El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo como álgebra moderna. Destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, al-Jwarizmi, Fibonacci, Tartaglia, Descartes y Gauss, y cómo resolvieron ecuaciones de diferentes grados. También explica cómo el enfoque cambió de resolver ecuaciones a estudiar estructuras algebraicas abstractas, con contribuciones en grupos, cuaterniones y álgebra vectorial.

1. Rama de las matemáticas que estudia la
cantidad considerada de un modo más
general
José A. Sulca M.
jsulcam@yahoo.es

2.  La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y
Babilonia, sus habitantes fueron capaces de resolver;
ecuaciones lineales : ax = b ,
ecuaciones cuadráticas : ax2 + bx = c ,
ecuaciones con varias incógnitas : x2 + y2 = z2 ,
sistemas de ecuaciones : x2 + y2 = 100
4x – 3y = 0 .
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3.  El papiro Rhind
Dice:
«2/3 sumados y 1/3 restados:
hacen 10. Hallar 1/10 de este 10:
el resultado es 1: el resto, 9.2/3 de
9, es decir, 6, se añaden; total, 15.
Una tercera parte es 5. Era 5 lo
que se había restado: resto, 10».
Traducción:
x + 2/3x - 1/3(x + 2/3x) - 10
Papiro de Rhind – uno de los En el simbolismo egipcio, las
documentos matemáticos mas piernas que andaban hacia la
antiguos, fue escrito por el izquierda significaban
egípcio Ahmes «sumar», a la derecha
(siglo XVII a.C.) «restar».
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4.  Diofanto de Alejandría, continuo con la tradición de Egipto y
Babilonia.
Babilonia.
 De Diofanto se conoce su libro Las aritméticas; donde presenta
aritméticas;
muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas
difíciles, de allí que se le considera el padre griego del álgebra.
álgebra.
 De el tenernos un epigrama donde podemos conocer la edad en que
Diofanto habría fallecido. En el epigrama se divide la vida de
fallecido.
Diofanto en segmentos, cada uno de los cuales es una parte de su
total, representado por x.
La ecuación es: x –x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = 9 ,
un cálculo simple muestra que Diofanto vivió 84 años
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5.  Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones
encontró acogida en el mundo islámico, en donde se la
llamó “ciencia de reducción y equilibrio”.
 La palabra árabe al-jabr que significa `reducción', es el
al-
origen de la palabra álgebra.
 En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de
al-
los primeros libros árabes de álgebra, una verdadera
presentación de la teoría fundamental de ecuaciones, con
ejemplos y demostraciones incluidas.
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6. Cuadrado de la cosa igual a la cosa x 2  bx
Cuadrado de la cosa igual a número x2  c
Cosa igual a número bx  c
Cuadrado de la cosa más cosa igual a número x 2  bx  c
Cuadrado de la cosa más número igual a cosa x 2  c  bx
Cuadrado de la cosa igual a cosa más número x 2  bx  c
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7. x 2  bx  c
2
b b2
C u a d r a d o s d e la s 4 e s q u in a s  4   
b 4 4 4
b
Cuadrado central  4 retángulos  x  4 x  c 2
4
2
 b b2
Cuadrado total   x    c
 2 4
Entonces
b b2
x    c
x 2 4
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8.  A finales del siglo IX, el matemático Abu Kamil enunció
y demostró las identidades del álgebra, y resolvió problemas
tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen :
x + y + z = 10
x2 + y2 = z2
 El matemático Omar Khayyam
mostró cómo expresar las raíces de
ecuaciones cúbicas utilizando los
segmentos obtenidos por
intersección de secciones cónicas.
cónicas.
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9.  Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci
( 1170 - 1241) escribió el libro “Liber Abacci” .
 Fibonacci consiguió encontrar una solución aproximada de la
ecuación cúbica :
x3 + 2x2 + cx = d
por el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
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10.  Los matemáticos italianos del Ferro, Tartaglia y
Cardano resolvieron la ecuación cúbica general.
x 3  px  q p,q  
SOLUCIÓN
2 3 2 3
q  q   p  q  q   p 
x  3       3      
2  2   3  2  2   3 
Funcionaba bien en algunos casos:
x 3  6 x  20 ; x  3
108  10  3
108  10
Pero en otros ……
x 3  15 x  4 ; x  3
 121  2  3
 121  2
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11.  Más tarde, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontró
la solución para la ecuación de cuarto grado.
Como consecuencia, muchos matemáticos de los siglos
posteriores intentaron encontrar la fórmula de las
soluciones de las ecuaciones de quinto grado y más.
 Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático
noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois
demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
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12.  En 1637, el matemático francés René
Descartes escribió su libro “ La Geometría”,
allí introduce símbolos para las incógnitas y
para las operaciones.
 La contribución más importante de Descartes fue el
descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la
resolución de problemas geométricos a la resolución de
problemas algebraicos.
 Su libro contiene también los fundamentos de la teoría de
ecuaciones, incluyendo la regla de los signos para contar el
número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de
una ecuación.
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13.  En 1799, el matemático alemán Gauss a sus 20 años dio la
primera demostración rigurosa del teorema fundamental del
álgebra : “Toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz
en el plano complejo”
 También estableció la interpretación geométrica de un número
complejo: x+iy → (x,y) .
 En esta época; el foco de atención se trasladó de las ecuaciones
al estudio de la estructuras algebraicas. Dos ejemplos de dichos
sistemas son los grupos y las cuaternas.
 Los matemáticos franceses Galois y Cauchy, el británico Cayley
y los noruegos Abel y Lie hicieron importantes contribuciones al
estudio de los grupos; mientras que el matemático irlandés
Hamilton descubrió la cuaternas.
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14.  El matemático alemán Grassmann empezó a
investigar los vectores. A pesar de su carácter
abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs
encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran
utilidad para los físicos.
 La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó
a George Boole a escribir en 1854; un tratamiento
algebraico de la lógica básica.
 Desde entonces, el álgebra moderna; también
llamada álgebra abstracta, ha seguido evolucionando
obteniéndose resultados importantes y sobre todo se
han encontrado aplicaciones en todas las ramas de
las matemáticas y en muchas otras ciencias.
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15. Álgebra
Álgebra clásica Álgebra moderna
Se ocupa de Se ocupa de las
resolver ecuaciones estructuras algebraicas
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16. Profesor: José A. Sulca M. 16