Este documento describe los conjuntos matemáticos y sus propiedades. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten una propiedad. Define los subconjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe propiedades básicas como la suma, multiplicación, elemento neutro y distributiva.

1. Math Work

3. Es una colección de elementos considerada en sí misma como un
objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes:
personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un
elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como
incluido de algún modo dentro de él.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los
números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Se encuentra compuesto por 4 sub conjuntos numéricos
enumerados a continuación:
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números irracionales
Vamos a ver conocer cada uno de ellos.

4. En los números reales existen dos operaciones básicas:
la suma y la multiplicación. De ellas se extiende la resta
y división como operaciones opuestas de la suma y la
multiplicación respectivamente.
Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los
sumandos no altera el producto. Ejemplo:
a+b=b+a
2+3=3+2=5
Propiedad asociativa de la suma: dados tres o más
sumandos, se pueden agrupar de cualquier forma sin
que se altere el resultado. Ejemplo:
a+b+c=a+b+c=a+(b+c)
2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1
Propiedad conmutativa de la multiplicación: el orden de
los factores no altera el producto. Ejemplo:
a*b=b*a
2*3=3*2=6
Propiedad asociativa de la multiplicación: dados tres o
más factores, se pueden agrupar de cualquier forma sin
que se altere el resultado. Ejemplo:
a*b*c=a*b*c=a*(b*c)
2*3*6=2*3*6=2*3*6=36

5. Elemento neutro de la suma y la multiplicación:
El elemento neutro de la suma, es aquel número que
sumado con otro da como resultado al segundo
número. En la suma es el cero. Ejemplo:
a + Ns = a∣Ns =0
2+0=2
El elemento neutro del producto: es aquel número
que multiplicado con otro da como resultado al segundo
número. En la multiplicación es el uno. Ejemplo:
a∗Nm =a∣Nm =1
2*1=2
Propiedad distributiva: es una propiedad derivada
de la suma y la multiplicación. Dados tres números a,
b y c el producto de a por la suma b con c es igual a la
suma de los productos ab y ac. Ejemplo:
a*(b+c)=a*b+a*c
2*(3+6)=2*3+2*6=18

6. El conjunto de los números reales (denotado por
R) incluye tanto los números racionales (positivos,
negativos y el cero) como los números
irracionales; y en otro enfoque, a los
trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales
y los trascendentes​ no se pueden expresar
mediante una fracción de dos enteros con
denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como 5, π, o el
número real log(2), cuya trascendencia fue
enunciada por Euler en el siglo xviii.2
Los números reales pueden ser descritos y
construidos de varias formas, algunas simples,
aunque carentes del rigor necesario para los
propósitos formales de las matemáticas, y otras
más complejas, pero con el rigor necesario para el
trabajo matemático formal.
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año
1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por
Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.

7. Una desigualdad es una relación de orden
que se da entre dos valores cuando éstos
son distintos (en caso de ser iguales, lo que
se tiene es una igualdad). Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados.
Para resolver una inecuación se utilizan las
propiedades de las desigualdades y de los
números reales que conducen a una
desigualdad equivalente. Esto significa que la
nueva desigualdad tiene el mismo conjunto
de soluciones que la dada. Todos los
números que satisfacen la desigualdad
constituyen el conjunto solución.

8. Es el valor de x sin considerar el signo, sea este
positivo o negativo​ Por ejemplo, el valor absoluto
de 3 es 3 y el valor absoluto de −3 es 3. Algunos
autores extienden la noción de valor absoluto a
los números complejos, donde el valor absoluto
coincide con el módulo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de
valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Números reales.
Para cualquier número real x, el valor absoluto o
módulo de x se denota por |x| y se define como:
El valor absoluto de x es siempre un número
positivo o cero pero nunca negativo: cuando x es
un número negativo (x<0) entonces su valor
absoluto es necesariamente positivo (|x|=-x>0).
Desde un punto de vista geométrico, el valor
absoluto de un número real puede verse como la
distancia que existe entre ese número y el cero.
De manera general, el valor absoluto de la
diferencia entre dos números es la distancia entre
ellos.

9. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (>)
La desigualdad significa que la distancia entre X y 0 es mayor que 4
Así, o El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si entonces o
Ejemplo.
Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
Por lo que el conjunto solución es:

10. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre X y 0 es menor que 4
Así, y El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b si entonces y
Ejemplo.
Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
Por lo que el conjunto solución es el intervalo