El documento trata sobre el control automático y la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más fáciles de resolver y describe algunas propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia. También muestra cómo usar MATLAB para calcular transformadas de Laplace directas e inversas.

1. CONTROL AUTOMATICO
UTA – FISEI
INGENIERIA INDUSTRIAL EN PROCESOS
DE AUTOMATIZACION

2. Introducción
• El control automático desempeña un papel fundamental
en los procesos de manufactura, industriales, robótica,
aeroespaciales, biológicos, etc.

3. Introducción

5. La Planta
• La estructura física de la planta es una parte intrínseca
del problema de control.
• Los ingenieros de control deben estar familiarizados
con la física del proceso bajo estudio.
• Esto incluye conocimientos básicos de balance de
energía, balances de masas, flujo de materiales, entre
otros.

14. Introducción

15. Introducción

16. Introducción

17. Transformada de Laplace
• El método de la transformada de Laplace aporta muchas
ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones
diferenciales lineales, mediante su uso es posible
convertir funciones tales como senoidales,
exponenciales, en funciones algebraicas de una variable
compleja.
• Las operaciones como la integración y la
diferenciación se sustituyen por operaciones
algebraicas en el plano complejo.

18. Variables y Funciones complejas
• Variable compleja:
» S = δ + jw
• Función compleja:
» G(s) = Gx + jGy

19. Teorema de Euler

20. Definición y características:
• La transformada de Laplace es un método que transforma una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de
resolver.
• f(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0
S : una variable compleja
L : un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que
antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace.
F(s): transformada de Laplace
• La transformada de Laplace se obtiene mediante:

21. Transformada Inversa de Laplace
• El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de
la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada
inversa de Laplace.

22. Propiedades:
• 1. L es una transformación lineal
• 2. Desplazamiento en el tiempo

23. Propiedades
• 3. Impulso
• 4. Desplazamiento de frecuencia

24. Propiedades
• 5. Derivada
• 6. Integral

25. Propiedades
• 7. Teorema del valor inicial
• 8. Teorema del valor final

26. Propiedades
• 9. Tiempo por una función

27. Transformada de Laplace para
una función escalón unitario:
• La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando
tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la
magnitud del escalón es la unidad, a=1.
f(t)=1 t > 0.
f(t)=0 t < 0.

28. Transformada de Laplace para
una función escalón unitario:

29. Tabla de propiedades de la Transformada de
Laplace

30. Continuación ...

31. Continuación ...

32. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• Procedimiento:
• Declarar una variable simbólica con la instrucción syms.
• Obtener la transformada para una expresión definida utilizando la
variable simbólica anterior
• Instrucciones de Matlab correspondientes a
cada una de las transformadas:
• laplace transformada de Laplace
• ilaplace transformada inversa de Laplace

33. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• MATLAB utiliza el comando laplace(f(t)) y el comando
ilaplace(f(s)), que se encuentra en el toolbox simbólico.
• A. Primer caso:
• Para poder calcular la transformada de Laplace
introducimos el siguiente comando:
• » syms t;
f = f(t);
ans = laplace(f)
• con el comando syms definimos la variable t y aplicando
laplace nos calcula la transformada.

34. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• Para calcular la antitransformada de Laplace introduciremos el
siguiente comando
• » syms s;
f = f(s);
ans = ilaplace(f)
• con el comando syms definimos la variable s y aplicando ilaplace
nos calcula la antitranformada.

35. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• Ejemplo: Primer caso
• Calcular la transformada de Laplace de la
siguiente función:

36. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• %------------------------------------------------------------------------
%REG.AUTOMATICA Y MATLAB
%En este ejemplo calcularemos la transformada de Laplace de una función
%------------------------------------------------------------------------
•
% Primero definimos la variable t
• syms t;
• % Luego introducimos la función que queremos transformar
• f=(4-4*exp(-0.5*t))
• %introducimos el comando laplace
• ans=laplace(f)
• % para arreglar el resultado
pretty(ans)
• Resultado:
• 4/s-4/(s+1/2)
• pretty(ans)

37. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• B. Segundo caso:
• Supongamos que queremos encontrar la transformada de Laplace
de sin(w*t), donde la variable de integración es 't' y 'w' es una
constante, en la línea de comando escribimos:
• » w=sym('w');
» t=sym('t');
» laplace(f(t,w))
• Primero se define la constante w y luego la variable t.

38. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• Para el cálculo de la antitransformada
aplicamos:
•
» w=sym('w');
» t=sym('s');
» ilaplace(f(s,w))
Primero se define la constante w y luego
la variable s

39. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• C. Tercer caso:
• Otra forma más simple para encontrar la
transformada es utilizando:
• » syms a s t w x
laplace(f(t))
laplace(f(a,s))
laplace(f(w,x))
• Definiendo primero las variables y las
constantes, sin comas ni comillas.

40. Transformada de laplace
mediante MATLAB
• Para el cálculo de la antitransformada
• » syms a s t w x
ilaplace(f(s))
ilaplace(f(t))
ilaplace(f(w,y))
• Definiendo primero las variables y las
constantes, sin comas ni comillas.