Números reales

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
no periódicos
1.1 – Clasificación de los números reales
,...7,2, 3
Π

4º E.S.O.
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
Natural2
4
8
⇒=
exactoDecimal25,2
4
9
⇒=
puroperiódicoDecimal3,1...3333,1
3
4
⇒≈=

mixtoperiódicoDecimal6ˆ1,1...16666,1
6
7
⇒≈=
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4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
100
238
N =
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
Simplificar la fracción, si es posible
50
119
N =
Despejar N100N = 238
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4º E.S.O.
Números decimales periódicos puros
99
236
N =
N = 2,383838...
100N = 238,3838...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo
Restarlos
99
236
N =
Despejar N
99N = 236
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4º E.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
90
215
N =
N = 2,3888...
10N = 23,888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
el mismo periodo.
90
215
N =
Despejar N90N = 215
100N = 238,888... Restarlos
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4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
1.3 – Números aproximados
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
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4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
1.3 – Números aproximados
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
RealValor
absolutoError
relativoError =
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4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.4.1 – DEFINICIÓN
1.4 – Notación científica
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las
unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
n
10x......bcd,aN =
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4º E.S.O.
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
baba
1010.10 +
= baba
1010:10 −
=
( ) b.aba
1010 =
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4º E.S.O.
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
Parte decimal
Parte entera
Exponente de
base 10
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
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4º E.S.O.
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga Nano
Mega Micro
Kilo Mili
Hecto Centi
Deca Deci
9
10
6
10
3
10
2
10
1
10
9
10−
6
10−
3
10−
2
10−
1
10−
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
1.5 – Números no racionales
irracionales2
perfectocuadradounesnopsi,irracionalesp
ésima-npotenciaunaesnopsi,irracionalespn
irracionalesπ
esirracionalsonperiódicosnodecimalesnúmerosLos
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.
Matemáticas
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4º E.S.O.
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le
llama conjunto de números reales y se designa por R
1.6 – Los números reales
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
1.6.1 - DEFINICIÓN
1.6.2 – LA RECTA REAL
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1–6
0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1–6
2 2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4
2,692,65 2,66 2,682,67 2,72,61 2,62 2,63 2,642,6
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
O U
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
Se divide cada unidad en tantas
partes como tenga el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
( ) 222
112 += 2
2
Matemáticas
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1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1–6
2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,42
2,65 2,66 2,682,67 2,69 2,72,61 2,62 2,63 2,642,6
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
1.8 – Intervalos y semirrectas
• Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b}
a b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y
b
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b}
a b
• (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
Números comprendidos entre a y b, incluido b
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a
a
• (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a
a
• (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a
a
• [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a
a
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.8.4 – Entornos
1.8 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
Matemáticas
1º Bach. CN
: Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
)r,a(E−
•
: Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r))r,a(E+
•
a-r a+r
aa-r a+r
aa-r
a a+r

4º E.S.O.
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
1.9 – Valor absoluto de un número real
Matemáticas
1º Bach.



<
≥
=
0asia-
0asia
a
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
{ }ba,bax
bax
bax
bax
bax
b|ax| +−∈⇒



−=
+=
⇒






−=−
=−
⇒=−
( )ba,bax
bax
bax
bax
bax
b|ax| +−∈⇒



−=
+=
⇒






−=−
=−
⇒<−
),ba[]ba,(x
bax
bax
bax
bax
b|ax| +∞+−−∞∈⇒



−=
+=
⇒






−=−
=−
⇒≥− 

4º E.S.O.
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
1.10 – Potencias
1a0
=
aa1
=
nmnm
aa.a +
=
nmnm
aa:a −
=
( ) n.mnm
aa =
nnn
)b.a(b.a =
( )nnn
b:ab:a =
a
1
a 1
=−
n
n
a
1
a =−
n
nnn
a
b
a
b
b
a
=





=





−
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.11.1 – DEFINICIÓN
1.11 – Raíces
1.11.2 – PECULIARIDADES
impar.esnsiexistesóloa0aSi
n.seaquecualquieraexistea0aSi
n
n
⇒<
⇒≥
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
n
1
n
aa = n
m
n m
aa =
n
a bb = ⇔ = a
radical radicando
Índice
n
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

4º E.S.O.
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
1.11 – Raíces
":"cuadradasRaíces
"x":Potencias y
"x":teclalaconRaíces y
""o"x"Tecla xy
613,4164078"""180"""180 ⇒=⇒
1919y64
7.101,8446744071,84467440"""64""x""2"2 ⇒⇒=⇒
211,8461943"")"""5":"""2"("""483"483483 5
2
5 2
⇒=⇒⇒
93,22710880"""5""x""350"350350 y
1
5
1
5
⇒=⇒=
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
( )
n.mm n
n pp
n
n
n
n
nnn
nnp p
aa
aa
b
a
b
a
abb.a
r)simplificapuede(Seaa
=
=
=
=
=

1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.

1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
1.13 – Logaritmos
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
Matemáticas
1º Bach.
PaxPlog x
a
=⇔=
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1aloga =
01loga =
QlogPlog)Q.P(log aaa +=
QlogPlog)Q/P(log aaa −=
Plog.n)P(log a
n
a =
alog
Plog
Plog
b
b
a =

1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
1.13 – Logaritmos
Logaritmo decimal o en base 10 :
Matemáticas
1º Bach.
PlogPlog10 =
Logaritmo neperiano o en base e :
PlnPloge =

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