Este documento define y clasifica los números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades básicas de la suma, resta, multiplicación y división de números reales. También cubre conceptos como valor absoluto, desigualdades y cómo representar funciones de valor absoluto en un plano cartesiano. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos matemáticos.

1. REPÚBLICA BOLVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE LARA “ANDRES ELOY
BLANCO”
BARQUISMETO – EDO LARA
NÚMEROS REALES
INTEGRANTE:
LUISA UTRERA
CI: 26.580.462
SECCIÓN: HSL 0153

2. NUMEROS REALES
DEFINICION DE CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales se representan mediante la letra R
los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir,
no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los
números reales.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
 Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños.
Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo
contrario (cero neutral).
Expresión:

3. Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que
usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo
mismo para los números naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
1,2,3,4…
 Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los
números negativos.
Expresión:
Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números
que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A
diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
…-3,-2,-1,0,1,2,3…
 Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.

4. Expresión:
Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo
fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número
entero o un número decimal finito o semi-periódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
 Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son
todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que
también pertenecen a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.

5. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
En los números reales existen dos operaciones básicas: la suma y la multiplicación. De
ellas se extiende la resta y división como operaciones opuestas de la suma y la
multiplicación respectivamente.
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA: el orden de los sumandos no altera
el producto. Ejemplo:
 a+b=b+a
 2+3=3+2=5
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA: dados tres o más sumandos, se pueden
agrupar de cualquier forma sin que se altere el resultado. Ejemplo:
a+b+c= a+b+c= a+(b+c)
2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: el orden de los
factores no altera el producto. Ejemplo:
a*b=b*a
2*3=3*2=6
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN: dados tres o más
factores, se pueden agrupar de cualquier forma sin que se altere el resultado. Ejemplo:
a*b*c=a*b*c=a*(b*c)
2*3*6=2*3*6=2*3*6=36

6. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: es una propiedad derivada de la suma y la
multiplicación. Dados tres números a, b y c el producto de a por la suma b con c es igual
a la suma de los productos ab y ac. Ejemplo:
a*(b+c)=a*b+a*c
2*(3+6)=2*3+2*6=18
ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN:
 El elemento neutro de la suma, es aquel número que sumado con otro da como
resultado al segundo número. En la suma es el cero. Ejemplo:
 a+Ns=a∣Ns=0
 2+0=2
 El elemento neutro del producto, es aquel número que multiplicado con otro da
como resultado al segundo número. En la multiplicación es el uno. Ejemplo:
a*N_{m}=a | N_{m}=1a∗Nm=a∣Nm=1
2*1=2
DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b

7. Estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor
que".
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno
es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del
signo que le preceda. El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que
resulta de eliminar el signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto
de x:
|x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el
valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo
negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor
absoluto siempre es positivo.

8. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
 El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor
de -19 y 19 es el mismo: 19.
 El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los
valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y| ≤ |x|+|y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
 Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos
indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|xy|=|x|.|y|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
|3×4|=|3|x|4|
|12|=3×4
12=12

9. |6x-5|=|6|x|-5|
|-30|=6×5
30=30
 Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de
la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al cociente
de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que
el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que:
|x/y|=|x|/|y|
Podemos verlo en algunos ejemplos:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
VALOR ABSOLUTO EN UNA GRÁFICA
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano
cartesiano.
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y siempre
será positivo, independientemente del valor de x.

10. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | un | < b , entonces

11. a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x -7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

12. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | un | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Resto 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

13. EJERCICIO PROPUESTO PARA RESOLVER
Resuelva y grafique.
| x -5| < 4

14. BIBLIOGRAFIA
 https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
 https://unibetas.com/numeros-
reales/#:~:text=En%20los%20n%C3%BAmeros%20reales%20existen,suma%20y%20la%
20multiplicaci%C3%B3n%20respectivamente.
 https://www.mineduc.gob.gt/DIGECADE/documents/Telesecundaria/Recursos%20Digi
tales/3o%20Recursos%20Digitales%20TS%20BY-
SA%203.0/MATEMATICA/U9%20pp%20204%20desigualdades.pdf
 https://economipedia.com/definiciones/valor-absoluto.html
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-
value-inequalities