Números reales, conjuntos, inecuaciones de primer y segundo grado, inecuaciones racionales y valor absoluto.

1. NÚMEROS
REALES

2. CONJUNTOS
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos,
ciertas relaciones.
Operaciones entre conjuntos
Al considerar dos conjuntos A y B son diversas las operaciones que se pueden definir sobre
ellos dos. Sin embargo, todas tienen la misma base en las operaciones siguientes.
 Unión de conjuntos.
Dados dos conjuntos A y B, definiremos la Unión de estos dos conjuntos como un
nuevo conjunto que contiene todos los elementos de A junto con todos los elementos de B
y la denotaremos por A ∪ B. Ejemplo:
La unión del conjunto {3,4,5,6,7,8} con el conjunto {5,6,7,8,9,10,11} es el conjunto
{3,4,5,6,7,8,9,10,11}, es decir:
{3,4,5,6,7,8} ∪ {5,6,7,8,9,10,11} = {3,4,5,6,7,8,9,10,11}

3. Intersección de conjuntos.
Si consideramos nuevamente dos conjuntos A y B, definiremos la intersección entre dos
conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en a y que
están en b al mismo tiempo, y lo denotaremos por a ∩ b.
Ejemplo de intersección de conjuntos.
La intersección del conjunto {1,2,3,4,5,6} con el conjunto {5,6,7,8,9,10} es el conjunto
{5,6}, es decir,
{1,2,3,4,5,6} ∩ {5,6,7,8,9,10} = {5,6}
 Complemento de un conjunto.
El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos
los elementos que no están en el conjunto original.
Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen
a A.
 Ejemplos de complemento de un conjunto.
El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando
de personas).
Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3,
4, 9, 11, 12, ...}

4. NÚMEROS REALES
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica
o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000…
b) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,333333333333…
c) 0,21201918171615141312… es un número real.
d) Π es también un número real.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de números reales se define como la unión de dos tipos de números: Los números
racionales y los números irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
 Números naturales (N), los que usamos para contar (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…)
 Números enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)
 Números fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de 2 números
enteros, es decir son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
 Números algebraicos, son los que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se
representan por un número finito de radicales libres o anidados, por ejemplo √3.
 Números trascendentales, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres;
provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

5. INECUACIONES Y DESIGUALDADES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos:
< menor que 2x – 1 < 7; ≤ menor o igual que 2x – 1 ≤ 7;
> mayor que 2x – 1 > 7; ≥ mayor o igual que 2x – 1 ≥ 7
 Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
Ejemplo:
3x + 4 < 5 3x + 4 – 4 < 5 – 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 : 2 < 6 : 2x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
-x < 5 (-x) ∙ (-1) > 5 ∙ (-1) x > -5

6.  Inecuaciones de primer grado con incógnita.
2 - (-2x - 2 -
𝑥−3
2
) ≤
2𝑥
3
-
5𝑥−3
12
+ 3x
2 + 2x + 2 +
𝑥−3
2
≤
2𝑥
3
-
5𝑥−3
12
+ 3x
24 + 24x + 24 + 6x ∙ (x-3) ≤ 8x - (5x – 3) + 36x
24x + 6x – 8x + 5x – 36 x ≤ 3 – 24 – 24 + 18
-9x ≤ -27
9x ≥ 27 [3, + ∞)
X ≥3

7. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
X² - 6X + 8 > 0 X=
6 ± 36−32
2
=
6±2
2
= X² - 6X + 8 = 0
X₁ =
8
2
= 4
X₂ =
4
2
= 2
P(0)= 0² - 6 ∙ 0 + 8 > 0
P(3)= 3² - 6 ∙ 3 + 8 = 17 – 18 < 0
P(5)= 5² - 6 ∙ 5 + 8 = 33 – 30 > 0
LA SOLUCIÓN ESTA COMPUESTA POR EL O LOS INTERVALOS QUE TENGAN EL MISMO SIGNO QUE EL
POLINOMIO
S= (-∞, 2) ∪ (4, ∞)
X² + 2X + 1 ≥ 0 X =
−2± 22−4
2
=
−2±0
2
= -1
X² + 2X + 1 = 0 (X+1)² ≥ 0
COMO UN NÚMERO ELEVADO AL CUADRADO ES SIEMPRE POSITIVO LA SOLUCIÓN ES ℝ

8. Inecuaciones racionales
Se resuelven de un modo similar a las ecuaciones de segundo grado, pero hay que
tener presente que el denominador no puede ser 0.
x−2
x−4
≥ 0
Hallamos las raíces del numerador y del denominador
x – 2 = 0 x = 2
x – 4 = 0 x = 4
Representamos estos valores en la recta real
x−2
x−4
≥ 0 x ≠ 0
 x = 0
0 −2
0 −4
> 0 x = 3
3 − 2
3 − 4
< 0 x = 5
5 −2
5 −4
> 0

9. Continuación
La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que la
fracción polinómica.
S = (-∞, 2⦌ ∪ (4 , ∞)
𝑥+3
𝑥 −2
< 2
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador
𝑥+3
𝑥 −2
-2 < 0
𝑥+3 −2 (𝑥 −2)
𝑥−2
< 0
−𝑥+7
𝑥 −2
< 0
Hallamos las raíces del numerador y del denominador
-x + 7 = 0 x = 7 x – 2 = 0 x = 2
Evaluamos el signo
x = 0
0+7
0 −2
< 0 x = 3
3+7
3 −2
> 0 x =8
−8+7
8+2
< 0
s = (-∞, 2) ∪ (7 , ∞)

10. Se le denomina así, al valor que tiene un número más allá de su signo. El valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
Este se escribe entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
El valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo. Así: |a| = (-a si a < 0) |a| = ( a si
a ≥ 0)
VALOR ABSOLUTO

11. Desigualdades de valor absoluto (<)
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {|-4 < x < 4}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto (<) hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
 La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
 En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > -
b .

12. Desigualdades de valor absoluto (>)
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < - 4 ó x > 4. El conjunto solución es {x | x < - 4 ó x > 4}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto(>) , hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b, entonces a > b O a < - b .