Num reales (2)

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.1 – Clasificación de los números reales
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
no periódicos
P, 2, 3 7,...

Matemáticas
4º ESO 4y º 1E.º S.Bach.
O.
1.1 – Clasificación de los números reales
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
8 = Þ
2 Natural
4
9 = Þ
2,25 Decimal exacto
4
4 = » Þ
1,3333... 1,3 Decimal periódico puro
3

7 = » Þ
mixto periódico Decimal 6ˆ
1,16666... 1,1
6
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
N = 238
100
Simplificar la fracción, si es posible
N = 119
50
100N = 238 Despejar N
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
Números decimales periódicos puros
N = 2,383838...
100N = 238,3838...
N = 236
99
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo
Restarlos
N = 236
99
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
N = 2,3888...
10N = 23,888...
100N = 238,888... Restarlos
N = 215
90
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
el mismo periodo.
N = 215
90
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

Matemáticas
O.
1.3 – Números aproximados
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.

Matemáticas
O.
1.3 – Números aproximados
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error relativo = Error absoluto
Valor Real
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.

4º E.S.O.
1.4 – Notación científica
1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las
unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N = a,bcd......x10n
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10a.10b =10a+b 10a :10b =10a-b
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
(10a )b =10a.b
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

Matemáticas
O.
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte decimal
Parte entera
Exponente de
base 10

4º E.S.O.
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga Nano
Mega Micro
Kilo Mili
Hecto Centi
Deca Deci
109
106
103
102
101
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

Matemáticas
O.
1.5 – Números no racionales
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
2 es irracional
p es irracional, si p no es un cuadrado perfecto
n p es irracional, si p no es una potencia n - ésima
p es irracional
Los números decimales no periódicos son irracionales
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.

Matemáticas
O.
1.6 – Los números reales
1.6.1 - DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le
llama conjunto de números reales y se designa por R
1.6.2 – LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.

1.7 – Representación de números sobre la recta real 4º E.S.O.
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7

1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes como tenga el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u.
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
O U
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Matemáticas
1.7 – Representación de números sobre la recta real 4º ESO 4y º 1E.º S.Bach.
O.
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
( )2 2 2 2 =1 +1 2
2

1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7

Matemáticas
O.
1.8 – Intervalos y semirrectas
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {xÎR / a < x < b}
a b
Números comprendidos entre a y b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {xÎR / a £ x £ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y
b

4º E.S.O.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {xÎR / a £ x < b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
• (a, b] = {xÎR / a < x £ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido b
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (¥, a) = {xÎR / x < a} Números menores que a
a
• (¥, a] = {xÎR / x £ a} Números menores o iguales que a
a
• (a, ¥) = {xÎR / a < x} Números mayores que a
a
• [a, ¥) = {xÎR / a £ x} Números mayores o iguales que a
a
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.8 – Entornos
1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
Matemáticas
1º Bach. CN
a-r a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
a-r a a+r
: Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
·E- (a, r)
a-r a
·E+ (a,r) : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)
a a+r

Matemáticas
1º Bach.
4º E.S.O.
1.9 – Valor absoluto de un número real
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
³
a si a 0
î í ì <
=
- a si a 0
a
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x {a b,a b}
= +
x a b
- =
| x a | b Þ Î - +
x a b
x a b
x a b
î í ì
= -
Þ
þ ý ü
î í ì - = -
- = Þ
x (a b,a b)
= +
x a b
- =
| x a | b Þ Î - +
x a b
x a b
x a b
î í ì
= -
Þ
þ ý ü
î í ì
- = -
- < Þ
= +
- =
| x - a | ³ b Þ Þ Î -¥ - 
+ +¥
x ( ,a b] [a b, )
x a b
x a b
x a b
x a b
î í ì
= -
Þ
þ ý ü
î í ì
- = -

4º E.S.O.
1.10 – Potencias
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
a0 = 1
a1 = a
am.an = am+n
am : an = am-n
(am )n = am.n
an .bn = (a.b)n
an : bn = (a : b)n
a-1 = 1
a
a- = 1
n
n
a
n n n
n
b
a
æ -
÷ø
a b
çè
÷ø
= æ ö = b
a
ö çè
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.11 – Raíces
1.11.1 – DEFINICIÓN
1.11.2 – PECULIARIDADES
³ Þ
Si a 0 n
a existe cualquiera que sea n.
Si a 0 n
a sólo existe si n es impar.
< Þ
Índice
n
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
1
n a = a n
n
m
n am = a
n
b = a Ûb = a
radical radicando
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.11 – Raíces
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
Raíces cuadradas :" "
180Þ " " "180" "=" Þ13,41640786
Potencias : "xy"
264 Þ "2" "xy" "64" "=" Þ 1,84467440719 Þ 1,844674407.1019
Raíces con la tecla : "xy"
2
5 2 Þ Þ = Þ
483 4835 "483" "(" "2" ":" "5" ")" " " 11,84619432
Tecla "xy" o "x "
1
1
5 = Þ = Þ
350 350 5
"350" "x y ""5"" " 3,227108809
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Matemáticas
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces 4º ESO y 1º Bach.
np p n
a a (Se puede simplificar)
a . b ab
n n n
n
n
n
a
b
a
( )
m n m.n
n p n p
=
a a
a a
b
=
=
=
=

1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.

1.13 – Logaritmos
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Matemáticas
1º Bach.
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
a = Û =
log P x ax P
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log a 1 a =
log 1 0 a =
log (P.Q) log P log Q a a a = +
log (P /Q) log P log Q a a a = -
n
a =
log (P ) n.log P a
log P log P
b
log a
b
a =

1.13 – Logaritmos
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
Logaritmo decimal o en base 10 :
Matemáticas
1º Bach.
log P logP 10 =
Logaritmo neperiano o en base e :
log P ln P e =

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