El documento explica los ángulos verticales, incluyendo ángulos de elevación y depresión. Define estos ángulos y cómo se forman mediante una línea visual y una línea horizontal. Incluye ejemplos y problemas de práctica relacionados con el cálculo de alturas y distancias usando ángulos verticales y trigonometría.

1. LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO Trigonometria 5º
ANGULOS VERTICALES
DEFINICIÓN: Son aquellos ángulos ubicados en el
plano vertical, que en la práctica son formados
mediante una línea visual y una línea horizontal
como resultado de haberse efectuado una
observación desde un determinada posición.
Por ejemplo en el gráfico:
LINEA VISUAL
a
b OBSERVADOR
Se tiene: “a” y “b” son ángulos verticales
De donde: a : Angulo de elevación
b : Angulo de depresión
ANGULO DE OBSERVACIÓN:
N0TA : De no indicarse desde que altura se realizara
la observación, se deberá considerar que se está
observando desde un punto en el suelo.
PRACTICA DIRIGIDA
01. A 20 metros del pie de un árbol, el ángulo de
elevación para lo alto del mismo es de 37°.
¿Cuál es la altura del árbol?
A) 15 m B) 12 m C) 20 m
D) 24 m E) 25 m
02. Una persona de 3 metros de altura observa la
parte superior de una torre de 5 3 de altura,
con un ángulo de elevación de 60º. ¿Cuánto
tendrá que retroceder para que el nuevo ángulo
de elevación mida 30º?
A) 3 m B) 10 m C) 15 m
D) 8 m E) 7 m
03. Una persona de 2 m de estatura observa la base
de un poste de luz con un ángulo de depresión
de 30º y la parte superior con un ángulo de
elevación de 60º. Calcular la altura del poste.
A) 8 m B) 10 m C) 12 m
D) 15 m E) 18 m
04. Una antena de televisión se encuentra situado en
lo alto de un edificio de 18m de altura. Si un
hombre ve con un ángulo de elevación de 53° a
la antena y con un ángulo de 45° el edificio.
Hallar la altura de la antena.
A) 6m B) 8m C) 10m
D) 12m E) 16m
05. Desde lo alto de un edificio se observa un punto
en la tierra con un ángulo de depresión “a” y a
otro punto ubicado a la mitad entre el primer
punto y la base del edificio con un ángulo de
depresión “90°-a”. Calcular “Ctga”
A)
2
4
B)
2
2
C) 2
D) 2 2 E) 4
06. Desde un punto del suelo se observa la parte
superior de un edificio con un ángulo de
elevación de 15º acercándose 36m hacia el
edificio, el nuevo ángulo de elevación es el
doble del anterior. Calcular la altura del edificio
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
07. Desde un punto en la tierra se observa lo alto del
tercer piso de un edificio con un ángulo de
elevación “a” y la parte baja del quinto piso con
un ángulo de elevación “b”. Calcular Tgb/Tga
)
A) 12 B) 1,3
C) 0,3
D) 0,75 E) 0,25
08. Una persona colocada a 36m de una torre,
observa su parte más alta con un ángulo de
elevación cuya tangente es 7/12. ¿Qué distancia
q
Angulo de
observación
LINEA HORIZONTAL
LINEA VISUAL

2. LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO Trigonometria 5º
habría que alejarse para que el nuevo ángulo de
elevación tenga una tangente igual a 1/4?
A) 42 m B) 43 m C) 44 m
D) 45 m E) 48 m
09. A 10m de un poste la elevación angular para lo
alto de la mimo es “a” (Tga = 0,8). Si
retrocedemos 6m el ángulo de elevación es “q”.
Calcular “Tgq”
A) 1 B) 2 C) 0,5
D) 3 E) 0,3
10. Dos ciudades A y B se encuentran separados por
un camino recto, que mide 2( 3 + 1)km; desde
un avión que vuela la línea que separa ambas
ciudades, se les observa con ángulos de
depresión de 30º y 45º. ¿A que altura es´ta
volando el avión?
A) 1 km B) 2 km C) 5 km
D) 3 km E) 7 km
11. En la parte superior de un edificio se encuentra
una bandera, a 12m de distancia del edificio se
observa la parte inferior y superior del asta de la
bandera con ángulos de elevación a y b
respectivamente. Hallar la altura del asta si:
Tga = 1,5 y Ctgb = 0,6
A) 6 m B) 8 m C) 7 m
D) 2 m E) 10 m
12. Desde la parte superior de una torre de observan
dos piedras en el suelo con ángulos de depresión
de 37° y 53° si la altura de la torre es de 12m y
las piedras están en línea recta y a un mismo
lado de la base de la torre, calcular la distancia
entre las piedras.
A) 4 m B) 5 m C) 6 m
D) 7 m C) 8 m
13. Un mono observa la parte superior de una árbol
con un ángulo de elevación “q” si el mono
camina 12m hacia el árbol el nuevo ángulo de
elevación es de 45° y acercándose 4m más el
ángulo de elevación el complemento de “q”.
Calcular la altura del árbol.
A) 4 m B) 6 m C) 8 m
D) 9 m E) 10 m
14. Desde un punto en el suelo se observa la parte
superior de una estatua con un ángulo de
elevación de 45º y a la parte superior de su
pedestal con un ángulo de elevación de 37º. Si
la altura del pedestal es de 3m, hallar la altura de
la estatua.
A) 3,5 m B) 3 m C) 1,5 m
D) 2 m E) 1 m
15. Una persona se encuentra en lo alto de una
torre, observa dos puntos en el suelo ubicados a
ambos lados de la torre, con ángulos de
depresión de 37° y 53°. Calcule la suma de las
visuales con las cuales observó a dichos puntos,
sabiendo que éstos distan entre sí 20 m.
A) 20 m B) 24 m C) 28 m
D) 22 m E) 26 m
16. Desde la azotea de dos edificios de 20 y 12
metros de altura se observa un punto en el suelo,
ubicado entre ambos edificios con ángulos de
depresión de 53° y 37° respectivamente; calcule
la distancia entre ambos edificios.
A) 17 m B) 21 m C) 28 m
D) 31 m E) 38 m
17. Desde un punto en el suelo se observa lo alto del
tercer piso de un edifico con un ángulo de
elevación “a” y desde el último piso del edificio
que tiene diez, se observa el punto del suelo con
un ángulo de depresión que es el complemento
de “a”. Calcule: “Ctga”
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 3
18. Desde un avión que vuelo horizontalmente se
observa que antes de pasar sobre dos puntos en
la tierra A y B, sus ángulos de depresión son de
45° y 37° respectivamente, cuando está sobre
“B” es visto desde “A” con un ángulo de
elevación “a”. Calcule “Tga”
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
19. Se tiene dos postes de 7m y 1m de altura
distanciados 8m. Calcular el menor valor del
ángulo de elevación con que una hormiga
observaría lo alto del poste menor desde un
punto ubicado entre los dos postes, sabiendo
que el punto de elevación para el poste mayor
desde ese punto es el complemento del que se
pide calcular.
A) 30° B) 37° C) 53°
D) 8° E) 16°
20. Un hombre observa una torre con un ángulo de
elevación de 60°. ¿Cuánto debe retroceder para
que observe la misma torre con un ángulo de
elevación de 30°?. La altura de la torre es
5 3 m y la altura del hombre 3 m.

3. LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO Trigonometria 5º
A) 4 3 B) 4 C) 8
D) 8 3 E) N.A.
21. Desde un punto del suelo se observa la parte
superior de un poste con un ángulo de elevación de
qº. Acercándose 5m hacia el poste, el nuevo ángulo
de elevación es 2q. Si el poste mide 4m. Calcular la
“Tgq”
A) 4/5 B) 1/2 C) 1
D) 2 E) 3.
22. Una mujer está sobre una peña. Desde un punto
de la superficie se observa la parte superior de la
peña y la parte más alta de la mujer con ángulos
de elevación de 17º y 25º respectivamente.
Determinar el ángulo de visibilidad.
A) 10° B) 9° C) 11°
D) 8° E) 7°
23. Desde la parte superior de un edificio se observa
un punto en el suelo con una depresión angular
“q”. Determinar la altura sabiendo que la línea
visual mide “a”
A) aCosq B) aTgq C) aSecq
D) aSenq E) aCtgq
24. Un niño sujeta su cometa con una cuerda
totalmente tensa, la cuerda forma con la
horizontal un ángulo de 45°. A una distancia de
140 m del niño se encuentra un edificio de 60m
de altura y desde la azotea se observa la cometa
con un ángulo de elevación “q”. Si la cuerda
mide 100 2 m. Calcular “q”.
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
25. Un avión vuela en línea horizontal paralela al
suelo, en un cierto instante el piloto observa en
tierra una ciudad, con un ángulo de depresión
de 37° y luego de 3 minutos observa
nuevamente dicha ciudad pero ahora con un
ángulo de depresión de 53°. ¿A qué altura vuela
al avión si viaja a 14 km/min?.
A) 42 km B) 50 km C) 60 km
D) 72 km E) 96 km
26. Una persona observa la parte superior de un
edificio con un ángulo de elevación “x” después
de caminar 10 m hacia el edificio, el nuevo
ángulo de elevación es “q”. Si la altura del
edificio es de 30 m, entonces el valor de la
expresión:
W = Tgx.(Ctgq + 1/3)
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4
D) 1 E) 5/3
27. Una persona de “h” de estatura observa un
edificio de “H” de altura con ángulo de
elevación “a”. Determine la distancia entre la
persona y el edificio.
A) (H - h).Tga B) (H - h).Csca
C) (H - h).Ctga D) H.h.Seca
E) (H - h).Seca
28. Un paracaídas en un momento de su descenso
ve un punto en el suelo con un ángulo de
depresión de 60° y luego de cierto tiempo,
cuando esta a una altura de 30 m., vuelve a ver
el punto anterior con un ángulo de depresión de
30°, calcular la altura a la que fue realizada la
primera observación (considere vertical la caída
del paracaídas a partir de los 100 m sobre la
tierra).
A) 70 B) 100 C) 80
D) 90 E) 85
29. Un árbol esta al pie de una colina cuya
inclinación con respecto al plano horizontal es de
15°. Una persona se encuentra en la colina a 24
m de la base del árbol y observa su parte más
alta con un ángulo de elevación de 45° ¿Cuál es
la altura del árbol?
A)12 2 B) 12 6 C) 18 3
D) 24 E) 16 2
30. Desde lo alto de un edificio se observa a un
automóvil con un ángulo de depresión de 37°
dicho automóvil se desplaza con velocidad
constante, luego que avanza 28 m acercándose
al edificio es observado con un ángulos de
depresión de 53°, si desde esta posición tarda en
llegar al edificio 6 segundos. Calcular la
velocidad del automóvil. (en m/s)
A) 3 B) 6 C) 7
D) 12 E) 4
31. Un barco y un avión viajan en la misma
dirección y en el mismo sentido, en la primera
observación desde el barco se ve al avión
adelante con un ángulo de elevación de 53°,
marcando con una boya dicho lugar. En la
segunda observación lo ve con un ángulo de
37°, si la velocidad del avión es 8 veces la del
barco. Calcular la cotangente del ángulo con la
que el avión en la segunda posición observa la
boya.
A) 17/12 C) 15/11 C) 11/17
D) 3/4 E) 5/7