Este documento presenta información sobre conjuntos numéricos y sus propiedades. En menos de 3 oraciones: El documento define los principales conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y explica sus relaciones. Luego describe propiedades básicas de los números reales como conmutatividad, asociatividad e identidad para las operaciones de suma y multiplicación. Finalmente, introduce conceptos como uniones, intersecciones, diferencias y complementos de conjuntos.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
PNF Administración de empresas
Matemáticas
PARTICIPANTES:
Morales Valentina
C.I: 29831277
Sección: 0106

2. La palabra CONJUNTO nos remite,
intuitivamente a una agrupación o
colección de objetos que reciben el
nombre de elementos. Esta idea nos
sirve para introducirnos en el concepto
de conjuntos que, en Matemática es un
término primitivo. Es decir no lo
definimos, no contestamos a la
pregunta ¿qué es? Los conjuntos se
designan con letras mayúsculas
imprenta: A, B , C, ... y los elementos
con letras minúsculas imprenta: a, b, c,
d.... Si a es un elemento del conjunto
A, dicho elemento pertenece al
conjunto y escribimos a ∈ A. En caso
contrario, si ano es un elemento de A
se simboliza a A.

3. Los conjuntos numéricos permiten
representar diversas situaciones
del entorno, tales como: la cantidad
de elementos que tiene un conjunto
(los naturales), las partes de una
unidad (los racionales), la medida
de la diagonal de un cuadrado de
lado 1 (los irracionales) o diversas
cantidades o entes físicos que
están compuestos por una parte
real y otra imaginaria (los
complejos).
Los conjuntos numéricos utilizados
en las matemáticas básicas son:
Naturales (N), enteros (Z),
racionales(Q), irracionales (I), reales
(R) y complejos (C). Son utilizados
en diversas situaciones, por todas
las ramas del conocimiento.
Podemos recordarlo utilizando el
siguiente diagrama.

4. Si unimos al conjunto de los números racionales el
de los números irracionales obtendremos el
conjunto de los números reales, al que
simbolizaremos con R.
-Todo número natural es un número real.
 - Todo número entero es un número real.
Todo número racional es un número real.
-Todo número irracional es un número real.

5. Propiedades de los números reales
1)Propiedad conmutativa
Operación: Suma y multiplicación
Definición: a + b = b + a y a.b = b.a
2)Propiedad asociativa:
Operación: Suma y multiplicación.
Definición: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b
. c) = (a.b)c
3) Propiedad identidad:
Operación: Suma y multiplicación
Definición: a + 0= a y a.(1) = a
4)Propiedad Inversa
Operación: Suma y multiplicación
Definición: a + (-a) = 0 y (a)(1/a) =
1
5) Propiedad Distributiva
Operación: Suma con respecto a
la multiplicación
Definición: a(b + c) = ab + ac

6. 1)Propiedad reflexiva
Definición: Toda cantidad o expresión
es igual a sí misma. x = x
2) Propiedad simétrica
Definición: Se puede cambiar el orden
de los miembros sin que la igualdad se
altere. a +b = c, entonces c = a +b
3)Propiedad transitiva
Definición: Enuncia que dos
igualdades tienen un miembro en
común los otros dos miembros también
son iguales Si x + y = z y p + q = z
entonces x + y = p + q
4) Propiedad uniforme
Definición: Si se aumenta
o disminuye la misma
cantidad en ambos
miembros, la igualdad se
conserva a = b, entonces a
+ x = b + x
5)Propiedad
cancelativa
Definición: En una igualdad
se pueden suprimir dos
elementos iguales en
ambos miembros y a
igualdad no se altera. a + b
= c + d, entonces a = c

7. ✘ Unión
Nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan
Dados dos conjuntos A y B, la unión A
y B es; A∪B = {x ∈ U| x ∈ A ó x ∈ B}
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
Solución : A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
✘ Intersección:
Nos permite formar un conjunto, sólo
con los elementos comunes
involucrados en la operación. Dados
dos conjuntos A y B, la intersección de
A y B es; A ∩B = {x ∈ U| x ∈ A y x ∈ B}
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
Solución: A ∩B={4,5} 11 1 2 3 4 6 7 5
8 9 1 2 3 4 6 7 5 8 9

8. ✘ Diferencia:
Si A y B son dos conjuntos, se define
la diferencia de A y B, que se simboliza
A -B al conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto
A que no pertenecen al conjunto B.
Simbólicamente: A - B = {x / x ∈ A y x
B}
Gráficamente:
✘ Complemento
Si U es el conjunto universal que
contiene al conjunto A, se llama
complemento de A y se simboliza
A, al conjunto formado por todos
los elementos del universo que no
pertenecen al conjunto A.
Simbólicamente: A = {x ∈ U/ x ∈ A}
Gráficamente

9. Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
estos son distintos. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
Propiedades de las desigualdades:
1. 1- Si a y b son números reales, sucede una y solo una de las siguientes
relaciones.
• a = b
• a < b
• a > b
2- (Propiedad transitiva) :
Si a<b y b<c entonces a<c
3- Si a < b y c ∈ R,
entonces a + c < b + c
. 4- Si a<b, y c>0 entonces ac < cb
. 5- Si a<b , y c>0 entonces ac > bc

10. Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos
los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera
de sus elementos. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos
o semiabiertos.
•Intervalos abiertos: un intervalo es abierto cuando no incluye sus
extremo. Por ejemplo (a,b) es un intervalo abierto ya que a y b no
pertenecen al intervalo.
(a,b) = {x / x ∈ R ^ a < x < b}
• Intervalos cerrados: un intervalo es cerrado cuando incluye a sus
extremos. Por ejemplo [a,b] es un intervalo cerrado ya que a y b
pertenecen al intervalo.
[a,b] = {x / x ∈ R ^a ≤ x ≤ b}

11. •Intervalos semiabierto a izquierda (o
semicerrado a derecha) : Es el conjunto
de números reales formado por b y los
números comprendidos entre a y b.
(a,b] = {x / x ∈ R ^ a < x ≤ b}
• Intervalos semiabierto a derecha (o
semicerrado a izquierda): Es el conjunto
de números reales formado por a y los
números comprendidos entre a y b.
[a,b) = {x / x ∈ R ^ a ≤ x < b}
• Intervalos infinitos:
(-∞, +∞)={x/ x ∈ R }

12. Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que se
relacionan letras y números. Las letras se llaman incógnitas, las
cuales aparecen una o más incógnitas en los miembros de la
desigualdad.
Inecuación de primer grado o lineal Las inecuaciones de primer
grado en una inecuación, son de la forma:
ax + b > , < , ≥ , ≤ 0 , a≠0
Para resolver este tipo de inecuaciones se debe considerar a>0, es
decir, si a>0, entonces:
x > -b/a ó x < - b/a
Su representación gráfica es:
Luego la solución está dada en la forma
x ∈ ( -b/a, +∞) ò x ∈ (-∞, -b/a)

13. 1- Resuelva la desigualdad 2 + x < 9x +6 y dibuje
la grafica de la solución.
Solución:
2 + x < 9x +6
-2 +2 + x < 9x + 6 -2 (Restamos 2 a ambos lados)
x < 9x +4 (Restamos 9x a ambos lados)
-9x + x < 9x – 9x + 4
-8x < 4 (Multiplicamos por 1/8 a ambos lados)
(1/8)(-8x) < 4(1/8)
-x < 4/8 (Multiplicamos por -1 a ambos lados)
(-1)(-x) < (4/8)(-1)
x > -4/8
x > -1/2
La solución de la desigualdad es el intervalo
(-1/2 , +∞)
La representación grafica de la solución es :
2- Resuelva la desigualdad 3x + 5 ≤ -
7x + 25 y dibuje la grafica de la
solución.
Solución:
3x + 5 ≤ -7x + 25
7x + 3x + 5 ≤ -7x + 7x + 25 (Sumamos
7x a ambos lados)
10x + 5 ≤ 25 (Restamos 9x a ambos
lados)
10x +5 -5 ≤ 25 -5 (Sumamos -5 a
ambos lados)
10x ≤ 20 (1/10)10x ≤ 20(1/10)
(Multiplicamos (1/10 a ambos lados)
X ≤ 2
La solución de la desigualdad es el
intervalo (-∞,2 ]
La representación grafica de la
solución es

14. Inecuación de segundo grado o
cuadrática. Las inecuaciones de segundo
grado en una inecuación, son de la forma:
ax2 + bx +c>,<≥,≤o, a≠0
Donde a,b,c ∈ R, siendo a≠0, la solución de
estas ecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales o
también por medio de la naturaleza de las
raíces del trinomio: ax2 + bx+c
a) Carácter de las raíces del trinomio de
segundo grado
ax2 + bx+c =0, con a>0
Al analizar el valor del discriminante de la
ecuación dando valores reales a “x” se
representa tres casos:
I. Caso: Si Δ=b.b - 4ac>0,
entonces hay dos valores
diferentes r1, r2 que anulan el
trinomio ax2 + bx+c=0
II.Caso: Si Δ= b.b - 4ac=0,
entonces hay un solo valor
real r1=r2, que anulan el
trinomio ax2 + bx+c=0
III.Caso: Si Δ= b.b - 4ac<0,
entonces se tiene dos valores
no reales r1=∞-βi que anulan
el trinomio ax2 + bx+c=0

15. Resuelva la desigualdad x^2 - x < 6
Solución:
x^2 - x < 6
x^2 - x – 6 < 0 (Sumamos -6 a ambos lados)
(x-3)(x+2) < 0 (factorizamos)
Luego los factores que hacen cero la inecuación son:
X – 3 = 0 y x +2 = 0
X = 3 y x = -2
Estos intervalos son (- ∞, -2) (-2,3)(3, + ∞). Buscamos los signos en cada
intervalo tomando valores de prueba, los cuales serán, -4,0,5.
En x = -4 tenemos (-4-3)(-4+2)=14
En x = 0 tenemos (0-3)(0+2) = -6
En x = 5 tenemos (5-3)(5+2) = 14
Concluimos que (x-3)(x+2) < 0 se cumple en un solo intervalo, el cual es
(-2,3)
La representación grafica es:
x ∈ (-2,3)

16. El valor absoluto de un numero
real x lo denotamos por |x| y lo
definiremos de la siguiente
manera:
Observa que |x| siempre es un
número real positivo o cero,
además -|x| < x < |x|
Ejemplo
•|-3| = - (-3) = 3
• |3| = 3
Propiedades del valor absoluto
Sean a y b dos números reales,
entonces.
1.
2.
3.
4.

17. 1. Resolver |5x – 2| < 5
Solución:
Utilizando las propiedades del valor
absoluto tenemos, por ser 5 un
numero positivo
-5< 5x -2 < 5
-5+2 < 5x -2 +2 < 5 +2
-3 < 5x < 7
(1/5)(-3) < 5x (1/5) < 7(1/5)
-3/5 < x < 7/5
Es decir, x ∈ (-3/5,7/5)
2.Resolver |6x -5|> 4x+7
Solución:
Utilizando las propiedades del valor
absoluto tenemos dos desigualdades:
Así , x es solución si satisface que x > 6
y x <-1/5, es decir
x ∈(-∞,-1/5)u(6, +∞).

18. |x - 7| < 3:
Resolver la siguiente desigualdad: