Este documento resume los principales tipos de números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) están formados por todos los números racionales e irracionales. También describe las propiedades de los intervalos, semirrectas y entornos de números reales, así como las operaciones con potencias, radicales y expresiones decimales de números racionales.
Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, comenzando con los números naturales y enteros, y luego ampliando el conjunto a los números racionales e irracionales. Explica que los números naturales surgieron para contar objetos y que los enteros se expandieron añadiendo ceros y números negativos. Luego, los racionales permiten divisiones al incluir fracciones, aunque algunos problemas no pueden resolverse aquí, dando lugar a los irracionales con decimales no periódicos.
Este documento presenta un cuaderno autoinstructivo de definición de niveles para matemáticas. Incluye contenidos sobre aritmética como operaciones en los números reales, divisibilidad en los números naturales, números racionales, proporcionalidad y progresiones. También incluye contenidos de álgebra y geometría plana. Presenta conceptos, fórmulas y ejemplos para explicar los diferentes temas matemáticos.
Este documento presenta los conjuntos numéricos y sus propiedades. Detalla los números naturales, enteros y racionales, incluyendo sus definiciones, operaciones básicas y propiedades. También explica conceptos como paridad, divisores, múltiplos, números primos y transformaciones entre fracciones y decimales. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen correctamente los diferentes tipos de números y sus relaciones.
Este documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, en particular los números naturales y enteros. Define los números naturales como los utilizados para contar y explica algunas de sus propiedades y operaciones como la suma, multiplicación, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Luego introduce los números enteros como una generalización de los naturales que incluye números negativos, necesarios para resolver situaciones como deudas o temperaturas bajo cero. Explica cómo representar y ordenar los enteros en una línea numérica y define su valor absol
El documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, sus características, operaciones y propiedades. Explica conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, descomposición en factores primos y cómo calcularlos. Incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
El documento presenta conceptos básicos de matemáticas como conjuntos numéricos, números reales e irracionales, la recta numérica y los diferentes tipos de intervalos. Explica la diferencia entre números racionales e irracionales y cómo representar los conjuntos numéricos en un diagrama. También define los símbolos y propiedades para ordenar y comparar números reales en la recta numérica.
El documento describe los diferentes conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e irracionales) y sus propiedades. Explica cómo estos conjuntos se relacionan entre sí y cómo se representan en una recta numérica. También cubre conceptos como el valor absoluto de un número, intervalos y las reglas básicas para realizar operaciones con números reales como suma, producto, cociente y potenciación.
Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, comenzando con los números naturales y enteros, y luego ampliando el conjunto a los números racionales e irracionales. Explica que los números naturales surgieron para contar objetos y que los enteros se expandieron añadiendo ceros y números negativos. Luego, los racionales permiten divisiones al incluir fracciones, aunque algunos problemas no pueden resolverse aquí, dando lugar a los irracionales con decimales no periódicos.
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El documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, sus características, operaciones y propiedades. Explica conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, descomposición en factores primos y cómo calcularlos. Incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
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El documento describe los diferentes conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e irracionales) y sus propiedades. Explica cómo estos conjuntos se relacionan entre sí y cómo se representan en una recta numérica. También cubre conceptos como el valor absoluto de un número, intervalos y las reglas básicas para realizar operaciones con números reales como suma, producto, cociente y potenciación.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra como desigualdades, inecuaciones, intervalos y operaciones con ellos. Introduce las desigualdades, definidas como comparaciones entre números reales usando símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego explica inecuaciones, que involucran cantidades desconocidas y solo se verifican para ciertos valores de las incógnitas. Finalmente, cubre temas como intervalos acotados y no acotados, y operaciones entre ellos como unión e intersección.
Este documento presenta los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica que los números racionales pueden expresarse como fracciones de enteros y que admiten expresiones decimales exactas o periódicas. También introduce los números irracionales, cuyas expresiones decimales son no periódicas con cifras infinitas. Finalmente, define el conjunto de los números reales como la unión de racionales e irracionales, y presenta propiedades de potencias, raíces y operaciones con intervalos sobre la recta real.
Manual de mátemáticas con conceptos básicos sencillos de los números Y su clasificación. De igual manera encontraraán ejercicios explicativos de cada caso. También se prensenta varias operaciones matemáticas para ejercitar las cuales poseen su resultado al final del manual. Espero les sea de facilidad para todos docente en las primeras etapas de la enseñanza de la Matemática, así como a todos aquellos que estén en busca de explicaciones fáciles y sencillas.
El documento describe las nueve propiedades de los números reales, incluyendo la distributiva, asociativa, conmutativa, identidad e inverso. También define los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros y racionales. Explica que los números naturales son los números {1, 2, 3, ...} y tienen propiedades como tener un antecesor excepto 1 y tener un sucesor. Luego introduce los números enteros como los naturales, sus opuestos y 0, resolviendo problemas con la resta. Finalmente, define los números racionales como cocientes de enteros para resolver divisiones que dan decimales.
Este documento presenta un resumen del tema 1 sobre los números reales. Introduce la clasificación de los números, incluyendo naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar diferentes tipos de números en la recta numérica. También cubre intervalos, potencias, raíces y radicaciones, y cómo trabajar con ellos. El objetivo es proporcionar una introducción completa a los diferentes tipos de números reales y operaciones básicas.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo su definición, operaciones básicas y formas polares y exponenciales. Explica cómo resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y complejos, encontrando raíces complejas a través de fórmulas y división sintética. Proporciona varios ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento explica el significado y uso de las literales y ecuaciones. Brevemente describe que una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas donde las literales son incógnitas cuyo valor hace cierta la ecuación. También presenta un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de igualación.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones polinómicas y racionales. Define polinomios y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Luego, introduce las raíces de un polinomio y las ecuaciones polinómicas, así como la divisibilidad y factorización de polinomios, que son útiles para encontrar las raíces de un polinomio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
El documento explica el uso del lenguaje algebraico para expresar relaciones entre cantidades desconocidas y resolver problemas. Se define el álgebra como una herramienta para expresar cantidades mediante símbolos y letras. Se proveen ejemplos de cómo expresar relaciones como perímetros, áreas y precios usando ecuaciones algebraicas con una o más variables desconocidas, las cuales pueden resolverse mediante métodos como la sustitución o el análisis de intersecciones gráficas.
El documento presenta una clasificación de los números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo pasar de fracciones a decimales y viceversa, y cómo representar números en la recta real mediante intervalos, semirrectas y entornos. También cubre notación científica, valor absoluto y potencias.
Este documento trata sobre expresiones fraccionarias y radicales en matemáticas. Explica conceptos como fracciones algebraicas equivalentes, suma y producto de fracciones, expresiones radicales y operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre racionalización y algunas operaciones delicadas con fracciones y radicales.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como el uso de letras para representar números, expresiones algebraicas, el valor numérico de una expresión, ecuaciones y cómo resolver ecuaciones. Explica que una ecuación representa una igualdad entre expresiones algebraicas y que resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado.
El documento presenta un examen de cálculo diferencial con 6 temas que incluyen proposiciones, hallar valores de funciones, derivar funciones, obtener polinomios de Maclaurin, derivar funciones implícitas y resolver un problema de máximos y mínimos. Se pide al estudiante mostrar los procedimientos para resolver cada ejercicio y se evalúa su desempeño.
Este documento explica conceptos matemáticos relacionados con proporciones, porcentajes y variación proporcional. Explica cómo calcular cantidades desconocidas usando razones y proporciones, así como cómo determinar porcentajes de un total. También describe variación proporcional directa e inversa y cómo resolver problemas usando estas relaciones.
1) La ecuación de la recta L1 paralela a L2 y ubicada a la derecha de esta, con distancia de 10 unidades al origen, es 3x + y - 10 = 0.
2) La ecuación de la parábola cóncava hacia arriba, con foco en el centro de la elipse dado y lado recto uniendo los focos de la elipse, es y - 1 = (x - 1)2/6.
3) Se califican varias proposiciones sobre ecuaciones y funciones como verdaderas o falsas, justific
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
El documento ofrece recomendaciones sobre cómo estudiar de forma eficiente. Recomienda no aprender de memoria sino comprender los conceptos para aplicarlos en el futuro. Además, sugiere estudiar de forma sistemática y sin presión en lugar de solo prepararse para exámenes. Finalmente, resume siete técnicas importantes como estudiar en un lugar tranquilo y hacer preguntas mientras se lee.
Este documento define la química como la ciencia que estudia la composición y transformación de la materia. Explica que la materia se puede clasificar como pura o impura, y que las sustancias pueden ser elementos o compuestos. Describe las propiedades de la materia, incluyendo propiedades físicas como la densidad y temperatura de fusión, y propiedades químicas como la cantidad de sustancias formadas en una reacción. Finalmente, define la energía como la capacidad de los cuerpos para producir cambios.
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Manual de mátemáticas con conceptos básicos sencillos de los números Y su clasificación. De igual manera encontraraán ejercicios explicativos de cada caso. También se prensenta varias operaciones matemáticas para ejercitar las cuales poseen su resultado al final del manual. Espero les sea de facilidad para todos docente en las primeras etapas de la enseñanza de la Matemática, así como a todos aquellos que estén en busca de explicaciones fáciles y sencillas.
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Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales usando símbolos como >, <, ≥, ≤. Explica desigualdades absolutas y relativas. Luego define intervalos numéricos como subconjuntos de números reales comprendidos entre dos extremos, sean finitos o infinitos. Finalmente describe operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia.
El documento explica el uso del lenguaje algebraico para expresar relaciones entre cantidades desconocidas y resolver problemas. Se define el álgebra como una herramienta para expresar cantidades mediante símbolos y letras. Se proveen ejemplos de cómo expresar relaciones como perímetros, áreas y precios usando ecuaciones algebraicas con una o más variables desconocidas, las cuales pueden resolverse mediante métodos como la sustitución o el análisis de intersecciones gráficas.
El documento presenta una clasificación de los números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo pasar de fracciones a decimales y viceversa, y cómo representar números en la recta real mediante intervalos, semirrectas y entornos. También cubre notación científica, valor absoluto y potencias.
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1) La ecuación de la recta L1 paralela a L2 y ubicada a la derecha de esta, con distancia de 10 unidades al origen, es 3x + y - 10 = 0.
2) La ecuación de la parábola cóncava hacia arriba, con foco en el centro de la elipse dado y lado recto uniendo los focos de la elipse, es y - 1 = (x - 1)2/6.
3) Se califican varias proposiciones sobre ecuaciones y funciones como verdaderas o falsas, justific
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
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Este documento define los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Incluye ejemplos de clasificar números según su tipo y determinar si afirmaciones sobre números reales son verdaderas o falsas. También cubre operaciones básicas como suma y resta con números reales.
Este documento presenta los números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son el conjunto de todos los números racionales y irracionales. También describe cómo representar diferentes tipos de números en la recta real, incluyendo enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos, y algunos irracionales. Finalmente, introduce conceptos como intervalos, potencias, raíces y propiedades de los radicales.
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This document describes the AdsPayPro advertising service which allows users to purchase advertising credits and revenue accumulation units. There are two types of credit packages available - combo packages which provide credits and a revenue sharing position, and standard packages which only provide credits. Users can use their credits to display ads and drive traffic to their websites. The service also includes a revenue sharing program where users earn a percentage of company profits based on their package purchases and referrals.
What have you learnt about technologies from the process of constructing this...antoniajane
The document discusses technologies learned through creating a media project. It covers the camera, tripod, Mac computer, and various applications used including YouTube, Mahara, Final Cut Pro, and DAFONT. The camera was used to film shots and was initially difficult to use but skills improved over time. The tripod was challenging to attach the camera to but became easier with practice. The Mac took time to get used to but is now comfortable to use. YouTube provided research, uploads, and video demonstrations. Mahara documented the project process. Final Cut Pro edited clips together. DAFONT downloaded fonts for titles.
Neuromuscular Adaptations to Human Computer InterfacesJay Mulakala
This document outlines Jay Mulakala's research goals which include understanding neuromuscular adaptations in human computer interfaces and various applications. The research will design pilot in the loop controllers for drones and study principles of human computer interaction such as iterative design. It will also examine how electromyography can be used as an input for devices like the Myo armband to detect muscle activity and control interfaces.
Este documento establece las especificaciones técnicas para el diseño, construcción y operación de sistemas de biodigestión en México. Incluye definiciones, requisitos para la ubicación, materiales, seguridad y mantenimiento de biodigestores. El objetivo es asegurar el rendimiento y calidad de los biodigestores para tratar desechos orgánicos de granjas y aprovechar el biogás producido.
Este documento presenta un curso de pedagogía para profesionales no licenciados con módulos sobre TIC's y estructura de Lewis. También explica que la velocidad de las reacciones depende del tipo de solvente, ya que los disolventes próticos como el agua y los alcoholes estabilizan los carbocationes a través de interacciones entre sus átomos de oxígeno y el carbono positivo de los carbocationes.
The document summarizes fluorescent proteins, including green fluorescent protein (GFP) and its variants. It describes how fluorescent proteins enable detection of proteins, organelles and cells. Their applications include studying cancer, cell migration and connections. It also discusses photoconvertible proteins like EosFP, which changes fluorescence from green to red upon exposure to light, enabling detection of movement. Fluorescent proteins assist in creating high-resolution images using techniques like laser scanning confocal microscopy and photoactivated localization microscopy.
The document provides descriptions of 18 artworks in Princess Jones's portfolio from 2012-2014. The artworks use a variety of materials including cotton fabric, muslin, polyester, paper, magazine pages, newspaper, fabric, thread, and rope. The pieces cover a range of techniques including dyeing with MX dyes, heat transfer dyes, paper dress patterns, woven magazine pages, and threaded fabric strips. The artworks explore themes of emergence, abstraction, scales, underwater scenes, and hanging by threads.
This document lists 14 different digital print designs including graffiti plaid, sea horse batik, zebra reef, polka people, stripe dot, fish batik, color forest, clouds, stained glass, tree bark, baluga whales, and polka flower. The prints showcase a variety of patterns from animals to nature scenes to abstract designs.
This pitch presentation proposes a teen drama film about a girl who finds what seems like the perfect guy online, but starts to notice inconsistencies in his story. She discovers secrets about both him and herself, learning that he is actually someone she knows who is threatening to expose a secret of hers. The presentation provides potential film titles, taglines, and ideas for promotional materials like a teaser trailer, poster, and magazine cover targeting teenage and young adult audiences. Marketing would emphasize the film's themes of hidden identities and secrets online.
Este documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales exactos y periódicos, irracionales, y la conversión entre fracciones y decimales. También explica conceptos como intervalos, entornos, notación científica, órdenes de magnitud, potencias y raíces.
Este documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales exactos y periódicos, irracionales, y la conversión entre fracciones y decimales. También explica conceptos como intervalos, entornos, notación científica, órdenes de magnitud, potencias y raíces.
Este documento describe diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo expresar números usando notación científica y órdenes de magnitud.
Este documento presenta los números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son el conjunto de todos los números racionales y irracionales. También describe cómo representar diferentes tipos de números en la recta real, incluyendo enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos, y algunos irracionales. Finalmente, introduce conceptos como intervalos, potencias, raíces y propiedades de los radicales.
Este documento presenta los números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son el conjunto de todos los números racionales y irracionales. También describe cómo representar diferentes tipos de números en la recta real, incluyendo enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos, y algunos irracionales. Finalmente, introduce conceptos como intervalos, potencias, raíces y propiedades de los radicales.
Este documento presenta los números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) son el conjunto de todos los números racionales y irracionales. También describe cómo representar diferentes tipos de números en la recta real, incluyendo enteros, fracciones, decimales exactos y periódicos, y algunos irracionales. Finalmente, introduce conceptos como intervalos, potencias, raíces y propiedades de los radicales.
Se relaciona los elementos que conforman cada conjunto numerico desplegando y conociendo las caracteristicas de cada uno de ellos, para tener una idea mas clara de como clasificarlos segun su naturaleza. Ademas refuerza las tematicas vista en clase para no tener ninguna duda acerca de este tema.
1) El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. 2) Explica cómo los números reales llenan la recta numérica y cómo se representan en ella. 3) Define conceptos como intervalos, semirrectas, valor absoluto y logaritmos.
El documento presenta los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo clasificar los números reales y cómo representarlos en la recta numérica, incluyendo fracciones, decimales y notación científica. También define intervalos en la recta real y el valor absoluto de un número.
El documento presenta los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, irracionales y racionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar números reales en la recta numérica. También cubre aproximaciones numéricas, notación científica e intervalos. En resumen, provee una introducción completa a los números reales, sus propiedades y representaciones.
El documento presenta los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, irracionales y racionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar números reales en la recta numérica. También cubre aproximaciones numéricas, notación científica e intervalos. En resumen, provee una introducción completa a los números reales, sus propiedades y representaciones.
El documento presenta los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, irracionales y racionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar números reales en la recta numérica. También cubre aproximaciones numéricas, notación científica e intervalos. En resumen, provee una introducción completa a los números reales, sus propiedades y representaciones.
Este documento presenta un resumen de contenidos matemáticos relacionados con números reales e irracionales. Incluye definiciones de números racionales e irracionales, operaciones con números reales, expresiones decimales, raíces cuadradas y ejercicios de práctica.
Este documento presenta los contenidos y objetivos de la Unidad 1 de Matemática sobre conjuntos numéricos y funciones. La unidad cubre temas como números reales, intervalos, topología en R, clasificación de puntos, conjuntos abiertos y cerrados, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y composición de funciones. Al finalizar la unidad, los estudiantes deberán poder resolver ecuaciones e inecuaciones, clasificar puntos y conjuntos, trabajar con diferentes tipos de funciones y representarlas gráficamente.
El documento presenta los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, irracionales y racionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar números en la recta numérica. También cubre notación científica, aproximaciones, intervalos y entornos numéricos.
Este documento introduce los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Describe cómo representar diferentes tipos de números reales en la recta numérica, incluyendo enteros, fracciones periódicas y números irracionales. También define intervalos comunes como (a, b) y [a, b].
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como definición de matriz, tipos especiales de matrices como cuadradas y diagonales, operaciones con matrices como suma, diferencia, producto por un escalar y producto de matrices. También cubre relaciones entre matrices como transpuesta, inversa, ortogonal y simétrica. Finalmente, presenta propiedades de las operaciones con matrices.
Los números reales incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números racionales pueden expresarse como fracciones m/n, mientras que los irracionales tienen expansiones decimales infinitas no periódicas. Las propiedades de los números reales incluyen la conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y multiplicación, así como la existencia de elementos neutros y opuestos.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico.
LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS RACIONALES.
Los números racionales se simbolizan con la letra Q. Decimos
que x es racional si y solo si existen dos números enteros p,q
tales que x=p/q
3. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.2. Expresión decimal de los números racionales
Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al
realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos:
Números decimales exactos: cuando el número de cifras decimales es finito. Por
ejemplo: 0,5.
Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo).
Por ejemplo: 0,33333...
Números decimales periódicos mixtos: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existen algunas cifras decimales que no se repiten (parte no periódica) y
otras cifras decimales que se repiten infinitamente (parte periódica). Por ejemplo:
0,122222…
4. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y
periódicos
Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la
parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número de
cifras de D, entonces
cerosn
ED
x
001
Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras
de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número
de cifras de P, entonces
nuevesn
EEP
x
99
Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras
de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte
periódica, siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P,
entonces
cerosmnuevesn
EAEAP
x
0099
5. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.4. Densidad de los números racionales
• 1.1.5. Los números irracionales
Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número
2
qp
también es racional y está situado entre p y q. Si ahora consideramos el número
2
2
q
qp
este número estará situado entre
2
qp
y q. Repitiendo este proceso
indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.
Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos
números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad
de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.
Los números irracionales son aquellos números que no se
pueden expresar como cocientes de números enteros. La
expresión decimal de un número irracional es un número decimal
que no es exacto ni periódico, tiene infinitas cifras decimales que
no se repiten. Este conjunto se expresa mediante la letra I
6. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.6. Los números reales. La recta real
El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina
conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.
...6180339887'1
7. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. EJERCICIOS
1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:
a) 7’555555.... b) 3’034035036037... c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351
2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número
decimal:
a)
60'0
2'16'0
b)
5'1
6'03'04
c) 321'05'04'0
3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23
4. Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a) 34 b) 21
5. Calcula la fracción irreducible correspondientes a
a. 1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434…
6. Escribe dos números racionales comprendidos entre:
a. 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) -8/9 , 0
8. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos
• 1.2.1. Orden en R
• 1.2.2. Propiedades de las desigualdades de números reales
Dados dos números reales a y b, diremos que ba si y solo si en la
representación de dichos números, b queda situado a la derecha de a o bien b
coincide con a.
Dados dos números reales a y b, diremos que ba si y solo si b-a es positivo o
cero.
ba “a es mayor o igual que b” ab
ba “a es menor que b” baba ,
ba “a es mayor que b” ab
Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces se verifica que si
cbcaba .
Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real positivo
entonces si cbcaba .
Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real negativo si
cbcaba .
9. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones
• 1.2.3. Intervalos y semirrectas.
Intervalo cerrado de extremos a,b: se designa por [a,b] y esta
definido por }/{],[ bxaRxba , son los números reales
comprendidos entre a y b incluidos los extremos.
Intervalo abierto de extremos a,b: se designa por (a,b) y esta definido
por: }/{),( bxaRxba , son los números reales
comprendidos entre a y b excluyendo los extremos.
Intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) están definidos por:
}/{],( bxaRxba }/{),[ bxaRxba
Semirrectas
}/{),( axRxa }/{],( axRxa
}/{),( axRxa }/{),[ axRxa
10. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con
intervalos
• 1.2.4. Entornos
• 1.2.5. Operaciones con intervalos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por E(a,r) al
intervalo abierto (a-r,a+r).
Se llama entorno reducido de centro a y radio r, y se representa por E*(a,r)
al intervalo (a-r,a+r){a}
Dados dos intervalos 21,II se definen la operaciones unión e intersección
como:
121 /{ IxRxII ó }2Ix
121 /{ IxRxII y }2Ix
Ejemplos:
a) )7,4[)4,2(
b) )4,0(),2[
c) )7,4[)4,2( Ø
11. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.2. Ejercicios
1. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor:
a.
2
7
,
12
1
,
4
3
,
3
2
y
6
1
b. 867'1,76'1,,
y 869'1
c. 838'3,38'3,83'3,4'3
y 140'3
2. Intercalar tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:
a) 103'1,20'1
b) 203'3,20'3
.
3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido:
a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6)
c) (4,9](5,8] d) (4,9](5,8]
e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4]
g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+)
12. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.1. Potenciación de números reales. Propiedades
Sea a un número real ( Ra ) , y sea n un número entero ( Zn ) se define la potencia de
base a y exponente n como:
aaaa
vecesn
n
si n>0 y n
n
a
a
1
si n>0 .
Propiedades de las potencias:
nmmn
aaa
(producto de potencias de la misma base)
nmmn
aaa
: (cociente de potencias de la misma base)
nnn
baba )( (producto de potencias del mismo exponente)
nnn
baba ):(: (cociente de potencias del mismo exponente)
nmnm
aa
)( (potencia de una potencia)
Ejemplos: 12555553
;
27
1
3
1
3 3
3
;
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2
22
13. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.2. Raíz n-ésima de un número real
Sea a un número real, y n un número natural diremos que x es la raíz n-ésima de a y se
escribe n
ax n
xa .
A la expresión n
a se le llama radical y se puede expresar como potencia de exponente
fraccionario n
a /1
. En el caso nmn m
aa /
.
El valor numérico de un radical es el resultado de efectuar la raíz n-ésima que indica, así:
39 ya que 932
y 9)3( 2
, 3273
ya que 2733
, 3273
ya que
27)3( 3
, 56254
pues 62554
y 625)5( 4
, 32 no existe en los reales,
006
, 2 =1’414213... , 3 =1’7320..
Como podemos observar el valor numérico de un radical depende del radicando y del índice,
así:
Si a>0: si el índice n es impar el resultado es una raíz n-ésima positiva
si el índice n es par existirán dos raíces una positiva y otra negativa
Si a=0: el resultado es siempre 0
Si a<0: si el índice es impar existirá una raíz n-ésima negativa
si el índice es par no existirá ninguna raíz real.
14. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.3. Radicales equivalentes.
1.3.4. Reducción de radicales a índice común
Dos radicales diremos que son equivalentes si tienen el mismo valor numérico.
Ejemplo: Los radicales 6
27 y 3 son equivalentes pues su valor numérico es 1’73200508...
2/16/36/16
332727
pn pmn m
aa
Una utilidad de la propiedad anterior consiste en la construcción de varios radicales con el índice común. Para
ello basta considerar el m.c.m. de los índices de los radicales y aplicar la propiedad.
Por ejemplo, consideremos los siguientes radicales
4 312 53
3,2,4 ,
pmn pn m
aaaa
Esta propiedad permite comparar radicales de índices diferentes.
15. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.5. Operaciones con radicales.
Producto de radicales. Si tienen el mismo índice se cumple
n pmn pn m
baba
Cociente de radicales Si tienen el mismo índice se cumple
n pmn pn m
baba ::
Potencia de radicales n mm
n
aa
Esta propiedad sólo es válida cuando existen los radicales n
a y n m
a . Ejemplo: 6
6
)3(3 ya que
3 no existe.
Raíz m-ésima de un radical
nm pm n p
aa
Extracción e introducción de factores de un radical.
n prn prn
aaa
Suma y diferencia de radicales. Solamente podemos sumar o restar dos radicales si estos son
semejantes, por ejemplo: 25272523 .
Puede ocurrir que inicialmente los radicales no sean semejantes, pero extrayendo o introduciendo factores
se pueden convertir en semejantes y podemos realizar la operación.
Por ejemplo: 3218728
16. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales
• 1.3.6. Simplificación de radicales.
• 1.3.7. Racionalización de denominadores.
Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente que tenga el índice menor,
y extraer de la raíz todos los factores posibles.
Por ejemplo, simplificar el radical
4
64 .
El procedimiento por el cual transformamos una expresión algebraica que contiene
radicales en el denominador en otra expresión algebraica equivalente sin radicales en el
denominador se denomina racionalización de denominadores.
Para racionalizar utilizamos varios procedimientos:
a) Cuando en el denominador hay un único sumando que contiene un radical de índice 2 del
tipo a . Entonces multiplicamos numerador y denominador por a .
Por ejemplo:
2
63
22
233
2
33
.
b) Cuando en el denominador aparece un único sumando que contiene un radical del tipo m p
a
con p<m. En ese caso multiplicamos numerador y denominador por el radical m q
a donde p+q=m.
Con esto conseguimos hacer desaparecer el radical del denominador.
17. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.3. Potencias y Radicales. EJERCICIOS.
1. Realizar las siguientes operaciones con potencias:
a)
23344
)8/3(34:53(
b) 41
3
3
543
zy
y
zx
zyx
2. Ordenar de mayor a menor los siguientes radicales:
a) 8
16 , 125 , 4
49 b) 43
16,345,34
3. Efectua y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:
a)
5
5
55 b)
3
4
3 5
15
32
c) 3
35
35
d) 24152943150216 e)
4
652
55
3553
4. Racionaliza los denominadores de:
a)
75
75
b)
532
735
c) 3
5
492
57
5. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 4 2
3
5
1254
a
a
b) 4 333 yxyxx c) 44 84 5
223 ayayay
18. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.4. Logaritmos
• 1.4.1. Concepto de logaritmo
• 1.4.2. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos
Sea a>0 y 1a y consideremos 0y . El logaritmo en base a de y es el exponente al
que debemos elevar a para obtener y. Se representa mediante yalog :
yaxy x
a log
OBSERVACION
Para obtener yalog es necesario que y sea positivo, pues toda potencias 0x
a , es decir,
no es posible calcular )7(log2 pues no existe ningún número real que verifique que
72 x
Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y se escriben sin indicar en
el subíndice la base.
Así por ejemplo, 5log5log 10 ..
De la misma forma los logaritmos con base el número e, se denominan logaritmos
neperianos en honor a John Neper y se escribe mediante la abreviatura ln .
Así por ejemplo 5log5ln e
19. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.4. Logaritmos
• 1.4.3. Propiedades de los logaritmos.
1. 01log a para cualquier a>0, 1a
2. 1log aa para cualquier a>0, 1a
3. NMNM aaa loglog)(log .
4. NMNM aaa loglog)/(log
5. MNM a
N
a log)(log
6. CAMBIO DE BASE:
a
M
M
b
b
a
log
log
log
Ejemplos: 1)
3
7
3
53 49log25/1log27log
2) Utiliza la calculadora para obtener el valor de >: a) 24log3 b) 121log3
20. CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.4. EJERCICIOS: Logaritmos
1. Calcular por definición, sin el uso de la calculadora:
a) 01'0log b)
1000
1
log c) )100log(
d) 27log3 e) 625log5 f) 32log 2/1 g) 50/2log 2'0
2. Sabiendo que 25'0)ln( x , 15'0ln y y 30'210ln , utiliza las propiedades de los logaritmos y la definición
para obtener el resultado de:
y
x
x
x
xy e
ln
1'0
log 3
3. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener:
a)
5
625
log
3
27
log256log 53 23
3
2 b) 357 2
10
001'0
log
225
1
log
1
ln
e
c) )5ln(2
16
8
log636log 7
62
5
6 e d)
001'0
10
log
ln
5
3
e
e
4. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de:
a) 72log5 b) 745log6 c) 17log2