Este documento presenta las instrucciones para la segunda fase de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática de Perú. Indica que los estudiantes tienen 2 horas para resolver 10 problemas matemáticos sin usar calculadoras u otros recursos. También especifica que no se puede difundir la prueba y que los estudiantes deben escribir sus respuestas en una hoja separada. Los problemas cubren una variedad de temas matemáticos como álgebra, geometría y sucesiones.

1. Sociedad Matemática Peruana
XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)
Segunda Fase - Nivel 3
21 de agosto de 2019
Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organización las felicitaciones por
estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática. Te recomendamos
tener en consideración lo siguiente:
- Tienes un tiempo máximo de 2 horas para resolver estos retos matemáticos que te planteamos.
- Ten en cuenta que no está permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como
apuntes o libros.
- Al momento que consideres que has culminado tu participación, haz entrega de la hoja de
respuestas y verifica que se ponga la hora en la que estás entregando. En caso de ocurrir un
empate se tomará en cuenta la hora de entrega.
- Queda bajo responsabilidad de los especialistas, docentes y estudiantes la no
difusión de la prueba por ningún medio.
- No puedes llevar estas hojas que contienen los enunciados.
- Teniendo en cuenta estas indicaciones nos ayudarás a que la olimpiada se realice de la mejor
forma posible.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. Un anillo pesa 10 gramos y es tal que el 70 % de su peso es oro y el 30 % es plata. Un joyero
fundió el anillo, agregó 1 gramo de plata y k gramos de oro para hacer un nuevo anillo. Calcule
el valor de k si sabe que el 75 % del peso del nuevo anillo es oro.
2. César y Daniel son dos corredores que salieron ambos de A en dirección a B, con velocidades
de 9 km/h y 6km/h, respectivamente. Cuando César llegó a B regresó inmediatamente y
siguió corriendo a 9km/h. Si César se cruzó con Daniel a 3 km de B, ¿cuál es la distancia
entre A y B (en km)?
A B
1

2. Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
3. Una empresa se dedica a fabricar y vender panetones. La empresa vende sus panetones a dos
distribuidores y también los vende directamente. Al distribuidor 1 le ofrece 35 % de descuento
sobre el precio normal, al distribuidor 2 le ofrece 30 % de descuento sobre el precio normal
y en ventas directas, al precio normal (sin descuento). En el siguiente cuadro se muestra las
cantidades vendidas el año pasado:
Distribuidor 1
Distribuidor 2
Venta directa
Descuento
35 %
30 %
0 %
Unidades vendidas
2400
1250
469
Si el ingreso total del año pasado fue 46464 soles. ¿Cuál es el precio normal de un panetón
(en soles)?
4. Un comerciante compró cierta cantidad de papas a un agricultor en Huancayo y lo vendió
en Lima, obteniendo una ganancia de 400 soles. Con todo el dinero obtenido por la venta
regresó a Huancayo, compró papas al mismo agricultor (al mismo precio) y lo vendió en Lima
(también al mismo precio de venta que la primera vez), pero ahora obteniendo una ganancia
de 480 soles. ¿Cuántos soles pagó el comerciante al agricultor por su primera compra?
5. Sea ABCD un rectángulo de centro O. Sea E el punto del plano tal que A es el punto medio
del segmento BE y sea F el punto del plano tal que B es el punto medio del segmento OF.
Si EF = EC =
√
112, determine la longitud del segmento AC.
6. Los enteros positivos a y b cumplen que la diferencia entre su mı́nimo común múltiplo y su
máximo común divisor es 10. Determine cuántos valores distintos puede tomar a + b.
7. Cuatro hombres y cuatro mujeres se van a sentar alrededor de una mesa circular que tiene
ocho asientos. Si las ocho personas se sientan al azar en los ocho asientos, la probabilidad de
que los hombres y mujeres queden sentados de forma alternada es
a
b
, donde a y b son enteros
positivos coprimos. Calcule el valor de a + b.
2

3. Sociedad Matemática Peruana
Segunda Fase - Nivel 3
8. La sucesión F1, F2, F3, . . . (conocida como sucesión de Fibonacci) es definida por F1 = 1,
F2 = 1 y Fn+2 = Fn+1 + Fn, para todo n ≥ 1. Los primeros términos de esta sucesión son
F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, etc. Halle el número entero m para el cual se cumple
que
m ≤
F1 + F2 + · · · + F2018 + F2019
F2019
< m + 1.
9. En la figura de la izquierda se muestra un papel en forma de triángulo rectángulo isósceles al
que se le hizo un doblez a través del segmento AB, de tal forma que el vértice P quede en el
lado mayor, como se muestra en la figura de la derecha.
P
A
B
P
A
B
6 8
Si la longitud del segmento AB es
a
√
2
b
, donde a y b son enteros positivos coprimos, calcule
a − b.
10. Orlando tiene 80 varillas de metal cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm, 3 cm, . . ., 79 cm y 80 cm.
Él escogió k de esas varillas de tal manera que se puede construir un triángulo acutángulo
con cualesquiera tres varillas escogidas, determine el mayor valor de k para el cual esta situa-
ción es posible.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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