00-Elementos de Matemática Básica-Repaso Mate Nivelatoria.pdf

UNED Elementos de Matemática Básica – 03472 Lic. Carlos Buchanan R.
Tutoría Repaso: Conocimientos previos para Elementos de Matemática Básica
Tutoría Repaso:
Conocimientos previos para
Elementos de Matemática
Básica.
Tutor: Carlos Buchanan R I Cuatrimestre 2024

Conocimientos previos para Elementos de Matemática Básica:
1. Operaciones con polinomios.
2. Factorización de polinomios.
3. Expresiones algebraicas racionales.
4. Ecuaciones.
5. Inecuaciones.
6. Gráficas.
Prof. Carlos Buchanan R

A→Leyes de potencias y operaciones algebraicas:
1)
n m n m
a a a +
=
2)
n
n m
m
a
a
a
−
=
3)
( )
m
n n m
a a
=
4)
( )
n n n
a b a b
=
5)
n n
n
a a
b b
 
=
 
 
6)
1
n
n
a
a
−
=
7)
n n
a b
b a
−
   
=
   
   
8)
0
1
a =
9)
m
n m n
a a
=
10)
( )
a b c a b a c
+ = +
11)
( )( )
a b c d a c a d b c b d
+ + = + + +
1. Operaciones con polinomios

B→ Fórmulas Notables:
I. (a + b)2 = a2 + 2•a•b + b2
II. (a – b)2 = a2 – 2•a•b + b2
III. (a + b)(a – b) = a2 – b2
IV. (a + b)3 = a3 + 3•a2•b + 3•a•b2 + b3
V. (a – b)3 = a3 – 3•a2•b + 3•a•b2 – b3
C→ Prioridad en operaciones con polinomios:
1° Formulas Notables.
2° Multiplicaciones y divisiones.
3° Sumas y restas.
Ejercicio 1 Tarea
2
6 (2 4 ) 3(5 3 )
y y y
− − − =
Solución:
2
( 4) (2 )( 5)
m m m
+ + + − =
Solución:

Factorizar un polinomio consiste en expresar una suma o resta de monomios como una
multiplicación de 2 o más factores. La factorización será vital en la simplificación y resolución de
expresiones algebraicas racionales (más conocidas como fracciones algebraicas). Existen varios métodos,
debes identificar cuando usar uno u otro. Los métodos que estudiaremos son:
A) Factorización por factor común: Se utiliza cuando:
• Hay un máximo común divisor de los coeficientes numéricos.
• Se repite una letra y/o paréntesis. Si se repite, se toma la de menor exponente.
El procedimiento general será extraer el factor común y luego dividir cada término del polinomio por el
factor común para determinar el segundo factor de la factorización.
3 2 4 2
) 4 12 8
a x y x x y
+ +
Solución:
) 2 ( 3) 5( 3)
b x x x
− + −
Solución:
2. Factorización de polinomios

B) Factorización por diferencia de cuadrados: Se aplica a expresiones de dos términos, A y B, de
diferente signo y que cada uno tenga raíz cuadrada perfecta,
Obtenemos las raíces de los términos, es decir, A a B b
=  = .; y la factorización será:
A – B = (a + b)(a – b)
2
) 81
a x −
Solución:
3
) 4 100
b m m
−
Solución:

C) Factorización por inspección: Se aplica a polinomios de tres términos, que pueden tener una o dos
variables. Lo más importante es ordenarlos en forma descendente de acuerdo con la variable.
Se factorizan o descomponen los extremos y sus factorizaciones se multiplican en cruz y se suman. Si el
resultado corresponde al término central, entonces los extremos factorizados están bien y se escribe la
factorización como dos factores compuestos por los términos factorizados que estaban uno frente al otro.
2
) 2 10 12
a x x
+ +
Solución:
Tarea
2
) 3 7 10
b m m
− −

D) Factorización por agrupamiento:
Se utiliza en polinomios de 4, 6 o más términos.
Se agrupa el polinomio por parejas, tríos, etc., de manera que tengan algo en común o que se puedan
factorizar por alguno de los métodos mencionados anteriormente. Se factorizan los grupos y una vez que
están factorizados se verifica si se puede aplicar otro método que generalmente será factor común o
diferencia de cuadrados.
2
) 6 5 3 10
a m n n mn
− − + Tarea
3 2
) 2 18 9
b a a ab b
− − +

E) Factorización por suma o diferencia de cubos:
Se aplica a polinomios de 2 términos (A y B) y donde cada uno tiene raíz cubica exacta.
Diferencia de cubos: A – B:
Obtenemos la raíz cubica, 3 3
A a B b
=  = .
La respuesta se coloca de la siguiente forma:
( )( )
− = − + +
2 2
A B a b a ab b
Suma de cubos: A + B:
Obtenemos la raíz cubica, 3 3
A a B b
=  = .
La respuesta se coloca de la siguiente forma:
( )( )
+ = + − +
2 2
A B a b a ab b
3
) 27
a x − Tarea
6
) 8 +
b m
NOTAS IMPORTANTES:
i) En general, primero se debe verificar si se puede utilizar factor común, luego se verifican los
demás métodos de acuerdo con las características antes mencionadas.
ii) Cuando se aplica el método de factor es importante revisar si el segundo factor se puede factorizar
por alguno de los otros métodos

Las reconocemos pues tienen letras en el denominador. Por ejemplo:
2
2
2 18
12
a
a a
−
− −
2
12
3 4
x x
− −
2
2
4 ( 3)
25
m
m
− +
−
A) Simplificación:
Para simplificar expresiones racionales lo que debemos hacer es factorizar el numerador y el
denominador por separado, para luego cancelar factores comunes arriba y abajo.
Ejercicio 1 Tarea
2
2
2 18
12
a
a a
−
=
− −
2
2
3 9 30
25
m m
m
− −
=
−
2. Expresiones algebraicas racionales

B) Suma y Resta:
 Denominadores iguales:
Para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales lo que se hace es:
• Sumar o restar los numeradores, manteniendo el denominador común.
• Simplificar la fracción resultante.
Ejercicio 1 Tarea
3 2 3 5
)
4 4 4
x x x
a
x x x
− +
− + =
+ + +
2 2 2
2 2
)
4 4
m n m m n
b
mn m mn m
+
+ =
− −

 Denominadores diferentes:
Para resolver sumas y restas de dos o más fracciones algebraicas con diferente denominador existen
varios métodos. En general un método que se utiliza es el del mínimo común múltiplo, que consiste en:
* Factorizar todos los denominadores para determinar el máximo común denominador (mcm). El mcm se
determina tomando todos los factores diferentes de los denominadores factorizados y si alguno se repite se
toma el de mayor exponente.
* Luego se divide este denominador común por los originales y el resultado se multiplica por los
numeradores respectivos, para al final sumarlos o restarlos y obtener el numerador final.
* Finalmente se simplifica, si se puede, la fracción resultante.
Ejercicio 1: Resuelva la siguiente operación:
2
1 6
4 4 2 1
x
x x x

C) Multiplicación y división:
Para multiplicar 2 o más fracciones algebraicas
lo que se hace es:
 Factorizar todos los polinomios
posibles.
 Cancelar o simplificar los términos
semejantes.
 Multiplicar lo que sobra.
Y para dividir 2 fracciones algebraicas el
procedimiento seria:
 Darle vuelta a la segunda fracción (divisor)
para convertir la división en una
multiplicación.
 Factorizar los polinomios y simplificar.
 Multiplicar los resultados finales.
Ejercicio 1 Ejercicio 2
2
2
2 1 4 1
4 4 1 2 1
x x
x x x
+ −
• =
− + −
3 2 3 2
2
2 3 2 2 2
4 2
x x x x x
x x
+ − −
 =
− −

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en donde hay que hallar el valor de una o
varias incógnitas. Existen varios tipos de ecuaciones.
A) Ecuaciones lineales (Ecuaciones de primer grado con una incógnita)
Las reconocemos pues el grado mayor de la incógnita es 1. Son de la forma: 0
ax b
+ =
Para este tipo de ecuaciones lo que debemos hacer es despejar el valor de la incógnita. Aquí se debe
tener especial cuidado a los signos. Si existen operaciones y paréntesis, primero se resuelven estos hasta
simplificar cada lado de la igualdad. Luego ordenamos: términos con incógnita a un lado, y términos
constantes al otro lado. Finalmente despejamos la incógnita.
Ejercicio 1 Tarea
4
.) 3(2 1) 2 5
3
x
a x
− − − = −
Solución:
5 3 5
.)7 1
4 2 3
x
b x x
− + = + −
Solución:
4. Ecuaciones

B) Ecuaciones cuadráticas (Ecuaciones de segundo grado con una incógnita)
Las reconocemos pues el grado mayor de la incógnita es 2. Son de la forma:
2
0
ax bx c
+ + =
Para resolverlas se puede utilizar inspección o el método de la formula general. En el método de la
formula general tenemos el siguiente procedimiento:
1°) La ecuación debe estar igualada a cero y reducida al máximo para identificar los valores de a, b y c.
2°) Obtenemos el valor del discriminante →
2
4
b ac
 = −
3°) Determinamos las soluciones de acuerdo con lo siguiente:
0
  0
 = 0
 
Hay 2 soluciones:
→ 1 2
{ , }
S x x
=
Solo hay 1 solución:
→ { }
S x
=
No hay soluciones:
→ S 
=
Las soluciones se calculan de la
siguiente forma:
1
2
b
x
a
− + 
=
2
2
b
x
a
− − 
=
La solución se calcula de la
siguiente forma:
2
−
=
b
x
a
-----------------

Ejercicio 1 Tarea
2
(2 5 ) 10(9 3) 6
+ = − −
x x
Solución:
2 ( 2) 2 5 3
− + = −
x x x
Solución:

Una inecuación es una desigualdad, donde es necesario hallar el valor de una incógnita. A diferencia de
las ecuaciones, la solución de una inecuación será un intervalo real. Hay varios tipos de inecuaciones, pero
nos centraremos en las inecuaciones lineales.
A) Inecuaciones lineales:
Se resuelven semejante a una ecuación lineal. La reconocemos pues el exponente mayor de la
incógnita es 1. Para resolverla debemos:
1°) Si hay paréntesis, debes resolverlos primero. Luego colocamos términos con incógnita a un lado y
términos constantes (sin incógnita) al otro.
2°) Sumamos o restamos a ambos lados de la desigualdad.
3°) Despejamos la incógnita, pero su solución será un intervalo
Importante:
Si al despejar la incógnita debes mandar un valor negativo a multiplicar o dividir al otro lado de la
desigualdad entonces debes invertir el símbolo de desigualdad.
5. Inecuaciones

Ejercicio 1 Tarea
2(4 2) 5(2 1)
−  − −
x x
Solución:
( )
4 6 2 5 1
m m
− +  − +
Solución:

El eje cartesiano nos permite ubicar
puntos y graficar funciones.
Los puntos se denotan como pares
ordenados (x, y).
Ejercicio 1:
Ubique los siguientes pares
ordenados en el plano cartesiano:
A(2, 5) B(–7, –3)
C(0, 8) D(–5, 0)
F(3, –2)
Ejercicio 2:
Identifique el par ordenado que
corresponde a cada punto:
G H I
6. Gráficas

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