Este documento contiene las instrucciones y 20 preguntas de matemáticas de una prueba para la Primera Fase del Nivel 3 de la Olimpiada Nacional Escolar de Matemáticas de Perú. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como números enteros, álgebra, geometría y probabilidad. Los estudiantes tienen 2 horas para completar la prueba sin usar calculadoras ni consultar apuntes.

1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Primera Fase - Nivel 3
17 de junio de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus c´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS
1. Las fechas de cumplea˜nos de Blanca, Cristina, Daniela y Flor son abril 1, abril 21, junio 17 y
julio 21, no necesariamente en ese orden. Sabemos que Flor naci´o el mismo mes que Cristina
y que el n´umero de d´ıa en que nacieron Cristina y Daniela es el mismo, aunque nacieron en
distintos meses. ¿Qui´en naci´o en junio 17?
A) Cristina B) Daniela C) Blanca D) Flor E) No se puede determinar
2. ¿Cu´antos grados sexagesimales mide un ´angulo cuyo complemento equivale al 10 % de su
suplemento?
A) 18 B) 60 C) 80 D) 70 E) 75
3. Si p, q, r son enteros positivos tales que pq = 24 y qr = 20, hallar el menor valor que puede
tomar p + q + r.
A) 45 B) 24 C) 15 D) 12 E) 20
4. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es el mayor?
A) sen 20◦ B) sec 20◦ C) tan 20◦ D) csc 20◦ E) cos 20◦
5. Un n´umero natural N tiene tres d´ıgitos. El d´ıgito de las centenas es igual a la suma de los
otros dos, y el qu´ıntuplo del d´ıgito de las unidades equivale a la suma de los d´ıgitos de las
centenas y decenas. Al invertir el orden de sus d´ıgitos, el n´umero N queda disminuido en 594.
Hallar el resto de dividir N entre 20.
A) 15 B) 11 C) 8 D) 5 E) 3
6. ¿Cu´antos valores reales de x satisfacen la siguiente ecuaci´on?
|x − 4| + |x − 3| = 9
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
1

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7. En un tri´angulo ABC, recto en C, se cumple que sen A = sen B +
1
3
. Calcular
tan A · cos2
A.
A)
2
3
B)
1
9
C)
4
9
D)
9
4
E)
8
9
8. Si n es un entero positivo, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones acerca del n´umero (1 + n3 +
n6 + n9) siempre es correcta?
I. Es un cuadrado perfecto.
II. Es un n´umero compuesto.
III. Es un n´umero par.
A) S´olo I B) I y II C) I, II y III D) S´olo II E) II y III
9. Se traza la altura BH en el tri´angulo equil´atero ABC que tiene lado 6
√
3 y D es un punto
de AH tal que DH = 3(2 −
√
3).
A
B
CHD
P
Calcular el ´area del sector circular DCP.
A) 3π B)
√
3π C) 2π D) 3
√
3π E) 6π
10. Determinar el m´aximo valor de F =
7 + 3 cos θ
2 + cos θ
, donde 0◦ ≤ θ ≤ 180◦.
A) 1 B)
7
2
C) 4 D)
10
3
E)
3
10
11. Decimos que un n´umero de la forma abc es bueno si a2 = b × c. Determinar el mayor n´umero
bueno que est´a formado por tres d´ıgitos distintos. Dar como respuesta la suma de sus d´ıgitos.
A) 17 B) 18 C) 21 D) 20 E) 19
2

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12. Si n es un entero positivo, la expresi´on n!, llamada factorial de n, denota el producto de todos
los enteros positivos menores o iguales que n; es decir:
n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n.
Determinar el menor entero positivo m para el cual el siguiente n´umero es m´ultiplo de 2010:
1! × 2! × 3! × · · · × m!
A) 201 B) 2010 C) 100 D) 67 E) 30
13. Los equipos de f´utbol de Per´u, Brasil, Chile y Argentina jugaron un torneo cuadrangular de
f´utbol, donde cada equipo jug´o contra cada uno de los otros equipos exactamente una vez. Es
decir, se jugaron 6 partidos en total. En cada partido se otorga 3 puntos al ganador, 0 puntos
al perdedor, y 1 punto a cada equipo en caso de empate. Determinar cu´ales de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
I. Al terminar el torneo es posible que alg´un equipo tenga 7 puntos.
II. Es posible que Per´u haya obtenido el primer lugar del torneo, a pesar de que haya perdido
contra Argentina.
III. Si un equipo no perdi´o ning´un partido, puede terminar con 4 puntos.
IV. Un equipo que obtuvo 6 puntos puede ser el ´unico que ocupa el primer lugar del torneo.
A) I, III y IV B) I y IV C) I y II D) I, II y IV E) II y III
14. La hipotenusa del tri´angulo rect´angulo ABC mide 2
√
2 y ∠ACB = α. La recta L es perpen-
dicular a la hipotenusa y divide al tri´angulo ABC en dos regiones de igual ´area. Calcular la
distancia de C a la recta L.
L
C
B
A
a
A) sen α B) 2 sen α C) tan α D)
√
2 cos α E) 2 cos α
15. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar las letras de la palabra CONTEO si las vocales no
pueden ir juntas, ni tampoco las consonantes?
Aclaraci´on. Un orden posible es ENOTOC. Notar que no importa si la palabra tiene o no
significado.
A) 12 B) 72 C) 24 D) 36 E) 18
3

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16. Sea ABC un tri´angulo rect´angulo, recto en B. En la hipotenusa AC se ubica el punto D de tal
forma que BD = BC, y en la prolongaci´on de BD se ubica el punto E tal que ∠AEB = 90◦.
Si AE = 3 y la distancia de D a BC es 6, calcular
AC
AD
.
A)
2
3
B)
3
2
C) 2 D) 3 E)
10
3
17. En la siguiente figura, ABCD es un rect´angulo que tiene la misma ´area que el tri´angulo
rect´angulo DFE.
E
F
D C
A B
Si AD = m y FD = n, hallar la distancia de B a la recta AE.
A)
n2
m
B)
n3
2m2
C)
2n3
m2
D)
m3
2n2
E)
n3
m2
18. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de
B y, adem´as, la suma de los d´ıgitos de A es igual a la suma de los d´ıgitos de B.
Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300 y, adem´as, 1+2 = 3+0+0.
Si 2 y 11 son hijos de N y n1 < n2 < n3 < n4 son los cuatro menores valores que puede tomar
N. Calcular el resto de dividir n4 entre 14.
A) 0 B) 2 C) 8 D) 10 E) 6
19. Sean a, b, c n´umeros diferentes de 0, tales que
a + b + c = −abc y
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
= 2.
Hallar el valor de
ab
c2
+
bc
a2
+
ca
b2
A) −1 B) 3 C) 1 D) 0 E) −3
4

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20. En el Tablero 1 se han pintado 15 casillas de negro y notamos que se cumple la siguiente
propiedad: “Cada cuadradito blanco tiene al menos un punto en com´un con alg´un cuadradito
negro”. ¿Cu´al es la menor cantidad de casillas que se deben pintar de negro en el Tablero 2
para que se cumpla la misma propiedad?
Tablero 1 Tablero 2
A) 10 B) 11 C) 7 D) 8 E) 9
GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON
5