma y resta el producto de los elementos diagonales de izquierda a derecha y viceversa para obtener el valor del determinante. Se provee un ejemplo para ilustrar el proceso con un determinante de 3x2.
El documento presenta una lista de ejercicios numerados de la 1 a la 5 que el autor debe resolver. Después de cada ejercicio o grupo de ejercicios, el autor indica que pasará a resolver los siguientes ejercicios.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales. Propone determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular el núcleo e imagen de transformaciones dadas, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones respecto a bases específicas. El documento contiene 8 ejercicios con múltiples partes cada uno sobre diversos temas de álgebra lineal aplicados a transformaciones lineales.
Es un formulario sobre los teoremas y leyes de los vectores en el plano (2D) y en el espacio (3D).
El hecho que tiene graficas ayuda mejor a su comprencion y solucion de problemas físicos.
Este documento presenta información sobre las identidades trigonométricas de ángulos compuestos y múltiples. Incluye cuatro temas: 1) identidades trigonométricas básicas de ángulos compuestos, 2) identidades trigonométricas auxiliares de ángulos compuestos, 3) identidades trigonométricas del ángulo doble, y 4) identidades trigonométricas del ángulo triple. Cada tema presenta fórmulas, ejemplos y ejercicios para aplicar las identidades.
Este documento explica las ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, donde a, b y c son valores constantes conocidos y x e y son las incógnitas. Se muestra un ejemplo concreto de 2x - 3y = 4 y se explica cómo despejar la incógnita y mediante operaciones algebraicas simples para encontrar su valor en función de x.
Este documento contiene soluciones a varios ejercicios de álgebra lineal. Resume varias identidades y fórmulas para calcular ángulos, áreas y lados de triángulos. También presenta soluciones para encontrar vértices, áreas y diagonales de un paralelogramo, así como ecuaciones de un plano y la distancia de una recta al origen.
Este documento presenta la resolución de un problema de física relacionado con las leyes de Newton. El problema involucra tres bloques conectados en un plano inclinado sin fricción. Se determinan la masa M requerida para mantener el equilibrio, así como las tensiones T1 y T2. Luego, al duplicar la masa M, se calcula la aceleración de los bloques y nuevamente las tensiones. Finalmente, se encuentran los valores mínimo y máximo de M cuando hay fricción estática entre los bloques.
Este documento presenta 20 problemas de geometría sobre triángulos. Cada problema incluye una figura, datos y una resolución que conduce a una respuesta. Los problemas cubren temas como ángulos, lados, bisectrices y propiedades de triángulos isósceles y equiláteros.
Este documento presenta conceptos sobre longitud de arco y áreas de superficie de revolución calculadas usando integrales definidas. Explica las fórmulas para calcular la longitud de una curva dada por una función y o x, y el área de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor de un eje. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar la comprensión de estos conceptos en el cálculo.
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores en dos dimensiones. Explica que un vector se representa mediante un segmento de recta orientado y tiene dos elementos: módulo y dirección. Luego describe cómo calcular el módulo y la dirección de un vector, y cómo clasificar y realizar operaciones con vectores, incluidas la suma, resta, producto por escalar y expresión como par ordenado. Finalmente, explica métodos para determinar la resultante de la suma de varios vectores, como el método del paralelogramo y el método del polí
El documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de física para una evaluación parcial. Incluye trigonometría, identidades trigonométricas, vectores, cinemática de movimientos rectilíneos y curvilíneos, así como conceptos como aceleración, velocidad y fuerza.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta las operaciones básicas con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación, división, recíprocos y representación polar. Explica cómo sumar y restar mediante la suma y resta de las partes reales e imaginarias, y cómo multiplicar y dividir utilizando el método FOIL, conjugados e inversos. También cubre cómo expresar números complejos en forma polar y realizar operaciones usando esta representación.
El documento introduce los números complejos, definidos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria. Explica cómo se pueden representar gráficamente los números complejos en un plano cartesiano y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos, como suma, resta, multiplicación y división.
1. El documento trata sobre conceptos de velocidad, desplazamiento y velocidad vectorial en un movimiento unidimensional. Incluye 11 ejercicios resueltos sobre cálculos de velocidad media, desplazamiento y tiempo para diversos escenarios como la velocidad de autos de carrera, electrones y viajes en avión.
Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas de ángulos dobles y ángulos mitad. Incluye fórmulas y propiedades de ángulos dobles como 1 + Tan2x y de ángulos mitad como √. También contiene ejemplos de problemas y su resolución para practicar el uso de estas identidades.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento presenta diferentes identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, así como fórmulas para la suma y diferencia de ángulos. Incluye identidades pitagóricas, de cociente, reciprocas y adicionales. También cubre fórmulas para Sen(x ± y), Cos(x ± y), Tg(x ± y) y Ctg(x ± y), así como fórmulas auxiliares para la suma y diferencia de ángulos. Por último, ofrece consideraciones para resolver problemas con identidades trigonométricas.
1. El documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran cálculos con funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los problemas se enfocan en triángulos rectángulos y en determinar valores trigonométricos dados ciertos datos.
Este documento explica cómo resolver determinantes de N filas por 2 columnas. Se duplica la primera fila y luego se suma y resta el producto de los elementos diagonales de izquierda a derecha y viceversa para obtener el valor del determinante. Se provee un ejemplo para ilustrar el proceso con un determinante de 3x2.
El documento presenta una lista de ejercicios numerados de la 1 a la 5 que el autor debe resolver. Después de cada ejercicio o grupo de ejercicios, el autor indica que pasará a resolver los siguientes ejercicios.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales. Propone determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular el núcleo e imagen de transformaciones dadas, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones respecto a bases específicas. El documento contiene 8 ejercicios con múltiples partes cada uno sobre diversos temas de álgebra lineal aplicados a transformaciones lineales.
Es un formulario sobre los teoremas y leyes de los vectores en el plano (2D) y en el espacio (3D).
El hecho que tiene graficas ayuda mejor a su comprencion y solucion de problemas físicos.
Este documento presenta información sobre las identidades trigonométricas de ángulos compuestos y múltiples. Incluye cuatro temas: 1) identidades trigonométricas básicas de ángulos compuestos, 2) identidades trigonométricas auxiliares de ángulos compuestos, 3) identidades trigonométricas del ángulo doble, y 4) identidades trigonométricas del ángulo triple. Cada tema presenta fórmulas, ejemplos y ejercicios para aplicar las identidades.
Este documento explica las ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, donde a, b y c son valores constantes conocidos y x e y son las incógnitas. Se muestra un ejemplo concreto de 2x - 3y = 4 y se explica cómo despejar la incógnita y mediante operaciones algebraicas simples para encontrar su valor en función de x.
Este documento contiene soluciones a varios ejercicios de álgebra lineal. Resume varias identidades y fórmulas para calcular ángulos, áreas y lados de triángulos. También presenta soluciones para encontrar vértices, áreas y diagonales de un paralelogramo, así como ecuaciones de un plano y la distancia de una recta al origen.
Este documento presenta la resolución de un problema de física relacionado con las leyes de Newton. El problema involucra tres bloques conectados en un plano inclinado sin fricción. Se determinan la masa M requerida para mantener el equilibrio, así como las tensiones T1 y T2. Luego, al duplicar la masa M, se calcula la aceleración de los bloques y nuevamente las tensiones. Finalmente, se encuentran los valores mínimo y máximo de M cuando hay fricción estática entre los bloques.
Este documento presenta 20 problemas de geometría sobre triángulos. Cada problema incluye una figura, datos y una resolución que conduce a una respuesta. Los problemas cubren temas como ángulos, lados, bisectrices y propiedades de triángulos isósceles y equiláteros.
Este documento presenta conceptos sobre longitud de arco y áreas de superficie de revolución calculadas usando integrales definidas. Explica las fórmulas para calcular la longitud de una curva dada por una función y o x, y el área de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor de un eje. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar la comprensión de estos conceptos en el cálculo.
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores en dos dimensiones. Explica que un vector se representa mediante un segmento de recta orientado y tiene dos elementos: módulo y dirección. Luego describe cómo calcular el módulo y la dirección de un vector, y cómo clasificar y realizar operaciones con vectores, incluidas la suma, resta, producto por escalar y expresión como par ordenado. Finalmente, explica métodos para determinar la resultante de la suma de varios vectores, como el método del paralelogramo y el método del polí
El documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de física para una evaluación parcial. Incluye trigonometría, identidades trigonométricas, vectores, cinemática de movimientos rectilíneos y curvilíneos, así como conceptos como aceleración, velocidad y fuerza.
El documento describe los operadores anuladores y su relación con las funciones diferenciables. Explica que un operador anula una función si al aplicarlo a la función da como resultado cero. Por ejemplo, el operador diferencial D anula a funciones constantes y x. También cubre la factorización de operadores diferenciales lineales y cómo determinar el operador que anula funciones específicas como una suma de funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta las operaciones básicas con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación, división, recíprocos y representación polar. Explica cómo sumar y restar mediante la suma y resta de las partes reales e imaginarias, y cómo multiplicar y dividir utilizando el método FOIL, conjugados e inversos. También cubre cómo expresar números complejos en forma polar y realizar operaciones usando esta representación.
El documento introduce los números complejos, definidos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria. Explica cómo se pueden representar gráficamente los números complejos en un plano cartesiano y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos, como suma, resta, multiplicación y división.
El documento introduce los números complejos, definidos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria. Explica cómo representarlos gráficamente en el plano cartesiano y define operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división siguiendo reglas similares a las de los números reales. Ilustra estas operaciones con varios ejemplos numéricos.
Este documento presenta una introducción a los logaritmos. Explica que los logaritmos fueron inventados en el siglo XVII para simplificar cálculos astronómicos. Define el logaritmo de un número como el exponente de la base que elevada da ese número. Presenta propiedades como que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos y el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base. Incluye ejemplos para ilustrar estas propiedades y cómo aplicar logaritmos para resolver e
Este documento trata sobre integrales. Explica la notación de la integral indefinida, propiedades como la homogeneidad y la aditividad, y métodos para calcular integrales como las integrales racionales. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de integrales como las básicas, racionales con denominador de grado 1 o 2, y el cambio de variable.
Este documento trata sobre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división y productos notables. Explica cómo realizar estas operaciones con expresiones algebraicas utilizando propiedades de los números reales. También cubre conceptos como valor numérico, suma y resta de expresiones, multiplicación aplicando la propiedad distributiva, división larga de polinomios, y factorización de expresiones utilizando productos notables.
El documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios y pueden representarse como la suma de un número real y un número imaginario. Los números complejos se utilizan ampliamente en matemáticas, física, ingeniería y otras áreas.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de primer grado y segundo grado. Primero, se describen los pasos para resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos. Luego, se explican métodos para resolver ecuaciones de primer grado que contienen paréntesis y denominadores. Finalmente, se introducen conceptos básicos sobre ecuaciones de segundo grado y métodos para resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes del séptimo semestre que refleja de forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemáticas. 2) Agradece la colaboración de profesores en revisar y mejorar el cuaderno, y dedica el trabajo a su esposa e hijos y a sus alumnos. 3) El contenido incluye conceptos sobre conjuntos, sistemas de numeración, números naturales, enteros y racionales.
Este documento presenta un compendio de álgebra para el primer grado de secundaria. Contiene 24 temas sobre operaciones en conjuntos numéricos, leyes de exponentes, ecuaciones, polinomios, entre otros. El índice enumera los temas y las páginas correspondientes.
El documento presenta ejemplos y actividades sobre operaciones algebraicas combinadas. Se explican conceptos como leyes de signos, exponentes y coeficientes. Luego, se resuelven ejercicios aplicando estas leyes y combinando operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, se proponen problemas de la vida real para que los estudiantes practiquen resolviéndolos con este tipo de operaciones algebraicas.
Este documento presenta un resumen de 7 temas de matemáticas y razonamiento matemático. Incluye definiciones de conceptos como teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y propiedades de la potenciación. También contiene ejemplos resueltos de problemas relacionados a estos temas. El objetivo es ofrecer una guía sobre estas áreas matemáticas fundamentales.
Este documento presenta conceptos sobre números complejos, incluyendo:
1) Definición de la unidad imaginaria i y cálculo de raíces cuadradas de números negativos.
2) Potencias de i y sus valores periódicos.
3) Representación y operaciones con números complejos en forma algebraica y gráfica.
4) Conjugado de un número complejo y sus propiedades.
5) Módulo o valor absoluto de un número complejo.
El documento proporciona ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta un manual sobre fracciones parciales. Explica cuatro casos de fracciones parciales dependiendo del grado del numerador y denominador. Incluye ejemplos para ilustrar cómo resolver fracciones parciales de cada caso mediante la factorización del denominador y la determinación de constantes. También contiene ejercicios resueltos paso a paso como aplicación de los métodos.
Este documento presenta un manual sobre fracciones parciales. Explica cuatro casos de fracciones parciales dependiendo del grado del numerador y denominador. Incluye ejemplos para ilustrar cómo resolver fracciones parciales de cada caso mediante la factorización del denominador y la determinación de constantes. También contiene ejercicios resueltos paso a paso como aplicación de los métodos.
El documento presenta un libro de álgebra dividido en cuatro unidades. Cada unidad contiene temas como leyes de exponentes, ecuaciones de primer y segundo grado, y funciones. Cada tema incluye secciones para aplicar los conceptos, ejercicios de práctica y maratones matemáticas.
00-Elementos de Matemática Básica-Repaso Mate Nivelatoria.pdfCarlosBuchanan4
El documento presenta una guía de conocimientos previos necesarios para la asignatura Elementos de Matemática Básica. Incluye una revisión de operaciones con polinomios, factorización de polinomios, expresiones algebraicas racionales, ecuaciones, ecuaciones cuadráticas y otros temas fundamentales. El profesor Carlos Buchanan proporciona ejemplos y ejercicios para cada tema como preparación para la asignatura.
Este resumen trata sobre un examen de matemáticas que contiene 12 preguntas con sus respectivas resoluciones. La mayoría de las preguntas involucran conceptos de álgebra lineal, funciones, teoría de números y sistemas de ecuaciones. El documento proporciona las respuestas correctas a cada pregunta y explica brevemente los pasos para llegar a dichas respuestas.
Este documento presenta un autoinstructivo sobre matrices y determinantes. Explica conceptos básicos como qué son las matrices, cómo se representan y notan, tipos de matrices como la matriz nula, diagonal o identidad. También cubre operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices. Finalmente, introduce el cálculo de determinantes de segundo y tercer orden. El documento concluye con ejercicios prácticos para aplicar los conocimientos.
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
1. MATEMATICAS
1º Bachillerato
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s = B + m v
r = A + l u
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Proyecto MaTEX
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Fco Javier Gonz´alez Ortiz
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´ıculo
c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4
2. MATEMATICAS
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Tabla de Contenido
1. Introducci´on
1.1. Las potencias de i
2. Forma bin´omica de un n´umero complejo
2.1. Representaci´on gr´afica
2.2. Operaciones en forma bin´omica
• Suma en forma bin´omica • Producto en forma bin´omica • Co-
ciente en forma bin´omica
3. Forma polar de un n´umero complejo
3.1. Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo
3.2. Producto en forma polar
3.3. Divisi´on en forma polar
3.4. Potencia en forma polar
3.5. Ra´ız n-´esima de un complejo
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
3. MATEMATICAS
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Secci´on 1: Introducci´on 3
1. Introducci´on
Vamos a clasificar los n´umeros como soluciones de las ecuaciones. Observa
las siguientes ecuaciones:
x + 3 = 8 ⇒ x = 5 tiene soluci´on en los naturales N
x + 3 = 1 ⇒ x = −2 tiene soluci´on en los enteros Z
2x = 5 ⇒ x =
5
2
tiene soluci´on en los racionales Q
x2
= 2 ⇒ x = ±
√
2 tiene soluci´on en los reales R
Se tiene as´ı que el sistema de n´umeros se ha ido ampliando
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Ahora observa la ecuaci´on
x2
= −1
que como sabes no hay ning´un n´umero cuyo cuadrado sea negativo. En el siglo
XVI “inventaron” un n´umero que cumple la ecuaci´on anterior y llamaron la
unidad imaginaria, i.
Es decir definimos la unidad imaginaria i como un n´umero ( no real) que
cumple
i2
= −1 (1)
4. MATEMATICAS
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Secci´on 1: Introducci´on 4
1.1. Las potencias de i
´Unicamente hay cuatro potencias distintas de i:
i = i i5
=i4
· i = i
i2
= −1 i6
=i4
· i2
= −1
i3
= i2
· i = −i i7
=i4
· i3
= −i
i4
= i2
· i2
= (−1)(−1) = 1 i8
=i4
· i4
= 1
Si seguimos calculando potencias s´olo aparecen
{1, −1, i, −i}
As´ı por ejemplo
i47
= i4·11+3
= (i4
)11
· i3
= i3
= −i
Ejercicio 1. Efect´ua las siguientes potencias de i:
a) i34
b) i64
c) i81
d) i107
Adem´as, ahora podemos expresar las soluciones de las siguientes ecua-
ciones:
x2
+ 9 = 0 =⇒ x = ±
√
−9 = ±
√
9
√
−1 = ±3 i
x2
+ 16 = 0 =⇒ x = ±
√
−16 = ±
√
16
√
−1 = ±4 i
5. MATEMATICAS
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Secci´on 1: Introducci´on 5
Ejemplo 1.1. Resuelve la ecuaci´on x2
+ 8x + 25 = 0
Soluci´on: Resolvemos la ecuaci´on sustituyendo
√
−1 por i.
x =
−8 ±
√
64 − 4 · 25
2
=
−8 ±
√
−36
2
=
−8 ± 6
√
−1
2
= − 4 ± 3 i
Ejemplo 1.2. Comprueba que −4 + 3 i verifica x2
+ 8x + 25 = 0
Soluci´on: Sustituimos y operamos de forma natural
(−4 + 3 i)2
+ 8 (−4 + 3 i) + 25 =16 − 24 i + 9 i2
− 32 + 24i + 25
=9 + 9i2
=9 + 9(−1) = 0
6. MATEMATICAS
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Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 6
Estos nuevos “n´umeros” de la forma
a + b i
los llamamos n´umeros complejos en forma bin´omica y decimos que a es la
parte real y b la parte imaginaria. Un modelo para comprenderlos consiste en
representarlos en el plano
2. Forma bin´omica de un n´umero complejo
2.1. Representaci´on gr´afica
Un complejo en forma bin´omica
a + b i
se representa mediante un vector
con origen el punto O(0, 0) y ex-
tremo el punto de coordenadas
A(a, b). Al punto A(a, b) se le lla-
ma afijo del complejo 0 a
ib
C
a + ib
Ejercicio 2. Representar los siguientes complejos en el plano:
a) 3 + i b) 2 i c) −2 + 3 i d) −2
e) −2 − i f ) 2 − 2 i g) 2
7. MATEMATICAS
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Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 7
2.2. Operaciones en forma bin´omica
• Suma en forma bin´omica
Para sumar n´umeros complejos en forma bin´omica se suman la parte real
y la parte imaginaria.
Ejemplo 2.1. Hallar la suma (5 + i) + (1 − 3 i) :
Soluci´on:
(5 + i) + (1 − 3 i) =(5 + 1) + (1 − 3) i
=6 − 2 i
Ejemplo 2.2. Efectuar la suma 3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) :
Soluci´on:
3 · (5 + i) + 2 · (1 − 3 i) =(15 + 3 i) + (2 − 6 i)
=(15 + 2) + (3 − 6) i)
=17 − 3 i
Ejercicio 3. Efect´ua las operaciones:
a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i)
c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i) d) (2 − 4 i) − (3 − 3 i)
8. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 8
• Producto en forma bin´omica
Para multiplicar n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplican de
forma algebraica natural, teniendo en cuenta que el termino i2
= −1 .
Ejemplo 2.3. Hallar el producto (5 + i) · (1 − 3 i) :
Soluci´on:
(5 + i) · (1 − 3 i) =5 − 15 i + i − 3 i2
=5 − 15 i + i + 3
=8 − 14 i
Ejemplo 2.4. Hallar el producto (2 + i) · (1 − i) :
Soluci´on:
(2 + i) · (1 − i) =3 − i
Ejercicio 4. Efect´ua las operaciones:
a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i)
c) (5 + i) · (1 − 3 i) d) (2 − 4 i) · (3 − 3 i)
e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i)
f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i)
9. MATEMATICAS
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Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 9
Definici´on 2.1
Llamamos conjugado de un n´umero com-
plejo z = a + b i al complejo
¯z = a − b i
es decir sus partes imaginarias son opues-
tas. Al conjugado de z lo vamos a repre-
sentar por ¯z.
0 a
b
−b
C
a + bi
a − bi
Ejercicio 5. Demostrar que la suma de dos n´umeros complejos conjugados
es un n´umero real:
Ejercicio 6. Demostrar que el producto de dos n´umeros complejos conjuga-
dos es un n´umero real:
10. MATEMATICAS
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Secci´on 2: Forma bin´omica de un n´umero complejo 10
• Cociente en forma bin´omica
Para dividir n´umeros complejos en forma bin´omica se multiplica numer-
ador y denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo 2.5. Hallar el cociente
3 − i
3 + i
.
Soluci´on:
3 − i
3 + i
=
3 − i
3 + i
·
3 − i
3 − i
=
9 − 3 i − 3ı + i2
9 − i2
=
8 − 6 i
10
=
8
10
−
6
10
i
Ejemplo 2.6. Hallar el cociente
2 + i
i
.
Soluci´on:
2 + i
i
=
2 + i
i
·
− i
− i
= 1 − 2 i
Ejercicio 7. Hallar los cocientes:
a)
2 − i
3 − i
b)
3 − i
3 + i
c)
5 − 2 i
3 + 2 i
d)
i
1 + i
11. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 11
3. Forma polar de un n´umero complejo
Definici´on 3.1
Un n´umero complejo z = a+b i
se puede caracterizar por su
m´odulo o magnitud m = |z|
y por el ´angulo que determi-
na con la parte positiva del eje
Ox. En el gr´afico se aprecia
que el m´odulo por el teorema
de Pit´agoras corresponde a:
m = |z| = a2 + b2
0 a
ib
C
a + ib
{
|z|
ϕ
y el ´angulo ϕ que llamamos argumento verifica
tan ϕ =
b
a
=⇒ ϕ = arctan
b
a
De esta forma un n´umero complejo en forma bin´omica a + b i se puede ex-
presar en forma polar mϕ
a + b i =
m =
√
a2 + b2
ϕ = arctan
b
a
=⇒ mϕ (2)
12. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 12
Ejemplo 3.1. Expresar en forma polar 1 + i :
Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento.
1 + i =
m = 12 + 12 =
√
2
ϕ = arctan 1 =
π
4
=
√
2π
4
Ejemplo 3.2. Expresar en forma polar 2 i :
Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento.
2 i =
m = 02 + 22 = 2
ϕ = arctan
2
0
=
π
2
= 2π
2
Ejercicio 8. Hallar el m´odulo y argumento de los siguientes complejos ,
represent´andolos previamente:
a) 2 − 2 i b) 2 i c) −2 i d) −2 + 2 i
e) 2 + 2 i f ) 2 g) −2 h) −2 − 2 i
Ejercicio 9. Hallar el m´odulo y el argumento de los complejos:
a)
√
6 +
√
2i b)
√
12 − 2i c) −2 + 2i
Ejercicio 10. Expresar en forma polar los n´umeros complejos:
a) 3 +
√
3 i b) 2 i c) −2 + 2 i
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 13
3.1. Forma trigonom´etrica de un n´umero complejo
En el dibujo se aprecia que
a partir de la forma polar de
un n´umero complejo, podemos
calcular su parte real y su parte
imaginaria, pues
a = m cos ϕ b = m sen ϕ 0 m cosϕ
m senϕ
C
a + ib
m
ϕ
Se llama la expresi´on trigonom´etrica
mϕ =⇒ m(cos ϕ + i sen ϕ) (3)
Ejemplo 3.3. Expresar en forma trigonom´etrica 1 + i :
Soluci´on: Calculamos su m´odulo y su argumento.
1 + i =
m = 12 + 12 =
√
2
ϕ = arctan 1 =
π
4
=
√
2 cos
π
4
+ i sen
π
4
14. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 14
Ejercicio 11. Expresar en forma polar y trigonom´etrica los n´umeros com-
plejos::
a) 1 + i b) −i c)
√
2 +
√
2 i
Conversi´on de Bin´omica a Polar y viceversa
Binomica
a + b i
m =
√
a2 + b2
a = m cosϕ
b = m senϕ
ϕ = arctan b/a
Polar
mϕ
15. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 15
Ejercicio 12. Rellenar la tabla siguiente
Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica
(1, −1) √
3 − i
3π/4
2 cos π/3 + i sen π/3
Ejercicio 13. Hallar x para que el cociente
x + 3i
3 + 2i
sea imaginario puro.
Ejercicio 14. Hallar x para que el complejo z =
3 − 2 x i
4 + 3 i
:
a) Sea imaginario puro.
b) Sea un n´umero real.
Ejercicio 15. Hallar x para que el m´odulo de z =
x + i
2 + i
sea
√
2.
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 16
3.2. Producto en forma polar
Teorema 3.1. El producto de dos n´umeros en forma polar es un complejo
cuyo m´odulo es el producto de los m´odulos y cuyo argumento es la suma de
los argumentos
mα · mβ = (m · m )α+β (4)
Ejemplo 3.4. Hallar 4120o · 230o
Soluci´on:
4120o · 230o = 8150o = 8(cos 150 + sen 150 i) = −4
√
3 + 4 i
Ejemplo 3.5. Hallar 290o · 190o
Soluci´on:
290o · 190o = 2180o = 2(cos 180 + sen 180 i) = −2
Ejercicio 16. Halla los siguientes productos:
a) 3π/6 · 2π/6 b) 4π/12 · 2π/6
c)
√
2π/3 ·
√
2
2 5π/3
d) −3 · 4π/4 · 2π/6
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3.3. Divisi´on en forma polar
Teorema 3.2. El cociente de dos n´umeros en forma polar es un complejo
cuyo m´odulo es el cociente de los m´odulos y cuyo argumento es la diferencia
de los argumentos
mα
mβ
=
m
m α−β
(5)
Ejemplo 3.6. Hallar
4120o
230o
Soluci´on:
4120o
230o
= 290o = 2(cos 90 + sen 90 i) = 2 i
Ejercicio 17. Halla los siguientes cocientes:
a) 3π/6 : 2π/6 b) 4π/12 : 2π/6
c) 3π/2 : 2π/4 d) 8π : 2π/2
Ejercicio 18. Expresar en forma trigonom´etrica
−3 + 3
√
3i
2 − 2i
18. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 18
Ejercicio 19. Expresar en forma trigonom´etrica
2 − 2i
√
3 + i
Ejercicio 20. Escribe en forma trigonom´etrica:
6i
1 + i
Ejercicio 21. Escribe en forma trigonom´etrica:
1 +
√
3i
1 − i
Ejercicio 22. Escribe en forma trigonom´etrica::
√
6 +
√
2i
√
12 − 2i
Test. Responde a las preguntas:
1. El complejo z = −2 + 2 i est´a en:
(a) 1o
cuadrante (b) 2o
cuadrante (c) 3o
cuadrante
2. La forma polar de z = −2 + 2 i es:
(a)
√
8π/4 (b)
√
8−π/4 (c)
√
83π/4
3. La forma polar de 3 (cos 30o
− i sen 30o
) es
(a) 330 (b)1 3−30 (c) 360
4. El m´odulo de 1π · 12π · 13π es:
(a) 3 (b) 1 (c) otro
5. El argumento de −3 es:
(a) π (b) 0 (c) 2 π
19. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 19
3.4. Potencia en forma polar
Teorema 3.3. La potencia n-´esima de un n´umero en forma polar mϕ es un
complejo cuyo m´odulo es la potencia n-´esima de m y cuyo argumento es n
veces ϕ.
(mα)n
= mn
n α (6)
Ejemplo 3.7. Efectuar 2π/4
5
Soluci´on:
2π/4
5
= 25
5×π/4 = 32225o
Ejemplo 3.8. Efectuar (3π)
2
Soluci´on:
(3π)
2
= 32
2×π = 8180o
Ejercicio 23. Hallar la potencia (1 + i)5
Ejercicio 24. Hallar la potencia (−2 + 2
√
3i)6
Ejercicio 25. Operar en forma polar
1
(1 + i)5
20. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 20
3.5. Ra´ız n-´esima de un complejo
Queremos hallar la ra´ız n−´esima de un complejo a+b i que expresaremos
en forma polar mϕ.
x = n
√
mϕ ⇐⇒ xn
= mϕ
Llamemos a la soluci´on buscada x = rα, entonces se tiene que
(rα)
n
= mϕ = rn
n α
igualando m´odulos y argumento,
m = rn
=⇒ r = n
√
m
n α = ϕ + k · 360o
=⇒ α =
ϕ + k · 360o
n
k = 0, 1, · · · , n − 1
La ra´ız n-´esima de un n´umero en forma polar corresponde a n n´umeros com-
plejos con la expresi´on
n
√
mϕ = n
√
mϕ + k · 360o
n
k = 0, 1, · · · , n − 1 (7)
En los n´umeros reales
3
√
1 = 1, pero ahora en el campo de los complejos
ademas de 1, hay otros dos complejos cuyo cubo es la unidad.
21. MATEMATICAS
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 21
Ejemplo 3.9. Hallar las ra´ıces
3
√
1
Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar
1 =⇒ 10
El m´odulo es
3
√
1 = 1 y de la ecuaci´on (7) dando valores a k = 0, 1, 2 se tienen
los argumentos,
αk =
0 + k · 360o
3
α0 = 0
α1 = 120
α2 = 240
luego las tres ra´ıces son
10 1120o 1240o
10o
1120o
1240o
O
Los afijos de las soluciones son los v´ertices de un tri´angulo equil´atero.
22. MATEMATICAS
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s = B + m v
r = A + l u
B
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 22
Ejemplo 3.10. Hallar las ra´ıces 5
√
−32
Soluci´on: Ponemos el radicando en forma polar
−32 =⇒ 32180
El m´odulo es
5
√
32 = 2 y de la ecuaci´on (7) dando valores a k = 0, 1, · · · 4 se
tienen los argumentos,
αk =
0 + k · 360o
5
α0 = 36o
α1 = 108o
α2 = 170o
α3 = 242o
α4 = 314o
luego las cinco ra´ıces son
236o 2108o 2170o 2242o 2314o
236o
2108o
2170o
2242o 2314o
O
Los afijos de las soluciones son los v´ertices de un pol´ıgono regular de cinco
lados.
23. MATEMATICAS
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r = A + l u
B
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Secci´on 3: Forma polar de un n´umero complejo 23
Ejercicio 26. Un complejo z en forma bin´omica es a + b i, su conjugado es
¯z = a+b i y su opuesto es −z = −a−b i. ¿Cu´al es la expresi´on de los mismos
en forma polar?
Ejercicio 27. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su cociente es 4, sus
argumentos suman 40o
y la suma de sus m´odulos es 15.
Ejercicio 28. Hallar dos complejos z1 y z2 sabiendo que su producto es 27 i
y uno de ellos es el cuadrado del otro.
Ejercicio 29. Hallar un complejo z1 que cumpla que su inverso al cuadrado
sea el opuesto de su conjugado.
24. MATEMATICAS
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A
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r = A + l u
B
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Soluciones a los Ejercicios 24
Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 1. Teniendo en cuenta que i4
= 1, basta dividir por 4 los expo-
nentes:
a) i34
= i4·8+2
= (i4
)8
· i2
= i2
= −1
b) i64
= i4·16
= (i4
)16
= 1
c) i81
= i4·20+1
= (i4
)20
· i = i
d) i107
= i4·26+3
= (i4
)26
· i3
= i3
= −i
Ejercicio 1
25. MATEMATICAS
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A
s = B + m v
r = A + l u
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Soluciones a los Ejercicios 25
Ejercicio 2.
3 + i
2 i
−2 + 3 i
−2
−2 − i
2 − 2 i
2
Ejercicio 2
26. MATEMATICAS
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A
s = B + m v
r = A + l u
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Soluciones a los Ejercicios 26
Ejercicio 3.
a) (2 + 5 i) + (3 − 2 i) = 5 + 3 i
b) (2 − 2 i) + (2 + 2 i) = 4+
c) (5 + i) + 2 (1 − 3 i) = 7 − 5 i
d) (2 − 4 i) − (3 − 3 i) = −1 − i
Ejercicio 3
27. MATEMATICAS
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A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Soluciones a los Ejercicios 27
Ejercicio 4.
a) (2 + 5 i) · (3 − 2 i) = 16 + 11 i
b) (2 − 2 i) · (2 + 2 i) = 8
c) (5 + i) · (1 − 3 i) = 8 − 14 i
d) (2 − 4 i) · (3 − 3 i) = −6 − 18 i
e) (2 + 2 i) · (1 − 5 i) · (2 + 3 i) = 48 + 20 i
f ) (1 + 5 i) · (− i) − (4 + 3 i) · (4 − 3 i) = −20 − i
Ejercicio 4
28. MATEMATICAS
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s = B + m v
r = A + l u
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Soluciones a los Ejercicios 28
Ejercicio 5. Sean los n´umeros complejos conjugados
z = a + b i ¯z = a − b i
z + ¯z =(a + b i) + (a − b i)
=2 a
es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real.
Ejercicio 5
29. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Soluciones a los Ejercicios 29
Ejercicio 6. Sean los n´umeros complejos conjugados
z = a + b i ¯z = a − b i
z · ¯z =(a + b i) · (a − b i)
=a2
− ab i + ab i − b2
i2
=a2
+ b2
es decir la parte imaginaria es cero y por tanto es un n´umero real.
Ejercicio 6
30. MATEMATICAS
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A
s = B + m v
r = A + l u
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Soluciones a los Ejercicios 30
Ejercicio 7.
a)
2 − i
3 − i
=
2 − i
3 − i
·
3 + i
3 + i
=
7 − i
10
=
7
10
−
1
10
i
b)
3 − i
3 + i
=
3 − i
3 + i
·
3 − i
3 − i
=
8 − 6 i
10
=
8
10
−
6
10
i
c)
5 − 2 i
3 + 2 i
=
5 − 2 i
3 + 2 i
·
3 − 2 i
3 − 2 i
=
11 − 16 i
13
=
11
13
−
16
13
i
d)
i
1 + i
=
i
1 + i
·
1 − i
1 − i
=
1 + i
2
=
1
2
+
1
2
i
Ejercicio 7
31. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Soluciones a los Ejercicios 31
Ejercicio 8.
a) 2 − 2 i −→
√
87π/4
b) 2 i −→ 2π/2
c) −2 i −→ 23π/2
d) −2 + 2 i −→
√
83π/4
e) 2 + 2 i −→
√
8π/4
f ) 2 −→ 20
g) −2 −→ 2π
h) −2 − 2 i −→
√
85π/4
2
2 + 2 i2 i−2 + 2 i
−2
−2 − 2 i −2 i
2 − 2 i
Ejercicio 8
32. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Soluciones a los Ejercicios 32
Ejercicio 9.
a)
√
6 +
√
2i
m =
√
6 + 2 =
√
8
ϕ = arctan
√
2
√
6
= arctan
√
3
3
=
π
6
b)
√
12 − 2 i
m =
√
12 + 4 = 4
ϕ = arctan −
2
√
12
= arctan −
√
3
3
=
11 π
6
c) −2 + 2 i
m =
√
4 + 4 =
√
8
ϕ = arctan −
2
2
= arctan −1 =
3 π
4
Ejercicio 9
33. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 33
Ejercicio 10.
a) 3 +
√
3 i =
m =
√
12
ϕ = arctan
√
3
3
=
π
6
=
√
12π
6
b) 2 i = 2π
2
c) −2 + 2 i =
√
83 π/4
Ejercicio 10
34. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 34
Ejercicio 11.
a) 1 + i =
m = 12 + 12 =
√
2
ϕ = arctan 1 =
π
4
=
√
2π
4
√
2 cos
π
4
+ i · sen
π
4
b) − i =
m = 1
ϕ = arctan −
1
0
=
3 π
2
= 13 π
2
cos
3 π
2
+ i · sen
3 π
2
c)
√
2 +
√
2 i =
m = 2
ϕ = arctan 1 =
π
4
= 2π
4
2 cos
π
4
+ i · sen
π
4
Ejercicio 11
35. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 35
Ejercicio 12.
Cartesiana Bin´omica Polar Trigonom´etrica
(1, −1) 1-i
√
27π/4
√
2( cos 7π/4 + i sen 7π/4)
(
√
3, −1)
√
3 − i 211π/6 2 (cos 11π/6 + i sen 11π/6)
3
√
2
2
,
3
√
2
2
3
√
2
2
+
3
√
2
2
i 3π/4 3( cos π/4 + i sen π/4)
(1,
√
3) 1 +
√
3 i 2π/3 2 (cos π/3 + i sen π/3)
Ejercicio 12
36. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 36
Ejercicio 13.
x + 3 i
3 + 2 i
=
x + 3 i
3 + 2 i
·
3 − 2 i
3 − 2 i
=
(3 x + 6) + (9 − 2 x) i
13
para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero
3 x + 6
13
= 0 =⇒ x = −2
Ejercicio 13
37. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 37
Ejercicio 14.
z =
3 − 2 x i
4 + 3 i
=
3 − 2 x i
4 + 3 i
·
4 − 3 i
4 − 3 i
=
12 − 6 x
25
−
(9 + 8 x) i
25
a) para que sea imaginario puro la parte real debe ser cero
12 − 6 x
25
= 0 =⇒ x = 2
b) para que sea real puro la parte imaginaria debe ser cero
(9 + 8 x) i
25
= 0 =⇒ x = −
9
8
Ejercicio 14
38. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 38
Ejercicio 15.
z =
x + i
2 + i
=
x + i
2 + i
·
2 − i
2 − i
=
2 x + 1
5
+
(2 − x) i
5
igualamos el m´odulo a
√
2
2 x + 1
5
2
+
2 − x
5
2
=
√
2 =⇒
4 x2
+ 4x + 1
25
+
4 − 4 x + x2
25
= 2 =⇒
5 x2
+ 5 = 50 =⇒ x2
= 9 =⇒ x = ±3
Ejercicio 15
39. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Prueba de los Teoremas 39
Prueba del Teorema 3.1.
Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar
aparece el coseno y el seno de la suma de ´angulos:
mα · mβ =m(cos α + i sen α) · m (cos β + i sen β)
=m · m [cos α cos β − sen α sen β
+ i sen α cos β + i cos α sen β]
=m · m [cos(α + β) + i sen(α + β)]
=(m · m )α+β
40. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 40
Ejercicio 16.
a) 3π/6 · 2π/6 = 6π/3 = 6(cos 30 + sen 30 i) = 3
√
3 + 3 i
b) 4π/12 · 2π/6 = 8π/4 = 8(cos 45 + sen 45 i) = 4
√
2 + 4
√
2 i
c)
√
2π/3 ·
√
2
2 5π/3
= 12π = 1(cos 360 + sen 360 i) = 1
d) −3 · 4π/4 · 2π/6 = 3π · 4π/4 · 2π/6 = 2417π/12
2417π/12 = 24(cos 120 + sen 120 i) = −12 + 12
√
3 i
Ejercicio 16
41. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Prueba de los Teoremas 41
Prueba del Teorema 3.2.
Expresamos los complejos mα y mβ en forma trigonom´etrica. Al operar
aparece el coseno y el seno de la diferencia de ´angulos:
mα
mβ
=
m(cos α + i sen α)
m (cos β + i sen β)
=
m(cos α + i sen α)
m (cos β + i sen β)
(cos β − i sen β)
(cos β − i sen β)
(operando)
=
m
m
[cos(α − β) + i sen(α − β)]
=
m
m α−β
42. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 42
Ejercicio 17.
a)
3π/6
2π/6
=
3
2 0
b)
4π/12
2π/6
= (2)23π/12
c)
3π/2
2π/4
=
3
2 π/4
d)
8π
2π/2
= (4)π/2
Ejercicio 17
43. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 43
Ejercicio 18. Expresamos numerador y denominador en forma polar
−3 + 3
√
3 i =⇒ m =
√
36 ϕ =
2π
3
2 − 2 i =⇒ m =
√
8 ϕ =
7π
4
Ahora operamos el cociente en forma polar
−3 + 3
√
3i
2 − 2 i
=
62π/3
√
87π/4
=
3
√
2 −13π/12
−
13π
12
= 2π −
13π
12
=
11π
12
= 165o
y pasamos a forma bin´omica
3
√
2
(cos 165o
+ sen 165o
i)
Ejercicio 18
44. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 44
Ejercicio 19. Expresamos numerador y denominador en forma polar
2 − 2 i =⇒ m =
√
8 ϕ =
7π
4√
3 + i =⇒ m =
√
4 ϕ =
π
6
Ahora operamos el cociente en forma polar
2 − 2i
√
3 + i
=
√
87π/4
2π/6
=
√
2
19π/12
y pasamos a forma trigonom´etrica
√
2(cos
19π
12
+ sen
19π
12
i)
Ejercicio 19
45. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 45
Ejercicio 20. Expresamos numerador y denominador en forma polar
6 i =⇒ m = 6 ϕ =
π
2
1 + i =⇒ m =
√
2 ϕ =
π
4
Ahora operamos el cociente en forma polar
6 i
1 + i
=
6π/2
√
2π/4
=
6
√
2 π/4
y pasamos a forma trigonom´etrica
6
√
2
(cos
π
4
+ sen
π
4
i)
Ejercicio 20
46. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 46
Ejercicio 21. Expresamos numerador y denominador en forma polar
1 +
√
3 i =⇒ m = 2 ϕ =
π
3
1 − i =⇒ m =
√
2 ϕ =
7π
4
Ahora operamos el cociente en forma polar
1 +
√
3 i
1 − i
=
2π/3
√
27π/4
=
2
√
2 −17π/12
−
17π
12
= 2π −
17π
12
=
7π
12
= 105o
y pasamos a forma trigonom´etrica
2
√
2
(cos 105o
+ sen 105o
i)
Ejercicio 21
47. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 47
Ejercicio 22. Expresamos numerador y denominador en forma polar
√
6 +
√
2 i =⇒ m =
√
8 ϕ =
π
6√
12 − 2 i =⇒ m = 4 ϕ = −
π
6
Ahora operamos el cociente en forma polar
√
6 +
√
2 i
√
12 − 2 i
=
√
8π/6
4−π/6
=
√
2
2
π/3
y pasamos a forma trigonom´etrica
√
2
2
(cos
π
3
+ sen
π
3
i)
Ejercicio 22
48. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Prueba de los Teoremas 48
Prueba del Teorema 3.3.
Por la regla del producto se tiene
(mα)
n
=mα · mα · · · mα
=(m · m · · · m)α + α + · · · + α
=mn
n α
49. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 49
Ejercicio 23. Calculamos su m´odulo y su argumento.
1 + i =
m = 12 + 12 =
√
2
ϕ = arctan 1 =
π
4
=
√
2π
4
Ahora operamos la potencia en forma polar
√
2π
4
5
=
√
2
5
5 π
4
Ejercicio 23
50. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 50
Ejercicio 24. Calculamos su m´odulo y su argumento.
(−2 + 2
√
3i)6
=
m = 22 + 12 =
√
16 = 4
ϕ = arctan −
√
3 =
2π
3
= 42π
3
Ahora operamos la potencia en forma polar
42π
3
6
= 46
4 π = 46
0
Ejercicio 24
51. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 51
Ejercicio 25. Expresamos numerador y denominador en forma polar
1 =⇒ m = 1 ϕ = 0
1 + i =⇒ m =
√
2 ϕ =
π
4
Ahora operamos el cociente en forma polar
1
(1 + i)5
=
10
(
√
2π/4)5
=
10
4
√
25 π/4
=
1
4
√
2 3 π/4
y pasamos a forma bin´omica
1
4
√
2
(cos
3π
4
+ i sen
3π
4
) = −
1
8
+
1
16
i
Ejercicio 25
52. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 52
Ejercicio 26. A partir del gr´afico es f´acil observar que si a + b i es en forma
polar mϕ, entonces
Su conjugado a − b i en polar es m−ϕ
Su opuesto −a − b i en polar es mπ+ϕ
0
a + b i
a − b i−a − b i
ϕ
−ϕ
π + ϕ
Ejercicio 26
53. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 53
Ejercicio 27.
Sean z1 = mα y z2 = kβ. Planteamos un sistema y resolvemos.
mα
kβ
= 40
α + β = 40
m + k = 15
=⇒
m
k
= 4
α − β = 0
α + β = 40
m + k = 15
α = β =⇒ 2 α = 40 =⇒ α = β = 20
m = 4 k =⇒ 5 k = 15 =⇒ k = 3 m = 12
Los complejos pedidos son
1220o 320o
Ejercicio 27
54. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 54
Ejercicio 28.
Sean z1 = mα y z2 = kβ. Planteamos un sistema y resolvemos.
mα · kβ = 27 i = 2790o
mα = (kβ)2
= k2
2β
=⇒
m · k = 27
α + β = 90
m = k2
α = 2 β
α = 2 β =⇒ 3 β = 90 =⇒ α = 60 β = 30
m = k2
=⇒ k3
= 27 =⇒ k = 3 m = 9
Los complejos pedidos son
960o 330o
Ejercicio 28
55. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Ejercicios 55
Ejercicio 29.
Sean z1 = mα el complejo buscado
Su inverso es
1
mα
=
10
mα
=
1
m −α
El conjugado de z1 = mα es ¯z1 = m−α y el opuesto de este es −¯z1 =
mπ−α
luego se tiene que cumplir que
1
m2
−2 α
= mπ−α =⇒
1 = m3
−2 α = π − α
El complejo buscado es 1−π = 1π = −1
Ejercicio 29
56. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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Soluciones a los Tests 56
Soluciones a los Tests
Soluci´on al Test: En efecto
−2 + 2 i
m =
√
4 + 4 =
√
8
ϕ = arctan −
2
2
= arctan −1 =
3π
4
Final del Test
57. MATEMATICAS
1º Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
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´Indice alfab´etico
argumento, 11
conjugado, 9
forma binomica, 6
cociente, 10
producto, 8
representaci´on, 6
suma, 7
forma polar, 11
divisi´on, 17
potencia, 19
producto, 16
radicaci´on, 20
forma trigonom´etrica, 13
m´odulo, 11
unidad imaginaria i, 3
57