Este documento presenta el uso del método numérico ode45 en MATLAB para resolver problemas de valor inicial (PVI) de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Explica la sintaxis básica de ode45, resuelve varios ejemplos numéricamente y muestra cómo se pueden modificar parámetros como el intervalo de tiempo o la función asociada. También discute problemas numéricos como la rigidez y cómo abordarlos proporcionando el jacobiano.

1. AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (2o Ing. de Telecomunicación y Aeronáutica)
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla
CURSO ACADÉMICO 2008-2009
Práctica II: Problemas de valor inicial en EDO’s.
1 Introducción
Es sabido que sólo en unos cuantos casos se puede expresar la solución de una ecuación
diferencial ordinaria por medios analíticos y que, en general, es imposible resolver el pro-
blema de Cauchy aun cuando se sepa que tiene solución única, por lo que es necesario
desarrollar métodos que permitan obtener aproximaciones precisas de esa solución. En
esta práctica, utilizaremos un método numérico para resolver problemas de valores ini-
ciales.
Se llama problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy en un intervalo [t0 , tf ],
al dado por una EDO y una condición inicial en la forma:
( 0
y = f(t, y(t)),
(P V I)
y(t0 ) = y0 .
En general, los métodos numéricos se basan en la discretización de la variable inde-
pendiente t (tiempo o espacio) sustituyendo el intervalo [t0 , tf ] por una malla finita de
n + 1 puntos o nodos ti (i = 1, . . . , N) en los que se obtiene la solución de modo aproxi-
mado. La distancia entre dos nodos consecutivos de la malla hi = ti+1 − ti se denomina
paso. El objetivo es definir una estrategia que nos permita producir una sucesión {yn }
con n = 1, . . . , N que aproxime a la solución exacta y(t) en los puntos tn de la malla. A
esa sucesión se le llama solución numérica del problema de Cauchy.
MATLAB dispone de varias funciones para resolver numéricamente Problemas de
Valor Inicial. En esta práctica, nos centramos en la orden ode45, aunque su utilización se
generaliza a las funciones de tipo ode**. La función ode45 está basada en un algoritmo
de tipo Runge-Kutta, que se desarrolló a partir del método de Euler mejorado. En las
aplicaciones, el método de Euler básico resulta ineficiente y por ello se han desarrollado
varios método numéricos de tipo Runge-Kutta.
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2. 2 Uso de la función matlab ode45.
2.1 La sintaxis simple.
[T,Y]=ode45(funcion, tiempos ,y0)
funcion es el nombre de una función que evalúa el segundo miembro de la ecuación,
esto es, f (t, y(t)). Puede ser un objeto inline o bien una referencia a una m-función del
tipo fun.m.
tiempos es el intervalo en el que se quiere calcular la solución que puede ser [t0, tf] o
bien un vector cuyas componentes constituyen una partición t0 < t1 < · · · < tf .
y0 es el valor de la condición inicial.
T es un vector columna con la partición realizada en el intervalo [t0, tf].
Y es una matriz con tantas columnas como componentes tenga y0 y tantas filas como
componentes tenga el vector T .
Ejercicio 1 resuelto. Calcular en el intervalo [1, π] la solución de
( 0
y = 2t + y,
(P V I)
y(1) = 0.5.
>> f=inline(’2*t+y’,’t’,’y’);
>> [T,Y]=ode45(f,[1,pi],0.5);
La gráfica se puede dibujar con
>> plot(T,Y)
En este ejemplo puede observarse que los métodos ode** son de paso variable. Para
observar esto, consulta la ayuda de matlab sobre la función diff y teclea
>> plot(T(2:length(T)),diff(T))
Otra forma de definir la función asociada es usar un m-archivo llamado mifun.m de la
forma:
function [dydt]=mifun(t,y)
dydt=2*t+y;
Después se ejecuta:
>> [T,Y]=ode45(@mifun,[1,pi],0.5);
• Con el símbolo @, MATLAB entiende que es una función de nueva creación.
• Hay otra forma alternativa de llamar a una función con ode45:
>> [T,Y]=ode45(’mifun’,[1,pi],0.5);
Para usar esta alternativa, la función mifun debe estar grabada en otro fichero llamado
mifun.m.
t
Ejercicio 2. Calcular la solución al PVI correspondiente a y 0 = 0.2 cos( 2 )y, y(1) = 0.5
usando una partición del intervalo [1, π] en 40 subintervalos (usar la orden linspace de
MATLAB).
• Hacemos notar que la resolución de sistemas diferenciales con MATLAB se hace igual
que la de EDO sólo teniendo en cuenta que, en ese caso, la función del segundo miembro y
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3. la condición inicial toman valores vectoriales. Todos los vectores deben introducirse como
vectores columnas.
Ejercicio 3 resuelto. Resolver en el intervalo [0, 5π] el PVI
⎧ 0
⎪ y1 = y2 y3 ,
⎪ 0
⎪
⎪ y2 = −0.7y1 y3 ,
⎪
⎪ 0
⎨
y3 = −0.51y1 y2 ,
⎪ y1 (0) = 0,
⎪
⎪
⎪ y2 (0) = 1,
⎪
⎪
⎩
y3 (0) = 1.
Escribimos el sistema en forma vectorial como
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
y2 y3 0
0
Y = f (t, Y ) = ⎝ −0.7y1 y3 ⎠ ; Y (0) = Y0 = ⎝ 1 ⎠ .
−0.51y1 y2 1
>> f=inline(’[y(2)*y(3);-0.7*y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)]’, ’t’,’y’);
>> [T,Y]=ode45(f,[0,5*pi],[0;1;1])
Ejercicio 4 resuelto. Resolución de un problema con la ecuación de Van der Pol de
parámetro μ = 1 en el intervalo [0, 20]:
⎧
⎪ y 00 − (1 − y 2 )y 0 + y = 0,
⎨
(P V I)
⎪ y(0) = 2,
⎩ y 0 (0) = 0.
Usando el cambio y1 = y; y2 = y 0 , el sistema diferencial asociado es:
µ ¶ µ ¶
0 y2 2
Y = f(t, Y ) = 2 ; Y (0) = Y0 = .
(1 − y1 )y2 − y1 0
Construimos la función de Matlab que evalúe el segundo miembro (función asociada):
function dydt=vderp(t,y)
dydt = [y(2);(1-y(1)^2)* y(2)-y(1)];
Observe que:
• en la definición de la funcion vderp ha de escribirse la variable independiente t.
• la matriz dydt debe ser escrita por columnas.
Si queremos integrar numéricamente el problema de Cauchy y obtener una repre-
sentación gráfica de las dos componentes de la solución al sistema, escribimos:
>> [T,Y]=ode45(@vderp,[0,20],[2;0]);
>> plot(T,Y(:,1), T,Y(:,2));
Posteriormente podemos escribir lo siguiente para clarificar el dibujo.
>> legend(’y_1’, ’y_2’);xlabel(’t’);ylabel(’y_1, y_2’)
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4. • Observar que la primera componente y1 es realmente la solución al problema de Van
der Pol.
Si queremos representar una curva en el plano de fases:
>> plot(Y(:,1),Y(:,2))
Si queremos conocer el valor aproximado de la solución para un valor t que no está en
la partición T creada por el programa, podemos interpolar con la orden deval:
>> sol=ode45(@vderp,[0 20],[2 0]);
>> valor=deval(sol,4.5)
valor =
-1.3679
0.8764
Ejercicio 5. Resolver en el intervalo [0, 5] el siguiente problema de segundo orden y
obtener una aproximación de la solución para t = 2:
⎧ 00 1
⎪ y = y0 − sen(y),
⎨
(P V I)
⎪ y(0) = 1,
⎩ 0
y (0) = 1.
2.2 La sintaxis general: opciones y parámetros.
[T,Y]=ode45(funcion, tiempos ,y0, options, p1,p2, ... )
El argumento options es una estructura creada con la orden odeset donde podemos
indicar una serie de parámetros que intervienen en el cálculo. Podemos averiguar los
valores que utiliza por defecto la orden ode45 ejecutando el comando odeset sin argu-
mentos:
>> odeset
Ver ayuda de Matlab para más detalles. Si no se necesita, poner una matriz vacía [ ]
en su lugar.
Los argumentos p1, p2, ... son parámetros que serán pasados como argumentos a la
función creada fun.m cuando sea llamada.
Ejercicio 6 resuelto. Escribir un programa que permita resolver el siguiente problema
de Cauchy para la ecuación de Van der Pol general:
⎧ 00
⎨ y − μ(1 − y 2 )y 0 + y = 0,
(P V I) y(0) = 0,
⎩ 0
y (0) = 2.
Previamente, creamos la función asociada en un m-fichero que se llame fun.m:
function dydt=fun(t,y,mu)
dydt = [y(2);mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
En otro m-fichero escribimos las órdenes:
function vanderpol(T,mu)
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5. [T1,Y]=ode45(@fun,[0,T],[0;2],[ ],mu);
plot(T1,Y(:,1), T1,Y(:,2)),shg
legend(’y1’,’y2’)
pause
plot(Y(:,1), Y(:,2)),shg
• Los métodos en los que están basados las órdenes ode de MATLAB utilizan el control
del paso como herramienta para conseguir el compromiso entre la precisión deseada y
el costo numérico. Aun así, podemos encontrarnos con problemas numéricos como el
problema de “stiffness”, en el que los cálculos numéricos internos al programa llevan a
resoluciones erróneas. Introducimos los valores T = 20, μ = 1, μ = 10 y μ = 1000
para observar cuándo aparece oscilación brusca de la solución. En general, una posible
solución a este problema consiste en proporcionar el jacobiano para evitar que éste sea
determinado numéricamente. Utilizar ahora los siguientes ficheros:
function dfdt=jacobiano(t,y,mu)
dfdt = [0,1;-2*mu*y(1)*y(2)-1,mu*(1-y(1)^2)];
function vanderstiff(T,mu)
options=odeset(’Jacobian’,@jacobiano);
[T1,Y]=ode45(@fun,[0,T],[0;2],options,mu);
plot(T1,Y(:,1))
axis([0,T,-2.5,2.5])
Ejercicio 7. Escribir un programa para resolver en el intervalo [0, 6π] el problema siguien-
te para distintos valores del parámetro a. Obtener la gráfica de la solución aproximada
para los valores a = 1 y a = −1.
( 0 t
y = a cos( 2 )y,
(P V I)
y(0) = 1.
Ejercicio 8. Considerar el problema
⎧
⎪ dy
⎨ = y − 4e−3t ,
(P V I) dt
⎪
⎩ y(0) = 1.
• Utilizar ode45 para encontrar una solución aproximada en el intervalo [0, 3]. ¿Qué
parece ocurrir cuando t crece? A continuación dibujar la solución en un intervalo
más largo (que vaya al menos hasta t = 20). ¿Qué ocurre cuando t crece?
• Resolver el PVI exactamente, comparar la solución exacta con la aproximación de
Matlab e interpretar los resultados.
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