1) El documento presenta las razones trigonométricas para ángulos agudos en triángulos rectángulos. 2) Define las seis razones trigonométricas y explica sus propiedades como las razones recíprocas y de ángulos complementarios. 3) Resuelve problemas aplicando las definiciones y propiedades de las razones trigonométricas.

1. 1
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría Tema 1 1
Trigonometría
ITMNIII2T1
TEMA: 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
DESARROLLO DEL TEMA
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas son números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
A. Triangulo rectángulo
Hipotenusa
Cateto
C
A
T
E
T
O
Teorema de Pitágoras
“La suma de cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa”.
a2
+ b2
= c2
b
a
C
B
C
A
Teorema
“Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”.
A + B = 90º
II.
DEFINICION DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS PARA UN
ANGULOAGUDO
Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la
figura, se establecen las sgts definiciones para el
ángulo agudo “α”:
b
a
C
B
C
A
β
α
Sena =
Cat. op.
Hip.
=
c
b
= Cosb
Ctga =
Cat. op.
Cat. ady.
=
c
b
= Tgb
Seca =
Hip.
Cat. ady.
=
b
a
= Cscb
Csca =
Hip.
Cat. op.
=
b
c
= Secb
III.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS
A. Razones Trigonométricas Recíprocas
“Al comparar las seis razones trigonométricas
de un mismo ángulo agudo, notamos que tres
partes de ellas al multiplicarse nos producen
la unidad”.
Las parejas de las R.T. recíprocas son
entonces:
Senα • Cscα = 1
Cosα • Secα = 1
Tgα • Ctgα = 1
Ejemplos:
Indicar la verdad de las siguientes
proposiciones.
I. Sen20º.Csc10º =1 ( )
II. Tg35º.Ctg50º =1 ( )
III. Cos40º.Sec40º=1 ( )
B. Razones Trigonométricas de Angulos
Complementarios
“Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos,
notamos que tres pares de ellas producen el
mismo número, siempre que su ángulo sean
complementarios”.

2. 2
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
En un triángulo rectángulo ABC (recto
en C), se sabe que la suma de catetos
es igual “k” veces la hipotenusa.
Calcular la suma de los senos de los
ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
Nótese que en el enunciado del
problema tenemos: a + b = k.c
a
B
C
b
c
α
β
Nos piden calcular
Sena + Senb =
a
c
+
b
c
=
a + b
c
Luego:
k.c
Sen Sen k
c
α β
+ = =
Los tres lados de un triángulo
rectángulo se hallan en progresión
aritmética, hallar la tangente del mayor
ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución:
Nótese que dado el enunciado,
los lados del triángulo están en
Nota:
“Una razón trigonométrica de un ángulo al
co-razón del ángulo complementario”.
RAZON → CO-RAZON
Seno → Coseno
Tangente → Cotangente
Secante → Cosecante
Dado: x + y = 90º, entonces se verifica
Senx = Cosy
Tgx = Ctgy
Secx = Cscy
Así por ejemplo:
• Sen20º = Cos70º (20º + 70º = 90º)
• Tg50º = Ctg40º (50º + 40º = 90º)
• Sec80º = Csc10º (80º + 10º = 90º)
IV. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS AGUDOS NOTABLES
A. Triángulos rectángulos notables exactos
1. 30º y 60º
1k
60°
30°
2k
k 3
2. 45º y 45º
45°
k
k
45°
k 2
B.
Triángulos Rectángulos Notables
Aproximados
1. 37º y 53º
3k
4k
53°
37°
5k
2. 16º y 74º
7k
24k
74°
16°
25k
Tabla de las r.t. de angulos
notables
Senα
Cosα
Tgα
Ctgα
Secα
Cscα
1/2
1/2
1
1
2
2
3/2
3/2
3
3/3
2/2
2/2
2
2
3
3/3
30°
RT
α
60° 45° 37°
3/5 4/5
3/5
3/4
5/3
5/4
4/3
4/5
5/4
5/3
4/3
3/4
24/25
25/7
25/24
24/7
7/24
7/25
7/25 24/25
24/7
7/24
25/7
25/24
53° 16° 74°
2 3/3
2 3/3

3. 3
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
progresión aritmética, de razón “r”
asumamos entonces:
Cateto Menor = x – r
Cateto Mayor = x
Hipotenusa = x + r
Teorema de Pitágoras
x
α
x + r
x – r
(x – r)2
+ x2
= (x + r)2
x2
– 2xr + r2
+ x2
= x2
+ 2xr + r2
x2
– 2xr = 2xr
x2
= 4xr
x = 4r
Importante
“A mayor cateto, se opone
mayor ángulo agudo”. Luego,
reemplazando en la figura
tenemos:
5r
α
4r
3r
Nos piden calcular
4r 4
Tg
3r 3
= =
Se sabe que “x” e “y” son ángulos
complementarios, además:
Senx = 2t + 3
Cosy = 3t + 4,1
Hallar Tgx
Resolución:
Dado: x+y = 90º → Senx = Cosy
Reemplazando
2t + 3 = 3t + 4,1
–1,1 = t
Conocido “t” calcularemos:
Senx =2(–1,1)+3
Senx =0,8
Senx = ..... (I)
Nota:
Conocida una razón
trigonométrica, luego hallaremos
las restantes; graficando la
condición (I) en un triángulo,
tenemos:
4
5
3
x
4r 4
Tg
3r 3
= =
EJERCICIOS DE CLASE
NIVEL I
1. Calcular el valor de Secx, sabiendo que:
Tgx = 2Tg45° – Cos2
45°
A)
13
3
B)
13
2
C)
13
D)
3
13
2
E)
3
13
4
2. Sabiendo que "θ" es agudo y: 3Senθ =1.
Hallar: M = Cscθ(Cosθ + Ctgθ)
A) 2 2 B) 1/3 C) 3 2 /8
D) 8 2 E)
9
2
8
3. Si: x es agudo y Tgx =
3
5
.
Calcular:
M =
Senx + Cosx
Senx – Cosx
A) 1/2 B) 2 C) 4
D) 1/4 E) 3
NIVEL II
4. Hallar x:
Cos Sec = 1
J
K
L
N
O
P
10x + 7°
3
J
K
L
N
O
P
7x + 4°
2
A) 2° B) 4° C) 6°
D) 8° E) 10°
5. Evaluar:
M = (7Sen22° – 3Cos 68°)2Csc22°
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
6. Si:
Sen = Cos
J
K
L
N
O
P
10 +
x
3
J
K
L
N
O
P
+ 40
x
2
Hallar: "x"
A) 22° B) 28° C) 36°
D) 42° E) 48°
7. Hallar "x": Tgα = 0,5, Ctgφ = 3
α
φ
x 10
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

4. 4
Integral Turno Mañana Regular 2014-III / Trigonometría
Ciencia Histórica - Hominización y Prehistoria
Tema 1
Razones Trigonometricas de Ángulos Agudos
8. Hallar Sen "θ"
A) 5/13
5(x + 1)
2x – 1
θ
B) 12/13
C) 7/25
D) 24/25
E) 3/10
9. En un triángulo ABC (recto en B) donde se cumple
TgA = 3SecC calcular: E = Sec2
A – 3CscC
A) 1/4 B) 1/2 C) 1
D) 2 E) 4
10. Hallar Ctg θ; AB = BC
A) 3 B
120°
A θ C
B) 2 3
C) 3 3
D) 4 3
E) 5 3
11. De la figura hallar "x"
A) 6
x
30°
60°
2 3
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
12. Hallar "x"
A) 2 3
x
15°
30°
6
B) 3 2
C) 6
D) 6
E) 9
13. De la figura, hallar "Tgθ"
A) 0,1
A
53° 45° θ
M
C
B
B) 0,2
C) 0,3
D) 0.4
E) 0,5
NIVEL III
14. Hallar:
x + y
x – y
2a
a
y
30°
53°
x°
A) 2 B) 2 C) 3
D) 3 E) 4
15. Hallar Ctgθ.
a
q
A) Tgα + 1
B) Tgα – 1
C) Ctgα – 1
D) Ctgα + 1
E) 2Tgα – 1