El documento resume la historia del desarrollo de la combinatoria desde tiempos antiguos hasta el siglo XVIII. Se mencionan ejemplos tempranos de problemas combinatorios como los cuadrados mágicos en un libro chino del 2200 a.C. y el desarrollo de los coeficientes binomiales en los siglos XII y XIII. La combinatoria surgió formalmente en el siglo XVII con los trabajos de Pascal y Fermat sobre teoría de probabilidad. Más tarde, Leibniz introdujo el término "combinatoria" y los trabajos
El documento describe la historia del desarrollo del álgebra a través de tres etapas: el álgebra retórica, el álgebra sincopada y el álgebra simbólica. También discute los orígenes del álgebra en las civilizaciones antiguas de Babilonia, Egipto y China, destacando sus métodos y descubrimientos matemáticos.
El documento resume brevemente la historia del álgebra. Explica que el álgebra estudia las estructuras, relaciones y cantidades usando letras para representar relaciones aritméticas. Además, describe que el álgebra clásica se ocupa de resolver ecuaciones usando símbolos en lugar de números, mientras que el álgebra moderna se enfoca más en las estructuras matemáticas. Por último, menciona que los primeros en utilizar el álgebra fueron los árabes y destaca la importancia de figuras como Al-Jwarizmi.
El documento resume brevemente la historia del álgebra desde sus orígenes en las civilizaciones babilónica, egipcia, china e hindú, pasando por el álgebra geométrica de los griegos, hasta llegar al desarrollo del álgebra simbólica en los siglos XVI y XVII. Destaca los avances realizados en cada cultura, como el uso de los números negativos y el cero en China e India, y el método del álgebra geométrica griega basado en la resolución de problemas algebraicos mediante construcciones geométric
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del siglo III d.C. considerado el "padre del álgebra". Escribió la obra Arithmetica, compuesta originalmente de 13 libros de los que solo se conservan 6, donde realizó estudios pioneros sobre ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas). Introdujo también importantes innovaciones en la notación algebraica, como el uso de símbolos para la variable desconocida y la sustracción. Su obra tuvo una gran influencia en el desarrollo
El documento presenta una introducción a la teoría de los números. Explica que los griegos desarrollaron el estudio riguroso de las propiedades de los números debido al tiempo libre de la clase dirigente y a su sistema de numeración basado en letras. También introduce algunos conceptos básicos como los números primos, perfectos y amigos, y resume la demostración de Euclides de que existen infinitos números primos.
El documento describe la vida y obras de Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Introdujo el sistema numérico hindú, incluyendo el cero, en Europa a través de su libro Liber Abaci en 1202. También descubrió la sucesión de Fibonacci, donde cada número es la suma de los dos anteriores, que se encuentra presente en patrones de crecimiento en la naturaleza. Las matemáticas, la ciencia y el arte están relacionados a través de principios como las reglas de la armonía y la construcción de escalas musical
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde sus orígenes en la antigua Babilonia y Egipto hasta el siglo XX. Los matemáticos babilonios, egipcios y griegos como Diofanto desarrollaron métodos geométricos y algébricos para resolver ecuaciones. Posteriormente, los matemáticos árabes como Al-Jwarizmi introdujeron métodos algebraicos más sofisticados y generalizados. En los siglos posteriores, matemáticos como Omar Khayyam, Sharaf al-D
El documento describe la historia del desarrollo del álgebra a través de tres etapas: el álgebra retórica, el álgebra sincopada y el álgebra simbólica. También discute los orígenes del álgebra en las civilizaciones antiguas de Babilonia, Egipto y China, destacando sus métodos y descubrimientos matemáticos.
El documento resume brevemente la historia del álgebra. Explica que el álgebra estudia las estructuras, relaciones y cantidades usando letras para representar relaciones aritméticas. Además, describe que el álgebra clásica se ocupa de resolver ecuaciones usando símbolos en lugar de números, mientras que el álgebra moderna se enfoca más en las estructuras matemáticas. Por último, menciona que los primeros en utilizar el álgebra fueron los árabes y destaca la importancia de figuras como Al-Jwarizmi.
El documento resume brevemente la historia del álgebra desde sus orígenes en las civilizaciones babilónica, egipcia, china e hindú, pasando por el álgebra geométrica de los griegos, hasta llegar al desarrollo del álgebra simbólica en los siglos XVI y XVII. Destaca los avances realizados en cada cultura, como el uso de los números negativos y el cero en China e India, y el método del álgebra geométrica griega basado en la resolución de problemas algebraicos mediante construcciones geométric
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del siglo III d.C. considerado el "padre del álgebra". Escribió la obra Arithmetica, compuesta originalmente de 13 libros de los que solo se conservan 6, donde realizó estudios pioneros sobre ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas). Introdujo también importantes innovaciones en la notación algebraica, como el uso de símbolos para la variable desconocida y la sustracción. Su obra tuvo una gran influencia en el desarrollo
El documento presenta una introducción a la teoría de los números. Explica que los griegos desarrollaron el estudio riguroso de las propiedades de los números debido al tiempo libre de la clase dirigente y a su sistema de numeración basado en letras. También introduce algunos conceptos básicos como los números primos, perfectos y amigos, y resume la demostración de Euclides de que existen infinitos números primos.
El documento describe la vida y obras de Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Introdujo el sistema numérico hindú, incluyendo el cero, en Europa a través de su libro Liber Abaci en 1202. También descubrió la sucesión de Fibonacci, donde cada número es la suma de los dos anteriores, que se encuentra presente en patrones de crecimiento en la naturaleza. Las matemáticas, la ciencia y el arte están relacionados a través de principios como las reglas de la armonía y la construcción de escalas musical
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde sus orígenes en la antigua Babilonia y Egipto hasta el siglo XX. Los matemáticos babilonios, egipcios y griegos como Diofanto desarrollaron métodos geométricos y algébricos para resolver ecuaciones. Posteriormente, los matemáticos árabes como Al-Jwarizmi introdujeron métodos algebraicos más sofisticados y generalizados. En los siglos posteriores, matemáticos como Omar Khayyam, Sharaf al-D
El documento presenta un resumen de la historia del álgebra desde sus orígenes hasta el álgebra simbólica moderna. Destaca las contribuciones fundamentales de Al-Khwarizmi en el siglo IX con su obra Hisab al-Jabr, que introdujo los términos "álgebra" y "algoritmo". Posteriormente, matemáticos como Fibonacci y Descartes evolucionaron el lenguaje algebraico hacia un uso más extenso de símbolos.
El documento describe la historia del desarrollo del álgebra a través de tres períodos: el álgebra retórica de los antiguos babilonios y egipcios, el álgebra sincopada que introdujo abreviaciones para las incógnitas, y el álgebra simbólica inaugurada por Vieta que usó símbolos para las incógnitas. También destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, Brahmagupta y otros que desarrollaron métodos para resolver ecuaciones de diferentes grados.
Las tres civilizaciones antiguas que más contribuyeron al desarrollo del álgebra fueron los egipcios, los babilonios y los griegos. Los egipcios resolvían ecuaciones lineales y utilizaban el método de la falsa posición. Los babilonios desarrollaron un sistema de numeración posicional y resolvían ecuaciones lineales, cuadráticas y algunas cúbicas. Los griegos, especialmente Euclides, Pitágoras y Diofanto, sentaron las bases del razonamiento deductivo en geometría y el álgebra,
El documento resume los principales aportes del álgebra desde el siglo de las luces hasta el siglo XX, incluyendo figuras clave como Newton, Gauss, Galois y Bourbaki. Destaca hitos como el teorema fundamental del álgebra de Gauss, el desarrollo del álgebra abstracta por Galois, y la creación de los Elementos de Bourbaki para sistematizar el álgebra moderna.
Personajes que trabajaron el Álgebra en la historiaamabefue
El documento describe el desarrollo histórico del álgebra desde los antiguos egipcios y babilonios hasta el Renacimiento. Destaca el Papiro de Rhind que data del 2000 a.C. y contiene ecuaciones de primer grado resueltas mediante el método de la falsa posición. Los babilonios resolvieron ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas y los griegos como Tales, Pitágoras y Euclides hicieron contribuciones fundamentales en geometría y álgebra. Posteriormente, matemáticos árab
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo como álgebra moderna. Destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, al-Jwarizmi, Fibonacci, Tartaglia, Descartes y Gauss, y cómo resolvieron ecuaciones de diferentes grados. También explica cómo el enfoque cambió de resolver ecuaciones a estudiar estructuras algebraicas abstractas, con contribuciones en grupos, cuaterniones y álgebra vectorial.
Historia sobre las ecuaciones de segundo gradoIvan Sldñ
El documento describe la historia de las ecuaciones de segundo grado, desde los primeros textos antiguos en Mesopotamia en el 1800-1600 a.C. hasta que el matemático hindú Bhaskara introdujo la fórmula general para resolver este tipo de ecuaciones en el siglo XII. Los egipcios, babilonios y griegos como Diofanto de Alejandría hicieron contribuciones clave pero carecían de un método general; fue Bhaskara quien desarrolló la fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Las matemáticas se originaron hace aproximadamente 3,000 años a.C. en Babilonia y Egipto, donde se desarrollaron sistemas numéricos y cálculos geométricos básicos. Posteriormente, los griegos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes avanzaron significativamente el conocimiento matemático mediante el uso de definiciones, axiomas y demostraciones. A través de los siglos, matemáticos como Newton, Lobachevsky, Riemann y Hilbert continuaron haciendo descubrimientos y av
El documento presenta una breve historia del álgebra, comenzando con los antiguos egipcios y babilonios, quienes podían resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos alejandrinos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XIII, matemáticos italianos y árabes encontraron soluciones para ecuaciones cúbicas y cuárticas. En los siglos XIX y XX, el álgebra evolucionó hacia un enfoque más abstracto con el desarrol
El documento resume las tres etapas principales en la historia del álgebra: el álgebra retórica (usando lenguaje sin símbolos), el álgebra sincopada (usando abreviaciones) y el álgebra simbólica (usando literales introducidos por François Viète). También describe las contribuciones al álgebra de varias civilizaciones antiguas como los babilonios, egipcios, chinos e indios.
1) El documento describe el desarrollo histórico del álgebra, comenzando con el uso del álgebra geométrica en los Elementos de Euclides para representar operaciones como la multiplicación y división. 2) Luego introduce a Diofanto de Alejandría, quien en sus Aritméticas fue el primero en usar símbolos para representar cantidades desconocidas y operaciones algebraicas. 3) Tuvo gran influencia en matemáticos posteriores como Vieta y Fermat.
Los babilonios fueron los primeros en utilizar el álgebra para resolver problemas mediante fórmulas y ecuaciones lineales, de segundo grado e indefinidas. La palabra "álgebra" proviene del árabe y fue introducida por el matemático persa Al-Jwarizmi en su tratado sobre el tema. El Papiro de Rhind es importante porque representa la principal fuente sobre matemática egipcia antigua, con problemas aritméticos, geométricos y ecuaciones lineales.
Se realiza un breve desarrollo de los aspectos más importantes de uno de los matemáticos árabes más importantes de la historia Al – Khwarizmi, considerado actualmente como el Padre del Álgebra
El documento describe brevemente los orígenes y desarrollo del álgebra a través de los tiempos. Los babilonios desarrollaron un sistema aritmético algorítmico para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas e indeterminadas. Diofanto de Alejandría, en el siglo III a.C., es considerado el padre del álgebra por sus textos sobre soluciones de ecuaciones algebráicas. En la Edad Moderna y el siglo XIX, el álgebra se expandió gracias a avances como el estudio de ecu
El documento describe el origen y desarrollo del álgebra a través de la historia. Los babilonios desarrollaron un sistema aritmético para resolver problemas que hoy se resuelven con ecuaciones lineales y de segundo grado. Los griegos utilizaron métodos geométricos. Diofanto de Alejandría escribió textos sobre soluciones de ecuaciones algebraicas. Posteriormente, matemáticos árabes como Al-Jwarizmi desarrollaron métodos algebraicos más sofisticados para resolver ecuaciones de diferentes grados. La palabra "
Este documento describe la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo moderno. Comenzó con la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, y los matemáticos árabes desarrollaron el álgebra fundamental de polinomios. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron ecuaciones cúbicas y cuárticas. El álgebra moderna se centra en estructuras abstractas como grupos y vectores.
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde el antiguo Egipto y Babilonia hasta su forma moderna. Los egipcios y babilonios resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas sin notación simbólica. El álgebra avanzó con matemáticos árabes, griegos e hindúes hasta adoptar su forma actual con Descartes.
1) La historia de los sistemas de ecuaciones lineales se remonta a civilizaciones antiguas como Egipto, Mesopotamia y China, donde se resolvían problemas que conducían a ecuaciones lineales de forma rudimentaria. 2) Posteriormente, matemáticos griegos como Diofanto introdujeron notaciones más simbólicas y métodos más sofisticados para resolver sistemas de ecuaciones. 3) Los matemáticos árabes, especialmente Al-Juarismi, desarrollaron el álgebra como campo independiente y
Al-Khwarizmi fue un matemático árabe del siglo IX considerado el padre del álgebra. En su libro "Al-Jabr", introdujo los conceptos fundamentales del álgebra y desarrolló métodos sistemáticos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, sentando las bases de este campo matemático. El libro tuvo una gran influencia y ayudó a difundir las matemáticas indias y el sistema de numeración hindú-arábigo en el mundo islámico y europeo.
Técnicas de conteo - Análisis combinatorioeduargom
El documento describe diferentes técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el análisis combinatorio. Estas técnicas se usan para enumerar eventos difíciles de cuantificar de manera sistemática. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, mientras que el análisis combinatorio se basa en conceptos como permutaciones, combinaciones y principios fundamentales de conteo.
Este documento presenta diferentes métodos de conteo utilizados en probabilidad, incluyendo el principio de la multiplicación, el principio de la suma, permutaciones y combinaciones. Explica cómo usar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes situaciones experimentales. También introduce el método del diagrama de árbol como una herramienta gráfica para contar posibilidades al descomponer un experimento en pasos simples.
El documento presenta un resumen de la historia del álgebra desde sus orígenes hasta el álgebra simbólica moderna. Destaca las contribuciones fundamentales de Al-Khwarizmi en el siglo IX con su obra Hisab al-Jabr, que introdujo los términos "álgebra" y "algoritmo". Posteriormente, matemáticos como Fibonacci y Descartes evolucionaron el lenguaje algebraico hacia un uso más extenso de símbolos.
El documento describe la historia del desarrollo del álgebra a través de tres períodos: el álgebra retórica de los antiguos babilonios y egipcios, el álgebra sincopada que introdujo abreviaciones para las incógnitas, y el álgebra simbólica inaugurada por Vieta que usó símbolos para las incógnitas. También destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, Brahmagupta y otros que desarrollaron métodos para resolver ecuaciones de diferentes grados.
Las tres civilizaciones antiguas que más contribuyeron al desarrollo del álgebra fueron los egipcios, los babilonios y los griegos. Los egipcios resolvían ecuaciones lineales y utilizaban el método de la falsa posición. Los babilonios desarrollaron un sistema de numeración posicional y resolvían ecuaciones lineales, cuadráticas y algunas cúbicas. Los griegos, especialmente Euclides, Pitágoras y Diofanto, sentaron las bases del razonamiento deductivo en geometría y el álgebra,
El documento resume los principales aportes del álgebra desde el siglo de las luces hasta el siglo XX, incluyendo figuras clave como Newton, Gauss, Galois y Bourbaki. Destaca hitos como el teorema fundamental del álgebra de Gauss, el desarrollo del álgebra abstracta por Galois, y la creación de los Elementos de Bourbaki para sistematizar el álgebra moderna.
Personajes que trabajaron el Álgebra en la historiaamabefue
El documento describe el desarrollo histórico del álgebra desde los antiguos egipcios y babilonios hasta el Renacimiento. Destaca el Papiro de Rhind que data del 2000 a.C. y contiene ecuaciones de primer grado resueltas mediante el método de la falsa posición. Los babilonios resolvieron ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas y los griegos como Tales, Pitágoras y Euclides hicieron contribuciones fundamentales en geometría y álgebra. Posteriormente, matemáticos árab
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo como álgebra moderna. Destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, al-Jwarizmi, Fibonacci, Tartaglia, Descartes y Gauss, y cómo resolvieron ecuaciones de diferentes grados. También explica cómo el enfoque cambió de resolver ecuaciones a estudiar estructuras algebraicas abstractas, con contribuciones en grupos, cuaterniones y álgebra vectorial.
Historia sobre las ecuaciones de segundo gradoIvan Sldñ
El documento describe la historia de las ecuaciones de segundo grado, desde los primeros textos antiguos en Mesopotamia en el 1800-1600 a.C. hasta que el matemático hindú Bhaskara introdujo la fórmula general para resolver este tipo de ecuaciones en el siglo XII. Los egipcios, babilonios y griegos como Diofanto de Alejandría hicieron contribuciones clave pero carecían de un método general; fue Bhaskara quien desarrolló la fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Las matemáticas se originaron hace aproximadamente 3,000 años a.C. en Babilonia y Egipto, donde se desarrollaron sistemas numéricos y cálculos geométricos básicos. Posteriormente, los griegos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes avanzaron significativamente el conocimiento matemático mediante el uso de definiciones, axiomas y demostraciones. A través de los siglos, matemáticos como Newton, Lobachevsky, Riemann y Hilbert continuaron haciendo descubrimientos y av
El documento presenta una breve historia del álgebra, comenzando con los antiguos egipcios y babilonios, quienes podían resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos alejandrinos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XIII, matemáticos italianos y árabes encontraron soluciones para ecuaciones cúbicas y cuárticas. En los siglos XIX y XX, el álgebra evolucionó hacia un enfoque más abstracto con el desarrol
El documento resume las tres etapas principales en la historia del álgebra: el álgebra retórica (usando lenguaje sin símbolos), el álgebra sincopada (usando abreviaciones) y el álgebra simbólica (usando literales introducidos por François Viète). También describe las contribuciones al álgebra de varias civilizaciones antiguas como los babilonios, egipcios, chinos e indios.
1) El documento describe el desarrollo histórico del álgebra, comenzando con el uso del álgebra geométrica en los Elementos de Euclides para representar operaciones como la multiplicación y división. 2) Luego introduce a Diofanto de Alejandría, quien en sus Aritméticas fue el primero en usar símbolos para representar cantidades desconocidas y operaciones algebraicas. 3) Tuvo gran influencia en matemáticos posteriores como Vieta y Fermat.
Los babilonios fueron los primeros en utilizar el álgebra para resolver problemas mediante fórmulas y ecuaciones lineales, de segundo grado e indefinidas. La palabra "álgebra" proviene del árabe y fue introducida por el matemático persa Al-Jwarizmi en su tratado sobre el tema. El Papiro de Rhind es importante porque representa la principal fuente sobre matemática egipcia antigua, con problemas aritméticos, geométricos y ecuaciones lineales.
Se realiza un breve desarrollo de los aspectos más importantes de uno de los matemáticos árabes más importantes de la historia Al – Khwarizmi, considerado actualmente como el Padre del Álgebra
El documento describe brevemente los orígenes y desarrollo del álgebra a través de los tiempos. Los babilonios desarrollaron un sistema aritmético algorítmico para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas e indeterminadas. Diofanto de Alejandría, en el siglo III a.C., es considerado el padre del álgebra por sus textos sobre soluciones de ecuaciones algebráicas. En la Edad Moderna y el siglo XIX, el álgebra se expandió gracias a avances como el estudio de ecu
El documento describe el origen y desarrollo del álgebra a través de la historia. Los babilonios desarrollaron un sistema aritmético para resolver problemas que hoy se resuelven con ecuaciones lineales y de segundo grado. Los griegos utilizaron métodos geométricos. Diofanto de Alejandría escribió textos sobre soluciones de ecuaciones algebraicas. Posteriormente, matemáticos árabes como Al-Jwarizmi desarrollaron métodos algebraicos más sofisticados para resolver ecuaciones de diferentes grados. La palabra "
Este documento describe la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo moderno. Comenzó con la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, y los matemáticos árabes desarrollaron el álgebra fundamental de polinomios. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron ecuaciones cúbicas y cuárticas. El álgebra moderna se centra en estructuras abstractas como grupos y vectores.
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde el antiguo Egipto y Babilonia hasta su forma moderna. Los egipcios y babilonios resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas sin notación simbólica. El álgebra avanzó con matemáticos árabes, griegos e hindúes hasta adoptar su forma actual con Descartes.
1) La historia de los sistemas de ecuaciones lineales se remonta a civilizaciones antiguas como Egipto, Mesopotamia y China, donde se resolvían problemas que conducían a ecuaciones lineales de forma rudimentaria. 2) Posteriormente, matemáticos griegos como Diofanto introdujeron notaciones más simbólicas y métodos más sofisticados para resolver sistemas de ecuaciones. 3) Los matemáticos árabes, especialmente Al-Juarismi, desarrollaron el álgebra como campo independiente y
Al-Khwarizmi fue un matemático árabe del siglo IX considerado el padre del álgebra. En su libro "Al-Jabr", introdujo los conceptos fundamentales del álgebra y desarrolló métodos sistemáticos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, sentando las bases de este campo matemático. El libro tuvo una gran influencia y ayudó a difundir las matemáticas indias y el sistema de numeración hindú-arábigo en el mundo islámico y europeo.
Técnicas de conteo - Análisis combinatorioeduargom
El documento describe diferentes técnicas de conteo como el diagrama de árbol y el análisis combinatorio. Estas técnicas se usan para enumerar eventos difíciles de cuantificar de manera sistemática. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, mientras que el análisis combinatorio se basa en conceptos como permutaciones, combinaciones y principios fundamentales de conteo.
Este documento presenta diferentes métodos de conteo utilizados en probabilidad, incluyendo el principio de la multiplicación, el principio de la suma, permutaciones y combinaciones. Explica cómo usar estos métodos para calcular el número de posibilidades en diferentes situaciones experimentales. También introduce el método del diagrama de árbol como una herramienta gráfica para contar posibilidades al descomponer un experimento en pasos simples.
El documento trata sobre la historia y desarrollo de la teoría de probabilidad. Comienza en el siglo XVII cuando matemáticos como Fermat, Huygens y Pascal trataron de resolver problemas relacionados con los juegos de azar. Más tarde, en 1812 Laplace publicó un tratado clásico sobre la teoría de probabilidad. A principios del siglo XX, Kolmogorov definió la probabilidad de forma axiomática y estableció las bases de la teoría moderna.
Este documento describe dos principios fundamentales de conteo: el principio de adición y el principio de multiplicación. También presenta ejemplos de cómo aplicar estos principios para calcular el número de maneras en que pueden ocurrir eventos compuestos.
Este documento presenta una colección de 69 problemas de combinatoria, variaciones, permutaciones y combinaciones. Los problemas involucran el cálculo de palabras, números, subconjuntos y otras estructuras que pueden formarse de diferentes maneras a partir de un conjunto de elementos.
Este documento presenta información sobre la idea de la demostración en la historia de las matemáticas. Brevemente describe qué son las matemáticas y los matemáticos, y explica que las demostraciones son importantes para resolver problemas, demostrar teoremas y aplicar ideas matemáticas. Luego resume los principales períodos históricos del desarrollo de las demostraciones, incluidos los períodos jónico, ateniense y helenístico de la antigua Grecia.
El documento presenta dos principios fundamentales de conteo: el principio de adición y el principio de multiplicación. El principio de adición establece que si un evento A puede ocurrir de n maneras y un evento B puede ocurrir de m maneras, entonces el número de maneras en que pueden ocurrir A o B es n + m. El principio de multiplicación establece que si un evento A puede ocurrir de n maneras y es seguido por un evento B que puede ocurrir de m maneras, entonces el número de maneras en que pueden ocurrir
Las técnicas de conteo son métodos para contar el número de posibles resultados de un experimento. Cuando los resultados son pocos, se pueden listar y contar fácilmente, pero cuando son muchos se usan técnicas como la multiplicación, la permutación y la combinación. La técnica de la multiplicación se usa cuando hay múltiples grupos de opciones, la permutación se usa para contar arreglos dentro de un solo grupo, y la combinación se usa para contar selecciones sin orden dentro de un grupo.
Este documento presenta una colección de ejercicios de matemática discreta divididos en tres partes: combinatoria, aritmética y conjuntos/lógica. Incluye ejercicios resueltos de examen sobre sudokus, dados y ristras binarias, así como propuestas de ejercicios adicionales sobre combinatoria, inducción y desarrollo de binomios y trinomios. El objetivo es ofrecer material de estudio y práctica para preparar un examen final.
Este documento presenta una colección de ejercicios de matemáticas discretas divididos en tres partes: combinatoria, aritmética y conjuntos/lógica. Incluye ejercicios de examen resueltos, propuestas de ejercicios del libro de Rosen y lecturas recomendadas. El objetivo es que los estudiantes practiquen y aprendan conceptos clave de matemáticas discretas.
Este documento contiene 67 problemas de matemáticas sobre divisibilidad, números primos, factores primos, mínimo común múltiplo (m.c.m.), máximo común divisor (m.c.d.), y otros temas relacionados. Los problemas incluyen determinar si un número es divisible por otro, descomponer números en factores primos, calcular m.c.m. y m.c.d. de números, y resolver problemas word problems utilizando estos conceptos matemáticos.
Este documento presenta los principios fundamentales del análisis combinatorio, incluyendo el principio de adición, el principio de multiplicación, factoriales, permutaciones simples y circulares, permutaciones con repetición, combinaciones, variaciones y variaciones con repetición. Explica cada concepto con ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el número de posibilidades en diferentes escenarios combinatorios.
El documento describe diferentes conceptos estadísticos como espacio muestral, eventos, conteo de puntos muestrales, permutaciones y combinaciones. Explica que un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento y que un evento es cualquier subconjunto de este. También define sucesos independientes, dependientes, compatibles e incompatibles y presenta ejemplos de cálculo de puntos muestrales usando la regla de la multiplicación, permutaciones y combinaciones.
El documento presenta los principios fundamentales de conteo, incluyendo el principio de la suma y el principio de la multiplicación. Estos principios se utilizan para resolver problemas de conteo como el número de maneras de elegir libros de una biblioteca, resultados posibles de lanzar dados, y ensaladas que se pueden preparar con diferentes verduras. El documento también incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos principios.
El tetraedro como máquina analítica matemáticaErbol Digital
El documento propone el tetraedro como un modelo matemático para estudiar problemas complejos como la factorización de números y la hipótesis de Riemann. Se describe al tetraedro como la figura geométrica más simple con cuatro caras triangulares congruentes. El modelo representa números enteros y reales en un tetraedro virtual gigante o de 10 esferas. Esto podría ayudar a estudiar la densidad, distribución y estructura de los números primos y resolver problemas importantes en teoría de números.
Este documento explica los conceptos fundamentales del análisis combinatorio. Este campo matemático estudia los diferentes arreglos y selecciones que se pueden formar con los elementos de un conjunto dado. Explica las técnicas de conteo como permutaciones, combinaciones y sus diferentes tipos (lineales, circulares, con elementos repetidos). Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
El documento presenta 13 ejercicios resueltos de combinatoria que involucran conceptos como permutaciones, arreglos y combinaciones. Los ejercicios resuelven problemas que incluyen distribución de personas en asientos, distribución de premios entre alumnos, cálculo de diagonales en polígonos, y formación de números, entre otros. En cada caso se explica el razonamiento matemático para llegar a la solución requerida.
Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre combinatoria. Los ejercicios involucran el cálculo de permutaciones y combinaciones para determinar el número de maneras en que pueden ocurrir diferentes eventos, como la distribución de premios entre estudiantes o la colocación de libros en una estantería.
1) El documento presenta 13 ejercicios resueltos de combinatoria que involucran el cálculo de permutaciones y combinaciones para determinar el número de posibilidades en diversos escenarios, como la distribución de premios entre alumnos, formación de números con cifras específicas, colocación de libros en una estantería, etc.
2) Los ejercicios se resuelven aplicando principios matemáticos como permutaciones con y sin repetición, combinaciones y principio de multiplicación para contar casos.
3) Los resultados incluyen
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
PPT_Servicio de Bandeja a Paciente Hospitalizado.pptx
Permutaciones y combinaciones
1. El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de
otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra, teoría de los números, y
probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria
que han llamado la atención de los matemáticos. Por ejemplo, el problema de los
cuadrados mágicos que son arreglos de números con la propiedad de que la
suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo
número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados
mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. Los coeficientes binomiales, que son
los coeficientes enteros de la expansión de (a+b)n fueron conocidos en el siglo XII. El triángulo
de Pascal que es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo
XIII.
Se puede considerar que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos
de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que
formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios
para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se
estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.
El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz
en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la
combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este
trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue
necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se
usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los
trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e
independiente rama de las matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica
escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de
enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales
para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones
generadoras.
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
GRADO 11
TALLER Nº 6
SEMESTRE II
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
RESEÑA HISTÓRICA
2. 2
OBJETIVO GENERAL
Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de elementos de un espacio
muestra o suceso.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Calcular el número de posibles resultados de un experimento o seceso.
Establecer las diferencias entre un combinación y una permutación
PALABRAS CLAVES
Permutación, combinación, factorial.
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DESARROLLO TEÓRICO
Se recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1
a n, esto es,
n!=12 3 … n y por convenio 0!=1
Se llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an a cualquier ordenación de los mismos.
Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras p, q y r son: pqr, qrp, rpq, qpr, rqp, prq.
Teorema:El número de permutaciones de n elementos es n!
En el ejemplo anterior, 3!=6. En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en
ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las
tres letras p, q y r tomadas de dos en dos cada vez son: pq, pr, qr, qp, rp, rq
Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez es
)!(
!
kn
n
Para el ejemplo anterior, 3!/(3-2)!=6/1=6
Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera
repeticiones el número de tales permutaciones sería nk
4 En nuestro ejemplo 32=9:
pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr
Se llama combinación a una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué
elementos la forman
3. 3
Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras p, q y r, precisamente pqr. Las
combinaciones de p, q y r tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r
Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la
expresión
Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten
repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por
Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras p, q y r tomadas de dos en dos cada
vez es
y si se admite repeticiones de letras
EJERCICIOS PROPUESTOS
PERMUTACIONES
1. Se quiere formar números de 4
dígitos a partir de los números 2,
3, 4 y 5.
2. Con las letras A, M, O; ¿Cuántas
palabras se pueden formar?
3. ¿Cuántos grupos de 6 letras se
pueden formar con las letras
CARARE? ¿Cuántas
permutaciones se pueden formar
con las letras de la palabra
MISSISSIPI?
4. ¿De cuántas maneras se pueden
ordenar en un estante 5 libros de
álgebra y 3 diccionarios con la
condición de que siempre los
libros de algebra estén juntos y
los diccionarios también?
!)!(
!
kkn
n
k
n
k
kn 1
3
2.1
6
!2)!23(
!3
2
3
6...
2
4
2
123
4. 4
5. Se tienen los números naturales
1, 2, 3 y 4. ¿Cuántos números de
tres dígitos se pueden formar?
6. ¿Cuántas cifras de 4 dígitos se
pueden formar con los números
del 0 al 9, usándolos una sola
vez?
7. Si un estudiante tiene 9 libros y
desea ordenar a 5 de ellos sobre
un estante. ¿De cuántas maneras
distintas puede hacerlo?
8. ¿Cuántas señales diferentes se
pueden formar con 10 banderas
distintas, levantando al menos 3 y
no más de 6 banderas en una de
un mástil?
9. ¿De cuantas maneras diferentes
se pueden contestar un examen
de 5 preguntas, si hay que
responder a 3 de ellas?
10. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse
ocho personas en una fila de
butacas?
11. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse
ocho personas alrededor de
una mesa redonda?
12. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3,
3, 3, 4, 4; ¿cuántos números
de nueve cifras se pueden
formar?
13. ¿Cuántos números de
cinco cifras distintas se
pueden formar con las cifras
impares? ¿Cuántos de ellos
son mayores de 70.000?
14. De cuántas formas pueden
colocarse los 11 jugadores
de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el
portero no puede ocupar otra
posición distinta que la
portería?
15. Una mesa presidencial
está formada por ocho
personas, ¿de cuántas
formas distintas se pueden
sentar, si el presidente y el
secretario siempre van
juntos?
16. Cuatro libros distintos de
matemáticas, seis diferentes
de física y dos diferentes de
química se colocan en un
estante. De cuántas formas
distintas es posible
ordenarlos si:
a. Los libros de cada
asignatura deben estar
todos juntos.
b. solamente los libros de
matemáticas deben
estar juntos.
17. Se ordenan en una fila 5
bolas rojas, 2 bolas blancas
y 3 bolas azules. Si las bolas
de igual color no se
distinguen entre sí, ¿de
cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
18.Un hombre tiene
9 bonos financieros de 9
compañías distintas, y piensa
regalarlos a sus 3 hijos de la
siguiente manera: a su hijo mayor,
4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al
menor 2. ¿De cuantas formas
puede repartir los bonos?
19.Se va celebrar la final de salto de
longitud en un torneo de atletismo.
Participan 8 atletas.
¿De cuántas formas pueden
5. 5
repartirse las tres medallas: oro,
plata y bronce?
20.El sistema de matrículas de
vehículos consiste en un número
de 4 dígitos seguido de un bloque
de 3 letras consonantes.
(Ejemplo: 0474-KTK)
a) ¿Cuántas placas hay con un
determinado bloque de letras?
b) ¿Cuántas placas hay con la
misma parte numérica?
c) ¿Cuántas placas se pueden
formar en total con este sistema?
21.Con los dígitos impares, ¿cuántos
números de 5 cifras distintas
puedes formar? ¿Cuáles son
esos números?
22.Queremos ordenar los 7 libros
que tenemos: 4 son de
Matemáticas, 2 de Astronomía y 1
de Física (los de una misma
materia son iguales). ¿De cuántas
formas podemos ordenarlos en el
estante?
23.Cinco personas entran en un
vagón de ferrocarril en que hay 7
asientos. ¿De cuántas maneras
distintas pueden sentarse?
24.Si tenemos la siguiente patente de
auto, con 2 letras y 4 números, de
las cuales se pueden repetir.
¿Cuántas patentes se pueden
formar?.
25.¿De cuántas maneras 3
americanos, 4 franceses, 4
daneses, y 2 italianos pueden
sentarse en una fila de modo que
los de la misma nacionalidad se
sienten juntos?
26.
27.Encontrar el numero de palabras
que se pueden formar con todas
las letras de MARCELINO
28.Encontrar el numero de palabras
que se pueden formar con todas
las letras de ALGEBRA, pero que
la L siempre esté primero.
29.Hay que colocar a 5 hombres y 4
mujeres en una fila de modo que
las mujeres ocupen los lugares
pares. ¿De cuántas maneras
puede hacerse?
30.Una línea de ferrocarril tiene 25
estaciones. ¿Cuántos billetes
diferentes habrá que imprimir si
cada billete lleva impresas las
estaciones de origen y destino?
31.En un hospital se utilizan cinco
símbolos para clasificar las
historias clínicas de sus pacientes,
de manera que los dos primeros
son letras y los tres últimos son
dígitos. Suponiendo que hay 25
letras, ¿cuántas historias clínicas
podrían hacerse si:
a. No hay restricciones sobre letras y
números;
b. Las dos letras no pueden ser
iguales?
6. 6
COMBINACIONES
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres
alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris
tomándolos de tres en tres?
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre
todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
4. ¿Cuántas apuestas de Lotería de Medellín de una columna han de
rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
5. Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede
informar con sus vértices?
6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité
de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
b) Una mujer determinada debe pertenecer al comité
c) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité
7. Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres
alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas
diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores, ¿cuántas partidas se
jugará si se juega todos contra todos?
10.En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las
diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por
lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?
11.De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de
5 asientos, si 3 están en espera?
12. La selección peruana de voleibol está conformada por 12 chicas. ¿De cuántas formas
se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el
mismo equipo?
13.Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa,
sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los
invitados?
7. 7
14.Queremos realizar una encuesta a 150 personas, pero vamos a usar una muestra de
sólo 10 personas. ¿Cuántas muestras podríamos usar?
(Nota: En Estadística las muestras se suelen usar con reemplazamiento, es decir, una
persona puede estar varias veces en la muestra)
15.Una empresa necesita 14 personas para hacer un trabajo, distribuidas de la siguiente
forma: 4 mujeres, 5 hombres, y los 5 restantes pueden ser de uno u otro sexo. ¿De
cuántas maneras puede elegir la empresa a las 14 personas, si hay 18 candidatos de
los cuales 8 son mujeres y 10 son hombres?
16. De 7 físicos y 4 matemáticos se va a formar un comité de 6. ¿De cuántas maneras
puede formarse?
a. Cuando haya en el comité 2 matemáticos.
b. Cuando haya como mínimo 2 matemáticos
17. Obtener el número de diagonales del cuadrado, el hexágono y el octágono
18.Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan 4
consonantes distintas y 3 vocales distintas?
19.Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuántas maneras podrían llegar a la
meta? (Pueden llegar juntos)
20.¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris
tomándolos de tres en tres?
21. Si se quiere formar el siguiente comité con 1 presidente, 2 secretarios y 3 tesoreros,
para lo cual se tienen 32 postulantes para los cargos mencionados anteriormente.
¿Cuántos comités se pueden formar?
22.El Dane desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer año y 2 de segundo
año. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cuántas
maneras puede
formarse esta comisión?.
23.El comité organizador de unos campeonatos de atletismo va a asignar dorsales de
cuatro dígitos a los atletas. Si el primer dígito no puede ser cero, ¿cuántos dorsales
distintos se pueden formar?
24.El comité organizador de unos campeonatos de atletismo va a asignar dorsales de
cuatro dígitos a los atletas. Si el primer dígito no puede ser cero, ¿cuántos dorsales
distintos se pueden formar?
25.En un salón hay 6 matrimonios. Si se eligen al azar 2 de esas personas:
a. ¿Cuántas elecciones distintas son posibles?
b. ¿En cuántas elecciones distintas habrá dos hombres?
c. En cuántas elecciones distintas habrá un hombre y una mujer?
8. 8
26.Calcular cuántos productos diferentes de 2 factores se pueden formar con los digitos
2,3 y 5
a. Sin repetición de factores
b. Pudiendo repetir factores.
PEQUEÑOS RETOS
Samurai Sudokus