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UMSA-FACULTAO DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
CAPITULO 1
"PRESIONES"
1.1 INTRODUCCION.
La presión de fluido, (P) está definida como la cantidad de fuerza, (F), que se ejerce sobre
un área unitaria, (A), de una sustancia. La presión de fluidos se calcule a partir de:
IP-~1
1.2 PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA
Cuando se realizan cálculos que implican la presión de un fluido, se debe hacer la
medición en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión de
referencia es la de la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión
absoluta. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión
manométrica.
Una sencilla ecuación relaciona los dos sistemas de medición de presión:
Donde:
Pabs - Presión absoluta
Pman - Presión manométrica
Patm - Presión atmosférica
1.3 RELACION ENTRE PRESION Y ELEVACION
Cuando uno se sumerge cada vez más en un fluido como en una piscina, la presión
aumenta. Existen muchas situaciones en las que es importante saber exactamente de
qué manera varía la presión con un cambio de profundidad o de elevación.
El cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo debido al cambio en elevación
se puede calcular a partir de:
DONDE:
lip - Cambio de presión
y - Peso especifico del liquido
h = Cambio de elevacion
Nota: La ecuación es válida para un líquido homogéneo en reposo.
Gula Aux. José Luis Huanca P. Página 1
UPLOADED BY JORGE BLANCO CHOQUE

PROBLEMAS RESUELTOS
P-1.1 Un líquido de peso especifico l.2S [g/cm
3
], llena parcialmente el reservorio esférico
de la figura . ¿Cuál será la intensidad de la presión en un punto situado a O.SS [m] debajo
del punto C (punto D)?
SOLUCION:
B
o.38 lmJ
y1= 1.25 [g/cc]
y2=13.6 [g/cc]
(2)y(3) en......(1)
Re ernplazando :
101325 ~ - 0.38111*(13600 *9.81) ~ =P0 - 0.55111 *(1250 *9.81) ~
m m m
P0 = 57.37 KPa presion. absoluta
P-1.2 Calcular la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería de la figura
por la que circula agua, el líquido en el piezómetro tiene una densidad relativa de 2.96,
(Tome como datos adicionales h=0.6m, z=O.Sm)

h : 0.6 m
X
BH,~
z
A
SOLUCION:
Balance entre los puntos A y B
P4 =P¡ + Yu-o *X..........(l)
Po = Pi +rN,O * Y..........(2)
Restando (1) - (2):
PA- Po =Pi + rfl,O *X - Pi - rfJ,o * y
P¡ - P2 = PA- PB - YN,O*(X - Y)...........(3)
La diferencia de presiones entre A y B: PA- P8 =r*Z ..........(4)
Delagrafica: X = Z + Y + h ➔ X - Y = Z + h..........(5)
Reemplazamos (4) y (5) en (3):
P¡ - P2 =r*Z - r11, 0 *(Z + h)
Reemplazando valores se tiene:
P¡ - P2 = (2960*9.81)
1
~ *0.5111- (1000*9.81) ~ *(0.5 + 0.6)n1.
,n rn.
IP¡ - P2 =3.73 ~1

P-1.3 Para el tanque que muestra la figura calcular el valor de H.
SOLUCION: (+!,-i )
p ag,w +<)ªS"". g. 0.2 - <)Hg . g. /-J +Ó. g. 0.3 =~,ceite
30cm
t
Aceite
16(kPa)
H =P,,guil- p aceil, +(8ª8"" •0.2 +() •0.3)g
81/g • g
H = 40- 16+(9810 ·0.2+9810·0.92·0.3) = O. l
743
(ni)
13.6·9810
1
H =l7.43(1n)1
Agua
40(kPa)
20cm
mercurio
P-1.4 Encontrar la diferencia de presiones entre los puntos M y N en función de z, s,h;
( s = r' l
r
SOLUCION:
r
Balance entre los puntos M y B
P.11 =PB - Y* m.....(1)
Balance entre los puntos C y N
M
-·1•· z
,n
Balance entre los puntos By C h +
_
________
P8 =P
e + y'*z .......(3) N
---•--
(1) + (2)
P = P -y*m
]
M B ⇒ P + P = P - y* ,n+ P - r* n
P, - P _ * M e s ,v
C - N Y n,
r'
Por geometría: h-,n = n-z➔ h+ z= 1n+n. .....(5)
r

~1 - PN =r'*z- r*(h+ z)
r'
Pero: s = - ➔ r'=s*r ⇒ P.w -PN=s*r*z - r*(h +z)
r
PM -P
N =r* [s*z- (h+ z)] ⇒
P-1.S Un piezómetro conectado a un tanque contenido agua como se muestra en la figura,
el liquido en el piezómetro es mercurio (Dr= 13.6). Cuando la superficie del tanque esta
en A, el valor de Hes 0.6(m). Hallar el valor de H cuando la superficie del agua en el
tanque esta en B=S(m) sobre A.
SOLUCION:
Inicialmente en el nivel D se cumple:
Patrn +y* z=Patn1 - y*Ji
r• 13.6 . o6 8 6
z= - *h= --"' . = .l (1
n)
r l
Luego en la situación final cuando el
nivel del agua en el tanque esta en B. el
punto D baja una distancia Y, lo mismo
ocurre con el punto C por lo tanto en el
nivel D se cumple.
z
8
A
1-- -·-------·
-
h=0.6 (m)
- -------------------- 1- -- ~ -·

UMSA-FACULTAO DE INGENIERIA
8
t -
- ,-
z
h
Df 1----- -
--------------------- - --
Di
Cf
GJ
OPERACIONES UNITARIAS PET-245
Pahn +y *5 +r * z+ y* y = Pahn +r' *(y +h+y)
r*5+r*z-r' *h=2*r' * y- y*y
r*(S+z) - r ' *h 1*(5+8.16) - 13.6*0.6
(2 *r' - r) = y ➔ y = (2*13.6- 1)
y = 0.19083 (rn)
Pero de la grafica:
Hf=h+y+y=.6+2 *0.19083=0.982(m)
P-1.6 En el sistema de manómetros, mostrado en la figura. Determinar al diferencia de
presiones en el punto A y B, es decir (A-B).
Yz ......__
M N
- -
- •
•
H2
- •
H1
Y1 A '
A H3
8
•
.
Y3 -
SOLUCION:
Del gráfico: PM = PN.............. a

pA= Y1 H1 +Y2 H2 + PM
Ps = y3 H3+ PN
REEMPLAZANDO (1) Y (2) EN*:
PA-Yl H1 -rzH2= Ps-Y3 H3
R.- (PA -PB=r1 H1+ r2 H2 -r3H3(
* Otra forma:
Empezamos del bolo izquierdo:
PA- Hl- H2 + H3 = PB
R. -!PA-PB =ylHl+ y2H2- y3 H
31
PM = PA- Yl H1 -rz Hz........................ (1)
PN = Ps - y3 H3.................................. (2)
P-1.7 En el sistema mostrado en la figura. Determinar la diferencia de presiones entre los
puntos A y B.
Y
1
B
A
y2
SOLUCION:
(+) (-)

P-1.8 Un liquido A tiene un peso especifico de 9.4 KN/m3 y el liquido B tiene un peso
especifico de 11.4 KN/m3. El líquido manométrico es mercurio. Si la presión de B es de
210 KPa, halle la presión en A:
SOLUCION:
kN kN kN
P¡ = P8 - 6l.56- , = 210- , - 61.56- , =148.44kPa
,n- ,n- m-
Donde:
9.4tNhn3
~
400mm
2m
P6 P5
♦
( A (Hg)=13.6
----------
___,/
3 m
'11.4kNhn3
Por otra parte se tiene P3:
____________
{B_
Donde:
P1 = Pi +11.4 k~ *0.4,n =l48.44kPa +4.56kJ)a =153kJ)a
m
Se tiene P5 bajo la siguiente relación:
~ =P; +13.6*9.81 kN_ *0.4rn
mº
kN k1V kN
P; =~ - 53.37 ~ =153- 2
- 53.37~ =99.63kPa
rn rn m
Sabiendo que:
La presión en el manómetro A es:
PA=Pr, +9.4 ktv_ *2.4m
mº
PA= 99.63k~ +22.56k~ =122.19 [kPa]
nr rn-
IPA=122.19 [kPa]I
Gula Aux. José Luis Huanca P.
J
Página 8

CAPITULO 2
"FUERZA SOBRE AREAS PLANAS"
2.1 INTRODUCCION.
En el presente capítulo se presenta los métodos de análisis utilizados para calcular la
fuerza ejercida sobre un área plana. También se analizarán las fuerzas sobre superficies
curvas.
En la figura de abajo se muestra la distribución de presión sobre el muro de contención
vertical. Como se indicó en la ecuación t.p=yh, la presión varía linealmente (como una
línea recta) con respecto de la profundidad en el fluido. La longitud de las fechas
punteadas representa la magnitud de la presión de fluido en diferentes puntos sobre la
pared. Debido a esta variación lineal en la presión, la fuerza resultante total puede ser
calculada con la ecuación:
Donde:
1FR = P,,,0m *A 1
Pprom = es la presión promedio y
A = es el área total del muro que se encuentra en contacto con el fluido.
Pero la presión promedio es la que se encuentra en la parte media del muro y puede
calcularse mediante la ecuación:
En la que hes la profundidad total del fluido.
- /
- /
/
h /
- / P prmtU!dii,
2 2 I
- h I
3 /
/
J,
I
/
I
I Centro de
1 I
- /¡ I preswnes
3 I
/

Por tanto, tenemos:
.(h)
FR=r* 2 *A
.2.2 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED
RECTANGULAR:
l . Calcule la magnitud de la fuerza resultante, F., empleando la siguiente ecuación:
DONDE:
y =
h =
Peso especifico del fluido
Profundidad total del fluido
A = Área total de la pared
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 a partir del pie de la
pared ó en su caso a 2/3 h desde la superficie libre del fluido.
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.3 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED RECTANGULAR
INCLINADA:
/¡
Gula
2
- h
3
1
-h
3
'iJ
-
-
-
h
2
"--.e.R
Aux. José Luis Huanca P.
,
'
'
,
,
' '
cg¡
/
cp¡
,__ Centro de
presiones
Página 10

l. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, FR, empleando la siguiente ecuación:
FR =r*(~)*A
• Para calcular el área de la cortina, se necesita la altura de su cara, denotada
con "Y" como se observa en la figu ra anterior.
h
sen0 = - ⇒
y
h
Y = - -
sen0
• Entonces el área de la cortina es:
A = Y* L
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 o medido a partir del
pie de la pared sobre el largo de la superficie de la cortina.
y
Ycp= Y - -
3
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.4 AREAS PLANAS SUMERGIDAS GENERAL
El procedimiento que se analizara en esta sección se aplica a problemas que involucra
áreas planas, ya sean verticales o inclinadas, completamente sumergidas en el fluido.
Como en problemas anteriores, el procedimiento nos capacitara para calcular la magnitud
de la fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión, en donde
podemos suponer que actúa la fuerza resultante.
En la figura se muestra un tanque que tiene una ventana en una pared inclinada. Los
símbolos utilizados en el procedimiento que se describirá mas adelante, se muestran en la
figura yse definen a continuación:

-
-
hcg
' '
h
' '
' ' '
'
'
'
'
'
'
' ' '
'
' '
' '
'
'
' '
' '
U11~r d.-
r4!fornrdt1
Vl,·t, pru.vn:1,ub.t drl
11r~t sOhll Ju t:ut1/ .~I'
Donde:
FR = Fuerza resultante sobre el área, debida a la presion de fluido
0 = Ángulo de inclinación del área.
hcg = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área.
Ycg = Distancia existente desde la superficie libre del fluido al centroide del área,
medida a lo largo, del ángulo de inclinación del area.
y = Peso especifico del fluido.
Mx = Momento de primer orden con respecto a su centro de gravedad.
lcg = Momento de Inercia respecto al centro de gravedad de la superficie ó
momento de segundo orden.
,
A = Area de la compuerta que se encuentra en contacto con el fluido.
La magnitud de la fuerza resu ltante, FR, se calcula empleando la siguiente ecuación:
1FR =r *hcg *A 1
2 .SCENTRO DE PRESIÓN
Es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante
para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera, debida a la
presión del fluido.

Jcg
Yc¡J = -~- +Ycg
Ycg* A
NOTA. El momento de Inercia va difiriendo de la forma que presenta la superficie como se
puede demostrar en el siguiente Ejemplo, de base "b" y de altura "h" respecto a un eje
que pasa por el centro de gravedad y sea paralelo a la base:
.!.,. I !
2 · - · - · - ·• · - - · - . "
1 1 '
- !t 1
1 '
I◄ ►I
b
A = b* h
b*ll
I = - -
,, 12
Ce111roide
:I -··-· -·-·
I◄ b
A = b*h
2
l,*lr'
I =- -
,, 36
2.6 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Centroide
d
.
·-·-·-·~-·-·-
'
'
,
,r*d·
A=- -
4
7l *ti''
I,, = 64
ti
2
En la figura se muestra un muro de contención que contiene un líquido y cuya parte
superior está expuesta a la atmósfera, cuya superficie abe es una cuarta circunferencia y si
vemos con la profundidad es un segmento de un cilindro. En este caso interesa la fuerza
que actúa sobre la superficie curva debida a la presión del fluido.
w
.__ x_ --t.r-7
h F11
2.6.1 COMPONENTE HORIZONTAL
/
/
I
a
e
La pared solida vertical que se encuentra a la derecha ejerce fuerzas horizontales sobre el
fluido que esté en contacto con ella, como reacción a las fuerzas debidas a la presión del

fluido y se encuentra ubicada a una distancia h/3 del pie de la pared.
La magnitud de FH, y su posición se puede encontrar utilizando los procedimientos
desarrollados en superficies planas. Esto es:
A = h * L..........................................(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
-------~
h
FH =y *2* (h* L)
Su centro de presión desde la superficie libre líquido será:
2.6.2 COMPONENTE VERTICAL
2
hcp =-h
3
La componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido puede
encontrarse sumando las fuerzas que actúan en dirección vertical. Únicamente el peso del
fluido actúa hacia abajo y solamente la componente vertical, Fv actúa hacia arriba.
Entonces, el peso y el fluido deben ser iguales entre sí en magnitud. El peso es
simplemente el producto de su peso específico por el volumen del cuerpo del fluido
aislado. El volumen es el producto del área de la sección transversal, que se muestra en la
figura anterior (a,b,c) y la longitud de interés es "L". Donde la Fv es:
Fv =W= y* V
Su centro de presión desde la superficie del muro será:
4R
X =--
3 7r
La fuerza total resultante, FRes:
La fuerza resultante actúa formando un ángulo 0; con respecto de la horizontal, y se le
puede calcular por medio de la ecuación:

0 = tag- l(t )
2.6.3 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA EN UNA SUPERFICIE
CURVA SUMERGIDA.
Dada una superficie curva sumergida en un líquido estático, se puede utilizar el siguiente
procedimiento para calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante
sobre la superficie:
l. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie.
2. Calcular el peso del volumen aislado.
3. La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso del
volumen aislado. Actúa en línea con el centroide del volumen aislado.
4. Dibuje una proyección de la superficie curva en un plano vertical y determine su al
tura, en este caso representado por la letra "s".
S. Calcule la profundidad del centroide del área proyectada con la ecuación:
hcg =h +!....
2
6. En la que hes la profundidad de la parte superior del área proyectada.
7. Calcule la magnitud ce la componente horizontal de la fuerza resultante, a partir de
de:
.'
FH = r *A*hcg = r * (s*L)* (h +- )
. 2
8. Calcule la profundidad de la linea de acción de la componente horizontal con la
••
ecuac1on: 3
L * s
- ,
l s-
hcp= .< + hcg = 12 + hcg =- - -+ hcg
hcg* A hcg * (L* s) 12*hcg
9. Calcule la fuerza resultante con la ecuación:
¡,~ =.J¡,~ 2 + ¡,-;,1
10. Calcule el ángulo de inclinación de la fuerza resultante con respecto de la
horizontal, utilice la ecuación: ( F. )
0 =tag -
1
F:
11. Muestre la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva en la dirección de
tal forma que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie.

PROBLEMAS RESUELTOS
P-2.1 Cuál es el empuje que se ejerce por el agua en una compuerta vertical de 3 x 4 [m]
cuyo tope se encuentra a S[m] de profundidad.
[
/(9]
YHzO =1000 m3
S[m] S[m]
ji
eg_____ __
CP" ··---- ---------------------------------------------------.iJ
SOLUCIÓN:
4[rn]
En el problema: h = y= 1.S[m] + 5.0(m] =6.S(m]
A= (3 x 4)[m] = 12(m2
)
E = yhA = 1000 [~[ ] x 6.S(m] x 12 (m2
]
1
E = 78000[Kgr ]
1
Cp
P-2.2 Determine la posición del centro de presiones para el caso de la compuerta del
problema anterior.
- fo
Yp=y + yA ... ... ... ... ... ... .... (a)
Donde: f0 = momento de inercia con respecto al centro de gravedad
1 1
/ 0 =
12
bh3
=
12
(4m)(3m)3
= 9[m4
] .. ....... ... ...... ......... ... (/3)
{3 en a
9[m4
]
Yp = 6.S[m] + ( )( 2 )
6.Sm 12m
P-2.3 Determine la coordenada del centro de presion (Cp) de las siguientes áreas situadas
en planos verticales y la magnitud de la fuerza F

a) Paralelogramo
h
SOLUCIÓN:
Sabemos:
' '
:◄ b ►: ( supe1ficie)
,:...----..,
'
'
- h
F =yhA y h = y =-
______ 2
Entonces:
f = y h bh2
2
b) Rectángu lo
•
H
•
b
'
Cp
b
F=yM ✓
1
F = -ybh2
2
•
y
- h
h=y=-+H
2
h
.
,
.
,
2 (H - h)3
- H3
F = y(
2+H)bh
Yp =3 (2H +h)h

P-2.4 Un dique con 4[m] de altura y lO[m] de ancho presenta un perfil parabólico aguas
arriba. Calculé se la resultante de la acción del fluido. (Solución numérica).
SOLUCIÓN:
H,0
/¡ =4n1I F,,
--+--+---
1.5,n
Componente Horizontal:
h
FH =y. - . b. h
2
X
F
' N
'
►
IFy
1
A 1-
2.511'1
F11 Fx
[
Kgf] 2
Fv =1000 m3 •
3·1.S[m] · 4[m] · lO[m]
F,, =40000 [Kgf] *
[
Kgf] 4
Flf = 1000 m3
•
2
[m] · 4[m] · lO[m] Donde se aplica: (x)
5 5
i = Xp =
8
· r =
8
· 1.S[m]
Donde se aplica: Xp =0.94[m]
2 2
Yp = 8
• h; Yp = 8
• 4[m] Para la resultante {R)
Yp =2. 67 [m] *
Componente Vertical: R = Jcaoooo)2 + (400000)2
Fv = y ·Aso · b = y · (!r · h) · b
R = 89442. 7 [Kgf] *

P-2.5 La compuerta de la figura .Tiene 3 [m] de longitud. Calculé se la magnitud y
ubicación de los componentes de la fuerza que actúan sobre ella.
,,..._, ,,..._, ,,..._,
,,..._, ,,..._, ,,..._,
A w e
,,..._, ,,..._, ,,..._,
Solución: Calculo de la Fuerza
Horizontal.
Fh =y. h. AAB
FH = (~)- b · h
2
Yp = 3
· 2[m]
Yp = 1.33[m] *
Calculo de la fuerza Vertical:
Fv =y· V
Fv =y· AAB · b
[
Kgf] 2
FH =1000 m3 •
2
[1n] · 3[1n] · 2[1n] (
rr. h
2
)
Fv =y·
4
· b
F1t = 6000[Kgf] *
Calculo de Yp:
l
Yp =Ycg +y; . A
cg CB
h b · h3
Yp =2+ 'h
12 · (2) · b · h
h h
Yp =2 + 6
2
Yp =3·h
Gula
Fv =9424.B[Kgl] *
Calculo del lugar donde se aplica (x)
4 · h
x=--
3n
_ 4 · 2[m]
x=---
3n
X = Xp = 0. 849[m]
Aux. José Luis Huanca P. Página 19

UMSA-FACULTAD DE lNGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
P-2.6 El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre
la pared ABC, que tiene 1.2m de anchura.
SOLUCION:
La fuerza total sobre ABC es igual a (PAs +P6c), Hay que encontrar
cada una de las fuerzas, situar su posición y aplicar el principio de
momentos y por ultimo hallar la posición de la fuerza total
resultante sobre la pared ABC.
3111
Aceile
(Dr = 0.8)
¡l.8111 Agua
A
B
e
a) PAs =(0.800 x 1000)(1.5)(3 x l .2)=4320 kg, que actúa en el punto (2/3)(3) m de A, o
sea, 2 m por debajo. Puede obtenerse este mismo aplicando la formula conocida,
como sigue:
1.2(33
)/12
Ycp =1.5(1.2 x 3) +1.5 =0.5 + 1.5 =2. 00 m de A
b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido superior puede tenerse en
cuenta por la altura o profundidad de agua equivalente. Se emplea en este
segundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambio
de los 3 m de aceite en los 0.800 x 3 = 2.40 m de agua. Por tanto,
P8 c = 1000(2.4 + 0.9)(1.8 x 1.2) = 7128 kg, que actúa en el centro de presión
1.2(1.83
)/12 .
Ycp = 3
_
3
(
1
_
2
x
1
_
8
) + 3.3 = 3.38 m de O o bien 0.6 + 3.38 =3.98 m de A
La fuerza resultante total = 4320 + 7228 = 11.448 kg, que actúa en el centro de presión
que corresponde al área total. El momento de esta resultante= la suma de los momento
de las dos fuerzas parciales anteriores. Tomando momentos respecto de A,
11.448 Ycp =4320 X 2 +7128 X 3.98
Ycp = 3.23 mdeA
Pueden emplearse para este cálculo otros métodos, pero el presentado aquí reduce los
errores tanto en el planteamiento como en los cálculos.
Guía Aax. José Luis Huanca P. Página 20

P-2.7 Refiriéndose en la figura, calcular la fuerza de presión que ejerce el fluido de
benceno sobre la compuerta y localice la fuerza de presión. Muestre la fuerza resultante
sobre el área y señale claramente su localización.
SOLUCION:
Benceno
0.80111
(SG= 0.88)
,
Ubicando su punto de acción de la FR
I
hcp = h +hcg =>
A* cg
hcp
sen702 =--
Ycp
=>
,
,
,
,
Calculo de la Fuerza Resultante :
FR = SOBEN *YH20 * hcg *A ......(ec. 1)
Donde:
hcg =(0.80m +sen70º * 0.501n +:; * sen70º)
(
4 * 0.75m )
hcg = 0.80m +0.47m + 3
rr * sen70º
hcg =1.569m
Sustituyendo en (1)
FR = 0.88 * 9.81 :~ * 1.569 * (rr*
8
D
2
)
KN (rr* (1.5m)
2
)
FR = 0.88 * 9.81 m 3
* 1.569 *
8
FR =11.97KN
(6.86 * 10- 3
) * D4
hcp = 0 8 2 9
+ 1.569m
. 84m * 1.56
hcp = 1. 594m
hcg 1.569
Ycp = ---= ---= 1.67m
sen70º sen70º
Ycp = 1.67m

P-2.8 Para el tanque de agua que se muestra en la figura, calcule la magnitud de la fuerza
de presión que ejerce el fluido de agua sobre la compuerta y localice la fuerza de presión
SOLUCION:
Calculo de la Fuerza Resultante:
FR =sg8 eN *YHzo * hcg *A ... ... (ec. 1)
Donde su centro de gravedad es:
18" 20'"
hcg = (1.Spie + cos50º * O.Spie +!1.67pie
* cos50º)
hcg = 2.533pie
, hcg hcg
losSOº = y => Ycg = C SOº
cg os -
=3.94pie
Por otra parte el área se obtiene:
2.533pie
CosSOº
b * h 2.Spie * 1.67pie 2
Area =
2 2
= 2.083pie
Sustituyendo hcg y el área de la compuerta en (1):
lb
FR = 62.4 . 3
* 2.533pie * 2.083pie2
= 329. 24 lb
pie
Ubicando la fuerza resultante:
Yr ¡1
AGUA
b * h3
2.Spie * (l.67pie)3
,
,
,
1 36 36 .
Ycp=y A+Ycg=y A + Ycg=
094
.
2083
. 2 + 3.94pte
cg * cg * . pie * . pie
Ycp =3.98pie
,
P-2.9 Determine el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos de
densidades: 0,8 y l. La línea de separación de los líquidos pasa por el centro de la esfera:
30'"

UMSA-FACULTAD DE lNGENIERIA
SOLUCIÓN:
w
mg = Y1 (~) + Y2 (~)
1 1
Y3 = 2 CY1 + Y2) = 2 (8000 -1000)
:. Y3 =0.99[/ cm3
...-..._,,r··.
¡,
E2 l,'2
P-2.10 Un tronco cilíndrico tiene un diámetro de 450 mm y una longitud de 6.75 m.
Cuando el tronco está flotando en agua dulce con su eje más largo horizontal, 110 mm de
su diámetro está por encima de la superficie. ¿Cuál es el peso específico de la madera del
tronco?
110 m
X X
115 m e e
450 mm
R=250 m
SOLUCION:
w= F ·y V = y V
b ' ~
vood T ~
v d
Guía Aax. José Luis Huanca P.
0=Arcsen(150/225)=3O.742
B=
Página 23

1l'D2 1r(450f 3
Vy = 4 · L = 4 ·6.750 =1.074111
[
;rr/)2 fJ ] ]
Vt1 = - ·-+-(2xx115
) L
4 360 2
V = [ ¡z-(0.4
5
)2 . 2415
+ .!_(0.!934y0.l 15)]6.75rn3
= 0.8703ni3
J 4 360 2 ~
Yum>d =(9.8lkNI 1
n
3
xo.8703/1.074)=7.95kN/ 1
n
3
Ywotul =7.95kN/ ,n3
P-2.11 En la siguiente figura, un cilindro de 2,4 m de diámetro cierra un agujero
rectangular en un depósito de 0,9 m ¿Con que fuerza queda presionado el cilindro contra
el fondo di deposito por la acción de los 2.7 m de profundidad de agua?
2 .1 m
FIGURA
Pv =fuerza hacia abajo sobre CDE - fuerza hacia arriba CA y BE
= 1000*0.9[(21*24 - .!_.ir*12
2
) - 2(21 * O162 + -
1
;r *12
2
- .!_*O6*l 038)]
' ' 2 ' ' ' 12 ' 2 ' '
=2500-810=1690 [ kg hacia abjo ]

CAPITULO 3
"TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS"
3.1 INTRODUCCION.
Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido a
una aceleración constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de las
condiciones del equilibrio relativo y el fluido está libre de tensiones cortantes. En general
no existirá movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Son aplicables aún
los principios de la estática, modificados para tener en cuenta los efectos de la
aceleración.
3 .2 MOVIMIENTO HORIZONTAL
En el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posición
inclinada y plana. La pendiente del plano se determina mediante:
a (aceleracion lineal del recipiente,ni / s2
)
~0= . ,
g (acelerac,on de la gravedad,111/s-)
3 .3 MOVIMIENTO VERTICAL
Para el movimiento vertical la presión (kgf/m
2
o Pa) en un punto cualquiera del líquido
viene dada por:
en la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración es hacia arriba y el negativo
cuando la aceleración constante es hacia abajo.
3 .4 ROTACION DE MASAS FLUIDAS
• RECIPIENTES ABIERTOS
La forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene es
un paraboloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolución
corta a la superficie libre según una parábola. La ecuación de esta parábola es:
Guía
2
ú) ?
y= - x-
2g
Aax. José Luis Huanca P. Página 25

donde x e y son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie,
medidas con el origen en el vértice situado en el eje de revolución, y "w" la velocidad
angular constante, medida en radianes por segundo. La demostración de esta fórmula se
da más adelante.
• RECIPIENTES CERRADOS
En los recipientes cerrados aumenta la presión al girar los recipientes. El aumento de
presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje, en el
mismo plano horizontal, es:
(j)2 ?
p = y- x-
2g
y el aumento de la altura de presión (m) será
que es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como la
velocidad lineal v=x*w, el término x
2
w
2
/2g = v
2
/2g da la altura de velocidad, en m, como
se verá más adelante.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-3.1 Problema: Un vaso de 1.22[m] de diámetro está abierto y lleno de un liquido como
muestra la figura . Determinar el volumen derramado del liquido cuando el cilindro gira
sobre su eje vertical simétrico.
SOLUCIÓN:
w
1
4 y ~
,
D = 1.22[m]
Guía
H =1.83[m]
.
..
Aax. José Luis Huanca P.
w =60rpm
2n 1S
w =60rpm* - - *-
60rpn, l m
w = Zn[rad]
2
Y =~ *x2
2•g
y= Q.75[m] Altura del paraboloíde
Página 26

H =y+ h ~ h = H - y= (1.83 - 0.75)[m]
h =l .08[n1..]
Vderra,nado =Vparaboloide de rebolucion
1
Vparaboloide de reboluclon = 2
Vcilindro circunscrito
1 2
Vderraniado = 2
(n:r )y
1 2 3
Vderr,m11td o =
2(n:0.61 )0.75 m
Vderramado =O. 44m
3
Rpta.
P-3.2 Un vaso cilíndrico abierto está lleno de líquido. ¿A qué velocidad deberá girar sobre
un eje vertical para el liquido deje descubierto en el fondo un circulo en el fondo de radio
(3R/4) del cilindro. ¿Cuál será el volumen del líquido derramado con esta relación? El vaso
tiene 1.6 (m) de diámetro y 2(m) de altura:
SOLUCIÓN:
w2 z
H =Zg(R ) ... ... ... (1) Y =;; (!R)
2
...... . .. ........... (2)
pero H = 2(m) +Y ... ...... (3) remplazando (l )y (2)en (3)
w
2
R
2
w
2
(3 )2
w
2
R
2
( 9)
- - =2+ - - R - - 1 - - =2
2g 29 4 29 16
w2R2(!_) - 2_6+g
29 16
- 2 W -
7
R2 con10 R = 1,6(m) y 9 = 9,81 m/s2
.
.. W=
64 * 9,81cm/s2)
7 * (1,6(m))2
rad
W =5.92-
s
para el volumen: Vderra,nado =Vparabota
1 2 1 2
Vderramado1 =
2rcR H =
2n:(0,8) * 4.SS(m) = 4.574(m) ......... (1)
1 3 2
Vderramado2 =
2rc (¡* 0.8) * 2.SS(m) = 1.442(m3
) ............... (2)
Vderramado(Total) = Vdl - Vd2 = (4.574 - 1.442)(rn3
)
Vderramculo(Total) = 3. 13 (m3
)

P-3.3 Un paraboloide de revolución cuyo diámetro es "d" la base es igual a su altura, flota
con su eje vertical y vértice hacia abajo, determine la densidad relativa mínima del
paraboloide con respecto al líquido para que la flotación sea estable.
SOLUCIÓN:
Paraboloide AOB
rr 2 rr (D)2
rr 2
VAoB = zR H = z z H =
8
D H
siH = D
rr 3
VAOB =8H ... ............ ...... ... ... ... ..... (1)
Paraboloide EOF
rr 2 rr (d)2
re 2
VEOF =zr h=z 2 h =ad h ...... ...... ... ......... (2)
pero: W = E VYAoB = VYEoF ............ ... ...... (3)
(2)y (3)
' n 3 n: 2
Y* - H =y* - dh
8 8
y' d 2 h
-= ~ ............. (4)
y H
tambien Y= Kx2
ecuacionde laparabola
si : X = R cuando Y = H
H = K R2
... ... ... .... (5)
si: X =r cuando Y= h
h - Kr ......... .... 6
. - 2 ( )
(5)
(6)
H R2
(i)
2
h - r Z - (~)2
H H2
pero D = H -= -
h d2
2
D
h2
d 2
=H*h ... .............. (7) (7)en(4)
fo=~
y
y H2
:. h = ~* H ... ....... . (8)
✓r -
paraque sea estable metacentro
1
CGCF = MG = -
Vd
0=4
A,.,.____-111------aB
H
h
- -
Cg
2H/s
~
2h s
Página 28

de tablas:
- I (;4)d2
1d2
MG = Vd = ?!. = 8h ........... (9)
8
2 2 2
CG CF =S H - S h = S (H - h) ............. (10)
si la flotaciones estable MG =CG CF igualando (9)y (10)
2 d2
S = (H - h) = Sh ... ........ (11)
2 H * h 5
S (H - h) = Sh 2H - 2h =
8
H
11
h =
16
1-1 ................... (12) igualando
11 (i
16H= ✓Y*H
•
l'
:. - =0,473
l'
y' _ (11)
2
- - -
y 16
(7)en (11)
11
-H = 2h
8
(8)y (12)

CAPITULO 4
"FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACION DE BERNOULLI"
4.1 RAPIDEZ DE FLUJO DE FLUIDO
Es la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar
mediante los tres términos que definimos a continuación.
La Rapidez de Flujo Volumétrico (Q), es el volumen de flujo de fluido que pasa por una
sección por unidad de tiempo y esta es la más importante entre los tres términos que se
menciona y se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde:
A = es el área de la sección
V = es la velocidad promedio del fluido
4.2 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE PESO (W), es el peso de fluido que fluye por una sección
por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
DONDE:
W= r *Q
IW = r* A *v ]
W = es el peso específico del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen
4.3 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE MASA (M), es la masa de fluido que fluye por una
sección por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
M=p * Q
IM= p * A *v i
Donde:
p = es la densidad del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen

4.4 E(:UACION DE CONTINUIDAD
Esto es, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado, es
constante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante, entonces la masa de fluido que
pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el
mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:
Considerando que el fluido que se encuentra en tubo es un líquido que puede ser incomprensible,
entonces los términos p1 y p2, son iguales, entonces la ecuación anterior resulta :
1 AL* v1= ~ * v2 I
Esta ecuación de continuidad es aplicada a líquidos; establece que para un fluido estable, la
rapidez de flujo de volumen "Q" es la misma en cualquier sección.
4.5 CONCERVACION DE LA ENERGIA - ECUACION DE BERNOULLI
En un problema de flujo en conductos toma en cuenta la energía del sistema. En física us ted
aprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un
tipo a otro. Este es el enunciado de la "ley de conservación de la energía".
Cuando se analizan problemas de flujos en conductos, existen tres formas de energía que siempre
se tiene que tomar en consideración. Tome un elemento de fluido, como en el que se muestra en
la figura adjunta. Puede estar localizado a una cierta elevación"z", tener una cierta velocidad "v" y
una presión "p". El elemento de fluido tendría las siguientes formas de energía:
4 .5.1. ENERGÍA POTENCIAL {PE}: Es debido a su elevación, la energía potencial del elemento
con respecto de algún nivel de referencia es:
PE = m *g *z.............(l)
Reemplazando (2) en (1) w = m* g....................(2)
IPE=w*z l
4.5.2 . ENERGÍA CINÉTICA (KE}: Es debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es:

Reemplazando (2) en (1)
1 ?
KE =-,nv- ...............(1)
2
w
,n=-.......................(2)
g
2
KE=w v
2*g
4.5.3. ENERGÍA DE FLUJO (FE): En ocasiones conocida corno energía de energía de presión o
trabajo de flujo, está presentada por la cantidad de trabajo necesario para mover el
elemento de fluido a través de una cierta secci6n en contra de la presión "p". La energía
de flujo se abrevia FE (Flow Energy) yse calcule a partir de la siguiente ecuación:
Trabajo = 0 FuERZA> *4L0Nc;rruo1········<l)
¡.;
P 1PRES!ON) =-¡ ➔ F =p *A..........(2)
Sustituyendo (2) en (1)
Trabajo = P* A*L ..........................(3)
V(volurnen) = A* L..........................(4)
Reemplazando (4) en (3)
Trabajo =p *V................................(5)
J,V
r =- ...............................................(6)
V
r:-'Erb· p
r. = ra a10= - w
r
La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma,
representada con E.
E=FE+PE+KE
P
v2
E=w-+wz +w-
r 2g
Considerando en la siguiente figura que el fluido se mueve de la sección 1 a la sección 2.
Los valores de p, z yv son diferentes en las dos secciones.

Bemenro ,te Fluiilo
2
Elemt'1i~ ,le FfuiiW
,
En la sección 1, la energía total es: En la sección 2, la energía total es:
p V
2
JJ,, v,,
2
EJ = w- 1
+ wz1
+w- i
-
r 2g
E,, = w-- + i,vz,,+i,v -
- r - 2g
Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio
de conservación de la energía requiere que:
2 2
w Pi+ wzi+w~ = w P2 + i,vz,,+w v2
r 2g r - 28
El peso del elemento, w, es común en todos los término.s y se le puede cancelar. Le ecua-
ción, entonces, resulta:
2 2
Pi V¡ JJ,, V2
- +z1+- = - - +z2+-=--
r 2g r 28
A ésta se la conoce como ecuación de Bernoul/i.
4.6 INTERPRETACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Cada término de la ecuación Bernoulli es el resultado de dividir una expresión de la energía
entre el peso de un elemento del fluido. Las unidades de cada término pueden ser
newton-metro por Newton (N-m/N) en el Sistema Internacional y libras-pies por libra (lb-
pie/lb) en el Sistema Británico de Unidades. Pero la unidad de peso, el newton (N) o la
libra (lb), pueden cancelarse, dejando solamente una unidad de longitud, el metro (m) o el
ple.

Por tanto, los términos de la ecuación de Bernoul!i se conocen, a menudo como
"cabezas"; refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El término "p/y"
se conoce como cabeza de presión; a "z" se le llama cabeza de elevación; y al término
"V
2
/2g" se le conoce como cabeza de velocidad. La suma de las tres se conoce como
cabeza total. Observe que debido a la suposición de que no se pierde o se agre.ga energía,
la cabeza total permanece a un nivel constante, por consiguiente la altura relativa de cada
término varía según lo establecido por la ecuación de Bernoulli.
Línea de alturas totales
Línea de alturas piezométricas
,'.z
-
1
=Cc,he:., d« velocidad
2g
z,= 'abe,11 de elevacion
D
►
Flujo
Plano de referencia
V'
.2.... =Cabeza ,le velocü/ad
2g
P, =Cabe;.a de presián
r
-
1
=Cabeza de elev,1cio11
D
En la figura adjunta usted verá que la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor que
en la sección l. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad:
A* v - A*v
1 1 - l 2
A
V = J *- 1
2 1 Ai
Puesto que A1<A2, V2 debe ser menor que V1, y como la velocidad está al cuadrado en el
término correspondiente a la cabeza de velocidad, V2
2
/2g es mucho menor que V1
2
/2g.
Consiguientemente, cuando el tamaño de la sección se expande como lo hace en la figura
anterior, la cabeza de presión aumenta debido a que disminuye le cabeza de velocidad.
Sin embarco el cambio real también se ve afectado por el cambio en la cabeza de
elevación.
En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación, de
presión y de velocidad entre dos puntos, en un sistema de flujo de fluido. Se supone que

no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabeza
total permanece constante.
4.7 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLI
Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos,
existen limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de
manera correcta. Entre estas limitaciones se tiene las siguientes:
• Es válida solamente para fluidos incomprensibles, puesto que el peso específico
del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
• No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pu-
dieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la
energía total del fluido es constante.
• No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido.
• No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.
En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existen
muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se les
aplica la ecuación de Bernoulli. Por otro lado, el uso de tal ecuación puede permitir una
rápida estimación de un resultado, cuando eso es todo lo que se necesita.

PROBLEMAS RESUElTOS
P-4.1. En la siguiente figura, están circulando 0.370m3
/s de agua de Aa B, existiendo en A
una altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no existen perdidas de energía entre A y
B determinar la altura de presión en B. Dibujar la altura de líneas totales.
o
Línea de altura•
s totales
- =0.09111

Vb"
-,:----.-------"'------ - - - - - -- - 2g
"· 6.6111
y
z,, 3.0111
Línea de alturas piezométricas _ , _ . - . - · - · - · - · - · -
.- -- -- ·- ·- ·-·- · P. -3.41111
-------r----..,..Jh. 3.41111
r
B60cm
A30cm
Plano de referencia z. =7.5111
o
FIGURA
(P
.
4 V
2
30 z )-(Pu V-,o z )
- +- -+ A - - + - - + 8
r 2g r 2g
Donde: V30 = O/ A30 = 0,370[{1!4)ll'0.32
]=5,24m/sy
V60 = (~)
2
{5,24)= l,3lrn/.v.Sustituyendo,
( 6,6+ (5,24)
2
+OJ=(Pu + (1,31)
2
+ 4,sJ y
2g r 2g
P
u= 3,41m de agua
r
Puede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre un
plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D.
Altura total en A =P,1/r+ V
2
30/2g +zA = 6,6+ l,4 + 3,0 = ll,O,n
Altura total en B = p 8 / Y + V 2
6-0/2g + Z8 = 3,41 + 0,09 +7,5= 11,0,n

Nota: Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de energía en otra
durante el flujo. En el caso presente, parte de la energía de presión y de la energía cinética
en Ase transforma en energía potencial en B.
P-4.2 Según la figura mostrada determinar el caudal y la presionen el punto A. (Sin tomar
en cuenta las perdidas menores) D1=150mm D2=SOmm
Datos:
D1=150mm
D2=50mm
y=9810[N/m
3
]
Incógnitas:
a) Q?
b) PA=?
Guía
- _
e ------
-
H ,O 2,4111
•
----·-
D 3,6111
♦D,
1
•A e B
t
SOLUCION:
a) La velocidad de las partículas en Ces tan pequeña que puede
despreciarse. Para calcular el caudal Primero:
Ecuación de energía entre C y B:
P. v1 P. v 2
_í + e + Z = -1!.. + - 8
- +Z
r 2g e r 2g 8
?
O+(desprec.) +(3,6 + 2,4) = 0 + v8
- +O(nivel de referencia)
2g
Despejando la velocidad en el punto B
VB=.J2g *(3,6 + 2,4) = .J2 *9.81*(3,6 + 2,4) =L0.85[:
1
]
Según la siguiente ecuación se calculara el caudal en la tubería:
1r , rn 1r , rn3
Q8
= V * A = V * -D8
- = 10.85-*-(0.0Srn)- = 0.021-
4 s 4 s
3
Q = 0.021 'n
s
b) Para cálculo de la presión analizando la variable Ps/y=O (da a la
atmosfera).
Ecuación de energía entre los puntos A y B

p V 1 V 2
----1. + A + 0 = 0 + 8
+ O
r 2g 2g
Despejando P
A/'Y V *A =V *A
A A B B
Reemplazando 2 en 1 se tiene:
150
r 2g
10,85
2
*[1-(50
)
4
- - - - - - - ~ = 5.93,n
2 *9.81
P4 = 5.93,n*9810 N1
= 58173.3 ~
n1.· ni.-
IP
A= 58,17[KPaJI
P-4.3. Un tubo de pitot con un coeficiente de 0,98 se utiliza para medir la velocidad v del
H20 en el eje en una tubería, la altura de presión de estancamiento es 5,67 (m) y la altura
de presión estática de la tubería es de 4,73(m). lCuál es la velocidad del flujo?
SOLUCIÓN:
De la ecuación de Bernoulli entre el punto 1
y2
, ,
P. v,- = P2 V1 (*)
+ + .................
r 2g r 2g
Supongamos como un fluido ideal sin
rozamiento en (*):
,
v¡ Pi - P.
- -
2g r
.. 2g(F.i - P.)
r
4.73
V
. 1
. - - -
Piezómetro
=S,67
T1d10 Pitot
.....-
1 2
Página 38

2(9.81rn/2 )(5.67m - 4.73rn)
V
_ I s
.- 1
Para la velocidad del agua será:
vi( /) =0,98*4.291
,nlJ--
► v i(,"'''') = 4,2J. _rri/
.r .
,w, · [¡ 8 • -/s
P-4.4. En el venturímetro la lectura del manómetro diferencial, en el fluido es 35,8 (cm)
determine el caudal de agua a través del venturímetro si se desprecia las pérdidas entre
los puntos A y B.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de Bernoulli
p 12 p 12
__i_+ - "
- + z =_IL+ _E_ + z
r 2g A r 2g º
'
~~,¡
' ' 1
1 ' •
. ' '
. ' .
' '
A
Q=?
Z8 =0,75~11]
? ?
~ :====:::::;-,
P,1 v;¡ - Po Vñ O ( )
- + - - - +- + t75 ...................... 1
r 2g r 2g
Sabemos que: P,.. =P0
p
Pe = __i_+ h + 0.358
r
p
PD= 0,75 + h+ 0.358*13,6 + _1L
r
Entonces:
'
'
B
•
''•
p p
__i_+ h +0.358 = 0,75 + h+ 0.358 *13,6 + _lL
r r
PA= 5,2608+ Po .................................... (2)
r r
(2) en (1)
p 11
2 p 11
2
5 26Q$ + _IL + _A
_ = _IL + - 8
- + () 75
' . ,
r 2g r 2g
2 2
VA Vo
- =- - 4,7.l ......,................................ (3)
2g 2g
De la ecuación de conductividad tenemos: AA*VA = A8 * V 8
T
)Sc11,
h
t
I
Página 39

Entonces:
Vo=
(~;)
2
*
VA=
(~~)
2
* VA
V 8 =4 VJI
V~ =(4v,1)2- 4 71
'
2g 2g
VA =2,43r;{J
Por lo tanto
P-4.S Para el sistema se presenta en la figura calcule a) la rapides de flujo de volumen de
aceite que sale de la boquilla y b) la presionen los puntos A y B
- s
- -------- -------·
- '.
-
Aceite
SG = 0.85 3ni
3.Smm
,/.h1.11
e¡ it11
l(IOmm ,¡,. - -----B-...-------
di..11J1i'IJ~ I rntµ·
. t
)111
---- --- --• 1t ------------ --
SOLUCION:
a) Aplicando Bernoulli en los puntos Sy C
Guía
2 2
Ps Vs P
e Ve
- +zs +- = - +ze+ -
YAc 2g YAc 2g
V¡= o. Pi = o
Considerando PS=PC=O y despejando la velosidad en C:
Ve =✓29(zs - Ze) = 2 (9.81 ~) (3m) = 7.67 7
rr(0.35)2 7.67m _3
m3
Q = A2V2 =
---*
--=
7.38* 10 -
4 s s

b) Empleando Bernoulli en los puntos Sy A:
Ps v] PA vl
-+z5 +-= -+zA+- Pc= O
YAc 29 YAc · 29 '
Despejado la presión en A
[
v
2
- v
2
]
PA = s
29
A+ (zs- zA) *YAc ... •·········(1)
Donde la VAse la obtiene empleando la ecuación de continuidad:
rr * (0.035m)2
7 6 7
m 3
Ac * Ve 4 * · s . m
QA = QB => VA = A,, = rr * (0.lm)Z = 0.904 s
Sustituyendo VA en (1):
O- (0.94 rn)2
----"-~-
1
-+ (4m - O
)
2*9.812
s
Empleando Bernoulli entre los puntos Sy B:
4
kN
* 0.85 * 9.81 3 = 32. 98 kpa
m
Ps v] P8 vJ
- +zs+ - = -+ zB +-
Y11c 29 YAc 29
Considerando Ps=O y despejando Ps:
Vs - VB
[
2 2 ]
PB = 29
+ (zs - zB) * YAc •·· •·· •·· •·· ...... (2)
Sustituyendo la V8 en (2) se tiene:
o - (0.947)2
P8 = m + (3.0ni - O
)
2 *9.81 2 9
s
m
" 0.85 * 9.81(2)
s
P-4.6 Para el sifón que se muestra en la figura calcule a) la rapidez de flujo de volumen de
aceite del tanque y b) la presión en los puntos A, B, C, D.

t
/ +a
3.0m
1
1
--- + +
--- A. e
-
---
Aceite
(sg =0.86)
10.0m 50mm
- de di:1mctro
SOLUCION:
a)
T - - '
n1
V 2 = -J2g(z1 - Z2) = V2 * 9.81 * 10 =14.01 -
S
donde
V2
VA =VB = Ve =Vv =-4
.._
n(0.25)2
_
3
nt3
Q=A2 v2 = 4
* 14.01 = 6.88 * 10
5
interior
+ D
[ v}] ( 3.502
2
)
PA = Y
0 - - = 0.86 * 9.81 - - - - = - 5.27 kpa
· 2g 2 *9.81
25 mmde
dlámetro
interior
1
f
---
- -
PB =Yo [cz1- ZB)- ;;] = 8.437 * (- 3 - 0.625) = - 30. 58 kpa
Pe =PA = - 5.27Kpa
2 2
P1 V1 Pv Vv
- + Z1 + - = - + Zv + -pl = 0 , V1 = 0
Yo 2g Yo 2g
Po= Y
0 [(z1 -z0 )- ;;] = 8.437 * (10 - 0.625) = 79.1 kpa
2
m
VA= 3.502-
S
P-4.7 En la figura se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de
presión entre dos puntos de un sistema de conductos. Calcule la rapidez de flujo de
volumen del agua del sistema si la desviación en el manómetro es h de 250 mm (A este

dispositivo se le conoce como medidor Venturi, que se utiliza a menudo para mediciones
de flujo).
SOLUCION:
A
Díreccion de Hujo
B
...-
,,..
---_-_--;-, t-___.......____
~ mm 0$ 11am~
- - - + - 1 ll'll!!r10r
h
Mercurio
p 2 [.> 2
_ A + Z + VA = -1!.. + z + v /J ·Z = Z
A 2g /J 2g ' .4 /J
r.,, r.,.
~ ~
PA-PB - Va- - vA- [vA(AAIA8)]
2
- vA
2
= [vA(DAID8J f- vA
2
r,,, 2g 2g 2g
2g 2g
Del manómetro:
PA+r,,,Y+r,,,h - rHgh - r..,y =PB
PA-P8 =rH
gh- r.,,h =h(rHg - r11
.) =1i(13.54r.,. - r..,)=1i(12.s4r.,.)
?
PA- P8 _ 15vA-
r.. 2g
12.S4r ,,,h _ 15vA
2
-
r.,, 2g
2g ·12.54 ·h
V - - - - - - -
A - 15 -
2·9.81,n/s 2
•12.54•0.250m
2025 1
,___________ = . ,n s
15

UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
CAPITULO 5
ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
Y
PERDIDAS MAYORES
Algunas de las restricciones que se establecieron por el uso de la ecuación de Bernoulli, se
pueden eliminar al expandir la ecuación a lo que se conoce como ecuación general de
energía.
5.1 PÉRDIDA Y ADICION DE ENERGIA
Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli se mencionaron cuatro restricciones para
esa ecuación:
 Es válida solamente para fluidos incomprensibles.
 No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés.
 No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste.
 No puede haber pérdidas de energía debida a la fricción.
Para el sistema de flujo como el que se presenta en la figura posterior, existen
definitivamente algunas pérdidas y adiciones de energía entre las dos secciones de
interés. Para sistemas como éste, ya no es válida la ecuación de Bernoulli.
5.2 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA
Para las pérdidas y las adiciones de energía utilizaremos: la letra h, cuando se hable
de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente los términos siguientes se
usaran:
hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser
una bomba.
hR = Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico, podría ser un
motor de fluido.
hL = Pérdida de energía por parte del sistema, debida a fricción en los conductos, o
pérdidas menajes debidas a la presencia de válvulas y conectores.

2
1 E
h
h
h
E L
R
A 


























 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
v
P
H
H
H
Z
g
v
P
L
R
A


5.3 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
La ecuación general de la energía, es simplemente una expansión de la ecuación de
Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y
adiciones de energía. La interpretación lógica de la ecuación de la energía se puede ver en la
figura adjunta, que presenta un sistema de flujo. Los términos El y E2 denotan la energía que
posee el fluido por unidad de peso en las secciones 1 y 2 respectivamente. También se
muestran las adiciones, remociones y pérdidas de energía hA, hR, hL. Para tal sistema, la
expansión del principio de conservación de la energía es:
La energía que posee el fluido por unidad de peso es:
Reemplazando se obtiene:
Las unidades en el SI son N*m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de
Unidades Ib*pie/lb ó pie.
Es de suma importancia que la ecuación general está escrita en la dirección de flujo, es
decir desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la ecuación y el punto
correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un papel crítico,
debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de Fluido que
+
Válvula de
compuerta
Flujo
1
¡_____ ___JI

Q
h
Pott Bomba *
*


 Q
h
Pott Bomba *
*

;
356
.
1
1 W
s
pie
lb


;
500
1
s
pie
lb
hp

 W
hp 7
.
745
1 
tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, puede tener una
adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o pérdida de energía (-hL), antes
de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de energía por
unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la ecuación.
5.4 POTENCIA REQUERIDA POR BOMBAS
La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica de
fluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con
que la energía está siendo transferida. La unidad de potencia en el SI es el watt (W), que
es equivalente a 1.0 N*m/s y en el sistema Britanico es lb-pie/s, en la práctica es común
referirse a la potencia en caballos de fuerza (hp-Horse Power). Con el fin de calcular la
potencia transferida, debemos determinar cuántos newton de fluido están fluyendo por
la bomba en un intervalo de tiempo. A esto se le conoce como rapidez de flujo de peso.
La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por la rapidez de flujo de peso.
Es decir:
Considerando el rendimiento
5.5 NUMERO DE REYNOLDS
El flujo de un liquido en una tubería puede ser despacio, flujo laminar (también conocido
como flujo viscoso). En este tipo flujo las capas o láminas no causan turbulencia. Dado que
cuando el caudal aumenta, la velocidad aumenta el flujo puede cambiar de laminar a
turbulento esto puede ser debido a la inyección de flujo a la tubería. Un importante
parámetro adimencional es el número de Reynolds que es usado para clasificar el tipo de
flujo en la tubería. El número de Reynolds es calculado mediante la siguiente ecuación:
Donde:

V = Velocidad media, m/s, ft/s
D = Diámetro interno de la tubería, m, ft
ρ = De sidad del li uido, kg/ , slugs/ft
= Vis osidad A soluta, N-s/m2, lb-s/ft2
R = Numero de Reynolds, adimencional
Dado que la viscosidad i e ati a es: = /ρ el u e o de Re olds puede se e p esado
de la siguiente forma:
Donde:
= Vis osidad Ci e ati a, /s, ft /s
Se debe tener cuidado en las unidades usadas en la ecuación debido a que el Numero de
Reynolds es adimensional.
5.6 REGÍMENES DE FLUJO
El flujo a través de una tubería está clasificado dentro tres regímenes de flujo, y pueden
ser distinguidos de la siguiente manera:
1. Laminar: Numero Reynolds <2000
2. Critico: Numero Reynolds >2000 y Numero Reynolds <4000
3. Turbulento: Numero Reynolds >4000
Como el líquido fluye a través de la tubería, la energía es pérdida debido a la fricción entre
la superficie de la tubería y el líquido y debido también a la interacción entre las moléculas
del líquido. De esta forma se refiere a la energía por fricción perdida como perdida de
presión debido a la fricción, La perdida de presión por fricción depende del caudal, del
diámetro de la tubería, de la rugosidad, la gravedad especifica del liquido y de la
viscosidad. Además la pérdida de presión por fricción también depende del número de
Reynolds y el régimen de flujo. El objetivo es calcular la pérdida por fricción dado por la
fricción, propiedades del líquido y regímenes de flujo.
5.7 PERDIDAS MAYORES
La pérdida de presión debido a la fricción en una longitud de tubería, expresada en metros
o pies de líquido puede ser calculada usando la ecuación de Darcy-Weisbach:
-1

Donde:
f = Factor de fricción de Darcy, adimencional, usualmente el número varía entre 0.008 y
0.10
L = Longitud de la tubería, ft
D = Diámetro interno de la tubería, ft
V = Velocidad media del liquido, ft/s
g = Aceleración debido a la gravedad, 32.2 ft/s2
en unidades inglesas
En un flujo laminar, el factor de fricción f solo depende del número de Reynolds. En un
flujo turbulento f depende del diámetro de la tubería, de la rugosidad de la tubería y
del número de Reynolds, como se mostrara.
5.8 FACTOR DE FRICCIÓN
Para flujo laminar, con un número de Reynolds R<2000, el factor de fricción de Darcy es
calculado mediante la siguiente relación:
Para un flujo laminar el factor de fricción solo depende del número de Reynolds y es
independiente de las condiciones internas de la tubería.
Para un flujo turbulento, Cuando el numero de Reynolds es R > 4000, el factor de fricción
f no solo depende del número de Reynolds, sino también del la rugosidad en el interior de
la tubería. Dado que la rugosidad incrementa, así también los hace el factor de fricción.
Por eso una tubería lisa tiene menor factor de fricción comparada con una tubería rugosa.
Mas correctamente, el factor de fricción depende de la rugosidad relativa (e/D) donde e
es la rugosidad absoluta de la tubería.
Existen varias relaciones para hallar el valor del factor de fricción f . Estos están basados
en experimentos realizados por científicos e ingenieros en los últimos 60 años. Una buena
ecuación propuesta para un flujo turbulento (donde R>4000) es la ecuación de Colebrook-
White:
[
√
]
Donde:
f=Factor de fricción de Darcy, adimensional
D=Diámetro interno de la tubería, in.
e=Rugosidad absoluta de la tubería, in.
R=Numero de Reynolds, adimesional
Todos los términos en la ecuación son adimensionales

Esta ecuación puede verse que el cálculo no es fácil, dado que el factor de fricción f
aparece en ambos lados de la ecuación. Para lo cual se debe resolver con un error. Se
puede empezar a asumir un valor de f (0.02) y sustituir en el lado derecho de la ecuación.
Esto llevara a una segunda aproximación de f, la cual puede ser usada para re calcular el
valor de f por sucesiva iteración. Generalmente, de tres a cuatro iteraciones pueden dar
un valor satisfactorio de f. (correcto con 0.001 decimales)
Durante las dos últimas décadas varias formulas del factor de fricción para flujo
turbulento han sido propuestas por varios investigadores. Todas estas facilitan el cálculo
del factor de fricción comparada con la ecuación de colebrook-White estas requieren un
error y son llamadas ecuación de Churchill y Swamee-Jain.
En la zona critica, donde el numero de Reynolds está entre 2000 y 4000, Generalmente la
formula no es aceptada, esto es debido a que es una zona inestable y por eso el factor de
fricción es indeterminado. Pero es más comúnmente calculado como si fuera flujo
turbulento.
Para denotar mejor, la zona de flujo turbulento (R>4000) actualmente consiste en tres
diferentes zonas:
 Flujo Turbulento en tubería lisa
 Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa
 Flujo de Transición en una tubería lisa y rugosa
5.8.1 Para flujo turbulento en tubería lisa, La rugosidad en la tubería tiene un efecto
despreciable en el factor de fricción f. Por eso, el factor de fricción en esta región solo
depende del número de Reynolds como sigue:
[
√
]
5.8.2 Para Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa, el factor de fricción f parece
depender menos del numero de Reynolds como la rugosidad aumento de valor. En este
caso solo dependerá de la rugosidad y el diámetro. Y este puede ser calculado mediante la
siguiente ecuación:
[ ]
5.8.3 Para la zona de transición entre un Flujo turbulento en tubería lisa y un flujo
turbulento en tubería rugosa, el factor de fricción f es calculado usando la ecuación de
Colebrook-White dado anteriormente:

[
√
]
La ecuación discutida arriba puede ser graficada sobre un Diagrama de Moddy. La
rugosidad relativa es definida como e/D, y es el resultado de simplemente dividir la
rugosidad absoluta entre el diámetro interno de la tubería. Los términos de la rugosidad
relativa son adimencionales. El diagrama de Moddy refleja un mapa completo para la zona
de flujo laminar y turbulento dentro la tubería. El diagrama de Moddy no es confiable
debido a que se usa un error para resolver la ecuación para el cálculo del factor de fricción
f. Para usar el diagrama de moddy, para
Figura Diagrama de Moody para el factor de fricción.
determinar el factor de fricción f. Primero se debe calcular el número de Reynolds R, luego
localizar en el eje horizontal el valor del numero de Reynolds y dibujar una línea vertical
hasta interceptar con la apropiada curva de rugosidad relativa (e/D). Desde este punto de
intersección sobre (e/D), leer el valor del factor de fricción f sobre el eje vertical de la
izquierda.
0.1
1,..
o
.....
u
ro
l.L
e
o
t,
·e V
lL e: Q)
o e
N o
1- N
l'O
e l'O
.E (J
:¡:¡
ro ·e
...J u
2000 4000

Turbulent Zone __.,..
Complete Turbulence

, Rough Pipes
._
Reynolds Number
o.os
~
Q)
e
.e
O'I
::,
ii
(l,J
>
:¡:;
ro
~

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Aux.
José
Luis
Huanca
P.
Página
51
Antes
de
salir
de
la
discusión
del
factor
de
fricción,
se
debe
mencionar
un
término
adicional:
El
factor
de
fricción
de
Fanning.
Algunos
usan
este
factor
de
fricción
en
vez
del
factor
de
fricción
de
Darcy.
El
factor
de
fricción
de
Fanning
está
definido
como
sigue:
Donde:
f
f
=Factor
de
fricción
de
Fanning
f
d
=
factor
de
fricción
de
Darcy
PROBLEMAS
RESUELTOS
Numero
de
Reynolds
P-5.1
Un
conducto
de
4
pulgadas
de
diámetro
lleva
0.20
pies3/s
de
glicerina
(SG=1,26)
a
100ºF.
¿Es
el
flujo
Laminar
o
Turbulento?
DATOS:
SOLUCION:
D
=0,333pies
µ
(100ºF)
=7,45*10
-3
Lb*s/pie
2
(Tabla)
SG=
1,26
Q=0.20
pie
3
/s
INCOGNITAS:
N
R
=?
Q
Flujo
D
Diametro
t

P-5.2 Calcule la rapidez de flujo de volumen máximo de aceite combustible a 45ºC a la cual
el flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceite
utilice SG= 0,895 y una viscosidad dinámica de 4,0 *10-2
Pa-s.
DATOS:
D =100 mm
µ (45ºc)=4,0*10-2
Pa*s
SG= 0,895
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Considerando flujo laminar NR < 2000
Calculo del caudal empleando la ecuación de continuidad:
[ ]
[ ]
P-5.3 Aire con un peso especifico de 12,5 N/m3
y una viscosidad dinámica de 2,0*10-5
Pa*s,
fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura, con una rapidez de 150 m3
/h.
Calcular el número de Reynolds del flujo.
DATOS:
= , * -5
Pa*s
γ= , N/ 3
Q =150 m3
/h
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Superficie del área sombreada:
r
50mm
l - - SO mm ----1

{[ ( )] }
Velocidad de flujo promedio:
Perímetro mojado:
√
Calculo del radio hidráulico para sección irregular, para ello se reemplaza los valores de
área y perímetro mojado en la siguiente relación:
Calculo del NR empleando la siguiente relación:
[ ]
P-5.4 En el sistema mostrado en la Figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 l/s
de aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A
y B es de 2,50 m y entre C y D es de 6,50 m, a) ¿qué potencia en HP debe suministrar la
bomba a la corriente? b) Dibujar la línea de alturas totales.
A
B C
D
cm
D 30

cm
D 30

Figura
m
3
m
60
m
15























 D
D
D
perd
B
A
A
A
Z
g
v
P
H
H
Z
g
v
P
2
2
2
2


   
60
.
0
)
5
,
6
5
,
2
(
15
.
0 






 desprec
H
desprec B
m
HB 0
.
54

  W
m
s
m
m
N
H
Q
Watt
Potencia BOMBA 9
,
64585
0
,
54
*
)
16
.
0
(
*
)
81
.
9
*
1000
*
762
.
0
(
*
*
3
3


 
HP
W
HP
W
HP
Potencia 58
.
86
746
1
*
9
,
64585
)
( 

HP
Potencia 58
.
86

DATOS: SOLUCION:
Q=160 [l/s]
Dr=0,762
HA-B=2,5m
HC-D=6,5m
INCÓGNITAS:
a) Pott=?
b) Líneas de alturas
b)
P-5.5 Una tubería que transporta aceite crudo (SG=0.93) a 1200 l/min está hecha con
conducto de acero de 6 plg, Calibre 80. Las estaciones de Bombeo están espaciadas 3,2
Km entre sí. Si el aceite esta a 10 ºC, Calcule: (a) La caída de presión entre estaciones y (b)
La potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba.
a) La velocidad de las partículas en A y D es tan pequeña que puede
despreciarse las alturas de velocidad.
Ecuación de energía entre A y D:
A
B C
D
Figura
m
60
m
3
m
15
m
5
.
66
m
5
.
12

DATOS:
D (6plg)= 146.3 mm (Tabla)
µ (10ºC)= 1.5*10-1
N*s/m2
(Tabla)
SG= 0.93
Q= 1200 l/min
L= 3,2 Km
INCOGNITAS:
a ΔP=?
b) Pott=?
SOLUCION:
a) Caída de presión entre los puntos A y B
Aplicando la ecuación de energía en los puntos A y B:
Despejando de la ecuación de energía la diferencia de presión se tiene:
[ ]
Velocidad en el conducto:
[ ]
[ ]
Se sabe que la perdida de energía (hL) en el conducto es:
Numero de Reynolds:
Calculo de factor de fricción:
Q
Flujo
Bomba Bomba
m
3200
A B
A
P
esion
Pr B
P
esion
Pr
aC).i----------::-----On

Sustituyendo el factor de fricción f en (2):
Reemplazando la pérdida de energía en (1):
[ ] [ ]
[ ]
b) Calculo de la potencia de la bomba para mantener la misma presión a la entrada
de cada bomba.
P-5.6 A través de una tubería nueva de fundición esta circulan de agua a 20°C y a una
velocidad de 4,2(m/s), la tubería es de 150mm de diámetro y tiene una longitud de 400m.
Determine la perdida de carga debida a la fricción.
DATOS:
SOLUCIÓN:
 Calculo del Número de Reynolds:
Diametro D
Presion P
i() Temperatura T¡
( ) ~· esion P2
R ujo Q
1· ·I
Longitud L
0 0

 Calculo de la rugosidad relativa:
 Calculo del factor de fricción:
:











f
D
f Re*
51
.
2
*
71
.
3
log
*
2
1 
81
.
9
*
2
2
.
4
*
15
.
0
400
*
024
.
0
*
2
*
*
2
2
)
( 

g
v
D
L
f
H tuberia
L
m
H tuberia
L 54
.
57
)
( 
P-5.7 Desde un punto 2 de elevación o cota 66,66 m se está descargando gasolina a
través de una tubería, El punto 1, localizado a 965,5 m en la tubería a partir del punto 2,
tiene una cota de 82,65 m, y la presión es de 2,50 kPa. Si la tubería tiene una rugosidad
de.0,500 mm ¿qué diámetro de tubería es necesario para descargar un caudal de 0,10
m3
/s de gasolina (Peso especifico = 7,05 kN/m3
,µ = 2,92.10-4
Ns/m2
,ρ = 719 kg/m3
)?
DATOS: SOLUCION:
Z2=66,66m
L=965.5m
Z1=82.65m
P1=2,50 kPa
e=0.500mm
Q=0,10 m3
/s
γ = 7,05 kN/m3
µ = 2,92.10-4
Ns/m2
ρ = 719 kg/m3
INCÓGNITAS:
D=?
m
66
.
66
?

D
L
1
2
m
65
.
82
•






















 2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
Z
g
v
P
H
Z
g
v
P
perd


 
m
desprec
H
m
desprec
m perd 66
.
66
.
0
65
.
82
.
7050
2500
. 











m
Hperd 34
.
16
. 
);
......(
2
2
. 















g
v
D
L
f
H perd





























 2
2
5
4
2
2
.
*
*
8
*
*
*
8

 g
Q
D
L
f
D
g
Q
D
L
f
H perd
)
......(
*
*
4
4
2
2


 D
Q
D
Q
A
Q
v 


5
2
2
. *
*
8


















g
Q
H
L
f
D
perd
)
1
.....(
..........
*
81
.
9
1
.
0
*
8
34
.
16
5
.
965
5
2
2
















f
D
);
.......(
*
*
Re 

 D
V

)
2
.....(
..........
*
*
10
*
92
,
2
719
*
1
.
0
*
4
Re 4
D



)
......(
*
*
4
2

 D
Q
V 
D
Q
*
*
*
*
4
Re




)
3
.....(
..........
0005
.
0
D
m
D
e

 Aplicando la formula de Darcy-Weisbach
Re plaza do β e α:
Despeja do el diá et o D
Reemplazando valores:
 Calculo del Número de Reynolds:
Ree plaza do β e γ se tie e:
Reemplazando valores:
 Calculo rugosidad relativa:
a) La velocidad de las partículas en 1 y 2 es tan pequeña que puede
despreciarse, la presión P2/γ=0 (da a la atmosfera).
Ecuación de energía entre 1 y 2:
- - - - -
✓-
✓--

)
4
.....(
..........
Re
51
.
2
71
.
3
log
2
1











cal
cal f
D
e
f
]
[
26 cm
D 
Ecuación de Colebroock:
Este valor de f(supuesto) coincide con el valor de f(calculado). De aquí que el valor correcto de
D diá et o e ue ido es .
P-5.8 Para una tubería de acero de 4 pulgadas Calibre 80 de 25 pies de longitud está
fluyendo agua a 100ºF. Calcule la velocidad de flujo de volumen máxima permitida si la
pérdida de energía debido a la fricción de la tubería se limitará a 13.061 pies lb/lb.
Encontrando los valores:
4" 0.3188[ ]
D pies
 , 4
1.5 10 [ ]
pies
 
  , 6 2
7.37 10 [ ]
v pies s

 
SOLUCION:
 Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
L
h D g
V
L
 


2 2 2
13.061[ ] 0.3188[ ] 2 32.2[ ] 10.726[ ]
25[ ] f f
pies pies pies s pies s
V
pies
  
 

(1)
 Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4
4 2
0.3188[ ]
4.326 10
7.37 10 [ ]
R
D V m V
N V
v pies s

 
    

(2)
 Rugosidad relativa:
f(supuesto) D ec. 1 Re ec. (2) e/D ec. (3) f(calculado) ec.(4)
0.020 0.24999 1251081.8 0.002000 0.024
0.024 0.25928 1209176.3 0.001928 0.024
Para el cálculo del diámetro se procederá:
. “e efe tuara el ál ulo por ta teo de u valor f(supuesto) fa tor de fri ió , deter i a do D por la
ecuación (1).
2. Se determinara Re y (e/D) para el valor de D o las e ua io es y .
. “e deter i ara el valor de f(calculado) e fu ió de Re y e/D o el diagra a de Moody o o la
ecuación de colebroock. En caso de que este valor coincida con el valor del supuesto este será el diámetro
us ado, e aso o trario será e esario efe tuar u uevo ta teo, supo ie do ahora el f al ulado.
/
F
✓-----/ ✓~-/
/

4
4
10
7059
.
4
]
[
3188
.
0
]
[
10
5
.
1 


 x
pies
pies
x
D

Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración mediante la
ecuación de colebroock con valores de prueba inicial de f ó también del diagrama de
Moddy f 0.023
 y sustituyendo f en (1)
2 2
10.726[ ]
21.6[ ]
0.023
pies s
V pies s
 
El número de Reynolds se obtiene sustituyendo la velocidad de flujo en (2)
4 5
4.326 10 21.6 9.34 10
R
N     
Obteniendo el nuevo factor de f 0.0175
 y sustituyendo en (1)
2 2
10.726[ ]
24.76[ ]
0.0175
pies s
V pies s
 
Cálculo del nuevo número de Reynolds bajo la sustitución de V en (2)
4 5
4.326 10 25.12 1.087 10
R
N     
Obteniendo nuevo factor de f 0.017

En vista que el valor de f permanece inalterado que la anterior prueba por tanto se acepta
la velocidad de flujo de 25.12[ ]
pies s
Cálculo de la velocidad de flujo de volumen:
 
2
0.3188[ ]
25.12[ ]
4
pies
Q AV pies s
 
   ⟹
3
2.0[ ]
Q pies s

P-5.9 A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2pulg y un grosor de
pared de 0.083 pulgadas se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presión
de 68 kPa se observa entre dos puntos en la tubería situada a 30m entre si. El aceite tiene
una gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 3.0×10-5
m. Calcule la
velocidad de flujo de aceite.
✓--/ /
✓--/ /
/
/
/ 1

4
5
10
7059
.
4
]
[
046584
.
0
]
[
10
3 


 x
m
m
x
D

DATOS: SOLUCION:
D=2 pulg
Espesor=0.083 plg
ΔP=68 KPa
LA-B=30m
GE=0.90
δ=3.0*10-5
m
INCÓGNITAS:
V=?
2 2
2 2
A A B B
A L B
REF REF
P V P V
Z h Z
g g
 
     
Despejando de la pérdida de energía:
2
2 2
.
( )
2
A B B A
L B A
AC H H O
P P V V
H Z Z
Sg g

 
 
   
 

 
 
Sustituyendo los valores y considerando 0
B A
Z Z
  y  
2 2
2 0
B A
V V g
 
2
3
68[ ]
7.702[ ]
0.9 9.81[ ]
L
kN m
H m
kN m
 
 
 

 
Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
L
h D g
V
L
 


2 2 2
7.702[ ] 0.046584[ ] 2 9.81[ ] 0.23465[ ]
30[ ] f f
m m m s m s
V
m
  
 

(1)
Calculo del Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4
.
3
0.046584 0.9 1000
1.398 10
3.0 10
AC H
R
D V V
N V

 
    
    

(2)
Rugosidad relativa:
Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración. Como valores
de prueba inicial de f se obtuvo del diagrama de Moddy f 0.03
Empleando la ecuación de la energía en A y en B
t ·-'A- 3
0m -=--=-..-1
8
,
/
/
/
F
✓------'---
/ ✓ /

2 2
0.23465[ ]
2.797[ ]
0.03
m s
V m s
 
El número de Reynolds se obtiene bajo el sustituto de la velocidad de flujo en (2)
4 4
1.398 10 2.797 3.91 10
R
N     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.024
 y remplazando en (1)
2 2
0.23465[ ]
3.13[ ]
0.024
m s
V m s
 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.13 4.38 10
R
N     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.0235
2 2
0.23465[ ]
3.16[ ]
0.0235
m s
V m s
 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.16 4.42 10
R
N     
Obteniendo el nuevo factor de f del diagrama de Moddy f 0.0235
 . En vista que el valor f
permanece inalterado que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo
de:
3.16[ ]
V m s
 .
P-5.10 En un sistema de procesamiento químico, el flujo de glicerina a 60ºF (sg=1.24) en
un tubo para que este permanezca laminar con un numero de reynolds aproximadamente
igual a 300, pero sin exceder este valor. Determine el tamaño de conducto que
transportara una rapidez de flujo de 0.90 s
pie / . Entonces, para un flujo de 0.90 s
pie /
3
en el tubo que usted ha calculado, calcule la caída de presión entre dos puntos separados
entre si a una distancia de 55.0pies, si el tubo está en posición horizontal.
Valor encontrado. 2
2
/
*
10
*
62
.
4 pie
s
lb



/ /
/ /
/ /
/ 1

DATOS: SOLUCION:
Sg=1.24
Re=300
v=0.90 pie/s
L=55.0 pie
2
2
/
*
10
*
62
.
4 pie
s
lb



INCÓGNITAS:
ΔP=?
4
*
* 2
D
Q
A
Q
v
v
A
Q




 ……………………… E -1)
Numero de Reynolds:

GLIC
R
v
D
N
*
*
 …………….. E -2)
Sustituyendo (2) en (1)y despejando D:



GLIC
R
D
Q
D
N
*
4
*
* 2
 =
D
Q
D
Q
GLIC
GLIC
*
*
*
4
*
*
4










*
*
*
4
R
GLIC
N
Q
D  ……….. E -3)
Reemplazando los valores en 3:
pies
pie
s
lb
pie
slugs
s
pie
D 199
.
0
*
)
*
10
*
62
.
4
(
*
300
/
24
.
1
*
/
9
.
0
*
4
2
2
3
3




Sustituyendo valores en (1) se tiene la velocidad de flujo:
s
pies
pies
s
pie
v 94
.
28
4
)
199
.
0
(
*
9
.
0
2
3



Empleando la ecuación de la energía en A y B:
g
V
Z
P
h
g
V
Z
P B
B
GLIC
B
L
A
A
GLIC
A
2
2
2
2








Despejando la diferencia de presiones:
GLI
L
A
B
A
B
B
A h
Z
Z
g
V
V
P
P 
*
)
(
2
2
2











 ……………. E -4)
Calculo de la perdida de energía L
h en el conducto empleando Darcy:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
 ………. E -5)
Expresando la velocidad de flujo en función del diámetro:
55 pies
--&-•---------------------------------• o----
/

Calculo de f empleando la siguiente relación (flujo laminar):
2133
.
0
300
64
64



R
N
f
Sustituyendo el factor f en 5 y se obtiene la pérdida de energía:
pies
s
pie
s
pie
pie
pies
hL 68
.
766
2
.
32
*
2
)
94
.
28
(
*
199
.
0
55
*
2133
.
0 2
2


Se obtiene la diferencia de presiones bajo el sustituto de los valores en (4):
  3
2
.
64
*
24
.
1
*
68
.
766
0
0
pie
lb
P
P B
A 



2
2
2
lg
96
.
411
lg)
12
(
1
*
63
.
59322
pu
lb
pu
pie
pie
lb
P
P B
A 


P-5.11 En la figura se muestra una bomba que hace circular 300gal/min de aceite de
lubricación para maquina, herramientas pesadas a 104ºF (sg=0.890) con el fin de probar la
estabilidad de aceite (pesado) y cuya viscosidad cinemática es de 2.15* s
pie /
10 2
2

. La
longitud total del conducto de 3 pulgadas es de 75 pies. Calcule la potencia transmitida
por la bomba de aceite.
SOLUCION:
Encontrando valores:
pies
D 2557
.
0
3  (Tabla)
pies
D 3355
.
0
4  (Tabla)
 Empleando la ecuación de la energía en los puntos (1) y (2):
g
V
Z
P
h
h
g
V
Z
P
AC
A
L
AC 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1









Bomba
22 pies
Flujo
15 pies
6pies
Línea de
descarga
conducto
de acero de
’’. Calibre
40
Línea de
succión de
a e o de ’’
calibre 40
/
/
11----1
-
l

Despejando la energía añadida ( A
h ):
L
AC
A h
g
V
V
Z
Z
P
P
h 






2
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2

…………….. E .-1)
 La velocidad en el conducto de impulso es:
s
pie
pies
s
m
pie
L
m
gal
L
gal
V 015
.
13
4
)
2557
.
0
(
*
60
min/
1
*
)
3048
.
0
/(
1
*
1000
/
1
*
1
/
785
.
3
min*
300
2
3
3
3
2 


Velocidad en el conducto de succión es:
s
pie
pies
s
m
pie
L
m
gal
L
gal
V 56
.
7
4
)
3355
.
0
(
*
60
min/
1
*
)
3048
.
0
/(
1
*
1000
/
1
*
1
/
785
.
3
min*
300
2
3
3
3
2 


 Calculo de la perdida de energía en el conducto de succión:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
4
4
4
 …………………. E .-2)
 Numero de reynolds:
1180
10
*
15
.
2
56
.
7
*
335
.
0
*
2
2
4
4


 
s
pies
s
pies
pies
v
V
D
NR
 Factor de fricción:
0542
.
0
1180
64
64



R
N
f
Sustituyendo valores en (2) y se obtiene L
h :
pies
s
pie
s
pie
pie
pie
hL 584
.
3
2
.
32
*
2
)
55
.
7
(
*
3355
.
0
25
*
0542
.
0 2
2
4 

 Calculo de la perdida de energía en el conducto de impulsión:
g
V
D
L
f
hL
2
*
*
2
3
3
3
3  ………….E .-3
 Numero de Reynolds:
1548
10
*
15
.
2
015
.
13
*
2557
.
0
*
2
2
3
3


 
s
pies
s
pies
pies
v
V
D
NR
 Factor de fricción:
0413
.
0
1148
64
64



R
N
f
Sustituyendo valores en (3) y se obtiene 4
L
h :
/
/
/
/
/
/
/
/

pies
s
m
hL 863
.
31
2
.
32
*
2
)
13005
(
*
2557
.
0
75
*
0413
.
0 2
2
3 

Se tiene 4
h bajo el sustituido de los valores en (1):
pie
s
pie
s
pie
pie
hA )
863
.
31
584
.
3
(
2
.
32
*
2
0
)
015
.
13
(
0
1
0 2
2







pies
h
pie
pie
pie
h A
A 08
.
39
45
.
35
63
.
2
1 




 Calculo de la potencia de la bomba
A
A h
Q
P *
*

pies
ie
lb
s
pies
PA 08
.
39
*
4
.
62
*
890
.
0
*
6683
.
0 3
2

Hp
s
pie
lb
HP
s
pie
lb
PA 637
.
2
*
550
1
*
*
44
.
1450 

P-5.12 Va a fluir agua a 60° F por gravedad entre dos puntos ubicados a 2 millas uno del
otro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130 pies más alto que el
extremo interior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere?
Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable.
DATOS:
v = 1,21*10-5
pies2
/s
= , * -4
pies
SOLUCION:
A
B
2 millas
Flujo
130 pies
/
/
/

 Empleando la ecuación de la energía en A y B.
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando VA= VB y (PA – PB) = 0
[ ]
 Expresando la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación de
Darcy:
Expresando la velocidad en términos de caudal y el diámetro de la tubería:
Sustituyendo la velocidad de flujo en la ecuación de Darcy ó (3) en (2)
Despejando el diámetro del conducto:
⁄
Sustituyendo los valores:
⁄
⁄
 Expresando el número de Reynolds en términos del diámetro:
Sustituyendo los valores:
1. Asumiendo un valor de prueba inicial f = 0,0200.
2. Calculo del diámetro del conducto bajo el sustituto de f en (4)
⁄

3. El numero de Reynolds se obtiene bajo el reemplazo de D en (5)
4. Rugosidad relativa:
5. Obteniendo de nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0208).
6. Compare el nuevo valor de f con el que se asumió en el paso 1 y repita los
pasos 1 a 6 hasta que no pueda detectar un cambio significativo en f.
Calculo del nuevo diámetro del conducto sustituyendo f en (4)
⁄
 Donde en nuevo NR se tiene bajo la sustituto de D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Obteniendo el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233).
 Calculo del nuevo diámetro del conducto bajo la sustitución de f en (4)
⁄
 El nuevo NR se tiene reemplazando D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Determinado el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233)
Comparando el nuevo valor de f con el anterior se ve que existe cambios, por lo tanto se
acepta el diámetro calculado (D = 2,123 pies).
 
pie
D 123
.
2











g
v
K
hL
2
2
CAPITULO 6
PERDIDA“ MENORE“
En este capítulo se tratara sobre las pérdidas menores debido a la presencie de válvulas,
junturas, cambios en el tamaño de la trayectoria de flujo y cambios en la dirección.
6.1 FUENTES DE PÉRDIDAS MENORES
En la mayor parte de los sistemas de flujo, la pérdida de energía primaria se debe a la
fricción del conducto, como se describió anteriormente. Los demás tipos de pérdidas de
energía son pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia a ellas como
pérdidas menores. Las pérdidas menores ocurren cuando hay un cambio en la sección
cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo
se encuentra obstruida, como sucede con una válvula. La energía se pierde bajo estas
condiciones debido e fenómenos físicos bastantes complejos.
6.2 COEFICIENTE DE RESISTENCIA
Las pérdidas de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del flujo al fluir éste
alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a
través de una válvula. Los valores experimentales de pérdida de energía generalmente se
reportan en términos de un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:
Donde:
hL = Pérdida de energía menor
K = Coeficiente de resistencia (adimensional)
V = Velocidad de flujo promedio en el conducto en la vecindad donde
se presenta la perdida menor.
En algunos casos, puede haber más de una velocidad de flujo, como las dilataciones o en
las contracciones. Es muy importante que usted sepa qué velocidad se debe utilizar del
conducto menor.
6.2.1 DILATACIÓN SÚBITA
Al fluir un ruido de un conducto menor a uno mayor a través de una dilatación súbita, su










g
v
K
hL
2
2
1
velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia que genera una pérdida
de energía. Por consiguiente, la cantidad de pérdida de energía depende del cociente de
los tamaños de los dos ductos.
La pérdida menor se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde: v1 es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que está delante de la
dilatación. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida K depende
de la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la
velocidad de flujo. La tabla 1 muestra los valores del coeficiente de resistencia.
Tabla 1. COEFICIENTES DE RESISTENCIA-DILATACION SUBITA
D2/D1
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.2 0.11 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.08
1.4 0.26 0.25 0.23 0.22 0.22 0.21 0.20
1.5 0.40 0.38 0.35 0.34 0.33 0.32 0.32
1.8 0.51 0.48 0.45 0.43 0.42 0.41 0.40
2.0 0.60 0.56 0.52 0.51 0.50 0.48 0.47
2.5 0.74 0.70 0.65 0.63 0.62 0.60 0.58
3.0 0.83 0.78 0.73 0.70 0.69 0.67 0.65
4.0 0.92 0.87 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72
5.0 0.96 0.91 0.84 0.82 0.80 0.77 0.75
10.0 1.00 0.96 0.89 0.86 0.84 0.82 0.80
- 1.00 0.96 0.91 0.86 0.86 0.83 0.81
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
Región de turbulencia
o,

6.2.2 DILATACIÓN GRADUAL
Es la transición de un conducto menor a uno mayor menos abrupto. Esto normalmente se
hace colocando una sección cónica entre los dos conductos como se muestra en la figura.
Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleración y
expansión de la corriente del flujo.
La pérdida de energía pare una dilatación gradual se calcula a partir de:









g
v
K
hL
2
2
1
Donde: V1 es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. La
magnitud de K depende de la proporción de diámetro D2/D1 como del ángulo de cono, La
Tabla 2 muestra los diferentes valores de resistencia (K).
Tabla 2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA – DILATACION GRADUAL
D2/D1
ANGULO DEL CONO θ
2º 6º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 60º
1.1 0.01 0.01 0.03 0.05 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 0.20 0.21 0.21
1.2 0.02 0.02 0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 035 035
1.4 0.02 0.03 0.06 0.12 0.23 0.30 0.36 0.41 0.44 O.47 0.50 0.50
1.6 0.03 0.04 0.07 0.14 0.26 0.35 0.42 0,47 0.51 0.54 0.57 0.57
1.8 0.03 0.04 0.07 0.15 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.61
2.0 0.03 O.O4 0.07 0.15 0.29 0.38 0,46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.63
2.5 0.03 0.04 0.08 0.16 0.30 0.39 0.43 0.54 0.53 0.62 0.65 0.65
3.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 O.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.66
- 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 O.64 0.67 0.72
6.2.3 CONTRACCION SÚBITA
La pérdida de energía debido a una contracción súbita bastante complejo, como la
esbozada en la figura adjunta se calcula a partir de:
Zona de separación para
ángulo de cono grand,;:
(} -Ángulo de cono- Di-










g
v
K
hL
2
2
2
DONDE: V1 es la velocidad del conducto menor a partir de la contracción. El coeficiente
de resistencia K depende de los tamaños de los dos conductos y de la velocidad de flujo.
La Tabla muestra diferentes valores de resistencia para contracción súbita.
D1/D2
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
1.8 m/s
6 pie/s
2.4 m/s
8 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.1 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 O.O4 0.05 0.05 0.06
1.2 0.07 0.07 0.07 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.11
1.4 0.17 0.17 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.19 0.20
1.6 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.25 0.25 0.25 0.24
1.8 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 0.32 0.31 0.29 0.27
2.0 0.38 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 C.33 C.31 0.29
2.2 O.40 O.40 0.39 0.39 0.38 0.37 0.35 0.33 0.30
2.5 0:42 0.42 0.41 0.40 0.40 OJ3 0.37 0.34 0.31
3.0 O.44 0.44 0.43 0.42 0.42 0.40 0.39 0.36 0.33
4.0 O.47 0.46 0.45 0.45 0.44 0.42 O.41 O.37 0.34
5.0 0.48 0.47 0.47 0.46 0.45 0.44 0.42 0.38 0.35
10.0 0.49 0.48 0.48 0.47 0.46 O.45 0.43 0.40 0.36
- 0.49 0.48 0.48 0.47 0.47 0.45 0.44 0.41 0.38
6.2.4 CONTRACCIÓN GRADUAL
La pérdida de energía en una contracción puede disminuir sustancialmente haciendo la
contracción más gradual. La figura muestra una contracción de este tipo, formada
mediante una sección cónica entre los diámetros con cambios abruptos en las junturas.

Los cálculos se realizan empleando la misma relación de la dilatación gradual y el mismo
principio.









g
v
K
hL
2
2
2
El coeficiente K depende de la proporción de diámetros D1/D2 y el ángulo del cono, la
figura. Muestra diferentes valores K a ser interpolados.
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA – CONTRACCION GRADUAL
Fuente: Robert Mott 1996
""
"
"
-~
0.12
0.10 '
i! 0.08
"
-0
la!
-M
~ 0.06
0.04
/r
1.0
D ,
~H----- -1-- - -
- ---l---1
" 2
1
1 --~L----
!
-----
L-----_} 1
1
I - L---
J 1
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. 1
v 1
/
l 1
1------" V
I'---
..____
/
1
/
L----'
1/
e_-
1----;-.___
"1'------
..___
!---
1
2.0
Proporción de diámetro Di'D2
1 1
1
1
1
----
L---
1
=t-7
1
1
1 1 1
3.0
!()'•
15--10,,

Guía Página 74
6.2.5 PERDIDAS DE SALIDA
Durante la salida del flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque,
como se muestra en la figura su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso la
energía cinética que el fluido poseía en el conducto, indicada por la cabeza de velocidad
v2
/2g, se disipa. Por lo tanto, la pérdida de energía para esta condición es:









g
v
K
hL
2
2
1
Ésta se denomina la pérdida de salida. El coeficiente de resistencia es igual a uno (K =
1,0) Y dicho valor se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conecta
con la pared del tanque.
6.2.6 PERDIDAS DE ENTRADA
Un caso especial de una can tracción ocurre cuando el fluido fluye desde un depósito o
tanque relativamente grande hacia un conducto. El fluido debe acelerar desde una
velocidad relativamente despreciable a la velocidad de flujo del conducto. La facilidad con
que se realiza la aceleración determina la cantidad de pérdida de energía y por lo tanto, el
valor del coeficiente de resistencia de entrada depende de la geometría de la entrada. La
figura siguiente muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K para
cada uno.

Guía Página 75
Los valores del coeficiente K para la entrada redondeada son las siguientes:
r/D2 K
0.00
0.02
0.04
0.06
0.10
>0.15
0.50
0.28
0.24
0.15
0.09
0.01 (Bien redondeada)
Después seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia da la figura, podemos
calcular la pérdida de energía en una entrada a partir de:









g
v
K
hL
2
2
2
Donde V2 es la velocidad de flujo en el conducto.
6.2.7 COEFICIENTE DE RESISTENCIA PARA VALVULAS Y JUNTURAS
Se dispone muchos tipos diferentes de válvulas y junturas de varios fabricantes para
especificación e instalación en sistemas de flujos y pueden ser válvulas de verificación y
muchas más. Las junturas dirigen la trayectoria de flujo y ocasionan un cambio en el
tamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseñes, te, reductores,
boquillas y orificios.
La pérdida de energía incurrida con flujos de fluido a través de una válvula o juntura se
Tanque
grande
Conducto de proyección hacia adentro
Use K= 1.0
Use K= 0.5
Use K=0.25
"---.____ '-.::/,~trada redond~e,..,a,..,d~ª--~
~ t . : ,
.,,-----::: 1/t -=,..___y

Guía Página 76
calcula utilizando la ecuación para pérdidas menores ya analizadas. Sin embargo, el
método para determinar el coeficiente de resistencia K es diferente. El valer de K se
reporta en la forma:
T
f
D
Le
K 






El valor de Le/ D, llamado la proporción de longitud equivalente, se reporta en la tabla
que se muestra posteriormente y se considera que es una constante para un tipo dado de
válvula o juntura. El valor de Le, también se denomina la longitud equivalente y es la
longitud del conducto recto del mismo diámetro nominal como la válvula que tendría la
misma resistencia que esta. El termino D es el diámetro interno real del conducto.
El termino fT es el factor de fricción en el conducto al cual está conectada la válvula o
juntura, tomando en la zona de turbulencia completa, como se observa en el diagrama de
Moddy donde el factor de fricción es independiente del numero de Reynolds.
RESISTENCIA EN VALVULAS Y EN JUNTURAS EXPRESADA COMO LONGITUD
EQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTOS, Le/D
TIPO
LONGITUD EQUIVALENTE EN
DIAMETROS DE CONDUCTO Le/D
Válvula de globo-completamente abierta 340
Válvula de ángulo-completamente abierta
Válvula de Compuerta-completamente abierta
a) ¾ abierta
b) ½ abierta
c) ¼ abierta
150
8
35
160
900
Válvula de verificación-tipo giratorio 100
Válvula de verificación-tipo bola 150
Válvula de mariposa-completamente abierta 45
Codo estándar 90º 30
Codo de radio largo de 90º 20
Codo de calle de 90º 50
Codo estándar de 45º 16
Codo de calle de 45º 26
Codo de devolución cerrada 50
Te estándar-con flujo a través de un tramo 20
Te estándar-con flujo a través de una rama 60
Fuente: Válvulas de sifón, IL, Robert Mott 1996
Los valores de fT varían con el tamaño de conducto y de la válvula, ocasionando que el
valor del coeficiente de resistencia K también varié. La tabla siguiente enumera los
valores de fT para tamaño estándar de conductos de acero comercial nuevo limpio.

Guía Página 77
FACTOR DE FRICCION EN ZONA DE TURBULENCIA COMPLETA PARA CONDUCTO DE
ACERO COMERCIAL NUEVO Y LIMPIO
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
½ 0.027 4 0.017
¾ 0.025 5 0.016
1 0.023 6 0.015
1 ¼ 0.022 8-10 0.014
1 ½ 0.021 12-16 0.013
2 0.019 18-24 0.012
2 ½, 3 0.018
6.2.8 CODOS DE TUBERIA
A menudo es más conveniente curvar, un conducto o tubo que instalar un codo comercial-
mente hecho. La resistencia al flujo de un codo depende de la proporción del radio r del
codo con el conducto dentro del diámetro D. La figura siguiente muestra que la resistencia
mínima ocurre cuando la proporción r/D es aproximadamente tres. La resistencia se da en
términos de la proporción de Longitud equivalente Le/D, y por lo tanto, la ecuación
K=(Le/D)*fT debe usarse para calcular el coeficiente de resistencia. La resistencia mostrada
en la figura incluye tanto la resistencia del codo como la resistencia debido a la longitud
del conducto en el codo.
Cuando calculamos la proporción r/D, r se define como el radio a la línea del centro del
conducto o tubo, denominado el radio medio. Donde r se procede a calcular bajo las
siguientes relaciones:
2
Do
Ri
r 

2
Do
Ro
r 

 
2
Ri
Ro
r


D = Diámetro interno

Guía Página 78
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA CODO DE RADIO LARGO
48
44
40
~
~ 36
32
20
16
12
8
4
o
-·
_
/
I
/
/
./
/
/
,._
V
/
V
/
V
/
V
I
I
--·--·
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Radio relativo r/D

Guía Página 79
PROBLEMAS RESUELTOS
P-6.1 Determine la pérdida de energía cuando 3
0.04[ ]
m s de agua fluye de un conducto
estándar Calibre 40 de 6pulg en un depósito grande.
SOLUCION:
6 154.1[ ]
D mm

Coeficiente de resistencia a la salida 1.0
K 
Velocidad de flujo en el conducto:
3
2
0.04[ ]
2.145[ ]
(0.1541[ ]) 4
Q m s
V m s
A m

  

Cálculo de la pérdida de energía:
 
2
2
2
2.145[ ]
1.0
2 2 9.8[ ]
L
m s
V
h K
g m s
  

⟹ 0.2345[ ]
L
h m

P-6.2 Determine la pérdida de energía cuando petróleo de una gravedad especifica de
0.87 fluye de un conducto de 4pulg a uno de 2pulg a través de una contracción súbita si la
velocidad de flujo en el conducto mayor es de
4.0[ ]
pies s .
SOLUCION:
Cociente de los diámetros 4 2
D D
4
2
4[ ]
2
2[ ]
D pulg
D pulg
 
Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:
2 4
Q Q
 ⟹ 2 2 4 4
V A V A
   ⟹ 2 2
2 2 4 4
4 4
V D V D
 
  
2
2
4
2 4
2
(2) 4.0[ ] 16.0[ ]
D
V V pies s pies s
D
 
    
 
 
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para una velocidad de 16.0 [pies/s] en el
conducto de 2pulg y para un cociente de diámetro de 2, tenemos K=0.34
/
/
/
/
I
/
/
/
/ /

Guía Página 80
 
2
2
2
2
16[ ]
0.34
2 2 32.2[ ]
L
pies s
V
h K
g pies s
  

⟹ 1.35[ ]
L
h pies

P-6.3 Determine la pérdida de energía para una contracción gradual de un conducto de
acero Calibre 80 de 5pulg a uno de 2pulg para un caudal de 500 [L/min]. El Angulo de cono
para la contracción es 105º.
SOLUCION:
5 122.3[ ]
D mm
 ; 2 49.3[ ]
D mm

Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:
3 3
2 2
2
8.33 10 [ ]
4.366[ ]
(0.0493[ ]) 4
Q m s
V m s
A m



  

Cociente de los diámetros 4 2
D D
5
2
122.3[ ]
2.48
49.3[ ]
D mm
D mm
 
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para un cociente de diámetro de 2.48 y un
ángulo de cono de 105º, tenemos K=0.23
 
2
2
2
2
4.366[ ]
0.23
2 2 9.81[ ]
L
m s
V
h K
g m s
  

⟹ 0.223[ ]
L
h m

P-6.4 Determine la pérdida de energía que ocurrirá si fluye agua de un depósito hacia un
conducto con una velocidad de 3 m/s si la configuración de la entrada es un conducto de
proyección hacia adentro.
SOLUCION:
Coeficiente de resistencia de entrada 1.0
K 
Cálculo de la pérdida de energía empleando la
siguiente relación:
I
/
/
/
/
/
/
/

Guía Página 81
 
2
2
2
3.0[ ]
1.0
2 2 9.81[ ]
L
m s
V
h K
g m s
  

⟹ 0.459[ ]
L
h m

P-6.5 Determine la longitud equivalente en metros de conducto de una válvula de
compuerta completamente abierta colocada en un conducto Calibre 40 de 10pulg.
SOLUCION:
10 254.5[ ]
D mm

Longitud equivalente válvula de compuerta 8
Le D 
Factor de fricción conductos nuevos de acero 10T
f 0.014

Calculo de K para la compuerta completamente abierta empleando la siguiente relación.
T
= f 8 0.014 0.112
Le
K
D
   
Determinando la longitud equivalente en metros, empleando la siguiente relación:
8 8 0.2545[ ]
Le D m
    ⟹ 2.036[ ]
Le m

P-6.6 Calcule la diferencia a través de una válvula de un ángulo completamente abierta
colocada en un conducto de acero Calibre 40 de 5pulg que lleva 650 [gal/min] de petróleo
(sg=0.9).
SOLUCION:
5 0.4206[ ]
D pies

Longitud equivalente válvula de ángulo
completamente abierta 150
Le D 
Factor de fricción conductos nuevos de acero 5T
f 0.016

Empleando la ecuación de la energía en los puntos 1 y 2
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
L
PET PET
P V P V
Z h Z
g g
 
     
Despejando la diferencia de presión
/
/
/
1.
/
Válvula de ángulo
completamente abierta
• 2
-
Flujo
6

Guía Página 82
2 2
2 1
1 2 2 1
( )
2
L PET
V V
P P Z Z h
g

 

     
 
 
(1)
Cálculo de la pérdida de energía debida a la válvula de ángulo:
2 2
T
f
2 2
L
V Le V
h K
g D g
   (2)
Velocidad de flujo en el conducto:
3
2
1.448[ ]
10.442[ ]
(0.4206[ ]) 4
Q pie s
V pies s
A pies

  

Sustituyendo valores en la ecuación (2) se tiene hL
 
2
2
10.422[ ]
0.016 150 4.048[ ]
2 32.2[ ]
L
pies s
h pies
pie s
   

Reemplazando hL en la ecuación (1) y considerando 2 1 0
Z Z
  y 2 2
2 1 2 0
V V g
  por ser
el mismo diámetro en ambos puntos y por constituirse en un mismo nivel.
  3
1 2 0 0 4.048[ ] 0.9 62.4[ ]
P P pies lb pie
     
3
1 2 2
1
227.34
12
lb pie
P P
pie pulg
   ⟹
2
1 2 1.579[ ]
P P lb pulg
 
P-6.7 De un depósito grande fluye agua a 10 ºC a una velocidad de 2 2
1.5 10 [ ]
m s

 a
través del sistema que se muestra en la figura. Calcule la presión en B.
DATOS:
4" 97.97[ ]
D mm
 ,
6
1.5 10 [ ]
m
 
  ,
6 2
1.30 10 [ ]
v m s

 
Longitud equivalentes codo estándar
30
Le D 
INCÓGNITAS:
PB=?
SOLUCION:
Sabiendo que la velocidad de flujo es:
/
/
/
/
/
/
/
1 /
/
A
.
-- ;.:_-=-- 1,5
m
I
1
/ 7,5 Tubo de
12m
m cobre de 4•
1 / tipo K
]
l=
/ ►
F:ujo
e ,J.
a
i
70m ►;
1
1

Guía Página 83
2 3
2
1.5 10 [ ]
2.0[ ]
(0.09797[ ]) 4
Q m s
V m s
A m



  

 Empleando la ecuación de la energía en A y en B
2 2
2 2
2 2
A A B B
A L B
H O H O
P V P V
Z h Z
g g
 
     
Despejando de la ecuación de energía B
P y considerando 0
A
P 
2
2 2
( )
2
A B
B A B L H O
V V
P Z Z h
g

 

    
 
 
(1)
 Cálculo de L
h para el cual existen tres componentes:
1 2 3
L
h h h h
   (2)
Donde:
2 2
1 1.0
2 2
B B
V V
h K
g g
  Pérdida a la entrada
2 2 2
2
80.5[ ]
f f 821.68 f
2 0.09797[ ] 2 2
B B B
V V V
L m
h
D g m g g
      Pérdida por fricción
2 2 2
3 T T T
f 3 f 30 3 90 f
2 2 2
B B B
V V V
Le
h
D g g g
   
        
   
   
Perdida por codos estándar
Sustituyendo las perdidas de energia en (2)
2 2 2
T
1.0 821.68 f 90 f
2 2 2
B B B
L
V V V
h
g g g
    
 
2
T
1.0 821.68 f 90 f
2
B
L
V
h
g
     (3)
 Cálculo de fT para un conducto de 2 pulg de cobre considerando completa
turbulencia
T
1
2log(3.7 )
f
D 
 ⟹
2 2
T
1 1
f 0.0086
2log(3.7 ) 2log(3.7 65313)
D 
   
  
   

 
 
 Número de Reynolds:
5
5 2
0.09797[ ] 1.99[ ]
1.5 10
1.30 10 [ ]
R
DV m m s
N
v m s


   

/
✓ /
/
/ /
/
/

Guía Página 84
[ ]
[ ]
 Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.016
 y reemplazando los valores en (3)
 
2
2
(2.0[ ])
1.0 821.68 0.0165 90 0.0085 3.126[ ]
2 9.81[ ]
L
m s
h m
m s
     

 Sustituyendo valores en (1) se tiene B
P .
2
3
2
(2.0[ ])
(12[ ] 0[ ]) 3.126[ ] 9.81[ ]
2 9.81[ ]
B
m s
P m m m KN m
m s
 
    
 

 
3
(12 0.204 3.126)[ ] 9.81[ ]
B
P m KN m
   
⟹ 85.05[ ]
B
P KPa

P-6.8 Del sistema mostrado en la figura se bombeará keroseno ( 0.82
sg  ) a 20ºC, del
tanque A al tanque B incrementando la presión en el tanque sellado A sobre keroseno. La
longitud total de la tubería de acero calibre 40 de 2 pulg. es de 38m, los codos son
estándar. Calcule la presión que se requiere en el tanque A para causar una velocidad de
flujo de 435L/min.
DATOS:
2" 52.50[ ]
D mm
 ,
5
4.6 10 [ ]
m
 
  ,
3
1.30 10 [ ]
v Pa s

  
Longitud equivalentes válvula
check 150
Le D 
Longitud equivalentes válvula
de ángulo 150
Le D 
SOLUCION:
Velocidad de flujo:
3
2
435[ min] 1[m ] 1000[ ] 1[min] 60[ ]
3.35[ ]
(0.0525[ ]) 4
Q l l s
V m s
A m

 
  

 Empleando la ecuación de la energia en A y en B
2
2 2
2 2
A A B B
A L B
KER H O
P V P V
Z h Z
g g
 
     
Despejando de la ecuación de energía A
P y considerando 0
B
P 
/
/
/
/
/
- B
/
/
/ /
/
.l
Flu10 1
va1vula
de Angulo
/
/
Valvula c:heck
tipo balanceo
/
Tubena de.acero
Cahbre '10 de 2·,
-- -
-- -
Tanque A

Guía Página 85
2 2
( )
2
B A
A B A L KER
V V
P Z Z h
g

 

    
 
 
(1)
 Cálculo de L
h para el cual existen tres componentes:
1 2 3 4 5 6
L
h h h h h h h
      (2)
Donde:
2 2
1 1.0
2 2
V V
h K
g g
  Pérdida a la entrada
2 2
2 T T
f f 150
2 2
Le V V
h
D g g
     Pérdida por válvula check
2 2
3 T T
f f 150
2 2
Le V V
h
D g g
     Perdida por codos estándar
2 2
4 T T
f f 30
2 2
Le V V
h
D g g
      Pérdida por codo estándar
2 2
5 1.0
2 2
B
V V
h K
g g
    Pérdida por salida
2
2 2
6
38[ ]
f f 723.81 f
2 0.0525[ ] 2 2
B
V
L V m V
h
D g m g g
      Perdida por fricción
Sustituyendo las pérdidas de energía en (2)
2 2 2 2 2 2
T T T
1.0 150 f 150 f 30 f 1.0 723.81 f
2 2 2 2 2 2
L
V V V V V V
h
g g g g g g
         
 
2
T T T
1.0 1 150 f 150 f 30 f 1 723.81 f
2
L
V
h
g
         
 
2
T
2 330 f 723.81 f
2
B
L
V
h
g
     (3)
Se obtiene de la misma forma que el caso anterior f 0.019
T  para un conducto de 2 pulg
de acero nuevo.
 Número de Reynolds:
C
[ ]
[ ]
 Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.023
 y reemplazando los valores en (3)
 
2
2
(3.35[ ])
2 330 0.019 723.81 0.023 14.253[ ]
2 9.81[ ]
L
m s
h m
m s
     

 Sustituyendo valores en (1) y considerando  
2 2
2 0
A B
V V g
  se tiene A
P .
/
/
/

Guía Página 86
A
Válvula de globo
completamente
abierta
B
12 pies
Codo
  3
4.5[ ] 0 14.253[ ] 0.82 9.79[ ]
A
P m m kN m
     ⟹
150.5[ ]
A
P KPa

P-6.9 El agua del tanque mostrado en la figura se va a hacer fluir hacia un drenaje.
Determine el tamaño de la tubería de acero Calibre 40 que transportará al menos 400
gal/min del agua a 80° F a través del sistema mostrado. La longitud total de tubería es de
75 pies.
Datos:
Q=400 gal/min
L=75 pie
v = 9,15*10-6
pies2
/s
= , * -4
pies
SOLUCION:
 Empleando la ecuación de la energía en A y en B
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando PA – PB/γ = VA = 0
[ ]
⁄
 Donde los componentes de la perdida de energía son:
Donde:
/

Guía Página 87
Sustituyendo los componentes de la pérdida de energía en (2)
Sustituyendo (3) en (1) y despejando el factor f:
[ ] [ ]
 Por continuidad
Esta ecuación (6) se utilizará para iterar el diámetro D. Puesto que no
podemos despejar D en términos de f, la iteración se llevará a cabo como sigue:
 Calculo del número de Reynolds en función del diámetro:
 Calculo de la rugosidad relativa en función de D:
 Procedimiento de Iteración
1. Asúmase el valor de D
2. Calcule f en la ecuación (6)
3. Calcule la rugosidad relativa (D/E) empleando la ecuación (8)
4. Calcule el numero de Reynolds empleando la ecuación (7)

Guía Página 88
5. Evalué f y compárelo con el valor calculado en el paso 2
6. Ajuste D de forma que disminuya la diferencia entre los valores de f y repita los
pasos 2-5 hasta que se llegue a un acuerdo con los sucesivos de f.
1. Empecemos con el valor de prueba 0,1723 pies para el diámetro interno,
o espo die do a u a tu e ía de pulg.
Prueba D (Pies) f (Ec.-6) D/ NR f (Moddy) Cambio req. en D
1 0.1723 -0.0184 1143.667 719664.655 0.0196 Aumenta
2 0.2557 -0.0100 1704.667 484936.332 0.0183 Aumenta
3 0.3355 -0.0161 2236.667 369592.310 0.0178 Aumenta**
4 0.4206 -0.0883 2804.000 294113.696 0.0175 Disminuye
Las p ue as uest a ue el valo ade uado de D es a o ue . pies
pe o e o ue . pies , e vista ue o e iste u a tu e ía o e ial de ½ se
acepta la prueba 3 cuyo D = 4 Pulg Calibre 40.

Guía Página 89
CAPITULO Nº7
SISTEMAS DE LINEAS EN TUBERIA“ EN “ERIE
Este capítulo es la culminación de los capítulos anteriores, en los cuales trato el flujo de fluidos en
tuberías y tubos, donde se han desarrollado los conceptos de velocidad de flujo de fluidos, la
ecuación de continuidad, la ecuación de Bernoulli y la ecuación general de la energía. Se han
definido los fluidos turbulentos y laminar, consecuentemente se ha utilizado el número de
Reynolds para determinar el tipo de fluido en un sistema dado, Se ha dado la forma de calcular las
pérdidas de energía debido a la fricción. Asimismo, hemos establecido los diferentes tipos de
pérdidas secundarias del flujo de fluidos a través de válvulas y herrajes y para cambios de
velocidad o dirección del fluido.
Por supuesto, los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias pérdidas
secundarias así como pérdida de energía debido a la fricción conforme el fluido es entregado de
un punto a otro. Puede utilizarse más de un tamaño de tubería. A tales sistemas se les llama
sistema de línea de tubería en serie.
7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMAS
La mayoría de los sistemas de flujo de tubería involucran grandes pérdidas menores. Si el sistema
es arreglado de tal forma que el fluido fluye a través de una línea continua sin ramificaciones, éste
se conoce con el nombre de sistema en serie. Por otro lado, si el flujo se ramifica en dos o más
líneas, se lo conoce con el nombre de sistema en paralelo.
Este capítulo trata solamente los sistemas en serie como el que se ilustra en la figura que se
muestra a continuación. Si la ecuación de le energía se escribe para este sistema, utilizando la
superficie de cada depósito como punto de referencia, se asemejaría a lo siguiente:

Guía Página 90
g
v
Z
P
h
h
g
v
Z
P
L
A
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1









Los primeros tres términos del lado izquierda de esta ecuación representan la energía que
posee en el punto 1 en la forma de cabeza de presión, cabeza de elevación y cabeza
velocidad. De manera similar, los términos del Iado derecho de la ecuación representan la
energía que posee el fluido en el punto 2. Los dos términos hA, y hL indican la energía
agregada al fluido y la energía perdida del sistema en cualquier lugar entre los puntos de
referencia 1 y 2. En este problema, hA es la energía agregada por la bomba. La energía se
pierde debido a diferentes condiciones. Podemos decir que:
ctte
Q 
6
5
4
3
2
1 h
h
h
h
h
h
hL 





Donde:
hL =Pérdida de energía total.
h1 =Pérdida en la entrada.
h2 =Pérdida por fricción en la línea de succión.
h3 =Pérdida de energía en la válvula.
h4 = Pérdida de energía en los dos codos a 90°.
h5 =Pérdida de energía por fricción en la línea de descarga.
H6 =Pérdida en la salida.
Q = Caudal.
En una línea de tubería en serie la perdida de energía total es la suma de las pérdidas
individuales grandes y pequeñas.
----
---- -----,
Línea de
succión
Línea de descarga
Válvula
-1

Guía Página 91
En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tubería existen seis parámetros básicos
involucrados, llamados:
1. Las pérdidas de energía del sistema o la adición de energía al sistema.
2. La velocidad de flujo de volumen del fluido o la velocidad del fluido.
3. El tamaño de la tubería.
4. La longitud de la tubería.
5. La rugosidad de la pared de la tubería, ε.
6. Las propiedades del fluido como peso específico, densidad y viscosidad.
Normalmente, se determinará uno de los parámetros mientras que los demás se conocen o
pueden especificarse por el diseñador. El método de llevar a cabo, el diseño o completar el
análisis es diferente dependiendo de lo que no se sabe. Los métodos que describimos en
este texto se clasifican de la siguiente manera:
 Se determinarán las pérdidas o adiciones de energía.
 Se determinará la velocidad del flujo de volumen.
 Se determinará el diámetro de la tubería.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-7.1 Según la figura mostrada calcular el caudal en litros/seg y la potencia de la bomba
en HP tomando en cuenta que la presión en el punto 2 es 175 KPa.
DATOS:
tramo Diámetro
(Pulg.)
Longitud
(m)
1-2 3 100
2-3 2 60
e=4.6*10-5
m
Vis osidad i e áti a υ= . * -6
[m2
/s]
INCÓGNITAS:
a) Q=?
b) Pott.=?
B
Figura
)
1
(
)
2
(
)
3
(
95
.
0
. 
comp
val
k 80
.
0

tb
tk
k 00
.
1

tk
tb
k
64
.
0
º
90 
codo
k
 
A
comp
val %
100
.
.
m
5
m
15
1 1 1 1

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
92
3 . 1
. 0 . 0
Z desprec H H Z desprec
bomba perd
      
3
2
3 3
1
2
1 1
2 2
Z
g
V P
H H Z
g
V P
bomba perd
      
 
)1...(..........)3 1( )3 1(
 
  
Z H H
L bomba
3
2
3 3
)3 2( 2
2
2 2
2 2
Z
g
V P
H Z
g
V P
L
     

 
3 )3 2(
2
2 2
2
Z H
g
V P
L
  


3
2
2
2
2
2
2 2
2
*
2
Z
g
V
K
D
L
f
g
V P
 







  
 
3
2
. . º90
2
2
2
2
2 2
2
* *2
2
Z
g
V
K K K
D
L
f
g
V P
tk tb comp val codo
 







    


15
81.9*2
* 00.1 95.0 64.0*2
0508.0
60
81.9*2 9810
175000
2
2
2
2
 





    
V
f
V
)2.....(..........
00.1 95.0 64.0*2
0508.0
60
1
81.9*2*
9810
175000
15
2
3 2












   







 
f
V
 



2 3 2
3 2
*
Re
D V
)3.....(..........
10*0007.1
0508.0*
Re
6
3 2



V
000906.0
0508.0
000046.0
3 2
 

m
D
e
)4.....(..........
Re
51.2
71.3
log2
1








  
cal cal
f
D
e
f
SOLUCION:
Balance
de
energía
entre
los
puntos
2
y
3:
Despejamos
la
velocidad
en
función
del
factor
de
fricción:
Numero
de
Reynolds
Rugosidad
Relativa
a)
La
velocidad
de
las
partículas
en
1
y
3
es
tan
pequeña
que
puede
despreciarse,
la
presión
P
1
/γ=0
y
P
3
/γ=0
(da
a
la
atmosfera).
Balance
de
energía
entre
los
puntos
1
y
3:
_J _J
I

Guía Página 93
s
l
Q 83
.
2




 


s
m
D
V
Q
3
3
2
2
3
2
3
2
10
*
8272
.
2
4
0508
.
0
*
*
3849
.
1
4
*
* 

)
1
...(
..........
)
3
1
(
)
3
1
( 
 

 Z
H
H L
bomba
)
3
1
(
)
3
2
(
)
2
1
( 

 


 Z
H
H
H L
L
bomba
)
5
...(
..........
2
2
2
)
3
1
(
2
3
2
.
3
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 









 






















 Z
g
V
K
K
K
D
L
f
g
V
K
D
L
f
H tk
tb
val
codo
tb
tk
bomba
14
.
46869
10
*
0007
.
1
0762
.
0
*
0762
.
0
0508
.
0
*
3849
.
1
*
*
*
Re 6
2
2
1
2
2
1
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1 
















 









D
D
D
V
D
V
000604
.
0
0762
.
0
000046
.
0
1


m
D
e
0226
.
0
2
1 

f
10
81
.
9
*
2
3849
.
1
1
95
.
0
64
.
0
*
2
0508
.
0
60
0226
.
0
81
.
9
*
2
6155
.
0
8
.
0
0762
.
0
100
0226
.
0 


















bomba
H
m
Hbomba 08
.
13

Watt
m
s
m
m
N
H
Q
P bomba
bomba 79
.
362
08
.
13
*
10
*
83
.
2
*
9810
*
*
3
3
3


 

HP
Pbomba 49
.
0

Ya despejada las ecuaciones se procederá a la iteración:
Como el f(supuesto)= f(calculado) → V2-3 =1.3849 m/s
Ahora se procederá a calcular el Caudal:
Calculo Potencia de la Bomba de Ec. (1):
Calculo f1-2:
Con la ecuación de colebrook:
Remplazando en Ec. (5)
f(supuesto) V2 ec. (2) Re ec. (3) f(calculado) ec.(4)
0.0200 1.4678 74514.35 00.0226
0.0226 1.3877 70447.63 0.0227
0.0227 1.3849 70304.23 0.0227
-□

Guía Página 94
P-7.2 Se encuentra fluyendo agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado en la
figura. Determine la velocidad de flujo de volumen del agua si la distancia vertical entre las
superficies de los depósitos es de 10 m. Ambas tuberías son de hierro cubiertas de asfalto.
Los codos son estándar.
= , * -7
m2
/s
= , * -4
m
Longitud equivalente vál. Mariposa completamente abierta Le/D=340
Longitud equivalente de codo estándar de 90° Le/D=30
Asumiendo D6/D3= . la velo idad de flujo e el o du to de de , /s
encontramos K=0,45
SOLUCION:
Empleando la ecuación de energía en A y en B:
Despejando la pérdida de energía:
[ ]
Sustituyendo los valores y considerando PA-PB/γAGUA=0 y VA
2
- VB
2
/2g=0
hL = ……………………………………………………………………………………….... E .- 1)
Velocidad de flujo en ambos conductos:
Q6 = Q3 => A6*V6 = A3*V3
A
B
10m
Tubería de 5”
DI=165.2 mm
Longitud total=30m
Tubería de 3”
DI=90.9 mm
Longitud total=55m
Flujo
Alargamiento Repentino
Válvula de mariposa
completamente
abierta
-----
- - -
-----
- - -

Guía Página 95
V6
2
= (0.3028*V3)2 => V6
2
= 0.0917V3
2
…………………………………………... E .- 2)
Perdida de energía en el sistema para el cual existen 8 componentes:
hL = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8………………………………………….... (Ec.- 3)
Donde:
Perdida por fri ió , 6
(Perdida por salida)
Calculo de f3T y f6T, considerando completa turbulencia
[
⁄
] [ ]

Guía Página 96
[
⁄
] [ ]
Sustituyendo los componentes de la perdida de energía en (3) bajo una factorización de
la velocidad de ambos conductos.
………………….….. E .- 4)
Sustituyendo (1) y (2) en (4)
⁄
√
⁄
………………………………………………………………. E .- 5)
Nu ero de Rey olds e el o du to de :
⁄
…………………………….… E .- 6)
Rugosidad relativa o du to de :
Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f3 = 0.023.
Nu ero de Rey olds e el o du to de 6 :
⁄
……………………………….………….. E .- 7)
Rugosidad relativa o du to de 6 :

Guía Página 97
Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f6 = 0.0205.
Sustituyendo f3 y f6 en (5)
√
⁄
Calculo de NR para el flujo en ambos conductos, bajo el reemplazó de las velocidades en
(6) y (7).
Obteniendo los nuevos factores f3=0.0217, f6=0.0197 y sustituyendo en (5)
√
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos
en (6) y (7)
Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967 y sustituyendo en (5)
√
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos
en (6) y (7)

Guía Página 98
Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967, donde y estas se encuentran
inalteradas que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo de 3.463
m/s.
Calculo de la velocidad de flujo de Volumen en el sistema:
Nota: No existe diferencia significativa en el coeficiente de resistencia (K) asumido para
el alargamiento repentino, por lo tanto no es necesario realizar una corrección en la
velocidad.

Guía Página 99
CAPITULO 8
SISTEMAS DE LINEAS DE TUBERIA“ EN PARALELO
El sistema de línea de tubería se presenta cuando el fluido recorre en una línea continua
sin ramificaciones a esto se le llama sistema en serie. Por el contrario si el sistema provoca
que el fluido se ramifique en dos o más líneas, se llama sistema en paralelo.
8.1 PRINCIPIOS QUE RIGEN LOS SISTEMAS EN PARALELO
El análisis de los sistemas de línea de tubería paralelos requiere el uso de la ecuación
general de la energía junto con las ecuaciones que relacionan las velocidades de flujo de
volumen en las diferentes ramas del sistema y las expresiones para las pérdidas de carga a
lo largo del sistema. Las ecuaciones siguientes establecen los principios que relacionan las
velocidades de flujo de volumen y las pérdidas de cabeza, Refiriéndose a la siguiente
figura se tienen las siguientes relaciones:
)
1
(
..........
2
1 c
b
a Q
Q
Q
Q
Q 



)
2
.(
..........
2
1 c
b
a
L
h
h
h
h 



La ecuación 1 establece la condición de continuidad. El flujo total que entra al sistema Q1
se divide en los tres flujos ramales, Qa, Qb y Qc. Después estos salen por una tubería de
salida donde la velocidad de flujo es Q2. Por el principio de continuidad, el flujo de salida
en la sección 2 es igual al flujo de entrada en la sección 1.
En la ecuación 2 el término hL1-2 es la perdida de energía por unidad de flujo entre los
puntos 1 y 2 de las líneas principales. Los términos ha, hb y hc son las pérdidas de energía
,
º"
1 1
.
! 1• Q,, •2
u
,
~
~
1 1 1
f
... Q,.

Guía Página 100
por unidad de flujo en cada rama del sistema. Se puede demostrar escribiendo la ecuación
de energía utilizando los puntos 1 y 2 como puntos de referencia:
)
3
...(
..........
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
g
v
Z
P
h
g
v
Z
P
L 







PROBLEMAS RESUELTOS
P-8.1 Un sistema de conducción de agua está constituido por tres tuberías que partiendo
del punto A convergen en el punto B. Las características de las tuberías son:
Tubería Longitud [m] Diámetro [in] e/D
1 1600 6 0.0003
2 1000 5 0.0004
3 800 4 0.0005
El caudal del agua a través del sistema es de 100 m3
/h. La presión en A y B es la atmosférica
y el nivel de A está situado 3 m por debajo del nivel de B. Determínese el caudal a través de
cada tubería y la potencia teórica de la bomba a instalar.
DATOS:
Q=100m3
/s
ZA=3m
INCOGNITAS:
Q1, Q2, Q3=?
Pott=?
1) Caudal supuesto a través de la tubería de 6”
2)
m
3

Guía Página 101
3) Para la tubería de 5”
√
√
√

Guía Página 102
CV
Pbomba 74
.
2

7)

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
103
P-8.2
Por
una
tubería
de
25
cm
de
diámetro
interno
se
transporta
petróleo
a
lo
largo
de
una
longitud
total
de
30
Km
con
un
caudal
de
1000
m
3
/día.
Con
objeto
de
aumentar
el
caudal
conservando
las
mismas
presiones
de
entrada
y
de
salida
se
conecta
a
la
tubería
primitiva,
5
Km
antes
del
lugar
de
descarga,
otra
tubería
del
mismo
diámetro
y
paralela
a
la
primitiva.
Si
en
las
condiciones
de
transporte
la
densidad
del
petróleo
es
920
Kg/m3
y
su
viscosidad
5
poises.
Determínese
el
aumento
de
caudal.
DATOS:
D=25cm
L
1
=30Km
Q=1000m
3
/d
L
2
=5km
ρ=920Kg/m
3
INCÓGNITAS:
Aumento
de
Caudal=?
SOLUCION:
1
L
Longitud
D
Diametro
Q
Flujo
1
Pr
P
esion
2
Pr
P
esion
2
L
Longitud
D
Diametro
t

Guía Página 104
[ ]
P-8.3 Se encuentra fluyendo 100 gal/min de agua a 60 ºF en una tubería de acero Calibre
40 de 2 pulg. en la sección 1. El intercambiador de calor en la rama tiene un coeficiente
de pérdida de k=7.5 basado en la cabeza de velocidad de la tubería. Las tres válvulas están
abiertas completamente. La rama b es una línea de bypass compuesta de tubería de acero
Calibre 40 de 1 ¼ pulg. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1
y 2 en la rama b es de 20 pies. Debido al tamaño del intercambiador de calor, la longitud
de la tubería en la rama es muy corta, por lo que se pueden despreciar las pérdidas de
fricción. De este arreglo, determine:

Guía Página 105
a) La velocidad de flujo de volumen de agua en cada rama.
b) La caída de presión entre los puntos 1 y 2.
SOLUCION:
Se desconocen las dos velocidades va y vb, puesto que Q=Av:
De los datos proporcionados, Aa=0,02333 pies2
, Ab=0,01039 pies2
, Q1=100 gal/min.
Expresado Q1 en las unidades de pies3
/s obtenemos:
⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
á
Se conoce los siguientes datos:
faT =0,019 para una tubería Calibre 40 de 2 pulg.
Le/D = 30 para cada uno de los codos.
Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.
Entonces:
⁄ ⁄ ⁄
Para la rama b:
⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )
á
Los datos conocidos son:
FbT =0,022 para una tubería Calibre 40 de 1 ¼ pulg.
Le/D = 30 para cada uno de los codos.
Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.
Entonces:
( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )
( ⁄ )
Esta ecuación presenta la incógnita adicional, fb. Podemos utilizar el proceso de iteración.
La rugosidad relativa de la rama b ayudará en la estimación del primer valor de la prueba
para fb.

⁄ ⁄

Guía Página 106
Del diagrama de Moody una estimación lógica para el factor de fricción fb=0,023.
Sustituyendo este en la ecuación para hb obtenemos:
( ⁄ ) ( ⁄ )
Ahora tenemos:
⁄ ( ⁄ )
Despejando va obtenemos:
Entonces:
Después tenemos que:
⁄
[ ]
⁄
⁄
⁄
Puesto que realizamos estos cálculos utilizando un valor supuesto para fb, deberíamos
verificar la exactitud del supuesto.
Podemos evaluar el número de Reynolds para la rama b.
⁄
De tablas =1.21*10-5
pies2
/s. Entonces:
⁄
Utilizando este valor y la rugosidad relativa de 767 de ante, en el diagrama de Moody
obtenemos un nuevo valor para fb=0,25. Debido a que este valor es muy diferente del
valor supuesto de 0,023, podemos repetir los cálculos:
( ⁄ ) ( ⁄ )
⁄
Igualando las pérdidas de cabeza en las dos ramas:
⁄ ⁄
Despejando las velocidades:

Guía Página 107
Sustituyendo este valor en la ecuación de vb utilizada anteriormente obtenemos:
⁄
[ ]
⁄
⁄
⁄
Al volver a calcular el número de Reynolds para la rama b obtenemos:
⁄
⁄
No existe un cambio significativo en el valor de fb. Por lo tanto, los valores de las dos
velocidades calculadas anteriormente son correctos.
Ahora calculamos las velocidades de flujo de cabeza Qa y Qb:
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Convirtiendo estos valores a las unidades de gal/min obtenemos Qa=74,5 gal/min y
Qb=25,5 gal/min
Para calcular la caída de presión, podemos escribir la ecuación de la energía utilizando los
puntos 1 y 2 como puntos de referencia. Puesto que las velocidades y elevaciones son las
mismas en estos puntos, la ecuación de la energía es:
 
Despejando la caída de presión obtenemos:

Puesto que hL1-2=ha=hb:
Entonces:
⁄ ⁄
Observe que esto no toma en cuenta las pérdidas secundarias. Entonces tenemos que:
 ⁄
⁄

Guía Página 108
CAPITULO 9
CONDUCCIONE“ RAMIFICADA“
9.1 Conducciones ramificadas.- Cuando dos o más tuberías convergen en uno o más
puntos y el fluido circula por el conducto principal y las ramificaciones, el sistema de
conducción se denomina ramificado. Los problemas que pueden presentarse en este caso
son muy variados, y para su resolución puede seguirse el método indicado en el siguiente
ejemplo.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-9.1. Una instalación- petrolífera descarga el petróleo en dos depósitos A y B situados a
25m y 10m de altura sobre un tercer depósito almacén C. De los depósitos A y B parten
sendas tuberías de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí con
una tubería de diámetro 50 cm que va hasta el depósito C. La longitud de las tuberías que
parten de los depósitos A y B es de 800 m, y la que va desde la confluencia de las tuberías
anteriores hasta C mide 200 m. Si en las condiciones del transporte la viscosidad del
petróleo es 7.10-4
Kg/m*seg, y la densidad 870 Kg/m3, determínese el caudal horario de
petróleo descargado en C.
SOLUCION:
Considerando como nivel de referencia para las alturas el del depósito más bajo, y
prescindiendo de las cargas cinéticas, la aplicación de la ecuación de energía a cada
ramificación entre cada depósito y el punto de confluencia de las tuberías, nos lleva a
1
f
A
D
A
D
h
Z
Z
P
P






2
f
B
D
B
D
h
Z
Z
P
P






3
f
D
C
D
h
Z
P
P




Teniendo en cuenta que PA= PB = PC= presión atmosférica, las cargas de presión son
A
B
m
25
m
10
C
Figura
D

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
109
análogas
en
las
ecuaciones
anteriores;
Designando
por
Dh
a
l
suma
de
la
carga
de
presión
y
la
carga
de
altura
en
D,
tendremos:
El
problema
podemos
resolverlo
por
tanteo,
dando
un
valor
arbitrario
a
Dh
,
determinando
los
valores
de
las
cargas
de
fricción
para
este
valor
de
Dh
,
y
calculando
después
los
valores
de
1Q
,
2Q
y
3Q
,
según
el
método
indicado
en
el
ejemplo
1-8.
Si
tomamos
para
Dh
un
valor
menor
que
Dz
ha
de
cumplirse
que:
3 2 1
Q Q Q
 
[A]
En
caso
de
no
cumplirse
esta
igualdad,
si
resulta
menor
mayor
nos
indica
que
el
valor
tomado
para
Dh
es
alto
bajo
,
siendo
necesario
variar
el
valor
de
Dh
hasta
que
se
cumpla
la
igualdad
[A].
Si
tomamos
para
Dh
un
valor
mayor
que
Bz
,
ha
de
cumplirse
que:
3 2 1
Q Q Q
 
[B]
En
caso
de
no
cumplirse
esta
igualdad,
si
resulta
menor
mayor
nos
indica
que
el
valor
tomado
para
Dh
es
alto
bajo
,
siendo
necesario
variar
el
valor
de
Dh
hasta
que
se
cumpla
la
igualdad
[B].
1
er
tanteo:
valor
supuesto
para
Dh
=5m

Ramificación
AD
5
1
1
4
10*53.1 34260
800
3.0*81.9*2
10*7
870*3.0
Re
  

f
f
h
h
f
00016.0 
D

5.8
1

f
seg m h
f
u
f
/ 30.3 *0867.0
1
1 1
 
h m Q
/ 820
3
1


Ramificación
BD
4
10*66.7 Re
 f
00016.0 
D

3
2
1
f D
f D B
f D A
h h
h h z
h h z

 
 
J
I
_J
J _J
_J
I
t _J

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
110
2.8
1

f
seg m u
/ 57.1 2

h m Q
/ 410
3
2


Ramificación
DC
5
3
5 3
4
10*83.2 10*267.1
200
5.0*81.9*2
10*7
870*5.0
Re
  

f
f
h
h
f
00009.0 
D

0.9
1

f
seg m h
f
u
f
/ 46.4 *221.0
1
3 3
 
h m Q
/ 3150
3
3

Como
este
valor
de
3Q
es
mayor
que
1230 2 1
 
Q Q
,
hemos
tomado
para
Dh
un
valor
muy
alto.
2
do
tanteo:
valor
supuesto
para
Dh
=2m

Ramificación
AD
5
10*64.1 Re
 f
5.8
1

f
seg m u
/ 46.3 1

h m Q
/ 920
3
1


Ramificación
BD
5
10*06.1 Re
 f
2.8
1

f
seg m u
/ 96.1 2

h m Q
/ 520
3
2


Ramificación
DC
5
10*80.1 Re
 f
7.8
1

f
seg m u
/ 73.2 3

h m Q
/ 1930
3
3

_J
_J
_J
_J
_J _J
=f
_J
I
_J
_J
_J
_J
_J

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
111
Par
el
valor
tomado
de
Dh
=2m,
aun
resulta
3Q
mayor
que
la
suma
1440 2 1
 
Q Q
;
sin
embargo,
ya
nos
encontramos
ante
valores
próximos,
y
podemos
observar
que,
aun
siendo
muy
diferentes
los
valores
encontrados
para
3Q
en
los
tanteos
anteriores,
el
valor
de
f /1
varia
poco,
siendo
también
pequeña
la
variación
relativa
de
2 1
Q Q

frente
a
la
de
3Q
.
Esto
nos
lleva
a
poder
invertir
el
razonamiento
y
suponer
para
3Q
un
valor
próximo
al
de
2 1
Q Q

encontrado
en
el
segundo
tanteo,
y
calcular
el
valor
de
Dh
que
le
corresponde
a
este
caudal,
efectuando
el
tercer
tanteo
con
el
valor
calculado
de
Dh
.
Tomamos
h m Q
/ 1500
3
3

seg m u
/ 20.2 3

m h
f
25.1 3

3
er
tanteo:
valor
supuesto
Dh
=1.25m

Ramificación
AD
5
10*67.1 Re
 f
5.8
1

f
seg m u
/ 51.3 1

h m Q
/ 936
3
1


Ramificación
BD
5
10*01.1 Re
 f
4.8
1

f
seg m u
/ 11.2 2

h m Q
/ 570
3
2


Ramificación
DC
5
10*42.1 Re
 f
65.8
1

f
seg m u
/ 14.2 3

h m Q
/ 1513
3
3

El
valor
de
h m Q Q
/ 1506
3
2 1
 
;
por
tanto,
para
este
valor
de
Dh
=1.25m
se
cumple
la
concordancia
deseada,
y
podemos
tomar
para
el
caudal
total
el
valor
de
h m
/ 1506
3
.
_J
_J
_J
_J
_J
_J
_J

Guía Página 112
P-9.2 Para el sistema de tres ramas que se muestra en la figura, determine la distribución
de flujo de Qi de agua y la carga piezometrica H en la unión. El aporte de potencia al fluido
po pa te de la o a es o sta te, e igual a γQHp= kW. “upo ga fa to es de fricción
constantes.
Tubo L [m] D [m] f ∑K
1 50 0.15 0.020 2
2 100 0.10 0.015 2
3 300 0.10 0.025 1
SOLUCION:
Los equivalentes de los coeficientes de resistencia se calculan de la siguiente forma:
Considerando:
Se tiene:
Suponiendo las direcciones de flujo que se indican. La ecuación de energía para el tubo 1
desde el depósito hasta la unión B es:
Donde H es la carga piezometrica en B. Sustituyendo los parámetros conocidos y
despejando H se obtiene:
Figura
m
alt 20
m
alt 5
m
alt 13
 
2
 
3
 
1
P
B
  m
x
Le 15
2
02
.
0
15
.
0
1

   m
x
Le 7
.
6
1
015
.
0
10
.
0
2

   m
x
Le 4
1
025
.
0
10
.
0
3


 
 
5
2
3
5
2
1 /
10
42
.
1
15
.
0
81
.
9
65
02
.
0
8
m
s
x
x
x
x
x
R 


 
 
5
2
4
5
2
2 /
10
32
.
1
10
.
0
81
.
9
7
.
106
015
.
0
8
m
s
x
x
x
x
x
R 


 
 
5
2
4
5
2
3 /
10
28
.
6
10
.
0
81
.
9
304
025
.
0
8
m
s
x
x
x
x
x
R 


5
2
2
2
2
2
8
4
2
D
x
x
g
L
x
f
x
D
x
v
g
v
D
L
x
f
Q
h
R L
i











2
1
1
1 Q
R
H
H
Z P 


2
1
3
1
3
10
42
.
1
9800
10
20
10 Q
x
Q
x
H 


2
1
1
1420
4
.
2
10 Q
Q
H 



Guía Página 113
Para la iteración se estima un valor de Q1; luego se calcula H y se evalúa Q2 y Q3 con las
relaciones:
En la última columna de la tabla se utiliza un balance de continuidad para verificar la
exactitud de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 se basa en una interpolación
li eal ha ie do ∑Q= utiliza do valo es de Q ΔQ de la dos p i e as ite a io es.
Iteración Q1 H Q2 Q3 ΔQ= Q1--Q2-Q3
1 0.050 47.25 0.0362 0.0227 -0.0089
2 0.055 42.80 0.0311 0.0210 +0.0029
3 0.054 43.64 0.0322 0.0214 +0.0004
La solución aproximada es H=43.6m, Q1=54 l/s, Q2=32 l/s, Q3=21 l/s.
2
/
1
4
2
/
1
2
2
2
10
32
.
1
30





 






 

x
H
R
Z
H
Q
2
/
1
4
2
/
1
3
3
3
10
28
.
6
15





 






 

x
H
R
Z
H
Q

Guía Página 114
CAPITULO 10
FLUJO DE FLUIDO“ COMPRE“IBLE“
En los ejemplos indicados anteriormente hemos hecho aplicación de la Ec. de energía
considerando los fluidos incompresibles; en el caso de flujo de gases no podemos hacer esa
suposición, para la deducción de una ecuación aplicable para estos casos podemos partir de la Ec.
de energia, que escrita en forma diferencial (suponiendo que el flujo es horizontal y que no realiza
trabajo ni se le suministra calor), se convierte en:
0
2
2



gD
dL
u
f
dp
g
udu

Esta ecuación no puede integrarse directamente debido a que la velocidad u varia al variar p, que
a su vez es función de la longitud L.
Es conveniente poner la ecuación anterior en función de la velocidad másica G, que es la misma en
cualquier punto de la canalización. Tendremos en cuenta las relaciones que indicamos
seguidamente para su sustitución en la ecuación anterior:
 
1
0
2
,
,
2
2








D
dL
g
V
G
f
V
dp
g
g
g
GdV
GV
Gdv
du
A
W
G
u
u
V
u
G
c



Dividiendo por V2
 
2
0
2
2
2



D
dL
g
G
f
V
dp
g
g
V
dV
g
G c
Para integrar esta expresión es necesario tener en cuenta que f es función del Re = DG/μ, que es
independiente de la densidad del fluido, pero que depende de la viscosidad del mismo. De todos
modos, la variación de f con la viscosidad es pequeña, y prácticamente podemos tomar la media
aritmética de los valores correspondientes a las condiciones extremas:
2
2
1 f
f
f


Y considerar este valor constante para efectos de integración. En tales condiciones la integración
de la Ec. [1-27] entre los estados 1 y 2 nos lleva a:
 
3
0
2
ln
2
2
1
1
2
2


  D
L
g
G
f
V
dp
g
g
V
V
g
G c
Flujo isotermo de un gas ideal.- En este caso particular
 
4
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
V
p
p
p
dp
p
V
p
V
dp 

 

Y
2
1
1
2
p
p
V
V


Guía Página 115
Luego
 
5
0
2
2
ln
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2




D
L
g
G
f
V
p
p
p
g
g
p
p
g
G c
Si designamos por Vm el volumen especifico a la presión media, podemos escribir:
1
1
2
1
2
V
p
V
p
p
m 

Y
      
6
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
p
p
V
V
p
p
p
p
p
V
p
p
p
m






Entonces
 
7
0
2
ln
2
1
2
2
1
2




D
L
g
G
f
V
p
p
g
g
p
p
g
G
m
c
Si la caída de presión a lo largo de la canalización es pequeña en relación con la presión
total, el primer termino de la Ec. [1-32], que representa el aumento de la energía cinética
del fluido, será pequeño y despreciable frente a los otros dos, y en tales condiciones
 
8
0
2
2
1
2



D
L
g
G
f
V
P
P
c
m
Y de aquí:



D
L
g
G
f
V
P
P
c
m
2
*
2
1
2
 
9
2
1
2
1
*
2
2
2
D
L
u
g
f
D
L
V
u
g
f
V m
m
m
m
c
m 


Siendo um y γm la viscosidad y el peso especifico del fluido a la presión media de p1 y p2.
Donde:
P1= Presión de entrada a la tubería
P2= Presión de salida de la tubería
Vm= [1/γm] Volumen especifico promedio a Pm (P1+P2/2)
γm= Peso especifico promedio a Pm (P1+P2/2)
f= factor de fricción
L= Longitud de la tubería
D= Diámetro interno de la tubería
G=Gasto
R= Constante universal de los gases
M= Peso molecular del gas
ρ= Densidad
v= Velocidad

Guía Página 116
PROBLEMAS RESUELTOS
P-10.1 Desde una instalación productora de acetileno hasta el lugar de ampliación situado
a 5000 [ ] se transporta este a razón de100 [ ] (Medidos en condiciones normales) por
una tubería de hierro de 5´´. Determine ser la presión a que se encuentra el acetileno
cuando entra en la tubería si en el lugar de aplicación (a la salida de la tubería) ha de
encontrarse a 1 [ ] de presión.
El flujo del acetileno a través de la tubería es isotermo a 25
(La densidad del acetileno a 0 y 1 [ ] es 1.1708 [ ], y su viscosidad a 25 Es
poises. Las características de la tubería se dan en la tabla a-19.)
SOLUCIÓN:
[ ]
Haciendo uso de la Ec.
[ ] [ ]
A continuación se determina el valor de correspondiente a la presión media,
efectuándose el cálculo por tanteo:
1er. Tanteo: presión supuesta, [ ]
[ ]
[ ]
m
g
G
D
L
f
P
P

*
2
*
2
2
1 


Guía Página 117
2do. Tanteo: presión supuesta, [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Como resultado encontramos que la presión a que ha de entrar en la tubería ha de ser
11,80[ ].
P-10.2 Por tubería de hierro de 3 ´´ circula una corriente de hidrógeno con un caudal de
500 , medido a 0 y 1 [ ]. La longitud total de la tubería, incluidos los accesorios,
es de 400 [ ] Y la presión de entrada del hidrógeno en la tubería es de 30 [ ].
Determine ser la presión de salida si el flujo es isotérmico a 20 .
El factor de compresibilidad para el hidrógeno a 20 . En función de la presión es el
indicado en la tabla siguiente.
Presión Atm z
1 1.0732
10 1.0791
20 1.0855
30 1.0920
40 1.0985
La viscosidad puede suponerse invariable con la presión, y a 20 . Vale 0.009 cent poises.
La densidad a 0 y 1 Atm. es 0.0898 [ ].
SOLUCIÓN:
A partir de la Ec. [7] despreciando el primer término y haciendo , tenemos:
En las condiciones del problema:
[ ] [ ]

Guía Página 118
Sustituyendo en Ec. [1-35]
[ ] [ ]
Por tanto, la presión vendrá dada por:
La resolución de esta ecuación la efectuaremos por tanteo:
[ ]
[ ]
La presión debida es de 24 [ ] O sea que la pérdida de presión por fricción a lo largo de
la tubería es de 6 [ ]
En realidad, podíamos haber resuelto el problema admitiendo que el hidrógeno se
comporta como gas perfecto en este intervalo de presiones, ya que aproximadamente es
así, podemos observar en la pequeña diferencia del factor de compresibilidad respecto a
la unidad para el intervalo de presiones que hemos considerado.
P-10.3 De llevarse aire a 25 Por una tubería de 3´´ a lo largo de una conducción de 2000
[ ] De longitud total.
El aire entra en la tubería a 2 [ ] De sobrepresión, y se desea conocer la presión de
salida si en el lugar de aplicación se necesitan 1000 [ ] (Las características del tubo y del
fluido se dan en tablas)
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el fluido es isotérmico y suponiendo que el gas se comporta como
ideal, haremos uso de la Ec. [7], calculando, en primer lugar, el último término de esta
ecuación, que es correspondiente a la fricción.

Guía Página 119
En las condiciones del problema:
[ ] [ ]
El término correspondiente a la fricción valdrá:
[ ]
La primera aproximación podemos escribir el término cinético quedando entonces:
[ ]
Que podemos poner de la forma:
̅
Siendo ̅
̅ La presión media entre resolviendo la ecuación anterior por tanteo
tenemos:
P supuesta [Atm] P calculada [Atm]
2 2.85
2.85 2.44
2.50 2.58
256 2.56
Con esta presión calculada determinaremos ahora el valor del término cinético.
( )
Observamos que éste término resulta casi despreciable frente al correspondiente al de la
fricción, siendo innecesario efectuar corrección alguna para el valor de este término que
no hemos tenido en cuenta en primera aproximación.
Si este término resultara significativo, sería necesario incluirlo al efectuar el cálculo por
tanteo. En general, suele ser despreciable, y su supresión facilita los cálculos.

Guía Página 120
CAPITULO 11
MEDIDORE“ DE CAUDAL
P-11.1 Un tubo de pitot se introduce en el centro de una tubería de acero calibre 80 y
diámetro de 2 plg que conduce N2 registrándose una lectura de 50 mm de agua en un
manómetro inclinado (1/15) en conexión con el pitot la temperatura del nitrógeno es 15ºC
y la presión es 850 mmhg. Determine el caudal referido a condiciones normales de presión
y temperatura.
DATOS: SOLUCION:
D = 77.9mm
h= 50mmH2O
Pendiente= (1/15)
T= 15ºC
P= 850mmHg
Incógnitas:
Q=?
Calculo de la densidad:
3
/
32
.
1
/
32
.
1
288
*
*
*
4
.
62
/
28
*
850
m
kg
l
g
K
mol
K
l
mmHg
mol
g
mmHg
RT
PM





Calculo de la diferencia de presión entre A y B:
2
3
3
2 /
62
.
32
/
)
1000
*
81
.
9
(
*
10
*
326
.
3
* m
N
m
N
m
h
P O
H 


 

Balance de energía entre A y B:





 B
B
B
A
A
A
Z
g
v
P
Z
g
v
P
2
2
2
2


0
2
0
0
2





g
v
P
P B
B
A


Despejando la velocidad:




 2
*
2
*


P
g
P
vB s
m
vB /
03
.
7
2
*
32
.
1
623
.
32


Calculo del caudal:



 2
2
)
0779
.
0
(
4
*
/
03
.
7
4
*
* m
s
m
D
v
A
v
Q B
B
B


 
s
m
Q /
0335
.
0 3

Calculo del ángulo:
º
814
.
3
15
1
15
1 1















 
tg
tg 

m
sen
m
sen
L
h 3
10
*
326
.
3
º
814
.
3
*
05
.
0
* 


 
h
L
FF F

Guía Página 121
P-11.2 En una tubería de acero de diámetro interno 22 cm, que conduce agua a 10 ºC, se
hace una exploración en 10 puntos con un tubo de Pitot. El manómetro indicador
empleado tiene en una de sus ramas tet a lo u o de a o o ρ= , . Pa a e plo a de
modo adecuado la sección normal del conducto se divide aquella en cuatro anillos
concéntricos y un círculo central, todos de la misma área. Se hacen las lecturas a lo largo
de un diámetro, en la intersección con la circunferencia bisectriz de cada anillo (y en la del
círculo central), obteniéndose los resultados siguientes:
Distancia
al centro
del tubo,
% del
radio
Lectura del
manómetro, mm
------------ --------------
31,6 ………………………………. 228
54,8 ………………………………. 204
70,7 ………………………………. 168
83,7 ………………………………. 132
94,8 ………………………………. 84
Determínese:
a) El caudal de agua, en m3
/h;
b) La lectura manométrica que obtendríamos situando el tubo de Pitot en el centro
de la tubería.
SOLUCIÓN:
a) La carga cinética vendrá dada por la expresión
 
m
h
h
h
O
H
O
H
C
Cl
K
4
3
10
*
6
*
*
10
*
2
2
4 







En los cinco puntos explorados las cargas cinéticas valen:
 
m
hK 1368
,
0
228
*
10
*
6 4
1 
 
 
m
hK 1224
,
0
204
*
10
*
6 4
2 
 
 
m
hK 1008
,
0
168
*
10
*
6 4
3 
 
 
m
hK 0792
,
0
132
*
10
*
6 4
4 
 
 
m
hK 0504
,
0
84
*
10
*
6 4
5 
 
Las velocidades en cada uno de los puntos serán:
K
gh
P
g
u 2
)
(
2




 
seg
m
u 639
,
1
1 
 
seg
m
u 550
,
1
2 
F r-
1
/

Guía Página 122
 
seg
m
u 406
,
1
3 
 
seg
m
u 247
,
1
4 
 
seg
m
u 994
,
0
5 
La velocidad media correspondiente a estos cinco valores es
 
seg
m
u 367
,
1

El caudal será
   
h
m
seg
m
Q 3
3
2
187
052
,
0
11
,
0
*
*
367
,
1 

 
 
h
m
Q 3
187

b) 5
3
10
*
31
,
2
10
*
3
,
1
1000
*
22
,
0
*
367
,
1

 
e
R
81
,
0

máx
u
u
 
seg
m
umáx 688
,
1

145
,
0
2
2


g
u
hK
 
mm
h 242
6
,
0
10
*
145
,
0 3


Tiempo de descarga.- Cuando un depósito en el que esta contenido un líquido se está
descargando, desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá
a medida que va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga de
un volumen determinado de líquido dependerá de aquel nivel. En el ejemplo siguiente
hacemos un estudio de este problema.
P-11.2 Un deposito cilíndrico de 1 m de diámetro y 4m de altura está lleno de agua a 200
C.
Perpendicularmente al fondo del depósito esta conectando un tubo de 1.5´´ y 5 m de
longitud a través del cual de vacía. Calcúlese el tiempo que tarda en descender 1 m el nivel
de agua en el depósito.
SOLUCIÓN:
Considerando un punto del depósito a una altura z, al descender al nivel dz en el tiempo
dt, el caudal vendrá dado por:








dt
dz
A
Q dep [A]
En este instante, a través del tubo de sección A2, circulara el mismo caudal
Q = A2 u2 [B]
/
/
/
/
/
/
/ /
~-;¡

Guía Página 123
Podemos considerar que la velocidad u1 del agua dentro del depósito es despreciable
frente a la velocidad u2 en el tubo. Si tomamos como plano de referencia para alturas el
punto inferior del tubo (z2 = 0), la aplicación de la Ec. de energía nos conduce a la
expresión:
D
fL
gz
u
h
z
g
u
f
/
1
2
;
0
2
2
1
2
2





Igualando las expresiones [A] y [B], una vez sustituido el valor de u2 en [B], tendremos:
   
1
2
/
1
2
2
/
1
/
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
final
inicial z
z
g
D
fL
A
A
t
dz
z
g
D
fL
A
A
dt
D
fL
gz
A
dt
dz
A











Para efectuar la integración hemos supuesto que f es constante; en realidad no ocurre
esto y debemos operar con un valor medio adecuado, cuyo cálculo se verifica del modo
siguiente:
Cuando empieza a descargarse el depósito (z = 9)
)
10
*
9
.
40
/(
1
9
*
8
.
9
*
2
3
2 


fL
u
La longitud total serán los 5 m de tubería más la longitud equivalente al estrechamiento
brusco, que vale 0.6 m; por lo tanto L = 5.6 m y:
f
u
137
1
3
.
13
2


El valor de f lo determinaremos por tanteo:
1.er
tanteo: Suponemos u2 = 10 m/seg.
Re = 4.08*105
ε/D = .
f = 0.0205
u2 = 6.81 m/seg.
2. ° tanteo: Suponemos u2 = 6.81 m/seg.
Re = 2.78*105
f = 0.0212
u2 = 6.73 m/seg.
3. ° tanteo: suponemos u2 = 6.73 m/seg.
Re = 2.75*105
f = 0.0212
u2 = 6.73 m/seg.
En consecuencia, el valor de f al principio de la operación es:
f = 0.0212

UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
124
Después
de
descender
1
m
el
nivel
de
agua
en
el
depósito,
la
velocidad
de
salida
vendrá
dada
por:
f
u
137 1
53.12
2


Y
el
valor
de
f
lo
determinamos
por
tanteo
igual
que
en
el
caso
anterior
1.
er
tanteo:
Suponemos
u
2
=
6
m/seg.
Re
=
2.45*10
5
f
=
0.0210
u
2
=
6.37
m/seg.
2.
°
tanteo:
Suponemos
u
2
=
6.37
m/seg.
Re
=
2.60*10
5
f
=0.0210
u
2
=
6.37
m/seg.
En
consecuencia,
el
valor
de
f
al
final
de
la
operación
es:
f
=
0.0210
El
valor
medio
de
f
será
f
=
0.0211
El
tiempo
necesario
para
descender
el
nivel
en
el
depósito
desde
los
4
m
hasta
los
3
m
será




seg t
t
91 829.2 3 445.0*1196
8 9 81.9*2
137*0211.0 1
10* 09.4
2
4 2
  




seg t
91 
_f _f -t-
t

Guía Página 125
CAPITULO 12
“DESTILACION”
12.1 GENERALIDADES.
Con el nombre de destilación se entiende la separación de los componentes de una
mezcla liquida por vaporización parcial de la misma, de tal manera que la composición del
vapor obtenido sea distinta de la composición del líquido de partida, resultando distinta
también la composición del líquido residual.
La destilación es una de las operaciones básicas más importantes de la industria química y
permite separar los componentes de una mezcla liquida al estado de sustancias puras.
12.2 RELACIONES DE EQUILIBRIO.
para separar los componentes de una mezcla liquida por destilación es condición
necesaria que la composición del vapor producido en la ebullición de la mezcla sea
diferente de la composición del líquido de partida; por ello, el conocimiento de las
relaciones de equilibrio entre ambas fases es esencial para la resolución analítica de los
problemas de destilación, y los aparatos en los que se lleva a cabo esta operación han de
suministrar un íntimo contacto entre el vapor y el líquido para que en el límite entre
ambas fases se alcancen las condiciones de equilibrio.
12.3 DIAGRAMAS DE EBULLICIÓN.
En estos diagramas se representa la composición de la mezcla liquida frente a la
temperatura de ebullición, a presión constante. En la figura 5-1 está representado el
diagrama de ebullición para la mezcla de los líquidos A y B, de temperaturas de ebullición
tA y tB a la presión considerada (al establecer un orden en los componentes de la mezcla
indicamos siempre en primer lugar el componente más volátil).
En este diagrama se representan dos curvas que coinciden en sus extremos, La curva
superior se denomina curva de principio de condensación o de final de ebullición.
Considerando un punto C de esa curva su abscisa es la composición del vapor en equilibrio
con el líquido de composición dada por la abscisa en el punto D sobre la curva inferior y a
la temperatura común de equilibrio. El punto D corresponde a una mezcla liquida de
composición xD que hierve a temperatura t1 para la presión total p a la que ha sido
construido el diagrama, y el vapor producido en la ebullición de este líquido tendrá de
composición yC. La curva del líquido es llamada también curva de principio de ebullición o
de final de condensación.

Guía Página 126
Cualquier punto que se encuentre por encima de la curva superior, tal como el punto E,
corresponde a una mezcla de los componentes A y B al estado de vapor, de composición
yE, y enfriando esta mezcla a presión constante iniciará su condensación en el punto F a la
temperatura t2, dando un líquido de composición xG.
Cualquier punto que se encuentre por debajo de la curva inferior, tal como el punto H,
representa una mezcla líquida de los componentes A y B de composición xH, cuya
temperatura de ebullición t3, viene dada por la intersección de la abscisa del punto con la
curva inferior (de principio de ebullición), punto I, dando lugar a un vapor de composición
yL.
Finalmente, cualquier punto comprendido entre las dos curvas, tal como el punto M,
representa una mezcla de líquido y vapor que, en el equilibrio entre la fases a la
temperatura t4, dará lugar a un líquido de composición xM y un vapor de composición yM.
Para cada sistema se construye generalmente un diagrama de ebullición a partir de datos
que han sido determinados experimentalmente para una presión dada, modificándose
tales diagramas al variar esta.
1
1
E
' M
----------------~--------~--------~
1
1
1
1
1
1 1
----------------➔----- ➔-----""____..,..__.,...___,,._
1 1 1
1 1 1
________________J_____t-----t--+---=------1---'---------1--~
1
1
1
1
m' X
o
H
Ye YL

Guía Página 127
12.4 DIAGRAMAS DE PRESIÓN DE VAPOR.
En esos diagramas se representan las composiciones de las mezclas frente a la presión
parcial de vapor de cada componente, a una temperatura determinada. Se representa
también en dichos diagramas la presión total como suma de las presiones parciales
ejercidas por amos componentes.
12.5 DIAGRAMAS DE EQUILIBRIO.
En estos diagramas se representan las composiciones del líquido frente a las del vapor en
equilibrio, a presión total constante.
12.6 LEY DE RAOULT.
Cuando se trata de disoluciones ideales se pueden determinar los datos para la
construcción de los diagramas anteriores a partir de las tensiones de vapor de los
componentes puros. Este comportamiento ideal se representa en mezclas cuyos
constituyentes muestran gran semejanza química, y se aproximan a este comportamiento
las mezclas cuyos componentes tienen iguales presiones críticas. Estas disoluciones
obedecen a la ley de Rault, según la cual <<la presión de vapor de cada componente es
igual al producto de la fracción molar de dicho componente en la fase líquida por la
tensión de vapor del componente puro a la misma temperatura>>:
[1]
( ) ( ) [2]
Si la mezcla cumple con la ley de Dalton ( ) la presión necesaria para que la
mezcla hierva será:
( ) [3]
Por otra parte, como la fracción molar en la fase de vapor es la relación entre la presión
parcial y la presión total, tendremos:
⁄ [4]
⁄ [5]
12.7 VOLATILIDAD RELATIVA.
se denomina volatilidad de un componente en una mezcla a la relación entre su presión
parcial de vapor y su concentración en la fase líquida, es decir:
Volatilidad de A = pA/xA [6]
Volatilidad de B = pB/xB [7]

Guía Página 128
Al cociente entre las volatilidades de componente más volátil y del menos volátil se
denomina volatilidad relativa, α; es decir:
⁄
⁄
[8]
( ⁄ )
⁄ [9]
Como y , podemos deducir la expresión:
( )
[10]
En términos estrictos, la volatilidad relativa es función de la temperatura, sin embargo,
para algunas mezclas permanece prácticamente constante en el intervalo normal de
operación.
EJEMPLO.1 Las tensiones de vapor del heptano y el octano son las siguientes:
t, o
C P7 P8 t, o
C P7 P8
98,4
100
102
104
106
108
110
112
760
795
841
890
941
993
1049
1104
377
356
380
406
429
452
479
510
114
116
118
120
122
124
125,6
1165
1228
1296
1368
1442
1528
1593
540
574
609
647
687
729
760
Si las mezclas de estos componentes cumplen la ley de Rault
Determínese:
a) Los datos de equilibrio para este sistema a la presión de una atmosfera calculados
directamente a partir de las presiones de vapor.
b) La volatilidad relativa a cada temperatura.
c) La relación analítica entre las composiciones de equilibrio de la mezcla a la presión
de una atmosfera, tomando el valor medio de la volatilidad relativa.
SOLUCIÓN:
A 124o
C, haciendo uso de las Ecs. [3] Y [4]:
760=1528X + 729(1-X)
X=0,0388
Y=1528X/760 = 0,0778

Guía Página 129
A 122O
C
760 = 1442x + 687 (1-x)
x = 0,0967
y = 1442x/760 = 0,1835
A 120O
C
760 = 1368x + 647(1-x)
x = 0,1563
y = 1368x/760 = 0,2821
Operando del mismo modo para otras temperaturas se obtienen los datos que
resumimos en la tabla siguiente:
t, o
C x y α t, o
C x y α
125,6
124
122
120
118
116
114
112
0,000
0,039
0,097
0,156
0,220
0,284
0,352
0,421
0,000
0,078
0,184
0,282
0,375
0,450
0,541
0,613
2,096
2,096
2,099
2,114
2,128
2,139
2,157
2,165
110
108
106
104
102
100
98,4
0,495
0,569
0,647
0,733
0,824
0,922
1,000
0,681
0,743
0,801
0,862
0,912
0,963
1,000
2,190
2,197
2,193
2,192
2,213
2,233
2,255
b) Las volatilidades relativas para cada temperatura, incluidas en la tabla anterior, se han
de terminado por el cociente entre las tenciones de vapor de los componentes puros.
c) El vapor medio aritmético de la volatilidad relativa para todo el intervalo es igual a
α = 2,17
Entonces la relación analítica entre las concentraciones de equilibrio
Resulta (Ec. [10]):
Y =
12.8 DESVIACIONES DE LA IDEALIDAD.
para la mayor parte de las mezclas. La presión total obtenida para una temperatura
determinada es Distinta De la prevista por la ley de rault, Ecs. [3], y decimos que Estas
mezclas presentan desviaciones de la idealidad, siendo mucho más abundantes las
mezclas las con desviaciones positivas (cuando la Presión total es mayor que la prevista
por la ley de Rault) que con desviaciones negativas.

Guía Página 130
Sin embargo cuando la concentración de un componente, expresada en fracción molar, se
aproxima a la unidad, su comportamiento se aproxima al previsto por la ley de Rault; por
tanto, en disoluciones muy concentradas , e8sta le8y se puede aplicar como limite al
componente que se halla en mayor proporción.
Si se trata de disoluciones diluidas, y para el componente que se Encuentra en menor
proporción, se puede aplicar la ley de Henry, Según la cual la presión de un componente
en el vapor es proporcional
A su conce8ntracion:
PA = CxA
Comparando el intervalo de aplicabilidad de estas dos leyes podemos Decir que la ley de
Rault es aplicable al disolvente, y la de Henry es aplicable Al soluto.
Las desviaciones del comportamiento ideal pueden tratarse introduciendo
Un coeficiente de corrección en las Ecs. [4] Y [5] de tal manera que
yA= [11]
yB= . [12]
Los coeficientes de corrección , denominados coeficientes de actividad, varían
con la concentración, siendo mayores que la unidad para las mezclas con desviaciones
positivas (log y > 0) y menores que la unidad para las mezclas con desviaciones negativas
(log y < 0); en cualquier caso, su valor se aproxima a la Unidad al hacerlo la fracción molar
del componente considerado.
12.9 MEZCLAS AZEOTROPICAS.
cuando las desviaciones de la ley de rault son suficientemente grandes, las mezclas
pueden presentar un máximo o un mínimo para la presión total en la curva presión de
vapor composición , correspondiendo este máximo o mínimo a la composición del
zoótropo son más abundantes las mezclas que presentan el máximo en la presión de
vapor que corresponde a un mínimo en la temperatura de ebullición , y en este caso
decimos que la mezcla presenta un zoótropo mínimo cuya composición corresponde al
mínimo que aparece en la curva de ebullición par una presión total determinada en estas
mezclas, las curvas de composición del liquido y del vapor son tangentes en el punto de
azeotropismo.
Las mezclas cuyo concentración es menor que la correspondiente al zoótropo, dan lugar
en ebullición a un vapor más rico en componente más volátil que el liquido de partida,
mientras que las mezclas de concentración superior a aquella dan un vapor mas pobre en

Guía Página 131
componente más volátil que el liquido de partida .naturalmente, si se trata de una mezcla
cuya composición sea la del zoótropo dará lugar a un vapor de la misma composición
, comportándose como si se tratara de un componente puro; por tanto las mezclas de esta
composición no pueden separarse por destilación.
Para las mezclas que presentan un zoótropo máximo puede hacerse un razonamiento
análogo.
A partir de las Ecs. [5-11] Y [5-12], y teniendo en cuenta que para la composición del
azeotropo
YA=XA e YB=XB , podemos deducir la expresión.
= [13]
Por otra parte, como en las mezclas con desviaciones positivas (Mínimo en el punto de
ebullición) al aumentar la concentración del componente mas volátil aumenta el valor de
YB/YA , podemos deducir que para que se forme un azeotropo mínimo es condición
necesaria que el coeficiente de actividad del componente menos volátil llegue a ser mayor
que el cociente entre las tenciones de vapor del componente más volátil y del menos
volátil. Por un razonamiento análogo, deducimos que la formación de un azeotropo
máximo está condicionada a que el coeficiente de actividad del componente mas volátil
llegue a ser menor que la inversa de aquel cociente.
12.10 DESTILACION SIMPLE.
La destilación simple consiste en la vaporización parcial de una mezcla con producción de
vapor más rico en componentes más volátiles que la mezcla liquida inicial, quedando un
residuo liquido más rico en componentes menos volátiles se puede llevar de dos maneras:
12.10.1 DESTILACION DE EQUILIBRIO O CERRADA
En este caso el líquido se lleva a una temperatura intermedia entre la de principio y fin de
ebullición, dejando que la fase vapor formada alcance el equilibrio con la fase liquida, a
aquella temperatura.
Por aplicación de un balance de materia aplicado a todo el sistema
y al componente más volátil, llegamos a la expresión
= [14]

Guía Página 132
que nos da la relación entre la cantidad de liquido residual L y la cantidad de vapor
separado V , en función de la composición inicial del liquido Xo, y las composiciones del
liquido y vapor en equilibrio a la temperatura y presión dadas x e y.
Sobre el diagrama de ebullición, construido a la presión de operación se leen
directamente las composiciones del líquido y del vapor en equilibrio, en función de la
composición del líquido inicial y de la temperatura de trabajo.
EJEMPLO.2 Una mezcla liquida de hexano y benceno que contiene 40 % en moles de
hexano, se somete a destilación cerrada a la presión atmosférica y temperatura constante
hasta que el 40 % del líquido inicial pasa a la fase vapor. Determínese la temperatura a
que ha de realizarse la operación y las condiciones del líquido residual y del vapor
separado.
Los datos de equilibrio para el hexano-benceno a 1 atm son los siguientes (expresadas las
composiciones en fracción molar):
x y T, ºC x y T, ºC
0.00 0.00 80.1 0.55 0.640 70.6
0.05 0.111 78.5 0.60 0.676 70.3
0.10 0.191 77.1 0.65 0.710 69.9
0.15 0.258 76.0 0.70 0.744 69.5
0.20 0.317 75.1 0.75 0.782 69.3
0.25 0.371 74.4 0.80 0.822 69.1
0.30 0.422 73.7 0.85 0.862 68.9
0.35 0.470 72.7 0.90 0.906 68.8
0.40 0.518 72.2 0.95 0.952 68.7
0.45 0.563 71.5 0.97 0.971 68.7
0.50 0.602 71.0 1.00 1.000 68.7
SOLUCIÓN:
A partir de los datos anteriores construimos el diagrama de ebullición (Fig. 2)
De acuerdo con la Ec.[5-14] y tomando como base de cálculo 100 moles de mezcla inicial,
tendremos:

Guía Página 133
A partir de esta expresión deducimos que y ha de ser mayor que 0.40 y x menor que 0.40;
es decir, la temperatura estará comprendida entre 74ºC y 72.2ºC. Resolveremos la
ecuación anterior por tanteo sobre el diagrama de ebullición:
1º Tanteo: Temperatura supuesta, t = 72.9ºC. Para esta temperatura:
El valor obtenido es ligeramente mas bajo, lo que nos indica que la temperatura supuesta
ha sido baja.
2º Tanteo: Temperatura supuesta, t = 73ºC. Para esta temperatura:
Siendo este valor deseado. En consecuencia, la temperatura a que ha de llevarse a cabo la
operación sera la de 73ºC, siendo la composicion del liquido residual x = 0.34, y la del
vapor separado y = 0.46.
FIG.

Guía Página 134
Podriamos tambien resolver este problema haciendo uso del diagrama de eqilibrio como
indicamos mas adelante.
En la practica la destilacion de equilibrio solo se aplica al tratamiento de petroleos,
haciendo pasar la mezcla de modo continuo y a presion a lo largo de un cambiador de
calor, que puede estar constituido por una serie de tubos calentados exteriormente, y se
descarga por una valvula de reduccion de presion a un recinto separador, tipo ciclon, en el
cual se separa la mezcla del liquido y el vapor en equilibrio (Figura siguiente); el liquido se
descarga por la parte inferior y el vapor que sale por la parte superior se lleva hasta un
condensador.
De la Ec.[14] deducimos para la relacion entre las concentraciones del vapor y del liquido
en equilibrio la expresion
[ ]
Sobre el diagrama de equilibrio esta ecuacion representa una recta de pendiente -(L/V)
que pasa por el punto (x0 , x0 ) de
82
80
78
76
74
72
~
~"'~
"" ~
~
................... · · · ; ~ .
--~
.................... ·····-··· ........
~ ~
70
-- -
68
o 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Guía Página 135
La diagonal, y corta a la curva de equilibrio en el punto x , y, Por lo tanto , las
composiciones de equilibrio dependen de la relacion -(L/V), y sus valores estaran
comprendidos entre la composicion del vapor en equilibrio con el liquido inicial y la
composicion del vapor igual a la del liquido inicial; el primer caso corresponde a una
cantidad infinitesimal de vapor separado, mientras el segundo sera el correspondiente al
paso de todo el liquido inicial a la fase de vapor; naturalmente que en la practica no tienen
sentido estos casos extremos. Si queremos que la concentracion del vapor sea elegida,
dentro de estos limites, el valor de –(L/V) ha de ser grande, en consecuencia la cantidad
relativa de V sera pequeña.
Teniendo en cuenta que la diferencia x0 – x no puede ser muy grande, la separacion que
puede lograrse por este procedimiento
1
V ,Y
1~ - -
(
)
(
ALIMENTACION )
L0, x0
1

Guía Página 136
Suele ser pobre, a no ser q la volatilidad relativa de la mezcla sea muy grande; en este
caso la curva de equilibrio se separa mucho de la diagonal.
La cantidad de calor necesaria para llevar a cabo la operación se determina con ayuda de
un balance entálpico aplicado a todo el sistema, resultando:
( )
Donde q es la cantidad de calor suministrado, hLo la entalpia de la mezcla liquida inicial, y
Hv y hL las entalpias del vapor y el líquido en equilibrio.
El cálculo de las entalpias para cada una de las corrientes se efectúa del modo siguiente:
a) Si se trata de una mezcla liquida a una temperatura determinada, la entalpia de la
mezcla se calcula suponiendo que se calientan los componentes puros desde una
temperatura origen to, hasta una temperatura dada, mezclándolos después. De
esta manera la entalpia referida a la temperatura to vendrá dada por la ecuación:
∫ ( ) ∫ (17)

Guía Página 137
Siendo CLA y CLB los calores específicos de los componentes A y B en estado
liquido, y ∆Hm el calor de la mezcla.
Tomando valores medios para los calores específicos de ambos componentes nos
queda la expresión:
( ) ( ) ( ) (18)
b) Si se trata de una mezcla gaseosa de los componentes A y B a una temperatura
determinada, el cálculo de la entalpia de la mezcla se puede efectuar considerando
que su formación se realiza por el camino siguiente:
1) Calentamiento de los componentes puros desde una temperatura origen to
hasta la temperatura de ebullición del componente respectivo.
2) Vaporización de cada componente a su temperatura de ebullición.
3) Calentamiento de los vapores de los componentes puros desde su temperatura
de ebullición hasta la temperatura final de la mezcla.
4) Mezcla de los vapores.
La entalpia de la mezcla vendrá dada por la expresión:
[∫ ∫ ] ( ) [∫
∫ ] (19)
Siendo:
CLA y CLB = calores específicos de los componentes líquidos puros.
CVA y CVB = calores específicos de los componentes puros en estado de vapor.
λA y λB = calores latentes, a su temperatura de ebullición.
∆Hm = calor de mezcla en fase vapor.
Tomando los calores de vaporización de los componentes puros de la temperatura
final de la mezcla, la ecuación anterior se puede escribir en la forma:
[∫ ] ( ) [∫ ] (20)
Tomando valores de medio para los calores específicos, la expresión se transforma
en:
[ ( ) ] ( )[ ( ) ] (21)

Guía Página 138
En general, el valor de ∆hm es muy pequeño frente a los demás términos y
podemos despreciarlos.
El calor latente de vaporización de la mezcla a una temperatura dada se puede
determinar cómo suma del producto de la fracción molar de cada componente por
su calor latente de vaporización a esa temperatura:
( ) (22)
Y la entalpia del vapor, con esa composición y a esa temperatura será la suma de la
entalpia, del líquido y el calor latente.
Cuando no disponemos de datos experimentales de los calores latentes de las
sustancias puras, podemos emplear la regla de Trouton según el cual el valor de
vaporización a presión normal 760mmHg es proporcional a la temperatura
absoluta normal de ebullición.
(23)
Oscilando el valor de C entre 19 y 25 para la mayor parte de los compuestos
químicos.
EJEMPLO. 3 Una mezcla benceno- tolueno de composición Xd=0,55 en fracción
molar de benceno, entra a 30ºC en el aparato de destilación cerrada indicado en la
figura 5-3, y ha de pasar al estado vapor el 40% de la alimentación. Determínese:
a) La composición del vapor separado y del líquido residual.
b) La temperatura a que se efectúa la vaporización.
c) La cantidad de calor necesario.
Los datos de equilibrio para la mezcla benceno-tolueno a la presión de 1atm son:
X Y T(ºC) X Y T(ºC)
0,0000 0,0000 110,40 0,5000 0,7140 92,20
0,0200 0,0455 109,06 0,5400 0,7470 91,10
0,0600 0,1320 107,90 0,5800 0,7765 90,05
0,1000 0,2090 106,20 0,6200 0,8054 89,00
0,1400 0,2800 104,06 0,6600 0,8305 88,00
0,1800 0,3440 102,95 0,7000 0,8545 86,95
0,2200 0,4040 101,40 0,7400 0,8785 86,00
0,2600 0,4585 99,90 0,7800 0,9005 85,00

Guía Página 139
0,3000 0,5070 98,50 0,8200 0,9215 84,10
0,3400 0,5555 97,20 0,8600 0,9405 83,20
0,4200 0,6400 94,60 0,9400 0,9765 81,45
0,4600 0,6790 93,35 1,0000 1,0000 80,30
SOLUCION.
a) Tomando como base de cálculo 100 moles de mezcla en la alimentación
tendremos:
Lo = 100 V = 40
L = 60 -(L/V)= -1,5
Sobre el diagrama de equilibrio (Fig. 5-5) trazamos una recta de pendiente -1,5 que
pase por el punto (0,55 ; 0,55) y su intersección con la curva de equilibrio de las
composiciones de liquido residual y del vapor separado, resultando:
X = 0,464 y Y = 0,680
b) A partir de los datos X-Y-t, encontramos que para estas composiciones X e Y la
temperatura de equilibrio es:
t = 93,3ºC
C) Para el intervalo de temperaturas comprendido entre 30ºC y 93.3ºC podemos tomar
como valores medios de los calores específicos de los componentes puros los siguientes:
Para el Benceno cL = 0.43 Kcal/Kg·ºC
Para el Tolueno cL = 0.46 Kcal/Kg·ºC

Guía Página 140
Teniendo en cuenta la Ec. (18) y considerando que el calor de mezcla es nulo por tratarse
de disoluciones de comportamiento ideal, la entalpia de la mezcla liquida resultante a
93.3ºC (tomando como temperatura origen de entalpias 30ºC), será
( ) ( )
A 93.3ºC los calores de vaporización de los componentes son
Benceno λB = 0.43 Kcal/Kg
Tolueno λT = 0.46 Kcal/Kg
De acuerdo a la Ec. (21) la entalpia del vapor resultante será
[ ( ) ] [ ( ) ]
La cantidad de calor que hay que suministrar a los 100 moles que hemos tomado como
base de calculo se determina haciendo uso de la Ec. (5-16):
1
t 0,8
'i 1 0.680 ...............................
0,6
0,4
0,2
•
o 1
0.46
o 0,2 0,4
1
O.SS
0,6 0,8 1
X

Guía Página 141
12.10.2 DESTILACIÓN DIFERENCIAL O ABIERTA.
Este método de destilación es el que se efectúa normalmente en los laboratorios cuando
se trabaja sin reflujo, llevando continuamente los vapores producidos hasta un
condensador.
La operación se realiza calentando la mezcla liquida inicial hasta su temperatura de
ebullición y retirando continuamente los vapores producidos; a medida que transcurre la
operación el liquido se empobrece en componentes más volátiles, elevándose
continuamente la temperatura de ebullición de la mezcla; de la misma manera los vapores
son producidos son cada vez más pobres en componentes más volátiles, y su temperatura
de condensación aumenta continuamente.
Para el caso de una mezcla binaria la relación entre la cantidad del liquido inicial y la
final L, viene dada por la ecuación de lord Rayleigh
∫ (24)
En que los limites de integración y son las composiciones inicial y final del liquido
contenido en la caldera.
Cuando se conoce una relación matemática entre las concentraciones de equilibrio e y,
la integración puede hacerse analíticamente como indicamos en los casos siguientes:
a) Si en el intervalo de operación la volatilidad relativa permanece constante, las
composiciones de equilibrio están relacionadas por la Ec. (10), que combina con la
Ec. (5-24) nos lleva a la expresión
De aquí:
√ ( ) (25)
Si en el intervalo de operación la relación entre las composiciones de equilibrio
obedece a la ley de Henry, , la Ec. (24) se transforma en
(26)

Guía Página 142
b) Si en el intervalo de operación la relación entre las composiciones de equilibrio
viene dada por la ecuación de una recta de la forma: , la Ec. (5-24) se
convierte en
( )
( )
(27)
En el caso en que la relación e y se encuentre tabulada, el valor de la integral indicada
en la Ec. (24) se determina gráficamente, representando la función ( )
⁄ frente a x, y
calculando el área comprendida entre la curva, el eje de abscisas y las ordenadas
extremas.
PROBLEMAS RESUELTOS
DESTILACIÓN CERRADA
P-12.1 Una mezcla de heptano y octano de composición 0.65 en fracción molar de
heptano, se somete a destilación cerrada a temperatura constante de 105ºC y presión
constante de 700 mmHg. Determínese:
a) Las composiciones del líquido y del vapor en el equilibrio.
b) El numero de moles que quedan en la caldera y los que pasan al estado vapor.
Las presiones de vapor del heptano y del octano a 105ºC son 915 mmHg y 417 mmHg.
Respectivamente.
SOLUCIÓN:
a) Determínese las composiciones de equilibrio por aplicación de la ley de Raoult:
b) De acuerdo con la Ec. [14]:
Tomando como base de cálculo 100 moles de mezcla inicial

Guía Página 143
P-12.2 20 Kg de una mezcla benceno-tolueno de composición 30% en peso de benceno
están contenidos en un cilindro provisto de un embolo con libertad de desplazamiento. Se
calienta la mezcla a 101.4ºC y se deja que se alcancen las condiciones de equilibrio entre
el liquido y el vapor. Determínese el volumen ocupado por los valores si la presión dentro
del cilindro se mantiene constante e igual a 760mmHg.
SOLUCIÓN:
El número de moles contenidos en la carga inicial será
Y la composición inicial en fracción molar es
A la temperatura de 101.4ºC las composiciones de equilibrio son
X = 0.2200 y = 0.4040
Teniendo en cuenta la Ec. (5-14)
Por otra parte:
Y a partir de estas dos últimas expresiones se deduce que
Admitiendo que la mezcla gaseosa cumple con las leyes los gases ideales, resulta:
P-12.3 Una mezcla de heptano y octano de composición 0.65 en fracción molar de
heptano, se somete a una destilación cerrada a temperatura constante de 105 y presión
de 700mmHg determine:
a) Las composiciones del líquido y el vapor en el equilibrio.
b) El numero de moles que quedan en la caldera y los que pasan al estado vapor.
- }

Guía Página 144
COMPUESTO A B C
C7H16 6.9024 1268.1 216.9
C8H18 6.9237 1355.1 209.51
PT = 700 mmHg
PVA= ? PVB=?
C
T
B
A
P
VA



log
C
T
B
A
VA
P 

10
9
.
216
105
1
.
1268
9024
.
6
10 


VA
P
mmHg
P
VA 3
.
918

C
T
B
A
P
VB



log
C
T
B
A
VB
P 

10
51
.
209
105
1
.
1355
9237
.
6
10 


VB
P
mmHg
P
VB 2
.
412

ASUMIENDO 100 moles F = V + L
100 = V + L
57
.
0
65
.
0
65
.
0
75
.
0






X
X
X
Y
V
L
F
F
V
L 
 25
.
1
moles
L 56
.
55

moles
V 44
.
44

2
.
412
3
.
918
2
.
412
700






VB
VA
VB
T
A
P
P
P
P
X
700
3
.
918
57
.
0 



T
VA
A
A
P
P
X
Y
57
.
0

A
X
75
.
0

A
Y
y
V
x
L
 F
x
F
)
1
(
)
2
(








0
25
.
1
100
V
L
V
L
[(
[(

Guía Página 145
DESTILACIÓN ABIERTA
P-12.4 Determinada mezcla equimolecular heptano-octano se somete a destilación simple
hasta que la composición del líquido residual en la caldera descienda a 0.30 en fracción
molar de heptano, operando a la presión atmosférica. Determínese la composición global
del vapor destilado, si para esta mezcla el valor medio de la volatilidad relativa es
.
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta la Ec. (25),
√ ( )
Tomando como base de cálculo 100 moles de mezcla inicial:
P-12.5 Una disolución de de acido acético de composición 0.25 en fracción molar de acido
acético se somete a destilación diferencial a la presión de 760 mm hasta que la
composición del liquido residual se 0.75 en fracción molar de acético
Determínese la cantidad de de producto destilado y su composición global
Los datos para esta mezcla son:
X Y 1/(Y-X) X Y 1/(Y-X)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.000
0.101
0.181
0.255
0.327
0.390
0.448
0.502
0.555
0.603
0.649
19.60
12.34
9.523
7.874
7.143
6.757
6.580
6.452
6.536
6.711
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
0.693
0.737
0.778
0.813
0.845
0.875
0.904
0.934
0.966
1.000
6.993
7.300
7.812
8.850
10.53
13.33
18.52
29.41
62.50

Guía Página 146
SOLUCION:
El valor de la integral correspondiente a la Ec.(5-24) se halla apartir de la representación
grafica de 1/(y-x) frente a x (fig. 5-6) resultando:
Área=3.649
Por tanto:
40
.
38
649
.
3
0
0
L
L
L
L
Ln


Efectuando un balance de materia sobre la base de cálculo 100moles de mezcla inicial se
tendrá:
INICIAL FINAL DESTILADO
Total……………..
Componente más
volátil…….
Componente menos
volátil…..
100
75
25
2.60
0.65
1.95
97.40
74.35
23.05
En consecuencia, la cantidad que pasa al destilado es el 97.4 % de la carga inicial y su
composición global será:
76
.
0
40
.
97
35
.
74


D
y (Fracción molar del agua)
= 0.237 en fracción molar de acético
EJEMPLO 3).- Una mezcla tetracloruro de carbono – tolueno, composición 0.60 en fracción
molar, se somete a destilación diferencial a la presión atmosférica , interrumpiéndose la
destilación cuando se ha separado la mitad de moles contenidos en la carga inicial .
Determínese:
a) Composición del líquido residual
b) Composición global del destilado
c) Proporción del tetra cloruro de carbono que pasa al destilado , referida al contenido en
la carga inicial .
Los datos de equilibrio para esta mezcla a la presión de 1 atm. Expresando las
composiciones en fracción molar, son:

Guía Página 147
X Y 1/(Y-X) X Y 1/(Y-X)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.000
0.107
0.202
0.290
0.369
0.442
0.506
0.565
0.618
0.665
-
17.54
9.804
7.143
5.917
5.208
4.854
4.651
4.587
4.651
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
1.00
0.708
0.748
0.784
0.817
0.847
0.875
0.900
0.926
0.950
1.000
4.808
5.051
5.434
5.988
6.803
8.000
10.000
13.160
20.000
SOLUCION:
a) Tomando como base de cálculo L = 100 y sustituyendo valores en la ecuación de
lord Rayleigh resulta
693
.
0
60
.
0



x
x
y
dx
Área =
3.64
0,20 0,25 0,40 0,60 0,75 0,80

Guía Página 148
Una vez construida la grafica 1/(y-x) frente a x se calcula por tanteo el límite de x de la
integral dándole distintos valores a X y hallando el área limitada por la curva, la abscisa
0.60y la abscisa cuyo valor hemos supuesto, hasta que el valor del área resulta 0.693
1 tanteo: valor supuesto: X = 0.50
El área determinada para este valor resulta
Lo que nos indica que el valor supuesto ha sido alto
Área = 0.708
Lo que expresa que el valor supuesto ha siso ligeramente bajo
Área = 0.690
Podemos considerar este valor suficientemente correcto
b) efectuando un balance de materia
inicial final destilado
Total…………
Componente mas
volátil…………….
Componente menos
volátil…………
100
60
40.0
50
23.1
26.9
50
36.9
13.1
La composición global del destilado es
74
.
0
50
9
.
36


D
y
c) proporción del tetra cloruro de carbono en el destilado:
%
5
.
61
100
*
60
9
.
36

Ejemplo 4) Sea la siguiente mezcla líquida de hidrocarburos (Benceno 0.5, Tolueno 0.25 y
O – Xilano 0.35). Se evaporizara el 49% de la alimentación. Encontrar:
a) Las concentraciones de cada una de las fases del líquido y vapor.
b) Encontrar la temperatura de destilación.

Aux.
José
Luis
Huanca
P.
UMSA-FACULTAD
DE
INGENIERIA
OPERACIONES
UNITARIAS
PET-245
Guía
Página
149
A
V:
Ya
=?
Yb
=?
Yc
=?
B
C
L:
Xa
=?
Xb=?
Xc
=?
Sea:
Benceno
A
Xoa
=
0.5
Datos:
Pt
=
760
mmHg
V
=
49%
Tolueno
B
Xob
=
0.25
O
–
Xileno
C
Xoc
=
0.25
a)
Se
tendrá
que
calcular
las
temperaturas
de
ebullición
para
conocer
el
rango
de
la
temperatura
a
tantear.
b)
Sabemos:
∑
∑
(
∑
)
donde:
Ki
=
……
(1)
1
=
∑
(
)
(
)
(
)
…….
(
)
Además
por
Antonie:
Pvº
=
(
)
…..
(2)
Reemplazando
1
y
2
en
con
sus
respectivos
valores:
1
=
[
(
)
]
+
[
(
)
]
+
[
(
)
]
Donde:
A,
B,
C,
D,
E,
F,
X,
Y,
Z
son
constantes
de
Antonie.
Buscando
un
valor
de
“T”
para
la
igualdad
a
1
se
tiene:
T
=
103.36
(Cº)
“Temperatura
de
destilación”
El
resultado
anterior
es
aceptable
porque
se
encuentra
en
el
siguiente
rango:
Teb
“A”
=
80.1
(Cº)
Teb
“B”
=
110.62
(Cº)
Teb
“C”
=
144.41
(Cº)
a)
Por
Antonie:
Pv
=
(
)
Paº
=
1477083
mmHg
Pbº
=
615.37
mmHg
Pcº
=
222.64
mmHg
n
l
r A /'
'
A
'
'----------- ---~)
y

Guía Página 150
Ka = 1.994
K= Kb = 0.810
Kc = 0.293
De ( ):
Xa = ( )
L = 51 mol Xa = 0.342, Xb = 0.276, Xc=0.382
Xb = ( )
Xc = ( )
Sabemos:
Ya= (1.944) (0.342)
Yb= (0.810) (0.276) V= 49 mol Ya = 0.665, Yb= 0.223, Yc= 0.112
Yc= (0.293) (0.382)
{
{

CAPITULO 13
"RECTIFICACION"
13.1 INTRODUCCIÓN.- La operación de rectificación consiste en hacer circular en
contracorriente el vapor de una mezcla con el condensado procedente del mismo vapor,
en un aparato denominado columna de rectificación.
Las partes esenciales de una columna de rectificación son: la columna propiamente
dicha, que es donde se verifica el contacto intimo entre el liquido y el vapor; el calderin,
situado en la base de la columna en donde se hace hervir la mezcla a separar; y el
condensador de reflujo situado en la cúspide de la columna, que se encarga de
suministrar el Líquido descendente para su contacto con el vapor
Para lograr el íntimo contacto entre las fases líquidas y vapor al objeto de establecer el
intercambio de materia entre ambas fases, interesa que la superficie y el tiempo de
contacto sean suficientes. En la práctica este contacto se logia con dos dispositivos
diferentes: el de los platos de borboteo que retienen-el líquido a través del cual se ve
obligado a pasar el vapor, y el de los cuerpos de relleno, que llenan el interior de la
columna verificándose-el contacto entre fases sobre la superficie de estos cuerpos de
relleno.
o
-----
-----
F...,.'1-----1
m
-:1 -----
--
·, .....
l~w
' ;
,, :,,"
......... ,
------

PROBLEMAS RESUELTOS
P-13.1 En una columna de rectificación en marcha continua, se destila una mezcla líquida
Cloroformo-Benceno de composición 55% MOLAR EN CHCL3, se desea obtener un
producto destilado de composición 94% molar y un residuo con 8% molar si la
alimentación entra en forma de vapor saturado, determine:
a) Los flujos de destilado y residuo
b) El reflujo mínimo
c) El nro. de bandejas, para una relación de reflujo de 30% superior a la mínima.
d) La posición de la bandeja de alimentación
e) El nro. mínimo de bandejas teóricas. Utilice el método Mcabe-Thiele.
DATOS:
P=760mmHg
CHCL3 -+ A
C6H6 -+ B
---+----i._--.-__;+ 1D}X D 1
Xp =0.55
Xn =0.94
X H = 0.08
F =1Oünioles
SOLUCION:
COMPUESTO A B
A 6.9371 1171.2
B 6.90565 1211.033
A B
-8
T = - - - - C.....(])
J
og Pv -A
Pv= IO r+c .....(2)
a) Los Flujos de Destilado y Residuo.
F=D + R (1)
Xp · F = XD · D + XR · R (2)
(1) En (2):
xF ·F = x0 ·D+xR ·R-xR · D
D = 0.55-100-0.08-100
0.94-0.08
D =54.65111.oles
,;r en (1)
<
Gula
R =45.35111.0~
<
e Teb·e Ec. (1)
227 61.74
220.79 80.09
_ PvA
Y - p .....(4)
T
Página 151

b) El reflujo mínimo
Luego se realiza la tabla de equilibrio de fracciones x,y y se las grafica como se muestra a
continuación.
Gula
T (2C) PvAEc. (2) Pvs Ec. (1) XiAEc. (3)
61,74 760,00 416,12 1,00
64,00 817,26 450,07 0,84
66,00 870,62 481,87 0,72
68,00 926,68 515,44 0,59
70,00 985,52 550,83 0,48
72,00 1047,23 588,12 0,37
74,00 1111 ,91 627,38 0,27
76,00 1179,65 668,67 O,18
78,00 1250,55 712,07 0,09
80,10 1328,49 760,00 0,00
y
o.os 0.55
:X
Según la ecuación de la recta superior:
X R
Y - 0
+ -- x ➔ y = a + bx
- R + L R +l
Donde:
Xo =int erseccion. con la ordenada
R + I
R =pendiente de la recta
R + l
YiAEc. (4)
1,00
0,91
0,82
0,73
0,62
0,52
0,40
0,28
0,15
0,00
Página 152

Calculo del reflujo mínimo Del grafico:
XD 0.94 IR -2 658 1
---'-'--- = 0.257 ➔ - - -= 0.257 ➔ nun - •
R'"" +J R0;,. +1
c) El numero de bandejas, para una relación de reflujo de 30% superior a la mínima.
Para un reflujo 30% mayor al Reflujo mínimo se tiene:
R = 1.3*R11
,
0
=1.3 *2.658 = 3.455
Luego con este reflujo "R" se calcula la nueva recta superior de operación. Y se
interceptan las tres rectas:
X D
-
0
·
94
=0.211
R+l 3.455 +l
o.os
R 3.455
tga = - - = - - - ➔ a = 37.7':f'
R+l 3.455+1
0.55
X
0.94
Según el grafico: Se tiene 16 procesos de los cuales 15 son platos o bandejas y 1 es el
calderin o rehervidor.
d) La posición del plato o bandeja de alimentación lo define la recta de alimentación y
según el grafico es: el 9no. plato o bandeja.

e) El número mínimo de bandejas teóricas se la calcula de la siguiente manera
Gula
y
LI
G
0.08
5
0.55
X
0,94
Según el grafico: el número de etapas o procesos es 9 y el número de platos o
bandejas es 8 y 1 es el calderin o rehervidor.
En este caso la bandeja de alimentación será: la Sta. Bandeja.

P-13. A 500 mmHg de presión se destila una mezcla liquida con 40% molar de Benceno y
60% molar de Tolueno para producir 96% molar de Benceno y 96% molar de Tolueno
considerando un comportamiento ideal determinar a) El reflujo mínimo si la alimentación
se introduce a 702C b)EI numero de etapas en cada caso, para un reflujo R=l .8Rminimo c)
El número mínimo de bandejas.
DATOS:
P=500mmHg
BENCENO
TOLUENO
-+ A
-+ B
XF =0.40
XD =0.96
XR = 0.04
SOLUCION:
F
a) El reflujo mínimo si la alimentación se introduce a 702C
COMPUESTO A B e
A 6.90565 1211.033 220.790
B 6.95464 1344.800 219.482
T [2C] PvA Pve XiA
67,14 500,00 183,15 1,00
68,00 514,58 189,14 0,96
70.00 549,92 203,75 0,86
72,00 587,17 219,27 0,76
74,00 626,37 235,73 0,68
76,00 667,61 253,18 0,60
78,00 710,96 271,66 0,52
80,00 756,50 291 ,22 0,45
82,00 804,28 311 .90 0,38
84,00 854,40 333.74 0,32
86,00 906,93 356,79 0,26
88,00 961,94 381 ,11 0,20
90,00 1019,52 406,74 0,15
92,00 1079,74 433,73 0,10
9400 1142,68 462,13 0,06
96,52 1225,99 500,00 0,00
Gula Aux. José Luis Huanca P.
Teb(ºC)
67.09
896.5
y¡A
1,00
0,98
0,94
0,90
0,85
0,80
0,74
0,68
0.61
0,55
0,47
0,39
0,31
0,22
o,13
0,00
Página 155

702C
x=0.86
y =0.94
De la ecuación:
~= y -XF = 0.94-0.40 =-1.174
V X F -X 0.40-0.86
Calculo del Angulo de la recta de alimentación:
L
tg0= - =-1.174 ➔ 0=-49.57°
V
0.04 0.40
X
Calculo del reflujo mínimo Del grafico:
0.96
,r;D =0.218 ➔ 0.9ó = 0.218 ➔IRnia = 3.4041
Rnin +1 Rmin +1

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b) El numero de etapas en cada caso, para un reflujo R=l.8*Rminimo
Para un reflujo 1.8 mayor al mínimo se tiene:
y
R =1.8 *Rnlin =1.8*3.404 =6.127
Xo = 0.96 = Ó.135
R+l 6.127 +l
0.04
R 6. 127
tga = -- = --- ➔ a = 40.69º
R+l 6.127+1
0.40 0.96
X
Según el grafico: Se tiene 16 procesos de los cuales 15 son platos o bandejas y 1 es el
calderin o rehervidor.

c) El número mínimo de bandejas teóricas se la calcula de la siguiente manera
Gula
5
y
7
11
0.04 0.40 0.96
X
Según el grafico: el número de etapas o procesos es 11 y el número de platos o
bandejas es 10 y 1 es el calderin o rehervidor.
En este caso la bandeja de alimentación será: la 6ta. Bandeja.

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BIBLIOGRAFIA
► PROBLEMAS DE INGENIERIA QUIMICA
Joaquín Ocon, Gabriel Tojo Barreiro
► MECANICA DE LOS FLUIDOS EHIDRAULICA
Randald V. Giles
► MECANICA DE FLUIDOS APLICADA
Robert L. Mott
► MECANICA DE LOS FLUIDOS EHIDRAULICA (TERCERA EDICIÓN)
McGraw-Hill

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