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Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Primera Fase - Nivel 2
17 de junio de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus c´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Si a, b y c son n´umeros enteros positivos distintos tales que a + b = 5 y b + c = 8, hallar el
menor valor que puede tomar a + b + c.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
2. Cuando a un barril le falta un 25 ciento para llenarse, contiene 25 litros m´as que cuando est´a
lleno al 25 por ciento. ¿Cu´al es la capacidad del barril?
A) 25 B) 30 C) 50 D) 75 E) 100
3. Si los pol´ıgonos mostrados son regulares, hallar x.
A) 117 B) 108 C) 135 D) 105 E) 132
4. A un Seminario de Ciencias asistieron 320 personas, entre qu´ımicos y bi´ologos. La s´eptima
parte de los qu´ımicos tambi´en son bi´ologos, y la d´ecima parte de los bi´ologos tambi´en son
qu´ımicos. ¿Cu´antos asistentes son qu´ımicos y bi´ologos a la vez?
A) 20 B) 10 C) 32 D) 16 E) 24
1
Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica
de Educaci´on Peruana
5. Jes´us le sum´o a un cuadrado perfecto de dos d´ıgitos el doble de la suma de sus d´ıgitos y
obtuvo un m´ultiplo de 25. Hallar la suma de los d´ıgitos de dicho cuadrado perfecto.
A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
6. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es mayor?
A) 93 × 54 × 16 B) 47 × 53 × 32 C) 91 × 9 × 96 D) 94 × 27 × 32 E) 94 × 99 × 8
7. Un rect´angulo tiene 30 m de per´ımetro, ¿en cu´anto aumenta su ´area, si el largo y el ancho
aumentan 1 m cada uno?
A) 15 m2 B) 31 m2 C) 30 m2 D) 20 m2 E) 16 m2
8. Hallar la suma de las ra´ıces de la siguiente ecuaci´on de variable x:
(2k + 2)x2
+ (4 − 2k)x + (k − 2) = 0,
sabiendo que el producto de sus ra´ıces es 1.
A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
9. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determinar el menor entero positivo n tal que cualquier
subconjunto de X con n elementos tiene al menos dos n´umeros primos (recordar que 1 no es
un n´umero primo).
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
10. Sean x y y n´umeros reales tales que
x2
= y + 2, y2
= x3
− 1.
Calcular el valor de
y2 + 2
x + 1
+ (x − y).
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
11. Usando 9 palitos de longitud 1 se puede formar un tri´angulo equil´atero de lado 2 (como
muestra la figura). ¿Cu´antos palitos de longitud 1 se necesitan para formar un tri´angulo
equil´atero de lado 9?
A) 108 B) 135 C) 144 D) 165 E) 243
2
Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica
de Educaci´on Peruana
12. ¿Cu´antas ra´ıces enteras tiene la ecuaci´on
x2
− 2 |x| = 2?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
13. Tom´as tiene un cilindro de 90 litros de capacidad m´axima, el cual tiene agua pero hay menos
de la mitad de la capacidad m´axima. Tom´as trata de llenar el cilindro usando un recipiente
de 7 litros y llena el cilindro de 7 en 7 hasta que ya no se puede m´as. Tom´as se sorprendi´o
cuando observ´o que faltan x litros para que se llene el cilindro, pues x es el n´umero de veces
que us´o el recipiente de 7 litros. Hallar x.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
14. Una hormiga comienza a caminar en l´ınea recta y se desv´ıa 60◦ a la derecha despu´es de
caminar 1 m, 2 m, 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, para finalmente recorrer 6 m. ¿Cu´al es
la distancia entre la posici´on inicial y final de la hormiga?
A) 3
√
3 B) 6 C) 6
√
3 D) 12 E) 18
15. Sean a, b, c n´umeros reales tales que a + b = 0, b + c = 0, c + a = 0 y a + b + c = 0. Hallar
(a + b)2
(b + c)(a + c)
+
(b + c)2
(c + a)(b + a)
+
(c + a)2
(a + b)(c + b)
A) 3abc B) −1 C) 2 D) 3 E) 1
16. Una hoja de papel rectangular de 4m × 8m se dobla haciendo coincidir dos de sus v´ertices
opuestos, form´andose as´ı un pent´agono. Encontrar el ´area de ese pent´agono, en m2.
A) 16 B) 32 C) 12 D) 24 E) 22
17. Un grupo de soldados marcha formando una fila de 42 m, a rapidez constante de 5 m/s.
Un entrenador que se encuentra unos metros m´as adelante que el grupo, marcha a rapidez
constante de 1 m/s, pero en direcci´on contraria a la del grupo. Cada vez que un soldado
se encuentra con el entrenador, dicho soldado da la vuelta y sigue marchando en direcci´on
contraria pero con la misma rapidez. Despu´es de que todo el grupo di´o la vuelta, ¿cu´al ser´a
la nueva longitud de la fila?
A) 21 B) 28 C) 30 D) 35 E) 36
3
Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica
de Educaci´on Peruana
18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B, y adem´as la suma de los d´ıgitos de A es igual a la suma de los d´ıgitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y adem´as 1+2 = 3+0+0.
¿Cu´antos hijos tiene el n´umero 110000?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
19. En el Tablero 1 se han pintado 11 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en com´un con alg´un cuadradito
negro”. ¿Cu´al es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2
para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 2Tablero 1
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
20. Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: el producto de los elementos de cualquier
subconjunto de S = {1, 2, . . . , 2010}, con n elementos, es m´ultiplo de 2010. ¿Cu´al es el menor
valor que puede tomar n?
A) 1980 B) 1981 C) 1982 D) 1983 E) 1984
GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON
4

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ONEM 2010: Fase N°1- Nivel 2

  • 1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana Primera Fase - Nivel 2 17 de junio de 2010 - La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas. - No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´alculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega. - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS 1. Si a, b y c son n´umeros enteros positivos distintos tales que a + b = 5 y b + c = 8, hallar el menor valor que puede tomar a + b + c. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 2. Cuando a un barril le falta un 25 ciento para llenarse, contiene 25 litros m´as que cuando est´a lleno al 25 por ciento. ¿Cu´al es la capacidad del barril? A) 25 B) 30 C) 50 D) 75 E) 100 3. Si los pol´ıgonos mostrados son regulares, hallar x. A) 117 B) 108 C) 135 D) 105 E) 132 4. A un Seminario de Ciencias asistieron 320 personas, entre qu´ımicos y bi´ologos. La s´eptima parte de los qu´ımicos tambi´en son bi´ologos, y la d´ecima parte de los bi´ologos tambi´en son qu´ımicos. ¿Cu´antos asistentes son qu´ımicos y bi´ologos a la vez? A) 20 B) 10 C) 32 D) 16 E) 24 1
  • 2. Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 5. Jes´us le sum´o a un cuadrado perfecto de dos d´ıgitos el doble de la suma de sus d´ıgitos y obtuvo un m´ultiplo de 25. Hallar la suma de los d´ıgitos de dicho cuadrado perfecto. A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13 6. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es mayor? A) 93 × 54 × 16 B) 47 × 53 × 32 C) 91 × 9 × 96 D) 94 × 27 × 32 E) 94 × 99 × 8 7. Un rect´angulo tiene 30 m de per´ımetro, ¿en cu´anto aumenta su ´area, si el largo y el ancho aumentan 1 m cada uno? A) 15 m2 B) 31 m2 C) 30 m2 D) 20 m2 E) 16 m2 8. Hallar la suma de las ra´ıces de la siguiente ecuaci´on de variable x: (2k + 2)x2 + (4 − 2k)x + (k − 2) = 0, sabiendo que el producto de sus ra´ıces es 1. A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2 9. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determinar el menor entero positivo n tal que cualquier subconjunto de X con n elementos tiene al menos dos n´umeros primos (recordar que 1 no es un n´umero primo). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 10. Sean x y y n´umeros reales tales que x2 = y + 2, y2 = x3 − 1. Calcular el valor de y2 + 2 x + 1 + (x − y). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 11. Usando 9 palitos de longitud 1 se puede formar un tri´angulo equil´atero de lado 2 (como muestra la figura). ¿Cu´antos palitos de longitud 1 se necesitan para formar un tri´angulo equil´atero de lado 9? A) 108 B) 135 C) 144 D) 165 E) 243 2
  • 3. Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 12. ¿Cu´antas ra´ıces enteras tiene la ecuaci´on x2 − 2 |x| = 2? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 13. Tom´as tiene un cilindro de 90 litros de capacidad m´axima, el cual tiene agua pero hay menos de la mitad de la capacidad m´axima. Tom´as trata de llenar el cilindro usando un recipiente de 7 litros y llena el cilindro de 7 en 7 hasta que ya no se puede m´as. Tom´as se sorprendi´o cuando observ´o que faltan x litros para que se llene el cilindro, pues x es el n´umero de veces que us´o el recipiente de 7 litros. Hallar x. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 14. Una hormiga comienza a caminar en l´ınea recta y se desv´ıa 60◦ a la derecha despu´es de caminar 1 m, 2 m, 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, para finalmente recorrer 6 m. ¿Cu´al es la distancia entre la posici´on inicial y final de la hormiga? A) 3 √ 3 B) 6 C) 6 √ 3 D) 12 E) 18 15. Sean a, b, c n´umeros reales tales que a + b = 0, b + c = 0, c + a = 0 y a + b + c = 0. Hallar (a + b)2 (b + c)(a + c) + (b + c)2 (c + a)(b + a) + (c + a)2 (a + b)(c + b) A) 3abc B) −1 C) 2 D) 3 E) 1 16. Una hoja de papel rectangular de 4m × 8m se dobla haciendo coincidir dos de sus v´ertices opuestos, form´andose as´ı un pent´agono. Encontrar el ´area de ese pent´agono, en m2. A) 16 B) 32 C) 12 D) 24 E) 22 17. Un grupo de soldados marcha formando una fila de 42 m, a rapidez constante de 5 m/s. Un entrenador que se encuentra unos metros m´as adelante que el grupo, marcha a rapidez constante de 1 m/s, pero en direcci´on contraria a la del grupo. Cada vez que un soldado se encuentra con el entrenador, dicho soldado da la vuelta y sigue marchando en direcci´on contraria pero con la misma rapidez. Despu´es de que todo el grupo di´o la vuelta, ¿cu´al ser´a la nueva longitud de la fila? A) 21 B) 28 C) 30 D) 35 E) 36 3
  • 4. Ministerio Primera Fase - Nivel 2 Sociedad Matem´atica de Educaci´on Peruana 18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de B, y adem´as la suma de los d´ıgitos de A es igual a la suma de los d´ıgitos de B. Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y adem´as 1+2 = 3+0+0. ¿Cu´antos hijos tiene el n´umero 110000? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 19. En el Tablero 1 se han pintado 11 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en com´un con alg´un cuadradito negro”. ¿Cu´al es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2 para que se cumpla la misma propiedad? Tablero 2Tablero 1 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 20. Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: el producto de los elementos de cualquier subconjunto de S = {1, 2, . . . , 2010}, con n elementos, es m´ultiplo de 2010. ¿Cu´al es el menor valor que puede tomar n? A) 1980 B) 1981 C) 1982 D) 1983 E) 1984 GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 4